高中数学人教版必修1函数模型及其应用教学设计

适用学科 高中数学
适用年级
高一
适用区域 通用
课时时长（分钟）
2 课时
知识点
1.几类不同增长的函数模型的特点
2.用已知函数模型解决实际问题
3.建立函数模型解决实际问题
教学目标 1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上
升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；
2．了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）
的实例。
教学重点 了解函数模型的广泛应用。
教学难点 了解函数模型的广泛应用。
【教学建议】 本课内容是函数的应用，它的本质就是我们学习过的函数做为模型在现实问题刻画过程
中的基本操作过程和常见函数图象与性质在应用中的升华.本课内容是课本必修 1 中第三章 的重点内容之一，课本中还渗透了函数拟合的基本思想，这也为后面高中的学习做了铺垫。 通过本节的学习，要使学生从中体会函数模型刻画现实问题的基本过程并体会函数在数学及 其它地方的应用的广泛性，能初步运用函数的思想解决现实生活中的一些简单问题， 函数 模型本身就来源于现实，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知 识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成. 【知识导图】

【教学建议】
导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状
态。
导入的方法很多，仅举两种方法：
① 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；
② 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学
生建立知识网络。
提供一个教学设计供讲师参考：
环节
教学内容设计
师生双边互动
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”
师：指出：一般而言，在理想条件
在教科书第三章的章头图中，有一大群 （食物或养料充足，空间条件充裕，
喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳 气候适宜，没有敌害等）下，种群
大利亚伤透了脑筋．1859 年，有人从欧洲 在一定时期内的增长大致符合“J”
带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧 型曲线；在有限环境（空间有限，
创
草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断 食物有限，有捕食者存在等）中，
设
增加，不到 100 年，兔子们占领了整个澳 种群增长到一定程度后不增长，曲
情
大利亚，数量达到 75 亿只．可爱的兔子变 线呈“S”型．可用指数函数描述一
境
得可恶起来，75 亿只兔子吃掉了相当于 75 个种群的前期增长，用对数函数描
亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降 述后期增长的
低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使
澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消
灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科
学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的

野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
组 织 探 究
环节 组 织 探
例 1．假设你有一笔资金用于投资， 师：创设问题情境，以问题引入能
现有三种投资方案供你选择，这三种方案 激起学生的热情，使课堂里的有效
的回报如下：
思维增强．
方案一：每天回报 40 元；
生：阅读题目，理解题意，思考探
方案二：第一天回报 10 元，以后每 究问题．
天比前一天多回报 10 元；
师：引导学生分析本例中的数量关
方案三：第一天回报 0 .4 元，以后 系，并思考应当选择怎样的函数模
每天的回报比前一天翻一番．
型来描述．
请问，你会选择哪种投资方案？
生：观察表格，获取信息，体会三
探究：
种函数的增长差异，特别是指数爆
1）在本例中涉及哪些数量关系？如 炸，说出自己的发现，并进行交流．
何用函数描述这些数量关系？
师：引导学生观察表格中三种方案
2）分析解答（略）
的数量变化情况，对于“增加量”
3）根据例 1 表格中所提供的数据， 进行比较，体会“直线增长”、“指
你对三种方案分别表现出的回报资金的增 数爆炸”等．
长差异有什么认识？
教学内容设计
师生双边互动
4）你能借助计算器或计算机作出函 师：引导学生利用函数图象分析三
数图象，并通过图象描述一下三种方案的 种方案的不同变化趋势．
特点吗？
生：对三种方案的不同变化趋势作

