函数极限连续全程版-高等数学竞赛知识汇总

函数、极限、连续

一、考试内容

函数的概念及表示法、基本初等函数的性质及其图形、复合函数、反函数、初等函数、分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数、函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性、函数关系的建立；

数列极限与函数极限的定义及其性质、 函数的左极限和右极限、 无穷小量和无穷大量的概念及其关系、 无穷小量的性质及无穷小量的比较、 极限的四则运算、 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则、 两个重要极限； 函数连续的概念、 函数间断点的类型、 初等函数的连续性 、闭区间上连续函数的性质。

（一）函数

1、函数(Function)的定义 设D 是一个非空实数集合，若?对应关系f ，对于x D ?∈，按照f ，

对应唯一确定的R y ∈，称f 是定义在D 上的函数, 习惯上也称y 是x 的函数，记为)(x f y =. notes ：10. 两个常用的数学符号：

:? “任意”或“任意一个”

，它是英文单词Arbitrary “表示任意的”打头字母A 的倒写； :? “存在，它是英文单词 Existence “表示存在” 打头字母E 的倒写.

2、基本初等函数为以下五类函数

(1) 幂函数 μ

x y =，μ是常数．

图Ⅰ—1

(2) 指数函数 x

a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ．

图Ⅰ—2

(3) 对数函数

x y a log =(a

是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞．

对数（Logarithm ）是由英国人纳皮尔创立的, 是相对于真数的比率数.

图Ⅰ—3

(4) 三角函数

1.何谓正？何谓余？

正就是正角。余就是余角，就是90度减去正角. 2.何谓弦？何谓切？何谓割？

弦就是弦线，切就是切线，割就是割线.

圆上两点相连叫做"弦"；圆外与圆相切的线叫"切线"；圆外割入圆内的线叫"割线". 其实一切都是从一个半径为1的单位圆来的.

正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ．

图Ⅰ—4

余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ．

正切函数 x y tan =，

2π

π+

≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ．

图Ⅰ—6

余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ．

图Ⅰ—7

(5) 反三角函数

反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，

]2,2[π

π-

∈y ．

图Ⅰ—8

反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ．

图Ⅰ—9

反正切函数 x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，

)2,2(π

π-

∈y ．

图Ⅰ—10

反余切函数 x y cot arc =，),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ．

图Ⅰ—11

3、初等函数：由基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所得到的、能用一个式子表达的函数，称为初等函数．高等数学的主要讨论对象是初等函数．

（1）幂指函数：()

()ln

()

()v x v x u x

y u x e

==．

4、分段函数：分段函数是没有严格定义的，任意函数都可以是分段函数．

一般而言，把函数的定义域分成几个区间,在各个区间内,函数的解析式不一样的，这样的函数称为分段函数.

即便如此，有些分段函数也可称为初等函数．

（1）符号函数：

1,0

sgn0,0,sgn,sgn

1,0

x

y x x x x x x x x

x

>

?

?

=====

?

?-<

?

．

图I －12

（2）高斯函数：函数]

[x

y=，称为高斯函数，又称取整函数. 对任意实数]

[,x

x是不超过x的最大整数，称]

[x 为x的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].

[

}

{

},

{x

x

x

x

y-

=

=

1[][]1

x x x x

-<≤<+，]

[x

y=是不减函数，即若

2

1

x

x≤则]

[

]

[

2

1

x

x≤，其图像如图I －13；

}

{x

y=是以1为周期的周期函数，如图I －14.

图I －13 图I －14

（图I －13中，空心点与实心点应反调）

（3）极值函数：

(),{()()}1

max{(),()}[()()()()]

(),{()()}2

f x x x

g x f x

f x

g x f x g x f x g x

g x x x g x f x

?∈≤

?

==++-

?

∈>

??

，

(),{()()}1

min{(),()}[()()()()]

(),{()()}2

f x x x f x

g x

f x

g x f x g x f x g x

g x x x f x g x

?∈≤

?

==+--

?

∈>

??

．对数一、三而言，在概率论中有极值分布max{,},min{,}

X Y X Y．

1

1

-

y

o

x

5、隐函数：若方程(,)0f x y =能确定y 与x 的对应关系，那么称这个方程确定了隐函数()y y x =，但其未必能

显化． 函数都是方程，但方程却不一定是函数．

6、参数方程所确定的函数：若参数方程()

()x t y t ?ψ=??=?

