高中数学数列练习题及解析
数列练习题
一．选择题（共16小题）
1．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n =a n+1﹣a n （n∈N *
），若b 3=﹣2，b 10=12，则a 8=（ ） A ． 0
B ． 3
C ． 8
D ． 11
2．在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=a n +ln （1+），则a n =（ ） A ． 2+lnn
B ． 2+（n ﹣1）lnn
C ． 2+nlnn
D ． 1+n+lnn
3．已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2
﹣9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于（ ） A ． 9
B ． 8
C ． 7
D ． 6
4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =2a n+1，则S n =（ ）
A ． 2n ﹣1
B ．
C ．
D ．
5．已知数列{a n }满足a 1=1，且，且n∈N *
），则数列{a n }的通项公式为（ ） A ． a n =
B ． a n =
C ． a n =n+2
D ． a n =（n+2）3n
6．已知数列{a n }中，a 1=2，a n+1﹣2a n =0，b n =log 2a n ，那么数列{b n }的前10项和等于（ ） A ．
130 B ． 120
C ． 55
D ． 50
7．在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =（ ） A ．
32+n B ． 321-+n
C ． 32-n
D ． 321++n
8．在数列{a n }中，若a 1=1，a 2=，=+
（n∈N *
），则该数列的通项公式为（ ）
A ． a n =
B ． a n =
C ． a n =
D ． a n =
9．已知数列{a n }满足a n+1=a n ﹣a n ﹣1（n≥2），a 1=1，a 2=3，记S n =a 1+a 2+…+a n ，则下列结论正确的是（ ） A ． a 100=﹣1，S 100=5 B ． a 100=﹣3，S 100=5 C ． a 100=﹣3，S 100=2
D ． a 100=﹣1，S 100=2
10．已知数列{a n }中，a 1=3，a n+1=2a n +1，则a 3=（ ） A ． 3
B ． 7
C ． 15
D ． 18
11．已知数列{a n }，满足a n+1=
，若a 1=，则a 2014=（ ）
A ．
B ． 2
C ． ﹣1
D ． 1
12．已知数列{}n a 中，651=a ,1
1)2
1(31+++=n n n a a ，，则n a =（ ） A ．
n n )3
1(2)21(3- B ． 11)31(2)21(3++-n n C ． n n )3
1(3)21(2- D ． 11)3
1(3)21
(2++-n n
13．已知数列{}n a 中，11=a ；数列{}n b 中，01=b 。当2≥n 时，)2(3111--+=
n n n b a a ,)2(3
1
11--+=n n n b a b ，
求n a ,n b .（ ）
14．已知：数列{a n }满足a 1=16，a n+1﹣a n =2n ，则的最小值为（ ）
A ． 8
B ． 7
C ． 6
D ． 5
15．已知数列{a n }中，a 1=2，na n+1=（n+1）a n +2，n∈N +
，则a 11=（ ） A ． 36
B ． 38
C ． 40
D ． 42
16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，当n≥2时，a n +2S n ﹣1=n ，则S 2015的值为（ ） A ． 2015
B ． 2013
C ． 1008
D ． 1007
二．填空题（共8小题） 17．已知无穷数列{a n }前n 项和
，则数列{a n }的各项和为
18．若数列{a n }中，a 1=3，且a n+1=a n 2
（n∈N *
），则数列的通项a n = ． 19．数列{a n }满足a 1=3，
﹣
=5（n∈N +），则a n = ．
20．已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2
﹣2n+2，则数列的通项a n = ． 21．已知数列{a n }中，
，则a 16= ．
22．已知数列{a n }的通项公式a n =
，若它的前n 项和为10，则项数n 为 ．
23．数列{a n }满足a n+1+（﹣1）n
a n =2n ﹣1，则{a n }的前60项和为 ． 24．已知数列{a n }，{
b n }满足a 1=，a n +b n =1，b n+1=
（n∈N *
），则b 2012= ．
三．解答题（共6小题）
25．设数列 {a n }的前n 项和为S n ，n∈N *
．已知a 1=1，a 2=，a 3=，且当a≥2时，4S n+2+5S n =8S n+1+S n ﹣1． （1）求a 4的值；（2）证明：{a n+1﹣a n }为等比数列； （3）求数列{a n }的通项公式．
26．数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．
（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；
（Ⅱ）求{a n}的通项公式．
27．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．
（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；
（2）求数列{a n}的前n项和S n．
28．（2015?琼海校级模拟）已知正项数列满足4S n=（a n+1）2．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
29．已知{a n}是等差数列，公差为d，首项a1=3，前n项和为S n．令，{c n}的前20项和T20=330．数列{b n}满足b n=2（a﹣2）d n﹣2+2n﹣1，a∈R．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若b n+1≤b n，n∈N*，求a的取值范围．
30．已知数列{a n}中，a1=3，前n和S n=（n+1）（a n+1）﹣1．
①求证：数列{a n}是等差数列
②求数列{a n}的通项公式
③设数列{}的前n项和为T n，是否存在实数M，使得T n≤M对一切正整数n都成立若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由．
2015年08月23日92的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．（2014?湖北模拟）数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0B．3C．8D．11
(累加)
考点：数列递推式．
专题：计算题．
分析：先利用等差数列的通项公式分别表示出b
和b10，联立方程求得b1和d，进而利用叠加法求得b1+b2+…+b n=a n+1
3
﹣a1，最后利用等差数列的求和公式求得答案．
解答：
解：依题意可知求得b1=﹣6，d=2
∵b n=a n+1﹣a n，
∴b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，
∴a8=b1+b2+…+b7+3=+3=3
故选B．
点评：本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握．
2．（2008?江西）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）