究 环节
5）根据以上分析，你认为就作出如 出描述，并为方案选择提供依据．
何选择？
师：引导学生分析影响方案选择的
因素，使学生认识到要做出正确选
择除了考虑每天的收益，还要考虑
一段时间内的总收益．
生：通过自主活动，分析整理数据，
并根据其中的信息做出推理判断，
获得累计收益并给出本全的完整解
答，然后全班进行交流．
例 2．某公司为了实现 1000 万元利润 师：引导学生分析三种函数的不同
的目标，准备制定一个激励销售部门的奖 增长情况对于奖励模型的影响，使
励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销 学生明确问题的实质就是比较三个
售利润进行奖励，且奖金 y（单位：万元） 函数的增长情况．
随销售利润 x （单位：万元）的增加而增 生：进一步体会三种基本函数模型
加但奖金不超过 5 万元，同时奖金不超过 在实际中的广泛应用，体会它们的
利润的 25%．现有三个奖励模型：
增长差异．
y ? 0.25x y ? log7 x ?1 y ? 1.002 x ．
问：其中哪个模型能符合公司的要 求？
探究：
师：引导学生分析问题使学生得出： 要对每一个奖励模型的奖金总额是 否超出 5 万元，以及奖励比例是否 超过 25%进行分析，才能做出正确 选择．
1） 本例涉及了哪几类函数模型？
本例的实质是什么？
2）你能根据问题中的数据，判定所给
的奖励模型是否符合公司要求吗？
呈现教学材料
师生互动设计

3）通过对三个函数模型增长差异的 生：分析数据特点与作用判定每一
比较，写出例 2 的解答． 组
织
探
究
个奖励模型是否符合要求． 师：引导学生利用解析式，结合图 象，对三个模型的增长情况进行分 析比较，写出完整的解答过程． 生：进一步认识三个函数模型的增
长差异，对问题作出具体解答．
幂函数、指数函数、对数函数的增长 师：引导学生仿照前面例题的探究
差异分析：
方法，选用具体函数进行比较分析．
探
你能否仿照前面例题使用的方法，探 生：仿照例题的探究方法，选用具
究
索研究幂函数 y ? x n (n ? 0) 、指数函数 体函数进行研究、论证，并进行交
与
y ? ax (a ? 1) 、对数函数
发
流总结，形成结论性报告． 师：对学生的结论进行评析，借助
现
y ? log a x(a ? 1) 在区间 (0,??) 上的增 信息技术手段进行验证演示．
长差异，并进行交流、讨论、概括总结，
形成较为准确、详尽的结论性报告．
尝试练习：
生：通过尝试练习进一步体会三种
1） 教材 P116 练习 1、2；
不同增长的函数模型的增长差异及
2） 教材 P119 练习．
其实际应用．
巩
小结与反思：
师：培养学生对数学学科的深刻认
固
通过实例和计算机作图体会、认识直 识，体会数学的应用美．
与
线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数
反
模型的增长的含义，认识数学的价值，认
思
识数学与现实生活、与其他学科的密切联
系，从而体会数学的实用价值，享受数学
的应用美．
（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、 被动关系，并用 x、y 分别表示问题中的变量； （2）建立函数模型：将变量 y 表示为 x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般

都是函数的解析式； （3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知 识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.
这些步骤用框图表示： （1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之 间的关系，数据的单位等等； （2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数， 建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函 数的定义域； （3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计 算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。
类型一 用函数图象刻画变化过程 (1)设甲、乙两地的距离为 a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙
地休息 10 分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟，则小王从出发到返回原地所 经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图象为( )
(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种 绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0，各种方 案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运 输量)逐步提高的是( )
答案与解析 解析 (1)y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除 A，C；又因为 小王在乙地休息 10 分钟，故排除 B，故选 D. (2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故

函数的图象应一直是下凹的，故选 B. 【总结与反思】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点， 结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况 的答案．
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市场售价 与上市时间的关系用图 2—10 中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关 系用图 2—10 中（2）的抛物线表示.
图 2—10 （1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式 P＝f（t）； 写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式 Q＝g（t）； （2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? （注：市场售价和种植成本的单位：元／102，kg，时间单位：天）
答案与解析
解：（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为
f（t）＝
?300 ??2t ?
? t,0 ? t ? 200, 300,200 ? t ? 300;
由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为 g（t）＝ 1 （t－150）2＋100，0≤t≤300． 200
（2）设 t 时刻的纯收益为 h（t），则由题意得 h（t）＝f（t）－g（t），
即
h（t）＝
???? ? ????
1 200 1 200
t t
2 2
? ?
1 2 7 2
t t
? ?
175 ,0 ? t ? 200, 2
1025 ,200 ? t ? 300. 2
当 0≤t≤200 时，配方整理得 h（t）＝－ 1 （t－50）2＋100，所以，当 t＝50 时，h（t）取 200

