数列的概念单元测试题+答案百度文库

一、数列的概念选择题

1．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，

1

1

12()n

n

n S S S S 恒成立，则15S 等于（ ）

A ．210

B ．211

C ．224

D ．225

2．已知数列{}n a 满足: 12a =，11

1n n

a a +=-，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S =（ ） A ．1007

B ．1008

C ．1009.5

D ．1010

3．已知数列{}n a 满足11a =

),2n N n *=

∈≥，且()2cos

3

n n n a b n N π

*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120

B ．174

C ．204-

D ．

373

2

4．已知数列{}n a 的前n 项和2

23n S n n =-，则10a ＝（ ）

A ．35

B ．40

C ．45

D ．50

5．数列23451,,,,,3579

的一个通项公式n a 是（ ） A ．

21n

n + B ．

23

n

n + C ．

23

n

n - D ．

21

n

n - 6．在数列{}n a 中，11

4

a =-，1

1

1(1)n n a n a -=-

>，则2019a 的值为（ ） A ．

45

B ．14

-

C ．5

D ．以上都不对

7．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072

B ．2073

C ．2074

D ．2075

8．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（ ） A ．511

B ．513

C ．1025

D ．1024

9．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ） A ．1

B ．3

C ．2

D ．3-

10．已知数列{}n a 的通项公式为2

n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞

B ．(),2-∞

C ．(),1-∞

D ．(),0-∞

11．数列{}n a 中，()1121n

n n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ）

A ．32

B ．36

C ．38

D ．40

12．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，

12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被

4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为（ ） A ．24

B ．26

C ．28

D ．30

13．已知数列2

65n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

14．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则4a 的值为（ ） A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

15．已知在数列{}n a 中，112,1

n n n

a a a n +==+，则2020a 的值为（ ） A ．

1

2020

B ．

1

2019

C ．

11010

D ．

11009

16．数列1111

,,,

57911

--，…的通项公式可能是n a =（ ） A ．1(1)32

n n --+

B ．(1)32

n n -+

C ．1(1)23

n n --+

D ．(1)23

n

n -+

17．数列1

2，16，112，120

，…的一个通项公式是（ ） A ．()1

1n a n n =-

B ．()1

221n a n n =

-

C ．111

n a n n =

-+ D ．11n a n

=-

18．在数列{}n a 中，11

(1)1,2(2)n

n n a a n a --==+≥，则3a =（ ） A ．0

B ．

53

C ．

73

D ．3

19．数列{}n a 满足：12a =，111n

n n

a a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ，则2018T =（ ） A ．6-

B ．1

6-

C ．

16

D ．6

20．数列1,3,5,7,9,

--的一个通项公式为（ ）

A ．21n a n =-

B ．()1(21)n

n a n =--

C ．()

1

1(21)n n a n +=--

D ．()

1

1(21)n n a n +=-+

二、多选题

21．设数列{}n a 满足11

02

a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．

21

12

a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312

a <<

D ．

20203

14

a << 22．已知数列{}n a 满足()

*11

1n n

a n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =- B ．201912

a =

C ．332

S =

D ． 2 0192019

2

S =

23．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）

A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021

B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1

C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021

D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0

24．若不等式1

(1)(1)2n n

a n

+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2

25．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且2

3n n n S a +=，则1

n n a a -的值不可能为

（ ） A ．2

B ．5

C ．3

D ．4

26．(多选)在数列{}n a 中，若2

2

1(2,,n n a a p n n N p *

--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．

(){}1n

- 是等方差数列

C ．{}2

n

是等方差数列.

D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 27．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ） A ．4619a a a a >

B ．130S >，140S <，则78a a >

C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12S

D ．若2

n S n n a =-+，则0a =

28．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥

时，)

2

12n a =

-，则关于数列

{}n a 的说法正确的是 （ ）

A ．27a =

B ．数列{}n a 为递增数列

C ．2

21n a n n =+-

D ．数列{}n a 为周期数列

29．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <

B ．10a <

C ．当5n =时n S 最小

D ．0n S >时n 的最小值为8

30．已知数列{}2n

n

a n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6

D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列

31．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-

B ．310n

a n

C ．2

28n S n n =- D ．2

4n S n n =-

32．在数列{}n a 中，若22*

1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数

列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列

C ．若{}n a 是等方差数列，则{}(

)*

,kn a k N

k ∈为常数)也是等方差数列

D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 33．定义11222n n

n a a a H n

-++

+=

为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优

值”2n

n H =，前n 项和为n S ，则（ ）

A ．数列{}n a 为等差数列

B ．数列{}n a 为等比数列

C ．

20202023

20202

S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列

34．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）

A ．若100S =，则280S S +=；

B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15

C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大

D ．若78S S <，则89S S <

35．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，

6914a a ?=-．12n n n n b a a a ++=??，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）

