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多项式的定义及其定理

多项式的定义及其定理
多项式的定义及其定理

一、定义及基本定理

1.1、定义

设给定[]x R 的一个多项式

()01n n f x a a x a x =+++

和一个数c R ∈.那么在()f x 的表示式里,把x 用c 来代替,就得到R 的一个数

01n n a a c a c +++

这个数叫做当x c =时()f x 的值,并且用()f c 来表示。

这样,对于R 的每一个数c ,就有R 中的唯一确定的数()f c 与它对应,于是就得到R 到R 的一个映射。这个映射是由多项式()f x 所确定的,叫做R 的一个多项式函数。

定义 令()f x 是[]x R 的一个多项式而c 是R 的一个数。若是当x c =时()f x 的值()0f c =,那么c 叫作()f x 在数环R 中的一个根。

定义 把形如

()010n n f x a a x a x =+++=

的方程称为一元多项式方程,满足010n n

a a c a c +++= 的数c 称为多项式方程的根或零点。

由定义可知多项式方程的根即为使得满足等式()0f c =的数环R 上的常数c 。

1.2、定理

定理 1.2.1 设()f x 是[]x R 中的一个0n ≥次多项式。那么()f x 在R 中至多有n 个不同的根。

证:如果()f x 是零次多项式,那么()f x 是R 中一个不等于零的数,所以没有根。因此定理对于0n =成立。于是我们可以对n 作数学归纳来证明这一定理。设c R ∈是()f x 的一个根。那么

()()()f x x c g x =-

这里[]()g x R x ∈是一个1n -次多项式。如果R d ∈是()f x 另一个根,

c d ≠,那么

)()()(0d g c d d f -==

因为0≠-c d ,所以0)(=d g 。因为)(x g 的次数是1-n ,由归纳法假设,)(x g 在R 内至多有1-n 个不同的根。因此()f x 在R 中至多有n 个不同的根

定理1.2.2 (代数基本定理)任何(0)n n >次多项式在复数域中至少有一个根i

定理 1.2.3 任何(0)n n >次多项式在复数域中有n 个根(重根按重数计算)。

证:设()f x 是一个(0)n n >次多项式,那么由定理1.2在复数域C 中有一个根1α,因此在[]x C 中

)()()(11x f x x f α-=

这里)(1x f 是C 上的一个1-n 次多项式。若01>-n ,那么)(1x f 在C 中有一个根2α,因而在[]x C 中

)())(()(21x f x x x f αα--=

这样继续下去,最后()f x 在[]x C 中完全分解成n 个一次因式的乘积,而()f x 在C 中有n 个根。

定理1.2.4 若实系数多项式方程()f x 有一个非实的复数根α,那么α的共轭数α也是()f x 的根,并且α与α有同一重根。换言之,实系数多项式的非实的复数根两两成对。

证:令()101n n n f x a x a x a -=+++ 。由假设

1010n n n a a a αα-=+++

把等式两端都换成它们的共轭数,得

10100n n n a a a αα-=+++=

根据共轭数的性质,并且注意到n a a a ,,,10 和0都是实数,则有 1010n n n a a a αα-+++= 即α也是()f x 的一个根。

因此多项式()f x 能被多项式αααααα++-=--=x x x x x g )())(()(2整除。由共轭复数的性质可知)(x g 的系数都是实数。所以

)()()(x h x g x f =

此处)(x h 也是一实系数多项式。

若是α是()f x 的重根,那么它一定是)(x h 的根,因而根据方才所证明的,α也是)(x h 的一个根,这样,α也是()f x 的重根。重复应用这个推理方法,容易看出,α与α的重数相同。

经过以上定理的论述及证明,我们可以知道多项式方程总有根,只是实根或者虚根而已,并且它们的根个数不会超过它们的最高次数n ,因此我们所研究的无论是什么多项式方程都可以得出它们的根,有可能是精确解或许是近似解而已,下面我们就来讨论不同次方多项式方程的求根方法。

参考文献:

i 、张禾瑞 郝鈵新.高等代数[M]第四版.北京:高等教育出版社,1999,66—69

初中数学定义、定理(大全)