得区间［0，200］上的最大值 100；
当 200＜t≤300 时，配方整理得 h（t）＝－ 1 （t－350）2＋100，所以，当 t＝300 时，h 200
（t）取得区间（200，300］上的最大值 87.5. 综上，由 100＞87．5 可知，h（t）在区间［0，300］上可以取得最大值 100，此时 t＝50， 即从二月一日开始的第 50 天时，上市的西红柿纯收益最大.
类型二 已知函数模型的实际问题
候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞
行速度
v(单位：m/s)与其耗氧量
Q
之间的关系为
v
?
a
?
b
log3
Q 10
(其中
a、b
是实数)．据
统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速
度为 1 m/s.
(1)求出 a、b 的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
答案与解析 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位，故有
a
?
b
log3
30 10
＝0，
即 a＋b＝0；当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1
m/s，故
a
?
b
log3
90 10
＝1，整理得
a＋2b
＝1.
解方程组?????aa＋ ＋b2＝ b＝0， 1， 得?????ab＝ ＝－ 1.1， (2)由(1)知，v＝－1＋log31Q0.所以要使飞行速度不低于 2 m/s，则有 v≥2，即－1＋log31Q0≥2，
即
Q log310≥3，解得
Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要 270 个单位．
【总结与反思】 求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．

类型三 构造函数模型的实际问题
某汽车销售公司在 A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在 A 地的销售利润(单位：万元)为 y1 ＝4.1x－0.1x2，在 B 地的销售利润(单位：万元)为 y2＝2x，其中 x 为销售量(单位：辆)，
若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A．10.5 万元
B．11 万元
C．43 万元
D．43.025 万元
答案与解析 解析 设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆，则在 B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以 可得利润 y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－221)2＋0.1×2412＋ 32. 因为 x∈[0,16]，且 x∈N，所以当 x＝10 或 11 时，总利润取得最大值 43 万元．
(1)世界人口在过去 40 年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据
lg 2 ? 0.3010,100.0075 ? 1.017 )( )
A．1.5% B．1.6% C．1.7% D．1.8% (2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了 n 次涨停(每次 上涨 10%)，又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他 费用)为( ) A．略有盈利 B．略有亏损 C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况
答案与解析 答案(1) C (2)B 解析(1)设每年人口平均增长率为 x，则(1＋x)40＝2，两边取以 10 为底的对数，则 40 lg(1 ＋x)＝lg 2，所以 lg(1＋x)＝l4g02≈0.007 5，所以 100.007 5＝1＋x，得 1＋x≈1.017，所以 x≈1.7%.C (2)设该股民购进这支股票的价格为 a 元，则经历 n 次涨停后的价格为 a(1＋10%)n＝a×1.1n 元，经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝ 0.99n·a

元，则此次出租车行驶了
km.
答案与解析 答案 9 解析 设出租车行驶 x km 时，付费 y 元，
?? 9，0则 y＝?8＋
x－
??8＋2.15×5＋
＋1，38，
由 y＝22.6，解得 x＝9.
【总结与反思】 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺
数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际
问题对变量的限制． 1.已知正方形 ABCD 的边长为 4，动点 P 从 B 点开始沿折线 BCDA 向 A 点运动．设点 P 运动的 路程为 x，△ABP 的面积为 S，则函数 S＝f(x)的图象是( )
2.某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确
定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为
kg.
3.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中
的酒精含量以每小时 25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规
定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL，那么，此人至少经过
小时才
能开车．(精确到 1 小时)
4.某企业投入 100 万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是 0.5 万元，此外每年都要花
费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年
增加 2 万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )
A．10 B．11 C．13 D．21
答案与解析 1. 【答案】D 【解析】