A ．320n a n =-

B ．325n a n =-+

C ．当4n =时，n T 取最小值

D ．当6n =时，n T 取最小值

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一、数列的概念选择题 1．D 解析：D 【分析】

利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可． 【详解】 解：结合1

1

12()n

n

n S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，

得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，

所以11515()15(291)15

22522

a a S ++=

==， 故选：D ． 【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．

2．D

解析：D 【分析】

根据题设条件，可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且313

2122

S =+-=，从而求得2017S 的值，得到答案. 【详解】

由题意，数列{}n a 满足: 12a =，11

1n n

a a +=-， 可得23411

1,121,1(1)2,22

a a a =-

==-=-=--=，

可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且3132122

S =+-= 所以20173

672210102

S =?+=. 故选：D. 【点睛】

本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中得出数列{}n a 是以3为周期的数列，是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

3．B

解析：B 【分析】

将题干中的等式化简变形得2

11n n a n a n --??

= ???

，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由

此计算出(

)32313k k k b b b k N *

--++∈，进而可得出数列{}n

b 的前18

项和.

【详解】

)1,2n a n N n *

--=

∈≥，将此等式变形得2

11n n a n a n --??= ???

，

由累乘法得2

2

2

3

212

12

11211123n n n a

a a n a a a a a n n

--??????

=??=????= ? ? ?????

??， ()

2cos

3n n n a b n N π*=∈，22cos 3

n n b n π

∴=，

()()222

323134232cos 231cos 29cos 233k k k b b b k k k k k k πππππ--????∴++=--+--+ ? ????

?592

k =-，

因此，数列{}n b 的前18项和为()5

91234566921151742

?+++++-?=?-=. 故选：B. 【点睛】

本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313k k k b b b --++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

4．A

解析：A 【分析】

利用()n n n a S S n 12－＝－，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.

【详解】

223n S n n =-,

n 2∴≥时，1n n n a S S -=-

22(23[2(1)3(1)]n n n n ）=-----=45n

1n = 时满足11a S ＝ ∴ =45n a n ，∴ 10a ＝35

故选：A. 【点睛】

本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S ＝求出1a .

(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n 12－＝－便可求出当n 2

≥时n a 的表达式．

(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写． ．

5．D

解析：D 【分析】

根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】

由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为21

n n

a n =-. 故选：D

【点睛】

本小题主要考查根据数列的规律求通项公式，属于基础题.

6．A

解析：A 【分析】

根据递推式可得{}n a 为一个周期为3的数列，求{}n a 中一个周期内的项，利用周期性即可求2019a 的值 【详解】

由114a =-，1

11(1)n n a n a -=->知 211

15a a =-= 321415

a a =-

= 41311

14

a a a =-

=-= 故数列{}n a 是周期为3的数列，而2019可被3整除 ∴201934

5

a a == 故选：A 【点睛】

本题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题

7．C

解析：C 【分析】

由于数列2

2

2

2

1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?共有2025项，其中有45个平方数，12个立方数，有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余20254512+31971--=项，所以去掉平方数和立方数后，第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数，从而求得结果. 【详解】

∵2452025=，2462116=，20202025<，所以从数列2

2

2

2

1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉45个平方数，

因为331217282025132197=<<=，所以从数列2

2

2

2

1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉

12个立方数，

又66320254<<，所以在从数列2

2

2

2

1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中有3个数即是平方数， 又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数， 所以从数列2

2

2

21,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉平方数和立方数后还有

20254512+31971--=项，此时距2020项还差2020197149-=项， 所以这个数列的第2020项是2025492074+=， 故选：C. 【点睛】

本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第2020项的大概位置，所以只要

弄明白在数列2

2

2

2

1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，属于中档题.

