第四章谓词逻辑一(词项逻辑)
第二章 谓词逻辑
第二章谓词逻辑 1.什么叫做客体和客体变元？如何表示客体和客体变元？ 2.么叫做谓词？ 3.什么叫做论域？我们定义一个“最大”的论域叫做什么？ 4.填空题： 1．存在量词：记作( )，表示( )或者( )或者( )。 2．全称量词：记作( )，表示( )或者( )或者( )。 5.什么叫做量词的作用域？指出下面两个谓词公式中各个量词的作用域。 ?x(F(x,y)→?yP(y))∧Q(z)∧?xA(x) ?x?y?z(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t) 6.什么叫做约束变元？什么叫做自由变元？指出下面公式中哪些客体变元是约束变元？哪些客体变元是自由变元？ ?x(F(x,y)→?yP(y))∧Q(z)∧?xA(x) 7.填空：一个谓词公式如果无自由变元，它就表示一个( )。 8.给出的谓词 J(x)：x是教练员， L(x) ：x是运动员， S(x) ：x是大学生，O(x) ：x是年老的，V(x) ：x是健壮的，C(x) ：x是国家选手，W(x) ：x是女同志， H(x) ：x是家庭妇女，A(x,y)：x钦佩y。客体 j：金某人。用上面给出的符号将下面命题符号化。 1．所有教练员是运动员。 2．某些运动员是大学生。 3．某些教练是年老的，但是健壮的。 4．金教练既不老，但也不是健壮的。 5．不是所有运动员都是教练。 6．某些大学生运动员是国家选手。 7．没有一个国家选手不是健壮的。 8．所有老的国家选手都是运动员。 9．没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女。 10．有些女同志既是教练又是国家选手。 11．所有运动员都钦佩某些教练。
12．有些大学生不钦佩运动员。 9.将下面命题符号化 1．金子闪光,但闪光的不一定都是金子。 2．没有大学生不懂外语。 3．有些液体可以溶解所有固体。 4．每个大学生都爱好一些文体活动。 5．每个自然数都有唯一的后继数。 10.令P表示天气好。Q表示考试准时进行。A(x)表示x是考生。B(x)表示x提前进入考场。C(x)表示x取得良好成绩。E(x,y)表示x=y。利用上述符号，分别写出下面各个命题的符号表达式。 1．如果天气不好，则有些考生不能提前进入考场。 2．只有所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。 3．并非所有提前进入考场的考生都取得良好成绩。 4．有且只有一个提前进入考场的考生未能取得良好成绩。 11.将下面命题符号化。 1．对一个大学生来说，仅当他刻苦学习，才能取得优异成绩。 (S(x):x是大学生；Q(x):x取得了优异成绩；H(x):x刻苦学习。) 2．每个不等于0的自然数，都有唯一的前驱数。 (Z(x):x是自然数； E(x,y):x=y； Q(x,y):y是x的前驱数。) 12.
第二章 谓词逻辑 1.原子命题的内部结构
第二章 谓词逻辑 一、原子命题的内部结构 12．谓词逻辑·谓词和个体词·量词、全称量词和存在量词·个体域·量词的辖域·自由 个体变项和约束个体变项·一阶谓词逻辑 什么是谓词逻辑 在第一章中，我们知道，命题逻辑的根本特征，就在于把原子命题作为基本的单位，对原子命题的内部结构不再进行分析。在思维实际中，有时我们不涉及原子命题的内部结构，例如，命题推理只涉及命题之间的关系，这时命题逻辑的工具就足够了。但在更多的情况下需要涉及原子命题的内部结构。例如： 推理1： 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以，苏格拉底是要死的。 推理1包括三个不同的原子命题，经过相应的设定后，它的真值形式是()r q p →∧。这不是一个重言式。因此，这个显然有效的推理在命题逻辑个被判定无效。这是因为，推理1的有效性的根据不在原于命题之间的关系，而在于原子命题内部的构成要素之间的关系。命题逻辑无法解决这样的推理的判定问题。传统逻辑中的词项逻辑把原子命题进一步分析为主项、谓项、量项和联项的合式构成，这样它就能处理命题逻辑所无法处5理的许多推理，如推理1这样的三段论。但是，词项逻辑的处理能力有着很大的局限。例如： 推理2： 所有的罪犯或者是故意犯罪，或者是过失犯罪。 有些罪犯不是故意犯罪。 因此，有些罪犯是过失犯罪。 这个有效性同样明显的推理的判定，命题逻辑解决不了，词项逻辑同样解决不了。 为了更为有效和尽量不失—般性地解决推理的判定，需要提出新的逻辑工具，进—步分析原子命题的内部结构。这就是谓词逻辑的任务。 在谓词逻辑中，原子命题被进一步分析为谓词、个体词、量词和联结词这样几个基本成分。谓词、个体词和量词是谓词逻辑中新引入的概念，联结词作为符号就是真值联结词。 谓词和个体词 我们通过以下实例来说明什么是谓词和个体词。 (1) 这张桌子是方的。 (2) 陈先生是贾女土的丈夫。 显然，以上两个命题都是原子命题。 在(1)中，今F(x)表示“x 是方的”，a 表示“这张桌子”，这样，F(a)就表示“这张桌子是方的”，也就是说，命题(1)的表达式是F(a)。这里，F 就是谓词，表示“方”这种性质；x 和a 就是个体词，表示具有“方”这种性质的个体。其中，x 称为个体变项，它只表示某一个个体，而不表示一个确定的个体；a 称为个体常项，它表示一个确定的个体，即这张桌子。 在(2)中，令H(x ，y)表示“x 是y 的丈夫”，a 表示陈先生，b 表示贾女士，这样，H(a ，b)就表示“陈先生是贾女士的丈夫”，也就是说，命题(2)的表达式是H(a ，b)。这里，H 是谓词，表示某人是某人的丈夫”这种关系，x 、y 和a 、b 是个体词，同样，x 和y 是个体变项，a 和b 是个体常项。