第一篇数与代数 第一节数与式 一、实数 1.实数的分类:整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如:- 3, ,0.231,0.737373…, , 等;无限不环循小数叫做无理数. 如: π, ,0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)等.有理数和无理数统称为实数. 2.数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数和数轴上的点一一对应。 3.绝对值:在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值,记作∣a∣。正数的绝对值 是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。如:丨- _丨= ;丨3.14-π丨=π-3.14. 4.相反数:符号不同、绝对值相等的两个数,叫做互为相反数。a的相反数是-a,0的相反数 是0。 5.有效数字:一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫 做这个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0. 6.科学记数法:把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记 数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10-5. 7.大小比较:正数大于0,负数小于0,两个负数,绝对值大的反而小。 8.数的乘方:求相同因数的积的运算叫乘方,乘方运算的结果叫幂。 9.平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数a就叫做x的平方根(也叫做二次方根式)。一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根. 10.开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方. 11.算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,0的算术平方根是0. 12.立方根:一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根),正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;0的立方根是0. 13.开立方:求一个数a的立方根的运算叫做开立方. 14.平方根易错点:(1)平方根与算术平方根不分,如 64的平方根为士8,易丢掉-8,而求为64的算术平方根;(2)的平方根是士,误认为平方根为士 2,应知道=2. 15.二次根式: (1)定义:___________________________________________________叫做二次根式. 16.二次根式的化简: 17.最简二次根式应满足的条件:(1)被开方数的因式是整式或整数;(2)被开方数中不含有能开得尽的因数或因式. 18.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式. 19.二次根式的乘法、除法公式 20..二次根式运算注意事项:(1)二次根式相加减,先把各根式化为最简二次根式,再合并同类二次根式,防止:①该化简的没化简;②不该合并的合并;③化简不正确;④合并出错.(2)二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算,运算结果一定写成最简二次根式或整式. 21.有理数加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;一个数同0相加,仍得这个数. 22.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.

圆幂定理及其应用

[文件] sxc3jja0008.doc [科目] 数学 [年级] 初三 [章节] [关键词] 圆/圆幂定理/应用 [标题] 圆幂定理及其应用 [内容] 教学目标 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系,并能综合运用它们解 决有关问题; 2.通过对例题的分析,提高学生分析问题和解决问题的能力,并领悟添加辅助线的方 法; 3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 教学重点和难点 相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点;灵活运用圆幂定理解题是难点. 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.根据图7-162(1)、(2)、(3),让学生结合图形,说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容. 2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系? 提出问题让学生思考,在学生回答的基础上,教师用电脑或投影演示图形的变化过程, 从相交弦定理出发,用运动的观点来统一认识定理. (1)如图7-163,⊙O的两条弦AB,CD相交于点P,则PA·PB=PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例: 一是如果圆内的两条弦交于圆心O,则有PA=PB=PC=PD=圆的半径R,此时AB,CD是直径,相交弦定理当然成立.(如图7-164)

二是当P点逐渐远离圆心O,运动到圆上时,点P和B,D重合,这时PB=PD=O,仍然有PA·PB=PC·PD=O,相交弦定理仍然成立.(图7-165) (2)点P继续运动,运动到圆外时,两弦的延长线交于圆外一 点P,成为两条割线,则有PA·PB=PC·PD,这就是我们学过的 切割线定理的推论(割线定理).(图7-166) (3)在图7-166中,如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋 转,使C,D两点在圆上逐渐靠 近,以至合为一点C,割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB=PC·PD =PC2,这就是我们学过的切割线定理.(图7-167) (4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话,也会成为一条切线PA.这时应有PA2=PB2,可得PA=PB,这就是我们学过的切线长定理.(图7-168) 至此,通过点的运动及线的运动变化,我们发现,相交弦定理、切割线定理及其推论和 切线长定理之间有着密切的联系. 3.启发学生理解定理的实质. 经过一定点P作圆的弦或割线或切线,如图7-169. 观察图7-169,可以得出:(设⊙O半径为R) 在图(1)中,PA·PB=PC·PD=PE·PF =(R-OP)(R+OP) =R2-OP2;

初中数学竞赛定理大全

欧拉(Euler)线: 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线,这条直线称为三角形的欧拉线; 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆: 任意三角形三边的中点,三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点,共九个点共圆,这个圆称为三角形的九点圆; 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点,其半径等于三角形外接圆半径的一半。