能确定y 与x 的对应关系，那么称这个方程确定了隐函数

()y y x =，但其未必能显化．有时消参后，原参数方程仅能转化为(,)0f x y =． 7、函数的奇偶性

sin ,tan ,arcsin ,arc tan ,ln(()(),cos ,()()x x x x x f x f x x x f x f x --+-，为奇；为偶；

±=±=?÷=?÷=奇奇奇，奇偶（非零常数）非奇非偶，奇（）奇偶，奇（）偶奇．

（二）极限

1、函数自变量变化过程的方式

:n →∞自变量取正整数且无限增大的过程； :x →+∞自变量取正数且无限增大的过程

:x →-∞自变量取负数且其绝对值无限增大的过程 :x →∞自变量绝对值无限增大的过程

0:x x +→自变量从0x 的右侧向0x 无限趋近的过程

0:x x -→自变量从0x 的左侧向0x 无限趋近的过程

0:x x →自变量向0x 无限趋近的过程，也指0(,)x x δ∈o

U ，δ为正小数．

2、无穷小量与无穷大量：若lim ()0f x =，则称)(x f 为某自变量变化过程时的无穷小量，零为无穷小量；

若lim ()f x =∞，则称)(x f 为某自变量变化过程时的无穷大量．

在同一自变量变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量；非零的无穷小量的倒数是无穷大量． 无穷小量与有界变量的乘积依然是无穷小量，无穷大量为无界变量的充分不必要条件．

3、基本函数的极限

0011lim ,lim ;lim 0(0),lim 1(0),lim (0)x x x x x x x x x x

αααααα-+→+∞→+∞→+∞→→=-∞=+∞=<===+∞>;

lim 1,lim 0,lim ,lim /x x x x x x x x e e e e →→-∞

→+∞

→∞

===+∞=; 0

lim 1x x a →=，lim /(0,1)x x a a a →∞

=>≠

lim ,lim 0(01)x x x x a a a →-∞

→+∞

=+∞=<<;lim 0,lim (1)x x x x a a a →-∞

→+∞

==+∞>;

∞-=+→x x ln lim 0，0

limln(1)0x x →+=，lim ln x x →+∞

=+∞;

limsin /,limcos /,x x x x →∞

→∞

==2

lim tan ,x x π

→

=∞0

limcot x x →=∞;

0limarctan 0,x x →=lim arctan ,2x x π→-∞=-lim arctan ,2x x π

→+∞=limarctan /x x →∞=;

0lim cot ,2x arc x π

→=lim cot ,x arc x π→-∞

=lim cot 0,x arc x →+∞=lim cot /x arc x →∞=． 4、记忆以下几个关于极限的充要条件 ①a x x a x k k k k n n ==?=∞

→-∞

→∞

→212lim lim lim ；

②A x f x f A x f x x x ==?=+∞→-∞

→∞

→)(lim )(lim )(lim ；

③A x f x f A x f x x ==?=+

-

→)()()(lim 000

；

④0lim ,)()(lim =+=?=αα且A x f A x f ．

5、 无穷小的比较：在同一极限过程中，设()x αα=，()x ββ=均为无穷小，则

①如果0lim

=αβ

，称β是比α高阶的无穷小；记作()αβo =；或称α是比β低阶的无穷小； ②如果c =α

β

lim )0(≠c ，称β与α为同阶无穷小；

特别当1=c 时，即1lim =α

β

称β与α为等价无穷小，记作αβ~；

③如果c k =α

β

lim )0,0(>≠k c ，称β是α的k 阶无穷小．

6、无穷小的等价代换定理：设α，α'，β，β'是同一极限过程中的无穷小，且满足αα'~，ββ'~，及

βα''lim 存在或为无穷大，则：βαlim

lim αβ'='

. 记住当0→x 时，下列的等价关系：

arcsin ~arctan ~sin ~tan ~1~ln(1)~,1~ln ,log (1)~ln x x

a x x x x e x x a x a x x a -+-+，

22

1cos ~,ln cos ~22x x x x --1~,(1)1~(0)x

x x n

ααα+-≠．

7、极限存在准则

（1）夹逼准则：在同一极限过程中，函数()x f ，()x g ，()x h 满足

① ()≤x g ()≤x f ()x h ② ()A x g =lim ，()A x h =lim ， 则()x f lim 存在，且()A x f =lim ．

（2）单调有界准则：单调增（减）、上（下）有界的数列必有极限（收敛）．收敛数列必有界．

8、极限逆问题中两个常用的结论：

（1）)

()

(lim

x g x f 存在，;0)(lim 0)(lim =?=x f x g （2）()

lim

0,lim ()0lim ()0()

f x A f x

g x g x =≠=?=．

（三）连续

1、 连续的定义: 若)()(lim 00

x f x f x x =→，称)(x f 在0x 处连续，否则，0x 为)(x f 的间断点．

若00()()f x f x -=，称)(x f 在0x 左连续，若00()()f x f x +

=称)(x f 在0x 右连续．

若对(,)x a b ?∈，使得)(x f 连续，称)(x f 在(,)a b 内连续，即对(,)x a b ?∈，求证0

lim[()()]h f x h f x →+-0=.

进一步，若()(),()()f a f a f b f b +-

==，称)(x f 在[,]a b 上连续．

2、间断点及其类型

1）第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点．

可去间断点:左极限=右极限的间断点． 跳跃间断点:左极限≠右极限的间断点．

2）第二类间断点: 左,右极限中至少有一个不存在的间断点． 3、连续函数的性质

1） 连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续；

2） 初等函数在其定义区间内处处连续，初等函数在其定义点处的极限为其定义点处的函数值； 3） 闭区间上连续函数的性质 （1）最值（有界）、介值性：若)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上上必有最大值和最小值（当然有界）， 且)(x f 在],[b a 上也可取到介于它在],[b a 上最小值与最大值之间的一切值.