A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn
(累加)
考点：数列的概念及简单表示法．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．
解答：解：∵，
，
…
∴
=
故选：A．
点评：数列的通项a
或前n项和S n中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n﹣1等，这种办
n
法通常称迭代或递推．解答本题需了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．
3．（2007?广东）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣9n，第k项满足5＜a k＜8，则k等于（）
A．9B．8C．7D．6
考点：数列递推式．
专题：计算题．
分析：
先利用公式a n=求出a n，再由第k项满足5＜a k＜8，求出k．
解答：
解：a n=
=
∵n=1时适合a n=2n﹣10，∴a n=2n﹣10．
∵5＜a k＜8，∴5＜2k﹣10＜8，
∴＜k＜9，又∵k∈N+，∴k=8，
故选B．
点评：
本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用．
4．（2015?房山区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则S n=（）
A．2n﹣1B．C．D．
考点：数列递推式；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
专题：计算题．
分析：直接利用已知条件求出a
，通过S n=2a n+1，推出数列是等比数列，然后求出S n．
2
解答：解：因为数列{a
}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，a2=
n
所以S n﹣1=2a n，n≥2，可得a n=2a n+1﹣2a n，即：，
所以数列{a n}从第2项起，是等比数列，所以S n=1+=，n∈N+．
故选：B．
点评：本题考查数列的递推关系式的应用，前n项和的求法，考查计算能力．
5．（2015?衡水四模）已知数列{a n}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）
A．a
=B．a n=C．a n=n+2D．a n=（n+2）3n
n
考点：数列递推式．
分析：由题意及足a
=1，且，且n∈N*），则构造新的等差数列进而求解．
1
解答：
解：因为，且n∈N*）?，
即，则数列{b n}为首项，公差为1的等差数列，
所以b n=b1+（n﹣1）×1=3+n﹣1=n+2，所以，
故答案为：B
点评：此题考查了构造新的等差数列，等差数列的通项公式．
6．（2015?江西一模）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1﹣2a n=0，b n=log2a n，那么数列{b n}的前10项和等于（）A．130B．120C．55D．50
考点：数列递推式；数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
由题意可得，可得数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得到
a n ，利用对数的运算法则即可得到
b n ，再利用等差数列的前n 项公式即可得出．
解答：
解：在数列{a n }中，a 1=2，a n+1﹣2a n =0，即
，
∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴=2n
． ∴
=n ．
∴数列{b n }的前10项和=1+2+…+10==55．
故选C ．
点评： 熟练掌握等比数列的定义、等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的前n 项公式即可得出．
7．在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =（ ） A ．
32+n B ． 321-+n
C ． 32-n
D ． 321++n
8．（2015?遵义校级二模）在数列{a n }中，若a 1=1，a 2=，=
+（n∈N *
），则该数列的通项公式为（ ）
A ． a n =
B ． a n =
C ． a n =
D ． a n =
考点：数列递推式．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：由=+，确定数列{}是等差数列，即可求出数列的通项公式．
解答：解：∵=+，
∴数列{}是等差数列，
∵a1=1，a2=，
∴=n，
∴a n=，
故选：A．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项公式，确定数列{}是等差数列是关键．
9．（2015?锦州一模）已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，记S n=a1+a2+…+a n，则下列结论正确的是（）A．a
=﹣1，S100=5B．a100=﹣3，S100=5
100
C．a
=﹣3，S100=2D．a100=﹣1，S100=2
100
考点：数列递推式；数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由a
=a n﹣a n﹣1（n≥2）可推得该数列的周期为6，易求该数列的前6项，由此可求得答案．
n+1
解答：解：由a
=a n﹣a n﹣1（n≥2），得
n+1
a n+6=a n+5﹣a n+4=a n+4﹣a n+3﹣a n+4=﹣a n+3=﹣（a n+2﹣a n+1）=﹣（a n+1﹣a n﹣a n+1）=a n，
所以6为数列{a n}的周期，
又a3=a2﹣a1=3﹣1=2，a4=a3﹣a2=2﹣3=﹣1，a5=a4﹣a3=﹣1﹣2=﹣3，a6=a5﹣a4=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，
所以a100=a96+4=a4=﹣1，
S100=16（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1+a2+a3+a4=16×0+1+3+2﹣1=5，
故选A．
点评：本题考查数列递推式、数列求和，考查学生分析解决问题的能力．
10．（2015春?沧州期末）已知数列{a n}中，a1=3，a n+1=2a n+1，则a3=（）
A．3B．7C．15D．18
考点：数列的概念及简单表示法．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：根据数列的递推关系即可得到结论．
解答：解：∵a
=3，a n+1=2a n+1，
1
∴a2=2a1+1=2×3+1=7，
a3=2a2+1=2×7+1=15，
故选：C．
点评：本题主要考查数列的计算，利用数列的递推公式是解决本题的关键，比较基础．
11．（2015春?巴中校级期末）已知数列{a n}，满足a n+1=，若a1=，则a2014=（）
A．B．2C．﹣1D．1
考点：数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由已知条件，分别令n=1，2，3，4，利用递推思想依次求出数列的前5项，由此得到数列{a
}是周期为3的周
n 期数列，由此能求出a2014．
解答：
解：∵数列{a n}，满足a n+1=，a1=，
∴a2==2，
a3==﹣1，
a4==，
，
∴数列{a n}是周期为3的周期数列，
∵2014÷3=671…1，
∴a2014=a1=．
故选：A．
点评： 本题考查数列的第2014项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．
