偏导数与高阶偏导数
偏导数的几何意义
偏导数的几何意义 实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件 背景知识： 一偏导数的定义 在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多. 所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例, 如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x 的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义 定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在 处有增量时,相应的函数有增量 - , 如果 (1) 存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做 , , ,或 例如,极限(1)可以表为 = 类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为
记做, , 或 如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导 函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数. 至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为
高阶偏导数(教案)
高阶偏导数 韩桂玲 教学目标： 1.掌握二元函数的二阶偏导数及高阶偏导数的定义 2.会求二元函数的二阶偏导数 3..理解二阶连续混合偏导数相等的定理证明 教学重点： 1.掌握二元函数的二阶偏导数及高阶偏导数的定义 2.会恰当的用定义法和公式法求二元函数的二阶及高阶偏导数 教学难点： 二阶连续混合偏导数相等的定理证明 教学方法： 讲授法 教学过程： 引入：若二元函数),(y x f z =在区域D 存在x 与y 的一阶偏导数，对D y x ∈?),( x y x f y x x f y x f x z x x ?-?+='=??→?),(),(lim ),(0 (把y 看作常数) y y x f y y x f y x f y z y y ?-?+='=??→?),(),(lim ),(0 (把x 看作常数) 1.二阶偏导数定义 若二元函数),(y x f z =在区域D 存在x 与y 的（一阶）偏导数),(y x f x z x '=??与),(y x f y z y '=??则在D 内它们都是x 与y 的二元函数。若它们关于x 与y 的偏导数存在，即 ),()(22y x f x z x z x xx ''=??=????x y x f y x x f x x x ?'-?+'=→?),(),(lim 0 (把y 看作常数) 定义法表出 ),()(2y x f y x z x z y xy ''=???=????y y x f y y x f x x y ?'-?+'=→?),(),(lim 0 (把x 看作常数) 定义法表出 ),()(2y x f x y z y z x yx ''=???=????x y x f y x x f y y x ?'-?+'=→?),(),(lim 0(把y 看作常数) 定义法表出 ),()(22y x f y z y z y yy ''=??=????y y x f y y x f y y y ?'-?+'=→?),(),(lim 0(把x 看作常数) 定义法表出 则称它们是二元函数),(y x f z =的二阶偏导数，其中第二、三个二阶偏导数称为混合偏导数。 2.二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数：二元函数),(y x f z =的1-n 阶偏导函数的偏导数 例如符号k k n n y x z ???-或),()(y x f n y x k k n -表示),(y x f z =的n 阶偏导数（先对x 求k n -阶偏导数，再对y 求k 阶偏导数） 3.高阶偏导数：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数
高阶偏导数(教案)
高阶偏导数(教案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高阶偏导数 韩桂玲 教学目标： 1.掌握二元函数的二阶偏导数及高阶偏导数的定义 2.会求二元函数的二阶偏导数 3..理解二阶连续混合偏导数相等的定理证明 教学重点： 1.掌握二元函数的二阶偏导数及高阶偏导数的定义 2.会恰当的用定义法和公式法求二元函数的二阶及高阶偏导数 教学难点： 二阶连续混合偏导数相等的定理证明 教学方法： 讲授法 教学过程： 引入：若二元函数),(y x f z =在区域D 存在x 与y 的一阶偏导数，对D y x ∈?),( x y x f y x x f y x f x z x x ?-?+='=??→?),(),(lim ),(0 (把y 看作常数) y y x f y y x f y x f y z y y ?-?+='=??→?),(),(lim ),(0 (把x 看作常数) 1.二阶偏导数定义 若二元函数),(y x f z =在区域D 存在x 与y 的（一阶）偏导数),(y x f x z x '=??与),(y x f y z y '=??则在D 内它们都是x 与y 的二元函数。若它们关于x 与y 的偏导数存在，即 ),()(22y x f x z x z x xx ''=??=????x y x f y x x f x x x ?'-?+'=→?),(),(lim 0 (把y 看作常数) 定义法表出 ),()(2y x f y x z x z y xy ''=???=????y y x f y y x f x x y ?'-?+'=→?),(),(lim 0 (把x 看作常数) 定义法表出 ),()(2y x f x y z y z x yx ''=???=????x y x f y x x f y y x ?'-?+'=→?),(),(lim 0(把y 看作常数) 定义法表出 ),()(22y x f y z y z y yy ''=??=????y y x f y y x f y y y ?'-?+'=→?),(),(lim 0(把x 看作常数) 定义法表出
第8讲-高阶偏导数与极值
第8讲 高阶导数与二元函数极值 讲授内容 一、高阶偏导数 由于),(y x f z =的偏导函数),(),,(y x f y x f y x 仍然是自变量x 与y 的函数，如果它们关于x 与y 的偏导数也存在，则说函数f 具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形： ),(22 y x f x z x x z xx =?? ? ??????=??， ).,(22 y x f y z y y z yy =???? ??????=?? ),,(2 y x f x z y y x z xy =?? ? ??????=??? ),(2y x f y z x x y z yx =??? ? ??????=??? 例1 求函数x y z arctan =的所有二阶偏导数. 解： () 2 2 22222 2y x xy y x y x x z +=??? ? ??+-??=??， () .22 222222 y x xy y x x y y z +-=??? ? ??+??= ?? (),222222 22 y x y x y x y y y x z +--=???? ??+-??=??? () ,2 222 2222y x y x y x x x x y z +--=??? ? ??+??=??? 注意：从上面例子看到， 关于x 和y 的不同顺序的两个二阶偏导数都相等（称为混合偏导数），但这个结论并不对任何函数都成立（见例2）.