费尔马点: 已知P为锐角△ABC内一点,当∠APB=∠BPC=∠CPA=120°时,PA+PB+PC的值最小,这个点P称为△ABC的费尔马点。 海伦(Heron)公式:

塞瓦(Ceva)定理: 在△ABC中,过△ABC的顶点作相交于一点P的直线,分别 交边BC、CA、AB与点D、E、F,则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=1;其逆亦真。 密格尔(Miquel)点: 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点, 构成四个三角形,它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF, 则这四个三角形的外接圆共点,这个点称为密格尔点。

葛尔刚(Gergonne)点: △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F, 则AE、BF、CD三线共点,这个点称为葛尔刚点。 西摩松(Simson)线: 已知P为△ABC外接圆周上任意一点,PD⊥BC,PE⊥ACPF⊥AB,D、E、F为垂足, 则D、E、F三点共线,这条直线叫做西摩松线。

黄金分割: 把一条线段(AB)分成两条线段,使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项,这样的分割称为黄金分割。 帕普斯(Pappus)定理: 已知点A1、A2、A3在直线l1上,已知点B1、B2、B3在直线l2上,且A1 B2与A2 B1交于点X,A1B3与A3 B1交于点Y,A2B3于A3 B2交于 点Z,则X、Y、Z三点共线。

初一下册数学公式、定义定理

初一下册数学公式、定理定义 第一章整式的运算 1、整式 数与字母的乘积的代数式叫做单项式(monomial)(单独的一个数或一个字母也是单项式)。 例如: 几个单项式的和叫做多项式(polynomial)。 例如: 单项式和多项式统称整式(integral expression)。 例如: 一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数(degree of monomial)(单独一个非零数的次数是0)。 例如: 一个多项式中,次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。 例如: 皮克公式:奥地利数学家皮克(georg pick,)发现了一个计算点阵中多边形面积的公式:S=a+1/2b-1 (其中a表示多边形内部的点数,b表示多边形边界上的点数,s表示多边形的面积) 2、整式的加减 进行整式加减运算时,如果遇到括号先去括号,再合并同类项。 例如: 3、同底数幂的乘法

例如: 4、幂的乘方与积的乘方 幂的乘方,底数不变,指数相乘。 例如: 积的乘方等于每个因式的乘方的积。 例如: 5、同底数幂相除,底数不变,指数相减。 例如: 6、整式的乘法 单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式。 例如: 单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。 例如: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。 例如: 7、平方差公式 两数和与这两数差的积,等于它们的平方差。 例如: 8、完全平方公式

叙述完全平方公式: 叙述杨辉三角定律: 9、整式的除法 单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。 例如: 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加。 例如: 10、复习巩固 举例说明什么是整式? 说一说如何进行整式的加减运算。 说一说如何进行幂的运算,每一步的依据是什么? 用数2,3,4组成一个算式,使得运算结果最大? 说一说如何做整式的乘法,有关整式乘法的公式有哪些? 举例说明如何进行单项式除以单项式,多项式除以单项式的运算。 第二章平行线与相交线 1、余角与补角 如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角(complementary angle);如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角(supplementary angle)。 同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等。

