2017-2018高数B-2期末B试题及答案
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温馨提示（请务必仔细阅读）
（1）本试卷共8页，第1-2页为答题纸，第3-6页为试题页，第7-8页为草稿页。
试题页空白处及背面也可做草稿纸用。
（2）请将答案写在答题纸相应位置上，答案写在试题页或草稿页上一律无效。 （3）交卷时请将答题纸（1-2页）和试题页、草稿页（3-8页）分开上交。
一、填空题Ⅰ（共12分，每小题3分）
1. 若三重积分
(,,)d 1f x y z v Ω
=???，且
Ω的体积2V =，则
[](,,)2d f x y z v Ω
-=???___________． 2. 对于正项级数1n n u ∞
=∑，若1
lim
n n n
u u ρ+→∞=，则当1ρ<时，级数1n n u ∞
=∑的收敛性为___________．
3. 将函数3
()e x f x =在(,)-∞+∞内展开为x 的幂级数，则展开式为
()f x =________________________．
4. 幂级数
2n n
n x ∞
=∑在11(,)22-内的和函数为()s x =_________________． 答：1．3- 2．收敛 3．
30
1!n n x n ∞
=∑ 4．1
12x - 二、填空题Ⅱ（共18分，每小题3分）
5. 方程3
2ln y y x ''+=是_______阶微分方程． 6. 微分方程
d d 0y
x x
-=的通解为________________________________． 7. 微分方程sin y x ''=的通解为_______________________________． 8. 微分方程0y y '''-=的通解为_________________________． 9. 微分方程10250y y y '''-+=的通解为________________________． 10.若函数e cos 2x
y x =与e sin 2x
y x =是常系数线性方程0y py qy '''++=的两个解，则该方程的通解为__________________________．
答：5．二 6．2
12
y x C =+ 7．12sin y x C x C =-++
8．12e x y C C =+ 9．512()e x y C C x =+ 10．12e (cos 2sin 2)x
y C x C x =+
三、单项选择题（每小题只有一个正确选项）（共18分，每小题3分）
11.设Ω是由上半球面2
2
2
4x y z ++=与xOy 面所围成的空间闭区域，则三重积分
(,,)d f x y z v Ω
???可转化为（ ） （A
）
220
4
d d (,,)d x y x y f x y z z +≤?? （B ）
222
4
d d (,,)d x y x y f x y z z +≤???
（C
）
220
4(,,)d d x y z
f x y z x y +≤?? （D ）222
4
d (,,)d d x y z
f x y z x y +≤???
12．设级数①11n n ∞
=∑，②()0
1n
n ∞
=-∑，则收敛的为（ ）
（A ）①② （B ）① （C ）② （D ）①②均发散 13．设幂级数
1n
n n a x
∞
=∑在点1x =处收敛，在点1x =-处发散，则（ ）
（A ）幂级数
1n
n n a x
∞
=∑在点2x =处必发散
（B ）幂级数
1
(1)
n
n n a x ∞
=-∑在点2x =处可能发散
（C ）数项级数
13
n
n
n a ∞
=∑必条件收敛 （D ）幂级数
1
n n
n a x
∞
=∑在点2
3
x =-
处必发散 14．幂级数
1
12n
n x n ∞
=+∑的收敛域为（ ） （A ）[1,1]- （B ）[1,1)- （C ）(1,1)- （D ）{0} 15．关于微分方程21
y y
''=-
，下列说法正确的是（ ）
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（A ）是可分离变量的微分方程，可利用分离变量的方法求解 （B ）是(,)y f y y '''=型可降阶方程，可利用代换y p '=化为21
p y
'=-
求解 （C ）是(,)y f y y '''=型可降阶方程，可利用代换y p '=化为2d 1
d p p y y
=-求解 （D ）是二阶线性微分方程，可通过特征方程求解
16．若11()y y x =、22()y y x =分别是线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=（()0f x ≡/）及其对应的齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的解，则函数
122y y y =+是方程（ ）的解．
（A ）()()0y p x y q x y '''++= （B ）()()()y p x y q x y f x '''++= （C ）()()2()y p x y q x y f x '''++= （D ）()()3()y p x y q x y f x '''++=
11
12
13
14
15
16
A D A
B
C B
四、计算题（共28分，每小题7分）
17．设闭区域:02, 02, 01x y z Ω≤≤≤≤≤≤，计算三重积分
2
d xz v Ω
???． 解：
2
2
1
22
000d d d d xz v x y xz z Ω
=??????