12．已知数列{}n a 中，651=a ,1
1
)21(31+++=n n n a a ，，则n a =（ ） A ．
n n )3
1(2)21(3- B ． 11)31(2)21(3++-n n C ． n n )3
1(3)21(2-
D ． 11)3
1(3)21(2++-n n
13．已知数列{}n a 中，11=a ；数列{}n b 中，01=b 。当2≥n 时，)2(3111--+=
n n n b a a ,)2(3
1
11--+=n n n b a b ，
求n a ,n b .（ ）
A ． C ．
])31(1[211-+=n n a ])31(1[211--=n n b B ． ])31(1[211-+=n n a ])3
1(1[211--=n n
b
解：因=
+n n b a ++--)2(3111n n b a )2(3
1
11--+n n b a 11--+=n n b a 所以=+n n b a 11--+n n b a 1112222=+=+=???=+=--b a b a b a n n 即1=+n n b a (1)
又因为=
-n n b a -+--)2(3111n n b a )2(3
111--+n n b a )(31
11---=n n b a
所以=-n n b a )(3
111---n n b a =-=--))31(222n n b a ……)()31(111
b a n -=-
1)31(-=n .即=-n n b a 1)3
1
(-=n ………………………（2） 由（1）、（2）得：])31(1[211-+=n n a ， ])3
1(1[211
--=n n b
14．（2014?通州区二模）已知：数列{a n}满足a1=16，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为（）
A．8B．7C．6D．5
考点：数列递推式．
专题：计算题；压轴题．
分析：a
﹣a1=2，a3﹣a2=4，…，a n+1﹣a n=2n，这n个式子相加，就有a n+1=16+n（n+1），故，由此能求2
出的最小值．
解答：解：a
﹣a1=2，
2
a3﹣a2=4，
…
a n+1﹣a n=2n，
这n个式子相加，就有
a n+1=16+n（n+1），
即a n=n（n﹣1）+16=n2﹣n+16，
∴，
用均值不等式，知道它在n=4的时候取最小值7．
故选B．
点评：本题考查数更列的性质和应用，解题时要注意递推公式的灵活运用．
15．（2014?中山模拟）已知数列{a n}中，a1=2，na n+1=（n+1）a n+2，n∈N+，则a11=（）
A．36B．38C．40D．42
考点：数列递推式．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：在等式的两边同时除以n（n+1），得﹣=2（﹣），然后利用累加法求数列的通项公式即可．
解答：解：因为na
=（n+1）a n+2（n∈N*），
n+1
所以在等式的两边同时除以n（n+1），得﹣=2（﹣），
所以=+2[（﹣）+（﹣）+…+（1﹣）]=
所以a11=42
故选D．
点评：本题主要考查利用累加法求数列的通项公式，以及利用裂项法求数列的和，要使熟练掌握这些变形技巧．
16．（2015?绥化一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，当n≥2时，a n+2S n﹣1=n，则S2015的值为（）A．2015B．2013C．1008D．1007
考点：数列递推式．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：根据a
+2S n﹣1=n得到递推关系a n+1+a n=1，n≥2，从而得到当n是奇数时，a n=1，n是偶数时，a n=0，即可得到结
n
论．
解答：解：∵当n≥2时，a
+2S n﹣1=n，
n
∴a n+1+2S n=n+1，两式相减得：
a n+1+2S n﹣（a n+2S n﹣1）=n+1﹣n，
即a n+1+a n=1，n≥2，
当n=2时，a2+2a1=2，解得a2=2﹣2a1=0，
满足a n+1+a n=1，
则当n是奇数时，a n=1，
当n是偶数时，a n=0，
则S2015=1008，
故选：C
点评：本题主要考查数列和的计算，根据数列的递推关系求出数列项的特点是解决本题的关键．
二．填空题（共8小题）
17．（2008?上海）已知无穷数列{a n}前n项和，则数列{a n}的各项和为﹣1
考点：数列递推式；极限及其运算．
专题：计算题．
分析：若想求数列的前N项和，则应先求数列的通项公式a
，由已知条件，结合a n=S n﹣S n﹣1可得递推公
n
式，因为是求无穷递缩等比数列的所有项的和，故由公式S=即得
解答：解：由可得：（n≥2），
两式相减得并化简：（n≥2），
又，
所以无穷数列{a n}是等比数列，且公比为﹣，
即无穷数列{a n}为递缩等比数列，
所以所有项的和S=
故答案是﹣1
点评：本题主要借助数列前N项和与项的关系，考查了数列的递推公式和无穷递缩等比数列所有项和公式，并检测了学生对求极限知识的掌握，属于一个比较综合的问题．
18．（2002?上海）若数列{a n}中，a1=3，且a n+1=a n2（n∈N*），则数列的通项a n= ．
考点：数列递推式．
专题：计算题；压轴题．
分析：由递推公式a
=a n2多次运用迭代可求出数列a n=a n﹣12=a n﹣24=…=a12n﹣1
n+1
解答：解：因为a
=3
1
多次运用迭代，可得a n=a n﹣12=a n﹣24=…=a12n﹣1=32n﹣1，
故答案为：
点评：本题主要考查利用迭代法求数列的通项公式，迭代中要注意规律，灵活运用公式，熟练变形是解题的关键19．（2015?张掖二模）数列{a n}满足a1=3，﹣=5（n∈N+），则a n= ．
考点：数列递推式；等差数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果．
解答：解：∵根据所给的数列的递推式
∴数列{}是一个公差是5的等差数列，
∵a1=3，
∴=，
∴数列的通项是
∴
故答案为：
点评：本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项，本题是一个中档题目．
20．（2015?历下区校级四模）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣2n+2，则数列的通项a n= ．
考点：数列递推式．
专题：计算题．
分析：
由已知中数列{a n}的前n项和S n=n2﹣2n+2，我们可以根据a n=求出数列的通项公式，但最后要验证n=1时，是否满足n≥2时所得的式子，如果不满足，则写成分段函数的形式．
解答：解：∵S
=n2﹣2n+2，
n
∴当n≥2时，
a n=S n﹣S n﹣1=（n2﹣2n+2）﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）+2]=2n﹣3
又∵当n=1时
a1=S1=1≠2×1﹣3
故a n=
故答案为：
点评：
本题考查的知识点是由前n项和公式，求数列的通项公式，其中掌握a n=，及解答此类问题的步骤是关键．
21．（2015春?邢台校级月考）已知数列{a n}中，，则a16= ．
考点：数列递推式．
专题：计算题．
分析：由，可分别求a2，a3，a4，从而可得数列的周期，可求
解答：解：∵，
则=﹣1
=2
=
∴数列{a n}是以3为周期的数列
∴a16=a1=
故答案为：
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，其中寻求数列的项的规律，找出数列的周期是求解的关键22．（2014春?库尔勒市校级期末）已知数列{a n}的通项公式a n=，若它的前n项和为10，则项数n为120 ．
考点：数列递推式；数列的求和．
专题：计算题．
分析：由题意知a
=，所以S n=（﹣）+（﹣）+（）=﹣1，再由﹣1=10，
n
可得n=120．
解答：解：∵a n==