初中数学定义、定理汇总

初中数学定义、定理超级大全 1.1有理数 1.1.1有理数的定义:整数和分数的统称。 1.1.2有理数的分类: (1)分为整数和分数。而整数分为正整数、零和负整数;分数分为正分数和负分数。 (2)分为正有理数、零和负有理数。而正有理数分为正整数和正分数;负有理数分为负整数和负分数。 1.1.3数轴 1.1.3.1数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 1.1.3.2数轴的三要素:①原点②正方向③单位长度 1.1.3.3每个有理数都能用数轴上的点表示 1.1.4相反数 1.1.4.1相反数的定义:只有符号不同的两个数就做互为相反数(注:0的相反数为0 1.1.4.2相反数的意义:离原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数 1.1.4.3相反数的判别 (1)若,则、互为相反数 (2)若两个数的绝对值相等,且符号相反,则这两个数互为相反数。 1.1.5倒数 1.1.5.1倒数的定义:若两个数的乘积等于1,则这两个数互为倒数。(若ab=1 ,则 a、b互为倒数)注:零没有倒数。 1.1.6绝对值 1.1.6.1绝对值的定义:在数轴上,表示一个数到原点的距离(a的绝对值记作∣a∣) 1.1.6.2绝对值的性质:∣a∣≥0 1.1.7有理数大小的比较 1.1.7.1正数大于0,负数小于0 1.1.7.2正数大于负数 1.1.7.3两个正数,绝对值大的这个数就大,绝对值小的这个数就小;两个负数,绝对值大的这个数就小,绝对值小的这个数就大。 1.1.7.4作差法:两个有理数相减。若大于0,则被减数大;若等于0,则两个数相等;若小于0,则减数大。 1.1.7.5作商法:两个有理数相除(除数或分母不为0)。若大于1,则被除数大;若等于1,则两个数相等;若小于1,则除数大。 1.1.8有理数的加法 1.1.8.1运算法则:①符号相同的两个数相加,取相同的符号,并把绝对值相加②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值(互为相反数的两个数相加等于0)③任何有理数加0仍等于这个数。 1.1.8.2加法交换律在有理数加法中仍然适用,即: a+b=b+a 1.1.8.3加法结合律在有理数加法中仍然适用,即: a+(b+c)=(a+b)+c 1.1.9有理数的减法 1.1.9.1运算法则:减去一个数等于加上这个数的相反数 1.1.9.2有理数减法—转化→有理数加法 1.1.10有理数的乘法 1.1.10.1运算法则:①两个数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘(口诀:正正得正,负负得正,正负的负,负正的负)②任何有理数乘0仍等于0③多个不等于0的有理数相乘时,积的符号由负因式的个数决定:当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正。 1.1.10.2乘法交换律在有理数乘法中仍然适用,即 1.1.10.3乘法结合律在有理数乘法中仍然适用,即

北京市2014届九年级数学下册 切线长定理的应用课后练习一 新人教版

专题:切线长定理的应用 重难点易错点解析 题一: 题面:⊙O 的两条切线PA 和PB 相交于点P ,与⊙O 相切于A 、B 两点,C 是⊙O 上的一点,若∠P =60°,求∠ACB 的度数. 金题精讲 题一: 题面:如图1,△ABC 中,CA =CB ,点O 在高CH 上,OD ⊥CA 于点D ,OE ⊥CB 于点E ,以O 为圆心,OD 为半径作⊙O . (1)求证:⊙O 与CB 相切于点E ; (2)如图2,若⊙O 过点H ,且AC =5,AB =6,连结EH ,求△BHE 的面积. 图1 图2 满分冲刺 题一: 题面:如图,直角梯形ABCD 中,以AD 为直径的半圆与BC 相切于E ,BO 交半圆于F ,DF 的延 长线交AB 于点P ,连DE .以下结论:①DE ∥OF ;②AB +CD =BC ;③PB =PF ;④AD 2 =4AB ?DC .其中正确的是( ) A .①②③④ B .只有①② C .只有①②④ D .只有③④

题二: 题面:如图①所示,AB为⊙O的直径,AD与⊙O相切于点A,DE与⊙O相切于点E,点C为DE 延长线上一点,且CE=CB. (1)求证:BC为⊙O的切线; (2)连接AE,AE的延长线与BC的延长线交于点G(如图②所示).若AB=25,AD=2,求线段BC和EG的长. 课后练习详解 重难点易错点解析 题一: 答案:60或120度 解析:连接OA、OB, ∵PA、PB与圆O分别相切于点A、B, ∴OA⊥AP,OB⊥PB, ∴∠OAP=∠OBP=90°,又∠P=60°, ∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°, 当点C在优弧AC上时,如图

