南京市栖霞区2017-2018学年九年级期中数学试卷和评分细则
2017－2018学年第一学期期中学情分析样题
九年级数学
（满分：120分 考试时间：120分钟）
一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分） 1．一组数据4，1，3，2，－1的极差是（ ▲ ）
A ． 5
B ．4
C ．3
D ．2
2．下列方程中，是关于x 的一元二次．．．．
方程的是（ ▲ ） A ． 2x ＝1－x
B ．ax 2＋bx ＋c ＝0
C ． x 2－2x －1
D ．(1)(2)1x x -+=
3．用配方法解方程0542
=--x x 时，原方程应变形为 ( ▲ )
A ．9)2(2=+x
B ．21)4(2=+x
C ．21)4(2=-x
D ．9)2(2=-x 4．如图，OA 为⊙O 的半径，弦BC ⊥OA 于P 点．若OA =5，AP =2，则弦BC 的长为( ▲ )
A ． 4
B ．6
C ．8
D ．10
5．如图，在正十边形中，∠BAC 的度数是（ ▲ ）
A ． 10°
B ．18°
C ．22.5°
D ．36°
6．如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q ， 则PQ 的最小值为（ ▲ ）
A ． 2
B ．3
C ．
5
D ． 13
二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分） 7．方程4x 2 ＝9的根为 ▲ ．
8． 一元二次方程2x 2－6x ＋1＝0的两根之和是 ▲ ．
9．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm ，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为 ▲ cm 2
（结果保留π）．
10．某公司2016年10月份营业额为60万元，12月份营业额达到100万元，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x ，则可列方程为 ▲ ．
11．小明某学期的数学平时成绩70分，期中考试80分，期末考试85分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时：期中：期末＝3：3：4，则小明总评成绩是 ▲
分．
（第4题）
B
C
A
（第5题）
(第6题)
12．如图，等腰三角形ABC 的顶角∠BAC 为50°，以腰AB 为直径作半圆，分别交BC 、AC 于点D 、E ． 则∠CBE ＝ ▲ °． 13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝1，那么△ABC 的周长为 ▲ ．
14．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦AB 于点D ，则阴影部分的面积为 ▲ ．
15．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠BAD 的平分线交⊙O 于点P ，交DC 的延长线于点E ，若∠BAD = 86°，则∠PCE = ▲ °．
16．像2x ＋3＝x 这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x ＋3＝x 2，解得x 1＝3，x 2＝－1．但由
于两边平方，可能产生增根，所以需要检验．．．．，经检验，当x 1＝3时，9＝3满足题意；当x 2＝－1时，1＝－1不符合题意；所以原方程的解是x ＝3．运用以上经验，则方程x ＋x ＋5＝1的解为 ▲ ．
三、解答题（共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）解方程：
(1) x 2－2x －1＝0 (2) (x ＋1)2 = 3(x ＋1)
18．（6分）已知关于x 的 方程．．mx 2
＋(m －2)x －2＝0．
（1）求证：不论m 为何值，该方程总有实数根；
（2）若方程有一个根是2，求m 的值以及方程的另一个根．
19．（6分）测试甲、乙两个品牌的手表各50只，根据日走时误差数据绘制的统计图如下所示．已知乙品牌手表日走时误差的平均数为0，方差为2.24．请从日走时误差角度比较两个品牌手表的优劣．
（第14题）
（第13题）
（第15题）
（第12题）
20．（8分）某公司共19名员工，下表是他们月收入的资料.
（1）该公司员工月收入的众数是 元，中位数是
元.