(2）零点定理:若)(x f 在],[b a 连续,且0)()(

二、典型例题

题型一 复合函数

例1、 设???≥<=0,10

,0)(x x x f , 22,||1()||2,||1x x g x x x ?-<=?-≥?

，试求)]([)],([x f g x g f .

解：22(),

()1

2,()02,

[()]1,()11,

()2,

()1f x f x f x x g f x f x x f x f x ?-<=

??

-=-≥-≥???? 0,12

0,()0[()]1,()01,12

x g x f g x g x x x ?≤<

例2、2

3

min{32,}x x x -=2232323

3

323232[1,0][3,+]

=32>(,1)(0,3)x x x x x x x x x x x x x x ??--≤-∈-?∞??-∈-∞-???

，，，，. 例3、已知)1(+x f 的定义域为[0,1],，求(23)f x +的定义域.

解：[0,1],x ∈ 则1[1,2]x +∈，于是23[1,2]x +∈，故1

[1,]2

x ∈--.

例4、设)(x f 和)(x g 互为反函数，则)]3(2

1

[x g f 的反函数为(B)

(A) )]3(21[x f g (B) )](2[31x g f (C) )]3(2[x f g (D) )](31

[2x f g

解：1[(3)]2y f g x =，则1(3)()2g x g y =，即(3)2()g x g y =，于是3(2())x f g y =，即1

(2())3x f g y =

故1[(3)]2y f g x =的反函数为1

[(3)]2

y f g x =.

题型二 函数性态

例1、定义于R 上的下列函数为奇函数的是(C)

(A) ][x (B) 12x x e e --+ (C) )1ln(2

++x x (D) 2011tan cos 2011

x x x + 例2、当∞→x 时，变量x x cos 是(D)（注意函数的局部性质）

(A) 无穷小 (B) 无穷大 (C) 有界量 (D) 无界量

例3、设A x f x x =→)(lim 0

，下列结论成立的是(C)

(A)存在δ,当),(0δx U x ο∈时，()f x A > (B) 存在δ,当),(0δx U x ο

∈时，()f x A < (C) 若0>A ,则存在δ,当),(0δx U x ο

∈时，0)(>x f (D) 若当),(0δx U x ο

∈时,()0f x >,那么0A >.

注1：若A x f x x =→)(lim 0

，则对0ε?>，存在δ,当),(0δx U x ο

∈时，总有()A f x A εε-<<+（局部有界）.

注2：若A x f x x =→)(lim 0

，当),(0δx U x ο

∈时,()0f x >,那么0A ≥（局部保号）.

例4、21

1

x y x +=

-在下列区间中有界的是(A)

题型三 未定式计算（限于∞∞，00

，0?∞，1∞，另三种∞-∞，00

,0∞以后讲） 例1、 求极限：

（1）10864)2()

(5)1()12(lim ++--+∞→x x x x x x x ；（2）

0x →（3

）0x → （4）2

2

13

230

(1)1lim

32x

x x

x x →+--；（5）2

cot 3lim cot 5x x

x

π

→；（6）)18(lim 3332+-+∞→x x x x ；（7）2csc 0lim(cos )x x x →

解 （1）： 原式46710

1151

(2)(1)(1)

lim

2

(1)x x x x x x ∞∞

→∞+--+=+16=. 解 （2）：原式0

2lim

1

ln 3

ln 3()2

x x x x x

→∞

?==-

?-. 解（3）：

原式0

0sin tan x x x

→-

=1101

ln 32-=-.

原式00

lim

0()1

ln 3()2

x x x x x

→∞

-==?+-（sin tan x x x x --:是错的）

注：等价无穷小代换可在0

,00

?∞中对较复杂的“0”进行等价代换，一般只能用在乘、除关系，因局部等价能保证

整体也等价，而不能直接用于加、减关系，一种处理为和差化积，一种处理为各分项同除最低次等价项后看能否拆开

解（4）：原式32223ln(1)

22(2ln33ln 2)20

00ln(1)

111=lim =lim lim =(2ln33ln 2)2ln33ln 2

3[1]]3x x

x x x x x x x e x x e +-→→→+----. 注：当0→x 时，2~ln ,(1)(1)~()(),(1)1~x x x a

a b x x x x x x b

αβαβαβ-+-+-≠+-.

解（5）：原式00

2

tan 33

lim

tan 55

x t

t t t π

=-→==. 解（6）：

原式073

x x ?∞→∞→∞===. 解（7）：原式2

2

ln cos cos 111lim

lim

sin 2

x x x x x

x

e e

e ∞

→→--

===.

注：ln ()()11lim ()ln ()lim ()[()1]

()

lim ()

u x u x v x u x v x u x v x u x e

e a ∞

--===:.