初中数学基本公式和基本定理性质大汇总

初中数学基本公式和基本定理性质大汇总 一、基本公式 1、三角形面积公式:S △=12ah(a 为三角形的底,h 为高)。 2、梯形的面积公式:S 梯=12(a+b )h(a 、b 分别为梯形的上、下底,h 为高)。 3、正方形的面积公式:S 正=a 2(a 为正方形的边长);长方形的面积公式:S 长=ab (a 、b 分别为长方形的长、宽)。 4、正方体的体积公式:V 正=a 3;表面积公式:S 正=6a 2(a 为正方体的边长)。 5、长方体的体积公式:V 长=abh ;表面积公式:S 长=2ab+2ah+2bh (a 、b 、h 分别为长方体的长、宽、高)。 6、弧长公式:l=n 兀R /180(n 为圆心角的度数,R 为弧的半径); 7、扇形面积公式:S 扇形=n 兀R 2/360=lR /2;(n 为圆心角的度数,R 为扇形半径,l 为弧长)。 8、圆的面积公式:S =兀R 2;周长公式:C=兀d=2兀R (d 为直径,R 为半径)。 9、圆柱的体积公式:V 圆柱=S 底h=兀R 2?;表面积公式:S 表=S 侧+S 底=2兀Rh+2兀R 2(R 为底面圆的半径,h 为高)。 10、圆锥的体积公式:V 圆锥=13S 底h=13兀R 2?;表面积公式:S 表=S 侧+S 底=兀Rl+兀R 2(l 为圆锥的母线长,R 为底面圆的半径)。 11、球的体积公式:V 球==43兀R 3(R 为球半径)。 12、三角函数公式:正弦sinA=∠A 的对边斜边 ;余弦cosA=∠A 的邻边斜边;正切tanA=∠A 的对边∠A 的邻边。 13、平方差公式:22()()a b a b a b +-=-。 14、完全平方公式:222()2a b a b ab +=++;222 ()2a b a b ab -=+-。 15、一元二次方程的求根公式:若x 是一元二次方程(a ≠0)20ax bx c ++=的根,则 x =240b ac -≥); 根的判别式:240b ac -><=>方程有两个不等的实数根;240b ac -=<=>方程有两个相等 的实数根;240b ac -<<=>方程没有实数根;根与系数的关系:1x +2x =b a -;1x 2x =c a

完整版初中数学定理公式归纳汇总

专题知识讲座学案复习中考总 初中数学定理、公式归纳汇总、过两点有且只有一条直线。1 、两点之间线段最短。2 、同角或等角的补角相等;同角或等角的余角相等。3 、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。4 、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。5 、平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。6 、如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行。7 、同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行。8 9、两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补。 10、定理:三角形两边的和大于第三边。推论:三角形两边的差小于第三边。三角形三个内角的和等于180°。11、三角形内角和定理 :直角三角形的两个锐角互余。1推论:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。推论2 :三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。推论3 、全等三角形的对应边、对应角相等。12SAS、边角边公理():有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 13ASA):有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。14、角边角公理(AAS推论():有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。SSS、边边边公理():有三边对应相等的两个三角形全等。15HL):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。16、斜边、直角边公理(、定理:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。17 逆定理:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上。角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 1 专题知识讲座学案习总复中考 、等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)。18 1推论:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。 2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。推论:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°。推论3 19、等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 1:三个角都相等的三角形是等边三角形。推论:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论2 、在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。20 21、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。 22、定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。 :关于某条直线对称的两个图形是全等形。23、轴对称性质定理1 :如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。定理2 :两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上。定理3 逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。222ca b ca?b?。24、勾股定理:直角三角形两直角边、的平方,即的平方和等于斜边222ca b cb?a?有关系勾股定理的逆定理:如果三角形的

苏科版教材初中数学几何定理定义公式大全

苏科版初中数学几何定理定义公式大全 班级学号姓名以下标注真命题的条目,解答题时要先证明,再使用。未标注的定理、定义、公式可以直接使用。 第一部分相交线、平行线 1、直线公理:经过两点有且只有一条直线(两点确定一直线)。 2 、线段公理:两点之间线段最短。 3、同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等。 4、对顶角相等。 5、垂线的性质: ①经过一点 ..有且只有一条直线和已知直线垂直。 ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。(简写为:垂线段最短。) 6、平行线的定义:在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线。 7、在同一平面中两条直线的位置关系有两种,相交和平行。 在空间几何中两条直线的位置关系有三种,相交、平行和异面。 8、平行公理:经过直线外一点 .....,有且只有一条直线与这条直线平行。 7、平行公理的推论:如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行。 9、平行线的判定: ①同位角相等,两直线平行。 ②内错角相等,两直线平行。 ③同旁内角互补,两直线平行。 10、平行线的性质: ①两直线平行,同位角相等。 ②两直线平行,内错角相等。 ③两直线平行,同旁内角互补。 10、三视图(略) 第二部分三角形 1、三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形,叫作三角形。 2、三角形的中线:连接三角形的一个顶点和对边中点的线段叫作三角形的中线。 3、三角形的角平分线:三角形的一个内角的平分线与对边相交,顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线。