（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为5400元．你认为用平均数，中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．
21．（7分）公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边
减少了 1 m ，另一边减少了 2 m ，剩余空地面积为12 m 2，求原正方形空地的边长．
22．（9分）某商店从厂家以每件21
元的价格购进一批商品．若每件商品的售价为x 元，则可卖出（350－10x ）件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120%．若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？ 23．（8分）如图，P A 、PB 分别是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠BAC =25°， 请用两种方法．．．．求∠P 的度数．
24．（7分）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．
（1）如图①，大圆的弦AB 切小圆于点P ，若AB ＝6，求圆环的面积；
（2）如图②，小圆的弦AB 的延长线交大圆于点C ．若AB =4，BC =1，则圆环的面积为 ．
P
图① 图②
25．（9分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC = 6． （1）用尺规作⊙O ，使它分别与射线AB 、AC 相切于点B 、C ； （2）求BC ︵
的长．
26．（9分）如图，O 为菱形ABCD 对角线上一点，以点O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点M ． （1）求证：CD 与⊙O 相切；
（2）若菱形ABCD 的边长为1，∠ABC = 60°，求⊙O 的半径．
27．（9分）在平面直角坐标系xOy 中，对于半径为r (r ＞0)的⊙O 和点P ，给出如下定义：
若r ≤PO ≤3
2
r ，则称P 为⊙O 的“近外点”． （1）当⊙O 的半径为2时，点A (4，0)， B (52
，0)，C (0， 3)，D (1，－1)中，⊙O 的“近外点”是 ； （2）若点E （3，4）是⊙O 的“近外点”，求⊙O 的半径r 的取值范围；
（3）当⊙O 的半径为2时，直线y = x ＋b （b ≠0）与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在．．⊙O 的“近外点”，直接写出b 的取值范围．
C
A
F
2017－2018学年第一学期期中九年级数学试卷 参考答案
一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）
1． A 2．D 3．D 4．C 5．B 6．C 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）
7．x ＝±3
2 8．
3 9．12π 10．60（1＋x ）2＝100 11．79
12．25 13．6 14．π－1 15．43 16．x ＝－1．
三、解答题（共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）(1) 解一：x 2－2x ＝1 ………………………………1分
( x －1)2 ＝2 …………………………3分
x 1,2＝1±2． ………………………………5分
解二：a ＝1，b ＝－2，c ＝－1 ………………………………1分
x ＝－b ± b 2－4ac 2a …………………………2分
x ＝2±82
…………………………3分
x 1＝–1，x 2＝2． …………………………5分
（其它解法参照给分）
18．（6分）（1）①当m ＝0时，原方程为一次方程，此时x ＝－1，
∴当m ＝0时，方程有实数根； ………………………………………………………1分 ②当m ≠0时，b 2－4ac ＝(m －2)2－4×m ×(－2)＝(m ＋2)2，
∵ (m ＋2)2≥0，∴方程有实数根． ……………………………………………………3分 综上所述，无论m 为何值，该方程总有实数根．………………………………………4分 （2）将x ＝2代入原方程，得4m ＋2(m －2)－2＝0，
解得m ＝1， ………………………………………………………………………5分 将m ＝1代入原方程，解得另一个根为x ＝－1． ……………………………………6分
19．（6分）解：甲的平均数：_
x 甲=(－2)×5＋(－1)×11＋0×17＋1×13＋2×4=0，--------------2分
方差：S 2甲= 150
×[(－2)2×5＋(－1)2×11＋02×17＋12×13＋22×4]=1.2---------4分 由于S 2甲＜S 2乙
，所以从日走时误差方差的角度看，甲品牌优于乙品牌．-----6分 从日走时误差的绝对值不超过1s 的手表所占的百分比看，甲品牌为82%，乙品牌为66%，甲品牌优于
乙品牌．
20. （8分）解（1）4600；--------------------------------------------------------------------------------2分
4200. ----------------------------------------------------------------------------------------------4分 （2）本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，
解法一：用中位数反映该公司全体员工月收入水平较为合适．在这组数据中有差异较大的数据，这
会导致平均数较大．该公司员工月收入的中位数是4200元，这说明有一半员工收入高于4200元，另一半员工收入不高于4200元.因此，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------8分
解法二：用众数反映该公司全体员工月收入水平较为合适．在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大．该公司员工月收入的众数是4600元，这说明收入4600元的员工人数最多，因此，利用众数能较好地反映该公司全体员工月收入水平．
（结论1分，理由3分．只有结论无理由0分）
21．（7分）解：设原正方形空地的边长为x m，则（x－1）（x－2）=12----------------------4分解得x1＝5，x2＝－2（舍去）-------------------------------------------------------------------------7分
答：原正方形空地的边长为5 m．
22．（9分）解：根据题意，得(x－21)(350－x) = 400 ----------------------------------------------4分整理，得x2－56x＋775＝0----------------------------------------------------------------------------5分
解得x1＝25，x2＝31------------------------------------------------------------------------------------7分
因为21×120%= 25.2，即售价不能超过25.2元，所以x＝31不合题意，应舍去．----------8分