题型四 极限存在题型

例1、判断下列极限存在吗？

（1

）)x x →∞；（2）arctan lim

(1)

1x x x

a a →∞>- ；（3）1

2

1

11lim 1x x x e x -→--；（4）24301sin sin

lim tan x x x x x

→+

（5

）0lim x x →；（6）;221lim 262626???? ??++

???++++∞→n n n n n n

n n （7）n n x x

211lim ++∞→ 提示：（6）因n

n n n n n n n n n n n n n n n n +++≤

++++++≤+++6262626266)

12)(1(2216)12)(1(Λ，则原式31= （7）21,1

1lim 1,110,1n

n x x x x x x →∞?+<+?

==?+?>?

注1： x →∞时，x x -，x a ，arctan x ，arccot x 的极限不存在，先研究,x x →+∞→-∞

x →∞时，sin x ，cos x 的极限不存在，只需注意其为有界量，arctan x ，arccot x 也可考虑有界量性质 注2：一个收敛数列与另一个发散数列之和必发散，对函数有类似结论 注3：注意分段函数在分段点处的极限一般用左右极限来处理

注4：当有限和难以表达时，对无限个无穷小求和可以考虑使用夹逼准则

注5：极限函数()lim (,)n f x F x n →∞

=的求法，要注意对x 取值范围的讨论，如,,arctan n nx x a nx 等.

例2、求,lim 2

1n n m n n n a a a +++∞

→Λ其中),,2,1(0m i a i Λ=>。 提示： 令 a a i m

i =≤≤1max ，则a m ma a a a a a n n n n n

m n n n n =≤+++≤=Λ2

1 1lim =∞

→n n m ，则原式=i m

i a a ≤≤=1max （本题的结论是一个常用结论）.

例3、设n n n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞

→∞

-=则（C ）

(A)存在且等于零 (B)存在但不一定等于零 (C)不一定存在 (D) 一定不存在

提示：若lim lim 0n n n n x y a →∞

→∞

==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞

=≠，故不选A 与D.

取1

1(1),(1),(1)n n n n n n x y z n n

=--=-+=-，则n n n x z y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞

-=，但lim n n z →∞

不存在， B 选项不正确．

例4、设=1

>0,,n

n n k k a n Z S a +

∈=∑，则数列{}n a 有界是数列{}n S 收敛的（C ）

(A)充分必要条件 (B)充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）即非充分地非必要条件.

例5、设),2,1()3(,3011Λ=-=<<+n x x x x n n n ，证明：数列}{n x 极限存在并求此极限.

证：由301<

从而有22113

]22

n x +=

+=，则{}n x 上有界，

而n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x +---=--=-+)3()3()3(2

1=0)3()

23(≥+--n

n n n n x x x x x ，则{}n x 单调增，

或者由

112

33

13

1

=-≥-=+n

n n x x x 知{}n x 递增 由单调有界准则，知n n x ∞

→lim 存在，不妨设 a x n n =∞

→lim

将)3(1n n n x x x -=

+两端取极限得)3(a a a -=，由此解得3=

a 或0=a （舍去），则 3lim =∞→n n x .

题型五 极限应用题型（先讲无穷小比较、渐近线确定、间断点类型，以后再研究可导性判断） 例1、当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（D ）

（A ）)()(3

2

x o x o x =?（B ）)()()(3

2

x o x o x o =（C ）)()()(2

2

2

x o x o x o =+（D ）)()()(2

2

x o x o x o =+

解：对于（D ）可找出反例，如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+． 例2、已知当1→x 时,2)2(-x x 与2)1()1(-+-x b x a 是等价无穷小,求b a ,的值.

解： (ln 2ln )ln 22211(2)21lim

2lim (1)(1)(1)(1)x x x x x x e a x b x a x b x +-→→--=-+--+-1(1)ln 2ln 2lim ,(1)()

x x x x

x a bx b →-+=-+- 1ln ln 22(1ln 2)12lim

1x x x x a bx b a

→+

+-===+-,则)2ln 1(2+=a ,显然b R ∈. 例3、求曲线1

1

2++=x x y 的渐近线方程.

解：∞=-→y x 1

lim ∴ 1-=x 为其铅直渐近线

又111lim )(lim ,1lim

-=+-=-=∞→∞→∞

→x

x x y x y x x x ∴ 1-=x y 为其斜渐近线.

注：记忆各类渐近线的确定方法：

①若),(-∞→+∞→∞→x x x 或或，y b →，称b y =为)(x f y =一条水平渐近线，一个函数至多有两条不同的水

平渐近线；

②若),(-

+→→→a x a x a x 或或，y →∞，称a x =为)(x f y =的一条铅直渐近线；

③若()lim

0x x x y

k x

→∞→+∞→-∞

=≠，()

lim []x x x y kx b →∞→+∞→-∞

-=，称b kx y +=为)(x f y =的一条斜渐近线.

例4、试确定x

x y tan =

的间断点，并判断其类型.

解：其间断点为,2

x k k π

ππ=+

（z k ∈），因0lim

2

=+

→y k x π

π，则2

π

π+

=k x 为其可去间断点；

又Θ ∞=→y k x π

lim ， 此时0≠k ，∴ πk x = （0≠k ）为其第二类间断点 而1lim ,1lim 0

-==-+→→y y x x ∴ 0=x 为其跳跃间断点.

例5、?

????