第2章谓词逻辑习题及答案
谓词逻辑习题 1. 将下列命题用谓词符号化。 （1）小王学过英语和法语。 （2）2大于3仅当2大于4。 （3）3不是偶数。 （4）2或3是质数。 （5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。 解： (1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ? (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨ (5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ?→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。 （1）))()((y Q x P y x ∧?? （2）))()((y Q x P y x ∨?? （3）)()(y yQ x xP ?→? （4）))()((y yQ y x P x ?→?， 解： (1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧?=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧?=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧?∧??α，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧?α，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧??α （2）中))()(()(y Q x P y x A ∨?=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对 )(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨?，这时用UI 规则，可得： ))()((y Q x P y x ∨?? ))()((z Q x P z x ∨??? ))()((z Q x P z ∨?α （3）略 （4）略 3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。求下列各式 的真值。 （1）)3(，x xP ? （2）)1(y yP ，? （3）)(y x yP x ， ?? （4）)(y x yP x ， ?? （5）)(y x yP x ，?? （6）)(y x xP y ，?? 解： (2) 当3=x 时可使式子成立，所以为Ture 。 (3) 当1≠y 时就不成立，所以为False 。
谓词逻辑
第二章谓词逻辑 在命题逻辑中，我们把原子命题看作命题演算和推理的基本单位，是不可再分的整体。因而命题逻辑无法研究命题的内部结构及命题之间的内在联系，甚至无法有效地研究一些简单的推理。 例如，著名的“苏格拉底三段论”：凡是人都是要死的；苏格拉底是人；所以苏格拉底是要死的。我们知道，这个推理是正确的，但用命题逻辑无法说明这一点。 设p:凡人都是要死的；q：苏格拉底是人；r：苏格拉底是要死的。则“苏格拉底三段论”可符号化为（p∧q）→r。显然（p∧q）→r不是重言式。 因此，为了能够进一步深入地研究推理，需要对原子命题做进一步的分析。 2.1 谓词逻辑的基本概念 2.1.1 个体与谓词 我们可以将原子命题的结构分解为个体和谓词。 定义2.1-1 个体(Individual)：个体是我们思维的对象，它是具有独立意义、可以独立存在的客体。 谓词(Predicate)：谓词是表示一个个体的性质或若干个个体之间的关系的词。 个体和谓词一起构成了原子命题中的主谓结构。 例2.1-1?海水是咸的。 ?张强与张亮是兄弟。 ?无锡位于上海与南京之间。 ?、?、?都是原子命题，其中海水、张强、张亮、无锡、上海和南京都是个体，“…是咸的”、“…与…是兄弟”和“…位于…与…之间”都是谓词。?中的谓词描述了一个个体的性质，称为一元谓词，?中的谓词表示两个个体之间的关系，称为二元谓词，?中的谓词表示三个个体之间的关系，称为三元谓词。依次类推，我们将描述n个个体之间关系的谓词称为n元谓词，通常用大写英文字母来表示谓词。为方便起见，将命题称为零元谓词。 