∴S n=（﹣）+（﹣）+（）
=﹣1
∴﹣1=10，解得n=120
答案：120
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
23．（2012?黑龙江）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830 ．
考点：数列递推式；数列的求和．
专题：计算题；压轴题．
分析：令b
=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，则b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=b n+16可得数列{b n}是以16为公n+1
差的等差数列，而{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和，由等差数列的求和公式可求
解答：解：∵，
∴
令b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）﹣（a4n+2﹣a4n+1）=2，
a4n+2+a4n+4=（a4n+4﹣a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n+8，
则b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=b n+16
∴数列{b n}是以16为公差的等差数列，{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和
∵b1=a1+a2+a3+a4=10
∴=1830
点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和，等差数列的求和公式的应用，解题的关键是通过构造等差数
列
24．（2012?浙江模拟）已知数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=（n∈N*），则b 2012= ．
;
考
数列递推式．
点：
综合题．
专
题：
分
根据数列递推式，判断{}是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列，即可求得，故可求结论．析：
解
解：答：
∵a n+b n=1，b n+1=
∴b n+1==
∴b n+1﹣1=
∴﹣=﹣1
∵=﹣2
∴{}是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列
∴
∴
∴b2012=
故答案为：
点
本题考查数列递推式，解题的关键是判定{}是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列，属于中档题．
评：
三．解答题（共6小题）
25．（2015?广东）设数列 {a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当a≥2时，4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1．（1）求a4的值；
（2）证明：{a n+1﹣a n}为等比数列；
（3）求数列{a n}的通项公式．
考点：数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）直接在数列递推式中取n=2，求得；
（2）由4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），变形得到4a n+2+a n=4a n+1（n≥2），进一步得到，由此可得数列{}是以为首项，公比为的等比数列；
（3）由{}是以为首项，公比为的等比数列，可得．进一步
得到，说明{}是以为首项，4为公差的等差数列，由此可得数列{a n}的通项公式．
解答：（1）解：当n=2时，4S
+5S2=8S3+S1，即，
4
解得：；
（2）证明：∵4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），∴4S n+2﹣4S n+1+S n﹣S n﹣1=4S n+1﹣4S n（n≥2），
即4a n+2+a n=4a n+1（n≥2），
∵，∴4a n+2+a n=4a n+1．
∵=．
∴数列{}是以为首项，公比为的等比数列；
（3）解：由（2）知，{}是以为首项，公比为的等比数列，
∴．
即，
∴{}是以为首项，4为公差的等差数列，
∴，即，
∴数列{a n}的通项公式是．
点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，关键是灵活变形能力，是中档题．
26．（2014?广西）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．
（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；
（Ⅱ）求{a n}的通项公式．
考点：数列递推式；等差数列的通项公式；等差关系的确定．
专题：等差数列与等比数列．
2017届高三复习：数列大题训练50题及答案
2017届高三复习：数列大题训练50题 1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+. （1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n = 12111 23(1)n a a n a +++ + . 2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线012 1 =+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1 111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n 且 ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，8 1）和Q （4，8） (1) 求函数)(x f 的解析式； (2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15． 求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式． 5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数. （1）求证: {}n a 为等比数列； （2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111 ,,23 n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ?? ? ??? 的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++ 的结果. 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N*)，满足向 量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N*)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ; (2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12高中数学等差数列性质总结大全
等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 . （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． ` （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 ？ （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.