依题意知当 0≤x≤4 时，f(x)＝2x；当 4【解析】 由图象可求得一次函数的解析式为 y＝30x－570，令 30x－570＝0，解得 x＝19.
3.【答案】(1)5 【解析】设经过 x 小时才能开车． 由题意得 0.3(1－25%)x≤0.09， ∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.19.∴x 最小为 5. 4. 【答案】A
【解析】 设该企业需要更新设备的年数为 x， 设备年平均费用为 y， 则 x 年后的设备维护费用为 2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)， 所以 x 年的平均费用为 y＝100＋0.5x＋x x x＋ ＝x＋1x00＋1.5，
由基本不等式得 y＝x＋1x00＋1.5≥2 x·1x00＋1.5
＝21.5，当且仅当 x＝1x00，即 x＝10 时取等号，所以选 A.
1. 已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为 40 万美元，每生产 1 万部还需另 投入 16 万美元．设公司一年内共生产该款手机 x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为
??400－6x，0R(x)万美元，且 R(x)＝?7 ??
400 40 x－
x02 00，x>40.
(1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万部)的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
答案与解析
??－6x2＋384x－40，040.
解析 (1)当 0（2）W 取得最大值 6 104 万元．

＝－6x2＋384x－40，[2 分] 当 x>40 时，W＝xR(x)－(16x＋40) ＝－40 x000－16x＋7 360.
??－6x2＋384x－40，040.
(2)①当 040 时，W＝－40 x000－16x＋7 360，
40 由于
x000＋16x≥2
40 x000×16x＝1 600，
当且仅当40 x000＝16x， 即 x＝50∈(40，＋∞)时，取等号， 所以 W 取最大值为 5 760.[10 分] 综合①②知， 当 x＝32 时，W 取得最大值 6 104 万元．
1.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清．洗．一．次．的效果作如下假定：用 1 个单
1
位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的 ，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残
2
留在蔬菜上．设用 x 单位量的水清．洗．一．次．以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农 药量之比为函数 f（x）. （1）试规定 f（0）的值，并解释其实际意义； （2）试根据假定写出函数 f（x）应该满足的条件和具有的性质；
（3）设 f（x）= 1 ，现有 a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也 1? x2
可以把水平均分成 2 份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说 明理由 2.有一个湖泊受污染，其湖水的容量为 V 立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。现
假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合。用 g(t) ?
p
? [g(0) ?
p
]e
?
r v
t
(
p
? 0) ，
r
r

表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数）， g(0) 表
示湖水污染初始质量分数。
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；
（2）分析 g(0) ? p 时，湖水的污染程度如何。 r
答案与解析 1 答案 解析（1）f（0）=1 表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．
1 （2）函数 f（x）应该满足的条件和具有的性质是：f（0）=1，f（1）= 2 ，在［0，＋∞）
上 f（x）单调递减，且 0＜f（x）≤1．
1 （3）设仅清洗一次，残留的农药量为 f1＝ 1 ? a 2 ，清洗两次后，残留的农药量为 f2＝
2
?
?
?1?
? ?1
?
(
a
)
2
? ?
? 16 (4 ? a2 )2
? 2?
，
则
f1
?
f2
＝
1
1 ?a
2
?
16 (4 ? a2)2
?
a2 (a2 ? 8) (1? a2 )(4 ? a2 )2
．
于是，当 a＞2 2 时，f1＞f2；当 a=2 2 时，f1＝f2；当 0＜a＜2 2 时，f1＜f2．
因此，当 a＞2 2 时，清洗两次后残留的农药量较少；
当 a=2 2 时，两种清洗方法具有相同的效果；
当 0＜a＜2 2 时，一次清洗残留的农药量较少．
2 答案
解析（1）设 0
?
t1
?
t2
，因为 g(t) 为常数，g(t1)
?
g(t2 ) ，即[g(0) ?
p
][
e
?
r v
t1
r
r
? e?vt2 ] ?
0，
则 g(0) ? p ； r
r
r
（2）设 0
? t1
?
t2
， g(t1) ?
g(t2 )
?
[g(0) ?
p
][
e
?
r v
t1
r
?
e
?
r v
t2
] =[g(0) ?
p]? r
e v t2 ? e v t1
er v
t1
?
t2