故x＝25，从而卖出350－10×25=100件，
答：需要卖出100件商品，每件售价是25元．---------------------------------------------9分
23．（8分）解法一：连接OB，----------------------------------------------------------------------1分
∵OA=OB，∠BAC=25°，∴∠OAB=∠OBA=25°，∴∠AOB=130°，---------------------------2分
∵P A、PB分别是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，------------------------------------------3分
∵四边形的内角和为360°，∴∠P=50°．-------------------------------------------------------------4分
解法二：连接CB，OB，---------------------------------------------------------------------------------1分
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，------------------------------------------------------------------2分
∵∠BAC=25°，∴∠ACB=65°，∴∠AOB=130°，---------------------------------------------------3分
∵P A、PB分别是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵四边形的内角和为360°，∴∠P=50°．-------------------------------------------------------------4分
解法三：连接OP，交AB于点H，------------------------------------------------------------------ 1分
∵P A、PB分别是⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∠OP A=∠OPB，OP⊥AB，----------------2分
∵∠BAC=25°，∴∠OP A =25°，-------------------------------------------------------------------------3分
∴∠P=2∠OP A =50°．--------------------------------------------------------------------------------------4分
24．（7分）（1）证明：连结OP、OB
∵弦AB切与小圆⊙O相切于点P
∴OP⊥AB…………………………………………………………………………1分
∴AP＝BP＝3 ……………………………………………………………………2分
∴在Rt△BOP中，OB2－OP2＝PB2＝9…………………………………………3分
∴S圆环＝πOB2－πOP2＝πPB2＝9π………………………………………………5分（2）5π…………………………………………………………………………………7分
25．（9分）（1）作图略；---------------------------------------------------------------------------------4分 （2）∵OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，AB ⊥AC ，∴OBAC 为矩形， ---------------------------------------5分 ∵AB =AC = 6，∴OBAC 为正方形， --------------------------------------------------------------------6分 ∴∠BOC =90°，OB =6---------------------------------------------------------------------------------------7分 ∴BC ︵的长＝n πr 180＝90π×6180＝3π-----------------------------------------------------------------------------9分
26．（9分）（1）连接OM ，过点O 作ON ⊥CD 于N ．-------------------------------------------------1分
∵⊙O 与BC 相切于点M ,∴OM ⊥BC , ∴∠OMC =∠ONC =90°,-------------------------------2分 ∵AC 是菱形ABCD 的对角线,∴∠ACB =∠ACD , --------------------------------------------------3分 ∵OC =OC ，∴△OMC ≌△ONC , ----------------------------------------------------------------------4分 ∴ON ＝OM ，∴CD 与⊙O 相切．----------------------------------------------------------------------5分 （2）∵ABCD 是菱形，∴AB =BC ，∵∠ABC = 60°，∴∠ACB = 60°，AC =1，--------------------6分
设半径为r ．则OC =1－r ，OM = r ，
∵∠ACB = 60°，∠OMC =90°,∴∠COM = 30°，MC =1－r
2，-----------------------------------7分
∴ r 2＋(1－r 2)2
=(1－r )2---------------------------------------------------------------------------------8分
解得r =
3
2＋3
=23－3．--------------------------------------------------------------------------9分 27．（9分）解：（1）B ，C .（每个1分）----------------------------------------------------------------2分 （2）∵E （3，4）
∴EO =5. ---------------------------------------------------------------------------------------3分
∴5,
3 5.2
r r ≤??
?≥??-----------------------------------------------------------------------------------5分
∴
10
53
r ≤≤. -------------------------------------------------------------------------------7分 （3）2≤b ≤3 2或－3
2≤b ≤－2. -----------------------------------------------------------9分