4、三角形的高:经过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高。 5、三角形三边关系定理:三角形两边的和大于第三边,三角形两边的差小于第三边。 6、三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180° 7、推论:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 8、真命题:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 9、多边形的内角和公式:N=(n-2)180° 10、任意多边的外角和等于360°。 11、连接多边形的不相邻顶点的直线叫作对角线。从n 边形(n ≥3)的一个顶点可以引(n-3)条对角线,n 边形(n ≥3)一共有)3(2 1 n n 条对角线。 12、能够完全重合的两个图形叫作全等形。 13、能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。全等三角形的对应边、对应角相等 。 14、全等三角形的判定: ①边角边(SAS):有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 ②角边角( ASA):有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 。 ③角角边(AAS) :有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 ④边边边(SSS) :有三边对应相等的两个三角形全等。 ⑤斜边、直角边(HL) :有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 第三部分 轴对称图形 1、轴对称:如果把一个图形沿着一条直线折叠后能够与另一个图形完全重合,那么这两个图形关于直线成轴对称。 2、轴对称图形:如果把一个图形沿着一条直线折叠后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形是轴对称图形。 3、轴对称的性质: ①关于某条直线对称的两个图形是全等形。 ②如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 ③两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上。 ④真命题:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。

切线长定理

切线长定理 教材分析: 本节内容是切线长的概念和切线长定理。通过本节教学应使学生理解切线长的概念,掌握切线长定理并会运用它解决有关问题。切线长定理再次体现了圆的轴对称性,它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据,这个定理经常用到,因此,它是本节的重点。灵活运用图形语言、文字语言、符号语言三种语言表述切线长定理,学生感觉困难;用切线长定理解决有关问题中,准确应用数学语言进行表述,学生感觉困难;从实际情境中抽象出切线长定理模型解决问题,学生感觉困难;在综合题中迅速找出切线长定理模型, 学生感觉困难;因此,综合应用切线长定理及有关知识解决问题,是本节的难点。本节内容是在学习了“切线的判定和性质”之后,并进一步了解了“三角形的内切圆”这一内容的基础上进行研究的。是前面内容的必然延伸,也是后面学习切割线定理等重要内容的基础。切线长定理的出现,可以让我们对直线与圆位置关系的研究由定性分析深入到定量研究。再次让我们感触到了圆的轴对称性。它为我们证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据。通过本节内容的学习,会让学生更客观地认识切线的有关问题。同时,该定理的学习对我们解决一些实际问题很有指导意义。因此,本节内容在这部分中具

有非常重要的作用,是“直线与圆的位置关系”这部分内容的纽带和桥梁。同时,它综合运用等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、四边形等知识解决问题。切线长定理及其研究方法又是研究两圆相切问题的基础,因此,本节内容在整个初中几何教材体系中,起着承上启下的作用。 学生分析: 1、经过前面几节的学习,学生对圆的轴对称性已经有了初步了解,掌握了等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、四边形等知识,具备了学习本节内容的知识基础。 2、经过前面的学习,学生已经对合情推理和逻辑推理都有了一定的认识,具备了证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等的基本技能。 3、初三学生已经具备了一定的探索解决问题方法的经验,从心理学的角度分析:他们正处于想成为大人,想得到别人肯定的年龄阶段,因此,他们会不遗余力地提出他们自己的看法并能较有条例地申述自己的理由,这些是很必要的情感准备;但由于特定年龄阶段的关系,他们对问题的分析还不是很全面,用数学语言表述看法,有时还欠准确贴切。有待于教师不断地加以培养。 设计理念: 1、本着“人人都能学好数学”,“人人都学有价值的数

初中数学基本定理(八)

初中数学基本定理(八) 为您提供初中数学基本定理(八): 7、反证法 反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。 反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是、不是;存在、不存在;平行于、不平行于;垂直于、不垂直于;等于、不等于;大(小)于、不大(小)于;都是、不都是;至少有一个、一个也没有;至少有n个、至多有(n一1)个;至多有一个、至少有两个;唯一、至少有两个。 归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。 8、面积法 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积