因为
g(0)
?
p r
?
0
，0
?
t1
?
t2
，
g (t1 )
?
g(t2 )
。污染越来越严重。
1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．
2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基
本不等式等求得最值．
3．解函数应用题的五个步骤：①审题；②建模；③解模；④还原；⑤反思．
1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有 300 个细菌，以后的细菌数
如下表所示：
据此表可推测 菌数为( )
A．75
x(h)
0
1
2
3
实验开始前 2 h 的细
细菌数 300
600 1 200 2 400
B．100
C．150
D．200
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右
图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310 元
B．300 元
C．290 元
D．280 元
7．某商品价格前两年每年递增 20%，后两年每年递减 20%，则四年后的价格与原来价格
比较，变化的情况是( )
A．减少 7.84%
B．增加 7.84%
C．减少 9.5%
D．不增不减
3．某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年
年产量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系图象正确
的是( )

4．把长为 12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面
积之和的最小值是( )
3 A.
2
3cm2
B．4 cm2
C．3 2 cm2
D．2 3 cm2
5．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从
这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两
边长 x，y 应为( )
A．x＝15，y＝12
B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10
D．x＝10，y＝14
答案与解析
答案
1．B [由题意可知，收入 y 是销售量 x 的一次函数，设 y＝ax＋b，将(1,800)，(2,1 300)
代入得 a＝500，b＝300.当销售量为 x＝0 时，y＝300.]
2．A [设某商品价格为 a，依题意得：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，
所以四年后的价格与原来价格比较(0.921 6－1)a＝－0.078 4a，即减少 7.84%.]
3．A [由于前三年年产量的增长速度越来越快，可用指数函数刻画，后三年年产量保持不
变，可用一次函数刻画，故选 A.]
4．D [设一段长为 x cm，则另一段长为(12－x)cm.∴S＝ 43(x3)2＋ 43(4－x3)2＝ 183(x－6)2
＋2 3≥2 3.] 5．A [由三角形相似得2244－ －y8＝2x0，得 x＝54(24－y)，
∴S＝xy＝－54(y－12)2＋180.
∴当 y＝12 时，S 有最大值，此时 x＝15.] 1．下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )
x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27
A．一次函数模型 C．指数函数模型
B．幂函数模型 D．对数函数模型

2．某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，
则该家具的进货价是( )
A．118 元
B．105 元
C．106 元
D．108 元
3．某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量的增长速度越来越快，后 3 年年产
量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系图象正确的是
()
4．将出货单价为 80 元的商品按 90 元一个出售时，能卖出 400 个，已知这种商品每涨价 1
元，其销售量就要减少 20 个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( )
A．85 元
B．90 元
C．95 元
D．100 元
5．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每
瓶售价为 70 元，不收附加税时，每年大约销售 100 万瓶；若每销售 100 元国家要征附加税
x 元(叫做税率 x%)，则每年销售量将减少 10x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附
加税额不少于 112 万元，则 x 的最小值为( )
A．2
B．6
C．8
D．10
答案与解析
1 答案 A
解析 根据已知数据可知，自变量每增加 1 函数值增加 2，因此函数值的增量是均匀的，故
为一次函数模型．
2 答案 D
解析 设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a，解得 a＝108.
3 答案 A
解析 前 3 年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有 A，C 图象符合要求，而
后 3 年年产量保持不变，故选 A.
4 答案 C
解析 设每个售价定为 x 元，则利润 y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－
225]．
∴当 x＝95 时，y 最大．
5 答案 A