高中数学数列专题大题训练
高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析
一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，
（1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．
(word完整版)高中数学等差数列练习题
一、 过关练习： 1、在等差数列{}n a 中，2,365-==a a ，则1054a a a Λ++= 2、已知数列{}n a 中，() *+∈+==N n a a a n n 3 111,111，则50a = 3、在等差数列{}n a 中，,0,019181=+>a a a 则{}n a 的前n 项和n S 中最大的是 4、设数列{}n a 的通项为()*∈-=N n n a n 72，则1521a a a +++Λ= 二、 典例赏析： 例1、在等差数列{}n a 中，前n 项和记为n S ，已知50,302010==a a （1）求通项n a ；（2）若242=n S ，求n 例2、在等差数列 {}n a 中， （1）941,0S S a =>，求n S 取最大值时，n 的值； （2）1241,15S S a ==，求n S 的最大值。 例3、已知数列{}n a 满足()22,21 2 1≥-==-n a a a a a a n n ，其中a 是不为零的常数，令a a b n n -=1 （1） 求证：数列{}n b 是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式 三、强化训练： 1、等差数列{}n a 中，40,19552==+S a a ，则1a = 2、等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则前3m 项和为 3、等差数列{}n a 中，,4,84111073=-=-+a a a a a 记n n a a a S +++=Λ21，则13S 等于 4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10,10010010==S S ，则110S = 。 5、在ABC ?中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan C A C A ++的值 作业 A 组： 1、 在a 和b 两个数之间插入n 个数，使它们与a 、b 组成等差数列，则该数列的公差为 2、 已知方程 ()()02222=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则n m -等于 B 组： 3、 已知一元二次方程()()()02=-+-+-b a c x a c b x c b a 有两个相等的实根， 求证： c b a 1,1,1成等差数列 4、 已知数列 {}n a 的通项公式是254-=n a n ，求数列{}n a 的前n 项和
高中数学几种常见的数列递推关系式专题辅导
高中数学几种常见的数列递推关系式 数列的递推关系是指数列中的前一项（前几项）与后一项的关系式。递推数列是数列中的重要内容，通过递推关系，观察，探求数列的规律，进而可求出整个数列的通项公式。通过递推关系的学习，可以培养学生的观察能力，归纳与转化能力，综合运用知识等能力，因此，是近几年高考与竞赛的热点。 下面针对几种高中常见的递推形式及处理方法做一总结。 一. 定义法 常见形式： 已知：a a a a d n n 11==++， ① 或a a a a q n n 110=≠=+， ② （其中，d 常数，q ≠0为常数） 定义法即高中所学的两大基本数列——等差数列与等比数列的基本定义式。 已知首项，与递推关系，数列的通项即知，在此不做赘述。但这两个基本数列的求通项公式的方法在后续学习中，在方法上起到了指导作用。即我们下面要介绍的方法。 二. 迭代法 常见形式：已知 a a a a f n n n 110=≠=++，() ③ 或a a a a f n f n n n 110=≠=+，，()()不恒为零 ④ （这里的f n ()是关于n 的关系式）。 这两个形式的递推关系式，虽然不是等差与等比数列，但表达方式上非常接近。我们可以利用迭代的方法来求出通项a n 也可以分别称为叠加法和叠乘法。 如：③a a f 211-=() a a f 322-=() …… a a f n n n N n n -=-≥∈-112()()*， 将以上n -1个式子叠加，可得 a a f f f n n n N n -=+++-≥∈11212()()()()*…， 这里，我们只须已知数列的首项a 1利用求和求出上述等式右端的和，即可求出数列 {}a n 的通项公式来。 如：④的具体例子： 例1. （2006年东北三省三校一模试题21）已知数列{}a n ，S n 是数列的前n 项和， a S n a n n 212 ==，。求S n 。 解：因为S n S S n n N n n n =-≥∈-2 21()()*， 所以n S n S n n 22 21-=- S S n n n n N n n -= -≥∈123()*， S S S S S S S S n n n n n n N n n n n 324312131425364132 3·…····… ·，---=---≥∈()*
高考新课标数学数列大题精选50题(含答案、知识卡片)
高考新课标数学数列大题精选50题（含答案、知识卡片） 一．解答题（共50题） 1．（2019?全国）数列{a n}中，a1＝，2a n+1a n+a n+1﹣a n＝0． （1）求{a n}的通项公式； （2）求满足a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n＜的n的最大值． 2．（2019?新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5． （1）若a3＝4，求{a n}的通项公式； （2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围． 3．（2019?新课标Ⅱ）已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4．（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n﹣b n}是等差数列； （2）求{a n}和{b n}的通项公式．
4．（2019?新课标Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16．（1）求{a n}的通项公式； （2）设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和． 5．（2018?新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．（1）求{a n}的通项公式； （2）求S n，并求S n的最小值． 6．（2018?新课标Ⅰ）已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝．（1）求b1，b2，b3； （2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由； （3）求{a n}的通项公式．
7．（2018?新课标Ⅲ）等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3． （1）求{a n}的通项公式； （2）记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m． 8．（2017?全国）设数列{b n}的各项都为正数，且． （1）证明数列为等差数列； （2）设b1＝1，求数列{b n b n+1}的前n项和S n． 9．（2017?新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2． （1）若a3+b3＝5，求{b n}的通项公式； （2）若T3＝21，求S3．