计算有关的性质定理,不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称为面积方法,它是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题,其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来,通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题,几何元素之间关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线,也很容易考虑到。 9、几何变换法 在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。另一方面,也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来,有利于对图形本质的认识。 几何变换包括:(1)平移;(2)旋转;(3)对称。 10、客观性题的解题方法 选择题是给出条件和结论,要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧,形式灵活,可以

人教版初中数学概念公式与定理大全

人教版初中数学概念公式和定理大全 1.把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,叫做图形的旋转。点O叫旋转中心,转动的角叫旋转角,转动方向有顺时针和逆时针两种。 2.旋转的性质:①对应点到旋转中心距离相等。②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。③旋转前后图形全等。 3.把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形中心对称。这个点叫对称中心,对应点叫做关于中心的对称点。 4.中心对称性质:①中心对称的两个图形全等。②中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,且被对称中心所平分。 5.把一个图形绕着某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形。 6.平面直角坐标系中,A点(x,y)关于原点对称的B点坐标为(-x,-y)。 四、圆 18.在一个平面内,线段OA绕它固定的一个断点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆,O叫做圆心,线段OA叫做半径。圆也可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合。 19.连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦是直径,直径是最长的弦。 20.圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分三种:①大于半圆的弧,叫做优弧;②小于半圆的弧,叫做劣弧;③圆的直径所对的每一条弧,叫半圆。 21.能够重合的两个圆叫等圆。半径相等的圆是等圆,同圆或等圆半径相等。在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 22.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。垂径定理的推论:平分不是直径的弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 23.顶点在圆心的角叫圆心角。在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也相等。 24.顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫圆周角。圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。圆周角定理的推论:①在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等。②直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。 25.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆。 26.圆内接四边形对角互补。 27.如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 28.如果圆O半径为r,点P到圆心距离为d,则: 点P在圆外<=>d>r;点P在圆上<=>d=r;点P在圆内<=>d<r; 29.不在同一直线上的三个点确定一个圆。 30.三角形三条边垂直平分线的交点叫做三角形的外心。

切线长和切线长定理的应用

A 第20题 N C B D E F M O O 切线长和切线长定理的应用 例(2011·济宁)如图,AB 是⊙O 的直径,AM 和BN 是它的两条切线,DE 切⊙O 于点E ,交AM 与于点D ,交BN 于点C ,F 是CD 的中点,连接OF 。 (1) 求证:OD ∥BE; (2) 猜想:OF 与CD 有何数量关系?并说明理由。 解:(1)证明:连接OE ∵AM 、DE 是⊙O 的切线,OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1分 ∴∠AOD=∠EOD=2 1 ∠AOE …………2分 ∵∠ABE=2 1 ∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………3分 (2) OF = 2 1 CD …………4分 理由:连接OC ∵BE 、CE 是⊙O 的切线 ∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM ∥BN ∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由(1)得 ∠ADO=∠EDO ∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6分 在Rt △DOC 中, ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =2 1 CD ……7分 巩固提高 1、如图,AB 是半圆(圆心为O )的直径,OD 是半径,BM 切半圆于B ,OC 与弦AD 平行且交BM 于C 。 (1) 求证:CD 是圆O 的切线; (2)若2OA =且6AD OC +=,求CD 的长? C O D B A

2、在Rt ABC ?中,90A ∠=?,点O 在BC 上,以O 为圆心的圆O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ,若A B a =, AC b =,则圆O 的半径为( ) A 、ab B 、a b ab + C 、ab a b + D 、2 a b + C E O F B A C E O D B A P E O F D B A 例1图 例2图 例3图 3、如图,AB BC ⊥,DC BC ⊥,BC 与以AD 为直径的圆O 相切于点E ,9AB =,4CD =,则四边形ABCD 的面积为 。 4、如图,过O 外一点P 作圆O 的两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,连结AB ,在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ,使AD BE =,BD AF =,连结DE 、DF 、EF ,则EDF ∠=( ) A 、90P ?∠- B 、1902P ?-∠ C 、180P ?-∠ D 、1 452 P ?∠- 5、如图,已知ABC ?中,AC BC =, CAB α∠=(定值),圆O 的圆心O 在AB 上,并分别与AC 、BC 相切于点P 、Q 。 (1)求POQ ∠; (2)设D 是CA 延长线上的一个动点,DE 与O 相切于点M ,点E 在CB 的延长线上,试判断DOE ∠的大小是否保持不变,并说明理由。 N Q P O D C B A 6、如图,圆O 为Rt ABC ?的内切圆,点D 、E 、F 为切点,若6AD =,4BD =,则ABC ?的面积为 。 C E O F D B A