解析 由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为 104·(100－10x)·70·10x0，令
104·(100－10x)·70·1x00≥112×104，解得 2≤x≤8.故 x 的最小值为 2.
1．有浓度为 90%的溶液 100 g，从中倒出 10 g 后再倒入 10 g 水称为一次操作，要使浓度低
于 10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )
A．19 B．20 C．21 D．22
2.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些
边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 x、
y 应为( )
A．x＝15，y＝12
B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10
D．x＝10，y＝14
3．某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律为 y＝ekt(其中 k 为常数，t
表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则 k＝
，经过 5 小时，1 个病毒能繁殖
为
个．
4．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过 800 元，不享受任何折
扣，如果顾客购物总金额超过 800 元，则超过 800 元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣
分别累计计算.
可以享受折扣优惠金额 折扣率
不超过 500 元的部分
5%
超过 500 元的部分
10%
某人在此商场购物总金额为 x 元，可以获得的折扣金额为 y 元，则 y 关于 x 的解析式为
?? 0，0?? x－
＋25，x>1 300.
若 y＝30 元，则他购物实际所付金额为
元．
答案与解析
答案 C
解析
?
9
n?1
?
?
9
n?1
?
操作次数为 n 时的浓度为 ?? 10 ?? ，由 ?? 10 ?? <10%，得 n＋1>
－1 9
＝2lg－31－1
lg 10
≈21.8，∴n≥21.
答案 A
解析 由三角形相似得2244－ －y8＝2x0，得 x＝54(24－y)，

∴S＝xy＝－54(y－12)2＋180，
∴当 y＝12 时，S 有最大值，此时 x＝15.
答案 2ln 2 1 024
解析
当
t＝0.5
时，y＝2，∴2＝e
1k 2
，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2，
当 t＝5 时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
答案 1 350
解析 若 x＝1 300 元，则 y＝5%(1 300－800)＝25(元)<30(元)，因此 x>1 300.
∴由 10%(x－1 300)＋25＝30，
得 x＝1 350(元)

数学必修一函数模型练习及答案解析

数学必修一函数模型练习及答案解析 数学函数模型练习及答案解析 1.某工厂在2004年年底制订生产计划，要使2014年年底总产值在原有基础上翻两番，则总产值的年平均增长率为() A.5110-1 B.4110-1 C.5111-1 D.4111-1 解析：选B.由(1+x)10=4可得x=4110-1. 2.某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则() A.a>b B.a C.a=b D.无法判断 解析：选A.∵b=a(1+10%)(1-10%)=a(1-1100)， ∴b=a×99100，∴b 3.甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是() A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多 C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点 解析：选D.当t=0时，S=0，甲、乙同时出发;甲跑完全程S所用的时间少于乙所用时间，故甲先到达终点.

4.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是 ________. 解析：该函数关系为y=2x，x∈N*. 答案：y=2x(x∈N*) 1.某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1)，设第 一年有100只，则到第七年它们发展到() A.300只 B.400只 C.500只 D.600只 解析：选A.由已知第一年有100只，得a=100，将a=100，x=7 代入y=alog2(x+1)，得y=300. 2.马先生于两年前购买了一部手机，现在这款手机的价格已降为1000元，设这种手机每年降价20%，那么两年前这部手机的价格为() A.1535.5元 B.1440元 C.1620元 D.1562.5元 解析：选D.设这部手机两年前的价格为a，则有a(1- 0.2)2=1000，解得a=1562.5元，故选D. 3.为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x年植树亩数 y(万亩)是时间x(年数)的一次函数，这个函数的图象是() 解析：选A.当x=1时，y=0.5，且为递增函数. 4.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过10m3，按每立方米x元收取水费;每月用水超过10m3，超过部分 加倍收费，某职工某月缴费16x元，则该职工这个月实际用水为() A.13m3 B.14m3 C.18m3 D.26m3

高中数学必修一幂函数及其性质

幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 （1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： 3．幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义 对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质 对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ；

过点（1，0），即当x =1，y =0； 在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点， 在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数， 在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1．已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =- （4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解：2 20230 m m m m ?+>??-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2．比较大小： （1）1122 ,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.5 30.5,3,log 0.5 例3．已知幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值． 解：∵幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2 230m m --≤，∴13m -≤≤； ∵m Z ∈，∴2 (23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2 23m m --是奇数，∴0m =或2m =． 例4、设函数f （x ）＝x 3， （1）求它的反函数； （2）分别求出f － 1（x ）＝f （x ），f － 1（x ）＞f （x ），f － 1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围． 解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f － 1（x ）＝x 3 1 ． （2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1 （x ）＝x 3 1 的图象都经过点（0，0）和（1，1）．