8．B

解析：B 【分析】

根据递推公式构造等比数列{}1n a -，求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】

因为121n n a a +=-，所以121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，

所以

11

21

n n a a +-=-且1110a -=≠， 所以{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，

所以112n n a --=，所以121n n a -=+，所以9

1021513a =+=，

故选：B. 【点睛】

本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足

()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式，可以采用构造等比数列的方

法进行求解.

9．C

解析：C 【分析】

根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得

2019a 的值.

【详解】

数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---=

当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=?+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】

本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.

10．A

解析：A 【分析】

由已知得121n n a a n λ+-=+-，根据{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，建立关于

λ的不等式，解之可得λ的取值范围. 【详解】

由已知得22

1(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-，

因为{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，即210n λ+->恒成立， 所以21n λ<+，所以只需()min 21n λ<+，即2113λ

本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出10n n a a +->是解决此类问题的关键，属于基础题.

11．B

解析：B 【分析】

根据所给数列表达式，递推后可得()

1

21121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以

()

1n

-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入

即可求解. 【详解】

由已知()1121n

n n a a n ++-=-，① 得()

1

21121n n n a a n ++++-=+，②

由()1n

?-+①②得()()()212121n

n n a a n n ++=-?-++，

取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++???+=.

故选：B. 【点睛】

本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.

12．B

解析：B 【分析】

先写出新数列的各项，找到数列的周期，即得解. 【详解】

由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ， 此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6， 其中1+1+2+3+1+0=8，

则201819201812S S b b S b b =++=++381126=?++=， 故选：B.

13．A

解析：A 【分析】

首先将n a 化简为()2

34n a n =--，即可得到答案。 【详解】

因为()

()2

2

69434n a n n n =-+-=--

当3n =时，n a 取得最小值。 故选：A

14．C

解析：C 【分析】

利用443a S S =-计算． 【详解】

由已知22

443(44)(33)8a S S =-=+-+=．

故选：C ．

15．C

解析：C 【分析】

由累乘法可求得2

n a n

=，即可求出. 【详解】

11n n n a a n +=

+，即11n n

a n a n +=+， 12

321123

2112321

21232n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=

????

??=??????--2n

=， 202021

20201010

a ∴=

=. 故选：C.

16．D

解析：D 【分析】

根据观察法，即可得出数列的通项公式. 【详解】

因为数列1111

,,,

, (57911)

--可写成 ()()()()234

2322311111,1,1,12,..24.333

-?

-?-?+?+?+?+-?， 所以其通项公式为(1)(1)23213

n

n

n a n n -=-=

++?. 故选：D.

17．C

解析：C 【分析】

根据选项进行逐一验证，可得答案. 【详解】 选项A. ()

1

1n a n n =-,当1n =时，无意义.所以A 不正确.

选项B. ()1221n a n n =-,当2n =时，()2111

22221126

a =

=≠???-，故B 不正确. 选项C.

11122=-，111162323==-?，1111123434==-?，1111204545==-? 所以11

1

n a n n =

-+满足.故C 正确. 选项D. 11n a n =-,当1n =时, 111

1012

a =-=≠,故D 不正确. 故选：C

18．B

解析：B 【分析】

由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ． 【详解】

11a =，21

1

23a a ∴=+

=，321523a a -=+

= 故选：B

19．A

解析：A 【分析】

根据递推公式推导出(

)4n n a a n N *

+=∈，且有1234

1a a a a

=，再利用数列的周期性可计算

出2018T 的值. 【详解】

12a =，()*111++=

∈-n

n n a a n N a ，212312a +∴==--，3131132

a -==-+，41

1121312a -

==+，5

1132113

a +

==-，()4n n a a n N *+∴=∈，且()123411

23123

a a a a ??=?-?-?= ???，

201845042=?+，因此，()504

2018450421211236T T a a ?+==?=??-=-.

故选：A. 【点睛】

本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.

20．C

解析：C 【分析】

分别观察各项的符号、绝对值即可得出． 【详解】

数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式()()112n

n a n =--． 故选C ． 【点睛】

本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．

二、多选题 21．ABD 【分析】

构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】 由， 设， 则，

所以当时，，

即在上为单调递增函数， 所以函数在为单调递增函数， 即， 即， 所以 ，

解析：ABD 【分析】

构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】

由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102

a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122x

f x x x

-'=-

=--， 所以当01x <<时，0f x

，

即()f x 在0,1上为单调递增函数， 所以函数在10,2?? ???