初中数学基本定理总结

初中数学基本定理总结 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9、同位角相等,两直线平行 10、内错角相等,两直线平行 11、同旁内角互补,两直线平行 12、两直线平行,同位角相等 13、两直线平行,内错角相等 14、两直线平行,同旁内角互补 15、定理三角形两边的和大于第三边 16、推论三角形两边的差小于第三边 17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18、推论1 直角三角形的两个锐角互余 19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21、全等三角形的对应边、对应角相等 22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33、推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36、推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37、在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

(完整版)初中数学定义公式大全

初中数学定义、定理、公理、公式汇编寇本义老师直线、线段、射线 1. 过两点有且只有一条直线. (简:两点决定一条直线) 2.两点之间线段最短 3.同角或等角的补角相等. 同角或等角的余角相等. 4. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 5. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短. (简:垂线段最短) 平行线的判断 1.平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. 2.如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行(简:平行于同一直线的两直线平行) 3.同位角相等,两直线平行. 4.内错角相等,两直线平行. 5.同旁内角互补,两直线平行. 平行线的性质 1.两直线平行,同位角相等. 2.两直线平行,内错角相等. 3.两直线平行,同旁内角互补. 三角形三边的关系 1.三角形两边的和大于第三边、三角形两边的差小于第三边. 三角形角的关系 1. 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°. 2.直角三角形的两个锐角互余. 3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 4. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 全等三角形的性质、判定 1.全等三角形的对应边、对应角相等. 2.边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 3. 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 4.推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 5. 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形 全等. 6. 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 角的平分线的性质、判定 性质:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 判定:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上. 等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角). 2.推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 . 3.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合. 4.推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° . 等腰三角形判定 1等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 2.三个角都相等的三角形是等边三角形. 3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 线段垂直平分线的性质、判定 1. 定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 . 2.逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 3.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合. 轴对称、中心对称、平移、旋转 1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形 2.如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 3.两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 4.若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称. 5.关于中心对称的两个图形是全等的. 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分. 6. 若两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被

切线长定理及其应用

切线长定理及其应用 一、基础知识总结 1.内切圆和内心 定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分 线的交点,叫做三角形的内心. 总结:判断一个多边形是否有内切圆,就是判断能否找到一个点到各边距离都 相等。 2.直角三角形的内切圆半径与三边关系 (1)一个基本图形; (2)两个结论: 1)四边形OECF 是正方形 2)r=(a+b-c)∕2或r=ab ∕(a+b+c) (3)两个方法 代数法(方程思想);面积法 3.切线长定义:过圆外一点作圆的切线,该点和切点之间的线段长叫做切线长。 4.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的交角。 二、典型例题解析 【例1】如图△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相交于点D 、E 、F ,且AB=9 cm,BC=14 cm ,CA=13 cm ,求AF 、BD 、CE 的长 D E F O C B A 112 12902 a b c A B C A B C S s r p a b c p C r a b c ?∠∠∠==++∠=?=+-设、、分别为中、、的对边,面积为,则内切圆半径(),其中(); (),则()

【例2】如图,已知⊙O是△ABC的内切圆,切点为D、 E、F,如果AE=1, CD=2,BF=3,且△ABC的面积为6.求内切圆的半径r. 【例3】如图,以等腰ABC ?中的腰A B为直径作⊙O,交底边BC于点D.过点D作⊥,垂足为E. D E A C (I)求证:D E为⊙O的切线; (II)若⊙O的半径为5,60 ∠= ,求D E的长. B A C 【例4】如上图等边三角形的面积为S,⊙O是它的外接圆,点P是⌒BC的中点.(1)试判断过C所作的⊙O的切线与直线AB是否相交,并证明你的结论;(2)设直线 CP与AB相交于点D,过点B作BE⊥CD垂足为E,证明BE是⊙O的切线,并求△ BDE的面积.

初中数学重要公式定律

1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12 两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角 所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

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