>≤=+003sin 1

1x x x

x e

y x 试确定该函数的渐近线，并判断其间断点类型。

解：1

lim x y +→-=∞ ∴ 1-=x 为其铅直渐近线，且1-=x 为其第二类间断点；

1lim =-∞

→y x ∴ 1=y 为其水平渐近线；又0lim =+∞

→y x ∴ 0=y 为其水平渐近线；

而3)0(,)0(==+

-

f e f ，故0=x 为其第一类中的跳跃间断点.

例6、求证：设()f x 在0x x =间断，()g x 在0x x =连续，

则()()f x g x ±在0x x =间断.并举例说明2()(),(),()f x g x f x f x ?在0x x =可能连续.

提示：设0

()1

x f x x ≠?=?

=?，()sin g x x =，则()f x 在0x =间断，()g x 在0x =连续，()()()sin 0f x g x f x x ?=?=在0x =连续；若设1

0()10

x f x x ≥?=?-

三、课后练习

1（A ）、1)(3-=x x f ，x x g f =)]([，则=)(x g 3

)1(+x ．

2（A ）、当02x π<<时，max{sin ,cos }x x =cos 045sin 445cos 24x x x x x x πππππ?

<≤??

?

<≤??

?

<

，，，．

3（B ）、2

min{32,2}x x x --

=23222232x x x x x x x ?+≤-??-<≤??->??，，

， 4（A ）、与x x f sgn )(=相同的函数为(B)

(A) 2

)(sgn x (B) )sgn(sgn x (C) x sgn (D) )sgn(x -

5（A ）、已知???≥<=,0,1,0,0)(x x x H 则()(1)H x H x --= 0,0

1,010,1

x x x

≤

．

6（A ）、设??

?≥<+-=00

2

2)(x x x x

x g ，???≥<-=00)(2

x x x

x x f ，则???≥<++=0

022)]([2

x x x

x x f g ．

7（A ）、设x

e

x f arcsin )(=，又1)]([-=x x g f ，则)(x g 的定义域为2

2[1,1]e

e ππ

-

++．

8（A ）、设{}n a ，{}n b ，{}n c 均为非负数列，且0lim =∞

→n n a ，1lim =∞

→n n b ，∞=∞

→n n c lim ，则必有（D ） (A) n n b a <对任意n 成立 (B) n n c b <对任意n 成立(C) ∞

→n lim n a n c 不存在 (D) ∞

→n lim n b n c 不存在

9（B ）、设,n n x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞

-=则与(A) (提示：++,lim =0n n n a y x a εεε→∞

≤≤≤)

(A)都收敛于a (B) 都收敛，但不一定收敛于a (C)可能收敛，也可能发散(D)都发散

10（A ）、当0→x 时，2

1

sin x x --是(D)

(A) 无穷小 (B) 无穷大 (C) 有界但非无穷小 (D) 无界但非无穷大 11（B ）、设数列{}n x 与{}n y 满足0lim =∞

→n n n y x ，则下列断言正确的是（D ）

(A) 若n x 发散，则n y 必发散 (B) 若n x 无界，则n y 必有界

(C) 若n x 有界，则n y 必为无穷小 (D) 若1n x 为无穷小，则n y 必为无穷小 12（A ）、2

)

2)(1()

2sin()(---=

x x x x x x f 在下列哪个区间内有界（A ）

(A) )0,1(- (B))1,0( (C) )2,1( (D) )3,2(

13（A ）、当0→x 时，2

(1cos )ln(1)=(sin )n

x x o x x -+，而2

sin =(1)n x x x o e -，则正整数n 等于 (B) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

14（A ）、对函数1121

()21

x x f x -=+，点0=x 是（ B ）

(A) 可去间断点 (B)跳跃间断点 (C) 第二类间断点 (D) 连续点

15（A ）、的无穷间断点的个数为函数22

21

11)(x

x x x x f +--=1． x x

1-

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

17（A ）、设()1

x x

f x e =-，则该函数图象具有（B ）

(A)一条水平渐近线，一个可去间断点 (B)一条水平渐近线，一个跳跃间断点 (C)一条铅直渐近线，一个可去间断点 (D)一条铅直渐近线，一个跳跃间断点

18（A ）曲线221

x x

y x +=-渐近线的条数为2．

19（B ）、曲线1ln(1)x

y x e =++渐近线的条数为3．

20（B ）、设bx e

a x

x f +=)(在),(+∞-∞内连续，且0)(lim =-∞→x f x ，则（D ） (A) 0,0<>b a (C) 0,0>≤b a (D) 0,0<≥b a 21（B ）、设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（B ）

(A) 若{}n x 收敛，则{})(n x f 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{})(n x f 收敛 (C) 若{})(n x f 收敛，则{}n x 收敛 (D) 若{})(n x f 单调，则{}n x 收敛

提示：由于)(x f 单调有界，则当{}n x 单调时，数列{})(n x f 单调有界，从而{})(n x f 收敛，故选（B ）

22（A ）、求下列极限或判断极限的存在性：

（1）arctan lim (1)x x x a x x a a x

→∞->+ (/)；（2

）lim )x x x →∞(/)；（3）203sin cos 13lim (1cos )ln(1)2x x x x x x →+=++（）； （4）0ln cos lim ln cos x x x αβ→=22αβ ；（5

）0x x x →=23

ln 32；（6

）30lim

sin x x →-=14

； （7）sin lim sin x x x x x →∞+=-1；

（8）3limln(12)ln(1)n

n n

→∞+?+=3ln 2；（9）=---→)cos 1cos(1)1ln(lim 40x x x 8-； （10）211lim(1)n n n n →∞++=e ；（11）22lim(sin cos )x x x x

→∞+=2e ；（12）120lim()()x x nx x

x e e e n z n +→+++∈=L 1

2n e +；

（13）611)3cos 2(1lim 30-=??