例2 设函数()?? ???=+≠++-=.0 ,0,0 ,,222 222 2 2y x y x y x y x xy y x f 解： 它的一阶偏导数为()( )( )() ( ) ?? ???=+≠++++-=,0 ,0,0 ,4,222 22222 22222y x y x y x y x y y x y x y y x f x ()()( )()() ?? ???=+≠++-+-=,0 ,0,0 ,4,222 22222 22222y x y x y x y x x y x y x x y x f y 进而求f 在（0，0）处的混合偏导数，得 ()()() ,1lim 0,0,0lim 0,00 -=??-=?-?=→?→?y y y f y f f y x x y xy ()()() 1lim 0,00,lim 0,00 =??=?-?=→?→?x x x f x f f x y y x yx ． 由此看到，这里的()y x f ,在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？ 定理17.7 若),(),(y x f y x f yx xy 和都在点),(00y x 连续，则()()0000,,y x f y x f yx xy = . 这个定理的结论对n 元函数的混合偏导数也成立。如三元函数),,(z y x f u =，若下述六个三阶混合偏导数),,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(z y x f z y x f z y x f z y x f z y x f z y x f zyx yxz xzy zxy yzx xyz 在某一点都连续，则在这一点六个混合偏导数都相等. 例3 1）设,,??? ? ??=y x x f z 求22x z ??， .2y x z ??? 2）设(),,y x xy f z -= 求22 x z ??，.2y x z ??? 解：这里z 是以x 和y 为自变量的复合函数，它也可以改写成如下形式：.,),,(y x v x u v u f z = == 由复合函数求导公式有 .1v f y u f x v v f x u u f x z ??+ ??= ????+ ????= ?? 注意，这里v f u f ????,仍是以v u ,为中间变量y x ,为自变量的复合函数．所以 ???? ????+????=??v f y u f x x 1z 22 ???? ??????+?????+?????+????=x v v f x u u v f y x v v u f x u u f 2222221,1222 2222v f y v u f y u f ??+???+??= ???? ????+????=???v f y u f y y x z 12 ???? ??????+?????+??-?????+????=y v v f y u u v f y v f y y v v u f y u u f 22 2222211 .12 2 2 3 2 2 v f y v f y x v u f y x ??- ??- ???- = 二、中值定理
偏导数与高阶偏导数详细解法
第二节偏导数 教学目的：使学生了解偏导数的概念；熟练掌握一阶及二阶偏导数 的计算方法；了解偏导数存在与函数连续的关系。 教学重点：一阶及二阶偏导数的计算 教学过程： 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数z =f (x ,y ),如果只有自变量x 变化,而自变量y 固定,这时它就是x 的一元函数,这函数对x 的导数,就称为二元函数z =f (x ,y )对于x 的偏导数. 定义设函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)的某一邻域内有定义,当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时,相应地函数有增量 f (x 0+?x ,y 0)-f (x 0,y 0). 如果极限 x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000 存在,则称此极限为函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处对x 的偏导数,记作 00y y x x x z ==??,00y y x x x f ==??,00y y x x x z ==,或),(00y x f x . 例如 x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(0000000. 类似地,函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处对y 的偏导数定义为 y y x f y y x f y ?-?+→?),(),(lim 00000 , 记作00y y x x y z ==??,0 0y y x x y f ==??,00y y x x y z ==,或f y (x 0,y 0). 偏导函数:如果函数z =f (x ,y )在区域D 内每一点(x ,y )处对x 的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x 、y 的函数,它就称为函数z =f (x ,y )对自变量x 的偏导函数,记作 x z ??,x f ??,x z ,或),(y x f x . 偏导函数的定义式:x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(0 .
一阶连续偏导数和一阶偏导数连续是不一样的。
For personal use only in study and research; not for commercial use 一阶连续偏导数和一阶偏导数连续是不一样的。 一阶连续偏导数是指某个特定的偏导数存在并连续，并且描述的对象是这个偏导数；一阶偏导数连续是指每个偏导数都存在并且连续，描述的对象是偏导数的性质。 可微分->偏导数存在 可微分->连续 偏导数存在(比如x、y方向可偏导）->x、y方向函数连续，其他方向不一定一阶偏导数连续不能说明其存在二阶偏导数，正如函数连续不能说明一阶偏导数存在 曲线积分条件：分段光滑。 光滑：有切线 请参考两类曲线积分的计算过程，思考为什么是光滑，而不是可导。 分段：（有限多段） 请比教一元积分（含广义积分）条件：有限个间断点，且分段可积，请思考为什么是有限个。
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