（4分）2
2
1
2000
d d d x x y z z =?????（5分）14
2233
=??=（7分）
18．计算三重积分
()2
2d x y v Ω
+???，
其中Ω是由圆柱面22
1x y +=与平面0z =、4z =围成的闭区域．
解：
()2
2
3
d d d d x y v z Ω
Ω
ρρθ+=??????（2分）214
3
000
d d d z πθρρ=???（5分）
1
2424
ππ=??=（7分）
19．求微分方程311107e x
y y y '''-+=的通解．
解：特征方程为2
11100r r -+=，121,10r r ==，对应齐次方程11100y y y '''-+=的通解为1012e e x x
y C C =+；（3分）
设原方程一个特解为3e x
y C *
=，代入方程得33339e 33e 10e 7e x x x x
C C C -+=，
12C =-，从而31
e 2
x y *=-，
（6分） 原方程通解为103121
e e
e 2
x
x
x y y y C C *
=+=+-（7分） 20．求解微分方程的初值问题4
304e
1
x x y x y y -=?'+=??=??．
解：方程通解为
()
33
4
4d 4d e e
e d x x
x x
x y x C --?
?=?+?（3分）
(
)
()4
4
4
4
e e e d e x
x x x
x C x C ---=?+=+?
（6分） 由01x y ==，得1C =，从而初值问题的解为()4
e 1x
y x -=+（7分）
解法二（常数变易法）：解出对应齐次方程通解4
e
x y C -=（2分）
设非齐次方程通解为4
()e x y u x -=（3分），代入整理得出通解()4
e x y x C -=+（6
分），代初始条件得出特解（7分）
五、解答题（共24分，每小题8分）
21．判断级数
1
cos(1)
!n n n ∞
=+∑是否收敛？是否绝对收敛？ 解：
cos(1)11
cos(1)!!!n n n n n +=+≤（2分）
由正项级数11!n n ∞=∑收敛（4分），知1cos(1)!n n n ∞=+∑收敛（6分），从而1
cos(1)
!n n n ∞
=+∑
收敛且绝对收敛（8分） 22．将函数2
1
()4
f x x =
-展开为x 的幂级数，并指出展开式成立的范围． 解：211()414
f x x =-?-
（2分）20144n
n x ∞
=??
=- ???∑（6分）
21014n
n n x ∞
+=??=- ???∑（7分），
214x <即22x -<<（8分） 23．已知函数()y x 在区间(1, 1)-内满足方程()yy s x '=，且(0)0y =，其中()
s x 在区间(1, 1)-内可展开为幂级数21
1
()n n s x nx
∞
-==
∑，求()y x ．
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解：方程分离变量，有d ()d y y s x x =，
两边积分，得2
1()d 2
y s x x =?（2分）0()d x s x x C =+?（3分）
由(0)0y =，得0C =（4分）
又 22121
2200
01111()d d d 22(1)x
x
x n n n n n n x s x x nx x nx x x x ∞∞∞--===??==== ?-??
∑∑∑???（7分） 故22222(1)y x x =-，即2()1x y x x
=±-（8分） 解法二：对21
1
()n n s x nx
∞
-==
∑两端积分，得
22121
220001111()d d d 22(1)x
x
x n n n n n n x s x x nx x nx x x x ∞∞∞--===??==== ?-??
∑∑∑???（3分） 于是22()2(1)x s x x '??= ?-??，方程即为222(1)x yy x '
??'= ?
-??
（4分） 分离变量得22d d 2(1)x y y x x '??= ?-??
，两边积分，得22
222(1)y x C x =+-（6分） 由(0)0y =，得0C =，于是22
21x y x =-，2()1x y x x
=±-（8分）