高一数学必修一 函数知识点总结

3. 函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型 如： ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； 常针对根号，举例： 令 ，原式转化为： ，再利用配方法。 ⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： )0(>+ =k x k x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1?<∈对任意的 注：① 函数上的区间I 且x 1，x 2∈I.若2 121)()(x x x f x f --＞0（x 1≠x 2），则函数f(x)在区间I 上是增函数； 若2121)()(x x x f x f --＜0（x 1≠x 2），则函数f(x)是在区间I 上是减函数。 ② 用定义证明单调性的步骤: <1>设x1，x2∈M ，且21x x <；则 <2> )()(21x f x f -作差整理； <3>判断差的符号； <4>下结论； ③ 增+增=增 减+减=减 ④ 复合函数y=f[g(x)]单调性:同增异减 []（内层） （外层）) (，则)(，)(（x f y x u u f y ??===

高中数学必修基本初等函数常考题型幂函数

高中数学必修基本初等 函数常考题型幂函数 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

幂函数 【知识梳理】 1．幂函数的概念 一般地，函数y ＝x 叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质 解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1 x y＝ 1 2 x 图象 定义域R R R{x|x≠0}[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R{y|y≠0}[0，＋∞) 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函 数 单调性在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0]上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0)上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递减 在[0，＋ ∞)上单调 递增 定点(1,1) (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．

特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数：①y＝x 3 ；②y＝12x ?? ? ?? ；③y＝4x 2；④y＝x 5 ＋1；⑤y＝(x －1)2；⑥y＝x ；⑦y＝a x (a>1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝()2 2231m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y＝()2 2231m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法

高中数学必修一函数难题

高中函数大题专练 ２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。

2016高中数学苏教版必修一3.4.2函数模型及其应用课后练习题

3.4.2 函数模型及其应用 课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式. 2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题. 3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．

1．几种常见的函数模型 (1)一次函数：y＝kx＋b(k≠0) (2)二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0) (3)指数函数：y＝a x(a>0且a≠1) (4)对数函数：y＝log a x(a>0且a≠1) (5)幂函数：y＝xα(α∈R) (6)指数型函数：y＝pq x＋r (7)分段函数 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤： (1)收集数据； (2)画散点图； (3)选择函数模型； (4)求函数模型； (5)检验； (6)用函数模型解释实际问题． 一、填空题 1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：

2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元．3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是________． 4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________．(填序号)

5．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________． 6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y分别为________． 7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元． 8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y＝a log2(x＋1)给出，则2000年年底它们的数量约为________头． 9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e kt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个． 二、解答题 10．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？

高中数学必修1《函数的应用》知识点

高中数学必修1《函数的应用》知识点(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除

第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数： 非连续函数： 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理： ()[]()()()(),::,. 0.y f x a b p q y f x a b f a f b ?????

()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤： ()()()()()()( )1 2121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ?

北师大版高一必修一第五课时4.2.3函数模型的应用实例(Ⅲ) 教学设计

第五课时§4.2.3函数模型的应用实例（Ⅲ） 一、教学目标 1、知识与技能：能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。 2、过程与方法：体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。 3、情感、态度、价值观：深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。 二、教学重点、难点：重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。 难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 三、学法与教法：1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。2、教法：探究交流，讲练结合。 四、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。 这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。 本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。 （二）尝试实践探求新知 例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 （身高：cm；体重：kg）

高中数学必修一幂函数教案

高中数学必修一幂函数 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高中数学必修一幂函数教案 教学目标： 知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点： 重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质． 难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 教学程序与环节设计： 问题引入． 索一般幂函数的图象规律．

教学过程与操作设计：

环节教学内容设计师生双边互动 组织探究 材料二：幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定 义，并且图象都过点（1，1）； （2）0 > α时，幂函数的图象通过原 点，并且在区间) ,0[+∞上是增函数．特别 地，当1 > α时，幂函数的图象下凸；当 1 0< <α时，幂函数的图象上凸； （3）0 < α时，幂函数的图象在区间 ) ,0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x从 右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼 近y轴正半轴，当x趋于∞ +时，图象在x轴 上方无限地逼近x轴正半轴． 师：引导学生 观察图象，归纳概 括幂函数的的性质 及图象变化规律． 生：观察图 象，分组讨论，探 究幂函数的性质和 图象的变化规律， 并展示各自的结论 进行交流评析，并 填表．