例如，例2.1-1中的三个谓词可符号化为： P(x)：x是咸的；Q(x，y)：x与y是兄弟；R(x，y，z)：x位于y和z之间。 这里P 、Q 和R表示的都是具体的谓词，称为谓词常元；否则称为谓词变元。P(x)、Q(x，y)和R(x，y，z)等都是谓词表示的函数形式，通常称为谓词函数，简称为谓词。 然而，仅仅一个谓词，即使是谓词常元，也不能构成一个命题。例如谓词P(x)就不是一个命题。这是因为谓词P(x)中的个体x不是一个确定的个体，称其为个体变元。只有将个体变元代以用具体或者特定的个体时，才能构成命题，我们称其中具体或者特定的个体为个体常元。 例2.1-2设P(x)：x是咸的；Q(x，y)：x与y是兄弟；R(x，y，z)：x位于y和z之间。a表示“海水”，b表示“张强”，c表示“张亮”，d表示“无锡”，e表示“上海”，f表示“南京”。
第2章 谓词逻辑
第2章谓词逻辑 本章主要内容包括谓词逻辑的基本概念、谓词逻辑命题的符号化，谓词公式及其真值，谓词公式的前束范式，重言蕴含式与推理规则等。下面就此作一简要介绍。 一、谓词逻辑的基本概念及其符号化 个体是指可以独立存在的客观实体，它可以是具体的，也可以是抽象的。具体的特定个体称为个体常量；抽象的、泛指的或在一定范围内变化的个体称为个体变量，也称为个体变元；个体变量的取值范围称为个体域(或论域)；在命题中，表示一个个体性质、特征或多个个体之间关系的成份称为谓词；表示具体性质或关系的谓词称为谓词常量或常谓词，否则称为谓词变量。 一般用大写字母F、G、H等表示谓词，而用X、Y、Z等表示谓词变量。表示一个个体性质的谓词称为一元谓词：表示多个个体之间关系的谓词称为多元谓词。 在命题中除了个体和谓词外，有时还出现表示数量的词称为量词。我们讨论的量词有两个，即存在量词和全称量词。全称量词对应于汉语中的“每个”、“所有的”、“任意的”等，用符号“?”表示。存在量词对应于汉语中的“有的”、“至少有一个”、“存在”等，用符号“?”表示。 在个体域事先给定的情形下，我们只有将个体域中的每个具体的个体代入到F(x)中去确定其真假，才能断定?xF(x)的真假。当每一个个体都使得F(x)=1时，就有?xF(x)=l；否则?xF(x)=0。对于?F(x)，我们只要发现个体域中有(一个或多个)个体使得F(x)=1时，就有?xF(x)=1；否则(即任何个体都使得F(x)=O)?xF(x)=0。 在用量词符号化命题时，首先强调的是个体域，同一命题在不同的个体域内可能有不同的符号化形式，同时也可能有不同的真值，因此必须先清楚个体域，不先确定所考虑的个体域就不能准确地表达原命题的意思。为了解决这一问题，使得符号化表达式有确定的含义而不需事先考虑个体域，我们在符号化表达式中增加一个指出个体变量的变化范围的谓词，这样就可以不需事先考虑个体域而能够准确地把命题的意思表示出来。这样我们考虑含有量词的命题时，总是在由一切事物构成的总体个体域上考虑问题。 当符号化时，如果命题中含有全称量词，则把所增加的指出个体变化范围的谓词(称为特性谓词)作为前件，而命题中原有的谓词作为后件，构成一个蕴含式来表示命题的意思：如果命题中含有存在量词，则用增加的特性谓词和原命题中的谓词构成的合取式表示命题的意思。 在对给定的自然语言形式的命题进行符号化时，若是为了确定命题的真值，一般约定在某个个体域上进行，否则一般在总体个体域上进行，要根据具体情况而定。若是在总体个体域上进行，则需按上面的说明加上特性谓词及相应的联结词来表示。
第2章 谓词逻辑
第2xx谓词逻辑 本章主要内容包括谓词逻辑的基本概念、谓词逻辑命题的符号化，谓词公式及其真值，谓词公式的前束范式，重言蕴含式与推理规则等。下面就此作一简要介绍。 一、谓词逻辑的基本概念及其符号化 个体是指可以独立存在的客观实体，它可以是具体的，也可以是抽象的。具体的特定个体称为个体常量；抽象的、泛指的或在一定范围内变化的个体称为个体变量，也称为个体变元；个体变量的取值范围称为个体域(或论域)；在命题中，表示一个个体性质、特征或多个个体之间关系的成份称为谓词；表示具体性质或关系的谓词称为谓词常量或常谓词，否则称为谓词变量。 一般用大写字母 F、G、H等表示谓词，而用X、Y、Z等表示谓词变量。表示一个个体性质的谓词称为一元谓词： 表示多个个体之间关系的谓词称为多元谓词。 在命题中除了个体和谓词外，有时还出现表示数量的词称为量词。我们讨论的量词有两个，即存在量词和全称量词。全称量词对应于汉语中的“每个”、“所有的”、“任意的”等，用符号“”表示。存在量词对应于汉语中的“有的”、“至少有一个”、“存在”等，用符号“”表示。 在个体域事先给定的情形下，我们只有将个体域中的每个具体的个体代入到F(x)中去确定其真假，才能断定xF(x)的真假。当每一个个体都使得F(x)=1时，就有xF(x)=l；否则xF(x)=0。对于F(x)，我们只要发现个体域中有(一个或多个)个体使得F(x)=1时，就有xF(x)=1；否则(即任何个体都使得F(x)= O)xF(x)=0。 在用量词符号化命题时，首先强调的是个体域，同一命题在不同的个体域内可能有不同的符号化形式，同时也可能有不同的真值，因此必须先清楚个体域，不先确定所考虑的个体域就不能准确地表达原命题的意思。为了解决这一