????-+→x x x x ；（14）)(lim 1112+-∞→x x a a x x (0)a >=ln a （15）21

2

0lim(sec )x x x →=e ；

（16

）lim(n n →∞=52-；（17）1

lim (123)x x x

x →+∞++=3；（18

）n →∞++=L 1； 23（A ）、若2sin 210

()0ax x e x x f x a x ?+-≠=?=?

（）在),(+∞-∞上连续，则2-=a ．

24（A ）、设1

)1(lim )(2+-=∞→nx x

n x f n ，则)(x f 的间断点为0=x ．

25（B ）、01>x ，且3

)

1(31++=+n n n x x x ，证明n n x ∞→lim 存在，并求lim n n x →∞

26（B ）、设n n x x x +=<<+6,3011（Λ,2,1=n ）证明n n x ∞

→lim 存在,并求lim n n x →∞

． 3

27（A ）、若1

1

2)

5sin )(1ln(lim

0=-?+→x x x x f ， 则0lim ()x f x →= ln 25． 28、（A ）设 nx

nx n e x x

e x x

f +?+=∞→cos 22sin lim )(，则0lim ()x f x →= 2．

29（B ）、设()f x =2122lim 1

n n n x ax bx

x -→∞+++处处连续,求,a b 的值. 0,1a b == 30（B ）、设x

u u

x u u x x f -→--=)1

1(

lim )(，其中0)1)(1(>--u x ，求)(x f 的连续区间，并指出其间断点类型. 提示：1

()x x f x e

-=，)(x f 的连续区间为),1()1,(+∞?-∞，1x =为第二类间断点.

),()()(2121x f x f x x f +=+求证：)(x f 在),(+∞-∞上处处连续.（提示：证0

lim[()()]h f x h f x →+-0=.）

高等数学函数极限与连续习题及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

关于大学高等数学函数极限和连续

关于大学高等数学函数极 限和连续 Last revision on 21 December 2020

第一章 函数、极限和连续 § 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ? ? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )； 若f(x1)＞f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c为常数) 2.幂函数： y=x n , (n为实数) 3.指数函数： y=a x , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=log x ,(a＞0、a≠1) a 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数:

高考数学常考知识点之极限

高考数学常考知识点之极限 考试内容： 教学归纳法．数学归纳法应用． 数列的极限． 函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性． 考试要求： （1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． （2）了解数列极限和函数极限的概念． （3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限． （4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． §13. 极 限 知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果 ①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立； ②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ①a a n n =∞ →lim ②当∞→n 时，a a n →. ⑵几个常用极限： ①C C n =∞ →lim （C 为常数） ②),(01 lim 是常数k N k n k n ∈=∞→ ③对于任意实常数， 当1|| a 时，0lim =∞ →n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞ →∞→不存在 当1 a 时，n n a ∞ →lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则： 如果b b a a b n n n ==∞ →∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞ →)(lim

高等数学函数极限练习题

设 f ( x ) 2 x ， 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ， 求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 ， 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ，只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ，而 销 售 量 为 x 份 ，试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ， 问 在 0 ， 上 f ( x ) 是 否 有 界 ？ 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA ， 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 ， 0 x ； x ， x ； 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ， ． ， ． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1， 求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ； 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ， ． ． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ； 求 f ( x ) ． 设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ； 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0． ． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )． 设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1

高等数学(同济五版)第一章 函数与极限知识点

第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。

高等数学基础极限与连续

第二章 极限与连续 一、教学要求 1.了解极限概念，了解无穷小量的定义与基本性质，掌握求极限的方法. 2.了解函数连续性的概念，掌握函数连续性的性质及运算. 重点：极限的计算，函数连续性的性质及运算。 难点：极限、连续的概念。 二、课程内容导读 1. 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。 例1 求下列极限： （1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =21613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即

x x x 10)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 （4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即 222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。 （5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+? 2. 知道一些与极限有关的概念 (1) 知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等； (2) 了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质； (3) 了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点； 例2 填空、选择题 (1) 下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. )0(1ln +→x x B. )1(ln →x x C. )0(e 1 →-x x D. )2(422→--x x x 解 选项A 中：因为 +→0x 时， +∞→x 1，故 +∞→x 1ln ，x 1ln 不是无穷小量； 选项B 中：因为1→x 时，0ln →x ，故x ln 是无穷小量； 选项C 中：因为 +→0x 时，-∞→-x 1，故0e 1 →-x ；但是-→0x 时，x 1- +∞→，故+∞→-x 1 e ，因此x 1 e -当0→x 时不是无穷小量。 选项D 中：因为21422+=--x x x ，故当2→x 时，41422→--x x ，4 22--x x 不是无穷小量。 因此正确的选项是B 。 （2） 下列极限计算正确的是（ ）。 A.=→x x x 1sin lim 001sin lim lim 00=→→x x x x