为单调递增函数， 即()()102f f x f ??<<

???

，

即()131

ln 2ln ln 1222

f x <<<+<+=， 所以()1

12

f x << ， 即

1

1(2)2

n a n <<≥， 所以

2112a <<，20201

12

a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，

1

12

n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确；

2112a <<,所以 231

32131113ln(2)ln ln 222234

a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333

144

a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】

本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.

22．ACD 【分析】

先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】

由题意，，A 正确，，C 正确； ，∴数列是周期数列，周期为3． ，B 错； ，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】 本

解析：ACD 【分析】

先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】

由题意211122a =-=，31

1112a =-=-，A 正确，313

2122

S =+-=，C 正确；

41

121

a =-

=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ?===-，B 错；

201932019

67322

S =?=，D 正确．

故选：ACD ． 【点睛】

本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．

23．ABD 【分析】

对于A ，由题意得bn ＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{an}满足a1＝a2＝1，an ＝an －1＋an －2

(n≥3

解析：ABD 【分析】

对于A ，由题意得b n ＝

4

πa n 2

，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】

由题意得b n ＝

4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4π

a 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·

a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；

数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n

－1

2

＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋

(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；

由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·

a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】

此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题

24．ABC 【分析】

根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】

根据不等式对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：恒成立， 由递减

解析：ABC 【分析】

根据不等式1(1)(1)2n n

a n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+

a n

-<恒成立，当n 为偶数时有1

2a n

<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】

根据不等式1(1)(1)2n n

a n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：1

2+a n

-<恒成立，

由12+n 递减，且1

223n

<+≤，

所以2a -≤，即2a ≥-， 当n 为偶数时有：1

2a n

<-恒成立， 由12n -

第增，且31

222n ≤-<， 所以3

2

a <

， 综上可得：322

a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】

本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.

25．BD 【分析】

利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴时，， 化为：，

由于数列单调递减， 可得：时，取得最大值2． ∴的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】 本

解析：BD 【分析】 利用递推关系可得12

11

n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵2

3

n n n S a +=

，

∴2n ≥时，1121

33

n n n n n n n a S S a a --++=-=-， 化为：

112

111n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ??

?

?-??

单调递减， 可得：2n =时，2

1

n -取得最大值2． ∴

1

n

n a a -的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】

本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

26．BD 【分析】

根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】

对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故

解析：BD 【分析】

根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】

对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222

(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故

{}n

a 不是等方差数列，故A 错误；

对于B ，数列

(){}1n

-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方

差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}2

n

中，()(

)

2

2

221

112

234n n n n n a

a ----=-=?不是常数，{}

2n

∴不是等方差

数列，故C 错误； 对于D ，

{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数

列，()()2

2

2

112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，

故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，22

10n n a a --=是常数，故D 正确.

故选：BD. 【点睛】

关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差

数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.

27．AD 【分析】

对于，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；

对于，根据等差数列的前项和公式得到和， 进而可得，由此可知，故不正确； 对于，由得到，，然后分类讨论的符号可得答案； 对于，由求出及

解析：AD 【分析】

对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；

对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；

对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案； 对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】

对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，

所以2

4619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；

对于B ，因为130S >，140S <，所以

77713()

1302

a a a +=>，即70a >，

787814()

7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以

7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；

对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++

++=，所以12133()0a a +=，即

12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值

是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；

对于D ，若2

n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，

221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，

所以12120a a =?-==，故D 正确. 故选：AD 【点睛】

关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.

28．ABC 【分析】

由，变形得到，再利用等差数列的定义求得，然后逐项判断. 【详解】 当时，由， 得， 即，又，

所以是以2为首项，以1为公差的等差数列， 所以， 即，故C 正确； 所以，故A 正确； ，

解析：ABC 【分析】

由)

2

12n a =

-1=，再利用等差数列的定义求

得n a ，然后逐项判断. 【详解】

当2n ≥时，由)

2

12n a =-，

得)

2

21n a +=

，

1=，又12a =，

所以

是以2为首项，以1为公差的等差数列，

2(1)11n n =+-?=+，

即2

21n a n n =+-，故C 正确；

所以27a =，故A 正确；

()2

12n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；

数列{}n a 不具有周期性，故D 错误； 故选：ABC

29．BD 【分析】

由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB 选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】

由于等差数列是递增数列，则，A 选项错误

解析：BD