高中数学等差数列教案3篇
高中数学等差数列教案3篇 教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。下面是为大家收集等差数列教案，希望你们能喜欢。 等差数列教案一 【教学目标】 1. 知识与技能 (1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列： (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程： (3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2.过程与方法 在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊
到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观 通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。 【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式 【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】 我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重
引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展. 【设计思路】 1.教法 ①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性. ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性. ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点. 2.学法 引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法. 【教学过程】 一：创设情境，引入新课
高中数学-递推数列的通项的求法练习
高中数学-递推数列的通项的求法练习 1．(·海南三亚一模)在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的第( )项．( ) A ．16 B ．24 C ．26 D ．28 答案 C 解析 设题中数列{a n }，则a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令3n －2＝219＝76，解得n ＝26.故选C. 2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2 ，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 答案 A 解析 a 1＝S 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2 ＝2n －1(n≥2)．a 8＝2×8－1＝15.故选A. 3．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 2 017等于( ) A ．2 017×2 018 B ．2 016×2 017 C ．2 015×2 016 D ．2 017×2 017 答案 B 解析 累加法易知选B. 4．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2 x n (n≥2)，则x n 等于( ) A ．(23)n －1 B ．(23)n C.n ＋12 D.2 n ＋1 答案 D 解析 由关系式易知?????? 1x n 为首项为1 x 1＝1，d ＝12的等差数列，1 x n ＝n ＋12，所以x n ＝2 n ＋1 . 5．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝12a n －1＋1(n≥2)，则a n ＝( ) A ．2－(12)n －1 B ．(12)n －1 －2 C ．2－2n －1 D ．2n －1 答案 A 解析 设a n ＋c ＝12(a n －1＋c)，易得c ＝－2，所以a n －2＝(a 1－2)(12)n －1＝－(12)n －1 ，所以选A. 6．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝32a n －3，则这个数列的通项公式a n ＝( ) A ．2(n 2＋n ＋1) B ．2·3n C ．3·2n D ．3n ＋1
高考数学数列大题训练答案版
高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a
数列综合练习题以及答案解析
数列综合练习题 一．选择题（共23小题） 1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（） A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4） 2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞） 3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（） A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负 4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（） A．2 B．lg50 C．10 D．5 5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（） A．B．C．D． 7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（） A．B．C．D．
8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（） A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，） 9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|， 则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（） A．①②③④B．①④C．①②④D．②③ 10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（） A．③④B．①②④C．①③④D．①③ 11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（） A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2 12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（） A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣ 13．如果数列{a n}是等比数列，那么（） A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列 14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D． 15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（） A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C） 16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）