高等数学1.3-函数的极限

第三节 函数的极限（一） 教学目的：（1）理解函数极限和左、右极限的概念； （2）理解无穷小概念，掌握其性质 教学重点：函数极限的概念，无穷小概念 教学难点：函数极限的概念的理解与应用 教学方法：讲授法 教学时数：2课时 本节我们将数列极限的概念推广到一元实值函数，然后研究函数极限的性质及其运算法则. 一、函数极限的概念 1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 1）+∞→x 时的极限： +∞→x 读作“x 趋于正无穷大”，表示x 无限增加，0x > ． 例：对于x x f 1)(= ，当自变量+∞→x 时，x x f 1 )(=与常数0无限接近 ． 复习数列极限的定义：数列{}n x 以a 为极限即a x n n =∞ →lim ? 0>?ε，N ?，N n >时,ε<-a x n ． 令()n f x n =，则()?=∞ →a n f n lim 0>?ε，N ?，当N n >时，()ε<-a n f ．将n 换成连续变量x ，将a 改记为A ，就可以得到x →+∞时，()A x f →的极限的定义及其数学上的精确描述 ． 定义3.1：设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X >时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →+∞时的极限，记作()lim x f x A →+∞ =， 或()A x f →，（x →+∞） ． 几何意义：对任意给定的0ε>，在轴上存在一点X ，使得函数的图象 {(,)|(),(,)}x y y f x x a =∈+∞在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-?+∞A A X 内 ． 2）x →-∞时的极限： x →-∞读作“x 趋于负无穷大”，表示x 无限增加，0x < ． 定义：设函数)(x f 在),(a -∞内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X <-时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →-∞时的极限，记作()lim x f x A →-∞ =

最全大学高等数学函数、极限和连续(新)

第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ???∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x

极限知识点(2020年10月整理).pdf

高中数学第十三章-极 限 考试内容： 教学归纳法．数学归纳法应用． 数列的极限． 函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性． 考试要求： （1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． （2）了解数列极限和函数极限的概念． （3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限． （4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． §13. 极 限 知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果 ①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立； ②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ①a a n n =∞ →lim ②当∞→n 时，a a n →. ⑵几个常用极限： ①C C n =∞ →lim （C 为常数） ②),(01 lim 是常数k N k n k n ∈=∞→ ③对于任意实常数， 当1|| a 时，0lim =∞ →n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1?=a ，则n n n n a )1(lim lim ?=∞ →∞→不存在 当1 a 时，n n a ∞ →lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则： 如果b b a a b n n n ==∞ →∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞ →)(lim ②b a b a n n n ?=?∞ →)(lim

考研数学高数公式：函数与极限解读

考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限

极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。

高等数学函数极限练习试题

设x x x f += 12)(，求)(x f 的定义域及值域。 ，，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。 的取整函数，试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。 判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=．， ； ，．，；，　设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ?? [][]设，； ，． ，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=． ，； ，．，　；，设000)(00)(2 x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设，，；，．求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1 2002?? []设，； ，　．求．f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 ．求．，； ，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<=

高等数学函数与极限试的题目

高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1 -，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 7．极限：∞ →x lim 3 32x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0-+→=（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2．

成人高考数学知识点之函数

成人高考数学知识点之函数 (一)函数 1、知识范围 (1)函数的概念 函数的定义、函数的表示法、分段函数、隐函数 (2)函数的性质 单调性、奇偶性、有界性、周期性 (3)反函数 反函数的定义、反函数的图像 (4)基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数 (5)函数的四则运算与复合运算 (6)初等函数 2、要求 (1)理解函数的概念，会求函数的表达式、定义域及函数值，会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数的图像。 (2)理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。 (3)了解函数与其反函数之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。 (4)熟练掌握函数的四则运算与复合运算。 (5)掌握基本初等函数的性质及其图像。 (6)了解初等函数的概念。 (7)会建立简单实际问题的函数关系式。

(二)极限 1、知识范围 (1)数列极限的概念 数列、数列极限的定义 (2)数列极限的性质 唯一性、有界性、四则运算法则、夹通定理、单调有界数列极限存在定理 (3)函数极限的概念 函数在一点处极限的定义、左、右极限及其与极限的关系趋于无穷时函数的极限、函数极限的几何意义 (4)函数极限的性质 唯一性、四则运算法则、夹通定理 (5)无穷小量与无穷大量 无穷小量与无穷大量的定义、无穷小量与无穷大量的关系、无穷小量的性质、无穷小量的阶 (6)两个重要极限 2、要求 (1)理解极限的概念，会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 (3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。会运用等价无穷小量代换求极限。 (4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

【高一数学函数相关知识点分析】函数极限的相关知识点总结

【高一数学函数相关知识点分析】函数极限的相关知识点总结 一、增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数。 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。 二、单调区间 单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y，随自变量X增大而增大（或减小）恒成立。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y= f(x)的单调区间。 一、指数函数的定义 指数函数的一般形式为y=a(a0且≠1) (x∈R). 二、指数函数的性质 1.曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为（-∞，+∞） 2.曲线在x轴上方，而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠近X轴（x轴是曲线的渐近线）〈=〉函数的值域为（0，+∞） 一、对数与对数函数定义 1.对数：一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 2.对数函数：一般地，函数y=log(a)X，（其中a是常数，a0且a不等于1）叫做对数函数，它实际上就是指数函数的反函数，因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。 二、方法点拨 在解决函数的综合性问题时，要根据题目的具体情况把问题分解为若干小问题一次解决，然后再整合解决的结果[标签:内容] 感谢您的阅读！

同济大学(高等数学)_第一章_函数极限

第一篇 函数、极限与连续 第一章 函数、极限与连续 高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节 集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合 讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ?，读作“a 不属于A ”. 一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ. 集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成 A ={1,2,3,4,5}； 第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有： （1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =； （2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+ N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+； （3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；

考研数学函数极限连续知识点回顾

考研数学：函数极限连续知识点回顾 进入暑假，考研复习日益紧张起来。对于考研数学的备考复习也进入了强化阶段。它意味着考研时间已过三分之一之多，复习的脚步还要继续马不停蹄，继续前进。凯程考研数学老师提醒广大考生在进行有效复习的同时不要忘了对前面复习的内容进行回顾，不要让努力输给记忆。 第一点函数。函数的概念和性质这些都是高中已经学过的内容，这里主要是以复习的形式来回顾一下，但要提醒考生注意函数的有界性和复合函数运算，要认真理解，因为函数的有界性是新知识，并且对后面知识点的学习起到铺垫的作用，复合函数运算对后面函数的求导、积分等都一定的关系，所以请同学们认真理解。 第二点极限。说起极限，大家都会想起什么呢?是不是想起现阶段极限计算有几种，我们来复习一下： 1)四则运算。在这里要强调一点：什么时候运用四则运算，四则运算要求每个极限都存在，才能有两个函数的极限等于分别求极限之和，否则不能应用四则运算。 2)等价无穷小替换。等价无穷小替换公式可以将极限的计算化简，使得我们更快的求解结果，但这要注意几个问题，第一，什么情况下可以应用等价无穷小替换公式，并不是任何情况下都可以等价替换的，只有在乘法和除法时可以应用的，这一点请同学们注意，有很多同学不记得这一点，上来就替换，最后算错了。第二，牢记等价无穷小替换公式，掌握它的广义化形式，不要记错公式和没有任何前提的应用广义化形式。 3)洛必达法则。说起这个法则，大家应该都很熟悉，没事“导”两下，但是这个可不是什么情况都能使用洛必达法则的，它是有条件的，三条，你还记得么?另外，洛必达法则并不是上来一个极限就用的，一般情况下是先利用等价无穷替换公式和四则运算等将极限表达式化简，最后再用洛必达法则，前提要验证是不是满足洛必达法则的三个条件，只要是想利用，就必须验证条件，而且这三个条件在历年考研真题中也考察过，请同学们注意。 4)重要极限。重要极限两个公式要牢记，也要掌握它们的广义化形式，灵活应用，会计算幂指函数极限的计算处理方法。 5)单侧极限。单侧极限这里要求在什么情况下要分侧求极限，比如分段函数，指数函数，反正切函数等这都是要分测计算极限的。 6)夹逼准则。一阶复习只需要掌握夹逼准则的内容，会简单的应用。 7)单调有界收敛定理。这个定理直接就说明了定理的内容，多是应用对数列极限存在的证明中，数一的部分题目中也会应用到。这里要掌握数列极限存在的证明思路：在草稿纸上，

高等数学(函数与极限)完全归纳笔记

目录： 函数与极限 (1) 1、集合的概念 (1) 2、常量与变量 (2) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (5) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (9) 10、函数极限的运算规则 (11) 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

函数与极限重点知识归纳

常量与变量 变量的定义 我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化,我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。 注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。 变量的表示 如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。 在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。 以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间： [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。 邻域 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 函数 函数的定义 如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做因变量。 注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的. 注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 函数的有界性 如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. 函数的单调性

高等数学-函数与极限-教案.

第一章 函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系 式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极 限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a M.

集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A ={a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A ={a 1, a 2, ? ? ?, a n }, M ={x | x 具有性质P }. 例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N ={0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. N +={1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={? ? ?, -n , ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A , 则必有x ∈B , 则称A 是B 的子集, 记为A ?B (读作A 包含于B )或B ?A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A ?B 且B ?A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B . 若A ?B 且A ≠B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 或x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 且x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B ={x |x ∈A 且x ?B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A ?B =B ?A , A ?B =B ?A ; (2)结合律 (A ?B )?C =A ?(B ?C ), (A ?B )?C =A ?(B ?C ); (3)分配律 (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ), (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C );