(完整版)高中数学等差数列教案
等差数列 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 教学过程： 引入：① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2985，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ 共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可 得：d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项a 如数列①1，2，3，4，5，6； n n a n =?-+=1)1(1（1≤n ≤6） 数列②10，8，6，4，2，…； n n a n 212)2()1(10-=-?-+=（n ≥1） 数列③ ;,1,54 ;53,52;51Λ 5 51)1(51n n a n =?-+=（n ≥1） 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--= 则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n m a a n m -- 如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+= 三、例题讲解 例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项 ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
(推荐)高中数学数列知识点精华总结
数 列 专 题 ◆ 考点一：求数列的通项公式 1. 由a n 与S n 的关系求通项公式 由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有： ①利用S n －S n －1＝a n (n≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式； 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝? ?? ?? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可 并入n≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示． ②转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 的关系，再求a n . 2.由递推关系式求数列的通项公式 由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解． ◆ 累加法：递推关系形如a n ＋1－a n ＝f(n)，常用累加法求通项； ◆ 累乘法：递推关系形如a n ＋1 a n ＝f(n)，常用累乘法求通项； ◆ 构造法：1）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q(p 、q 是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通 项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p(a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列； 2）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n ＋1 转为用迭加法求解． 3） ◆ 倒数变形
3.数列函数性质的应用 数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 函数思想在数列中的应用 (1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决． (2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法． （3)数列{a n }的最大(小)项的求法 可以利用不等式组? ?? ?? a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组? ?? ?? a n －1≥a n ， a n ≤a n ＋1，找到 数列的最小项. [例3] 已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2 －5n ＋4，①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． (2)若a n ＝n 2 ＋kn ＋4且对于n ∈N * ，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围． 考点二：等差数列和等比数列 等差数列 等比数列 定义 a n －a n －1＝常数(n≥2) a n a n －1＝常数(n≥2) 通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1 (q≠0)
人教版高中数学必修5《数列》练习题(有答案)
必修5数列 2．等差数列{}n a 中，()46810129111120,3 a a a a a a a ++++=-则的值为 A ．14 B ．15 C ．16 D ． 17 3．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前项的和最大． 解：0912129=-=S S S S ， 10111211111030,00a a a a a a ∴++=∴=∴=>， ，又 4．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为． 解：∵ ，，， ，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为10010=S ， 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，． ①求出公差d 的范围； ②指出1221S S S ，， ， 中哪一个值最大，并说明理由． 解：①)(6)(610312112a a a a S + =+=36(27)0a d =+> ② 12671377666()013000 S a a S a a a S =+>=<∴<>∴， 最大。 1． 已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，===+等于() A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 794121215a a a a a +=+∴= A 2． 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-==． 54
3． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则． 4． 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ，． ①求通项n a ；②若n S =242，求n ． 解：d n a a n )1(1-+= 1 1 10201930 123050 21019502 n a d a a a a n a d d +==??==∴∴=+??+==??，解方程组 5．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分 钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇?②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇? 故第一次相遇是在开始运动后7分钟． 故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(2 1 -++= n n a n S ． ①求证：数列{}n a 是等差数列； ②求数列{}n a 的通项公式； ③设数列? ?? ?? ? +11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立? 若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由． 12122(1)(1)() 2n n n n n n n a n a a a a a ++++∴+=++∴=+∴数列{}n a 为等差数列． ②1)1(311-+==+n n a n na a ，
高中数学必修等差数列知识点总结和题型归纳
二、题型选析： 题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用） 1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6 ，2a -5 ， -3a +2 ，则 a A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2．在数列 {a n } 中， a 1=2，2a n+1=2a n +1，则 a 101的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ． 51 D ．52 3．等差数列 1，－ 1，－ 3，?，－ 89的项数是（ ） 等差数列 一．等差数列知识点： 知识点 1、等差数列的定义 : ①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 知识点 2、等差数列的判定方法 : ②定义法：对于数列 a n ，若a n 1 a n d （常数） ，则数列 a n 是等差数列 ③等差中项：对于数列 a n ，若2a n 1 a n a n 2，则数列 a n 是等差数列 知识点 3、等差数列的通项公式 : 的首项是 a 1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为 该公式整理后是关于 n 的一次函数 n 项和 : n （n 1） ⑥ S n na 1 d 2 ④如果等差数列 a n a n a 1 （n 1）d 知识点 4、等差数列的前 ⑤ Sn n （a 1 a n ） 2 对于公式 2整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 知识点 5、等差中项 : ⑥如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项即： A a b 或2A a b 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点 6、等差数列的性质 : ⑦等差数列任意两项间的关系：如果 且 m n ，公差为 d ，则有 a n a m （n ⑧ 对于等差数列 a n ，若 n m p a n 是等差数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项， m ）d q ，则 a n a m a p a q 也就是： a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ⑨若数列 a n 是等差数列， 等差数列如下图所示： S n 是其前 n 项的和， k N ，那么 S k ， S 2k S k ， S 3k S 2k 成 S 3k a 1 a 2 a 3 S k a k a k 1 S 2k a 2k S k a 2k 1 S 3k S 2k a 3k ①若项数为 2n n * ， 则 S 2n n a n a n 1 ， 且 S 偶 S 奇 S 奇 nd ， 奇 an ． ②若项数为 2n 1 n S 偶 a n 1 S 奇 n （其中 S 奇 na n ， S 偶 n 1 a n ）． S 偶 n 1 奇 等差数列的前 n 项和的性质： 10、 ，则 S 2n 1 2n 1 a n ，且 S 奇 S 偶 a n ， 等于（ ）
_时间数列练习题及解答
《时间序列》练习题及解答 一、单项选择题 从下列各题所给的4个备选答案中选出1个正确答案，并将其编号（A、B、C、D）填入题干后面的括号内。 1、构成时间数列的两个基本要素是（）。 A、主词和宾词 B、变量和次数 C、时间和指标数值 D、时间和次数 2、最基本的时间数列是（）。 A、时点数列 B、绝对数数列 C、相对数数列 D、平均数数列 3、时间数列中，各项指标数值可以相加的是（）。 A、相对数数列 B、时期数列 C、平均数数列 D、时点数列 4、时间数列中的发展水平（）。 A、只能是总量指标 B、只能是相对指标 C、只能是平均指标 D、上述三种指标均可以 5、对时间数列进行动态分析的基础指标是（）。 A、发展水平 B、平均发展水平 C、发展速度 D、平均发展速度 6、由间断时点数列计算序时平均数，其假定条件是研究现象在相邻两个时点之间的变动为（）。 A、连续的 B、间断的 C、稳定的 D、均匀的 7、序时平均数与一般平均数的共同点是（）。 A、两者均是反映同一总体的一般水平 B、都是反映现象的一般水平 C、两者均可消除现象波动的影响 D、共同反映同质总体在不同时间上的一般水平 8、时间序列最基本的速度指标是（）。 A、发展速度 B、平均发展速度 C、增长速度 D、平均增长速度 9、根据采用的对比基期不同，发展速度有（）。 A、环比发展速度与定基发展速度 B、环比发展速度与累积发展速度 C、逐期发展速度与累积发展速度 D、累积发展速度与定基发展速度 10、如果时间序列逐期增长量大体相等，则宜配合（）。 A、直线模型 B、抛物线模型 C、曲线模型 D、指数曲线模型 该商场第二季度平均完成计划为（）。 A、100%124%104% 108.6% 3 ++ = B、 506278 108.6% 506278 100%124%104% ++ = ++ C、 506278 100%124%104%92.1% 506278 ++ = ++ D、50100%62124%78104% 109.5% 506278 ?+?+? = ++ 12、增长速度的计算公式为（）。
高中数学等差数列教案
课 题：2.2 等差数列（一） 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 教学过程： 一、复习引入： 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子: 2. 小明目前会100个单词，他打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为： 100，98，96，94，92 ① 3. 小芳只会5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递增为 5，15，25，35，45 ② 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ ·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。 (二) 新课探究 1、由引入自然的给出等差数列的概念： 如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 来表示。强调： ① “从第二项起”满足条件； ②公差d 一定是由后项减前项所得； ③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）； 在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：