探究与发现 1．如图所示，曲线 是幂函数αx y=在第一象 限内的图象，已知α分别 取2, 2 1 ,1,1 -四个值，则相 应图象依次 为：． 2．在同一坐标系内，作出下列函数的图 象，你能发现什么规律？ （1）3- =x y和3 1 - =x y； （2）4 5 x y=和5 4 x y=． 规律1：在第 一象限，作直线 )1 (> =a a x，它同 各幂函数图象相 交，按交点从下到 上的顺序，幂指数 按从小到大的顺序 排列． 规律2：幂指 数互为倒数的幂函 数在第一象限内的 图象关于直线x y= 对称． 作业回馈 1．在函数 1 , , 2 , 1 2 2 2 = + = = =y x x y x y x y中，幂函数的个数为： A．0 B．1 C．2 D．3 环节呈现教学材料师生互动设计2．已知幂函数) (x f y=的图象过点 )2 ,2(，试求出这个函数的解析式． 3．在固定压力差（压力差为常数）下， 当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管 道半径r的四次方成正比． （1）写出函数解析式； （2）若气体在半径为3cm的管道中，流 量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率R的表达式； （3）已知（2）中的气体通过的管道半 径为5cm，计算该气体的流量速率． 4．1992年底世界人口达到54．8亿， 若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人 口数为y（亿），写出： （1）1993年底、1994年底、2000年底 的世界人口数； （2）2008年底的世界人口数y与x的 函数解析式．

人教版高中数学【必修一】[知识点整理及重点题型梳理]_指数函数、对数函数、幂函数综合_提高

人教版高中数学必修一 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 指数函数、对数函数、幂函数综合 【学习目标】 1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算． 2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质． 4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理． 5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质． 6．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a≠1）． 【知识框图】 【要点梳理】 要点一：指数及指数幂的运算 1．根式的概念 a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈ 当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n 为偶数时，正数 的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0． n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 2．n 次方根的性质： （1）当n a =；当n ,0, ,0;a a a a a ≥?==? -

)0,,,1m n a a m n N n =>∈>；()10,,,1m n m n a a m n N n a - = >∈> 要点诠释： 0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质： ()0,0,,a b r s Q >>∈ （1）r s r s a a a += （2）()r s rs a a = （3）()r r r ab a b = 要点二：指数函数及其性质 1．指数函数概念 一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2

高中数学必修一函数的概念知识点总结

必修一第一章 集合与函数概念 二、函数 知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域 ②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域. 2》区间和无穷大 ①设a 、b 是两个实数，且a=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. 典例分析 题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ） A 、x y x f 21)(= → B 、x y x f 31 )(=→ C 、 x y x f 32 )(=→ D 、x y x f =→)( 例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数： ① }{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方； ③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。 是函数的是_________________。 题型2：区间的表示 例1：用区间表示下列集合 （1） }{1≥x x =_____________。 （2）}{42≤x x x 且=_____________。 （4）}{3-≤x x =______________。 题型3：求函数的定义域和值域 例1：求函数的定义域 （1）32+=x y （2）1 21 y x =+- (3)2 1-= x y (4)y = (5) 0)1(3 1 4++++ +=x x x y

高中数学必修一《函数模型的应用实例》习题

3．2.2函数模型的应用实例 课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式. 2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题. 3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．

1．几种常见的函数模型 (1)一次函数：y＝______________________ (2)二次函数：y＝______________________ (3)指数函数：y＝______________________ (4)对数函数：y＝______________________ (5)幂函数：y＝________________________ (6)指数型函数：y＝pq x＋r (7)分段函数 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤： (1)________________； (2)________________； (3)________________； (4)________________； (5)______； (6)__________________________．

一、选择题 1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示： A．75 B．100 C．150 D．200 2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是() A．310元B．300元 C．290元D．280元 3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是() A．减少7.84% B．增加7.84% C．减少9.5% D．不增不减 4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年

高中数学必修1公开课教案2.3.1 幂函数

2.3 幂函数 整体设计 教学分析 幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究 y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x -1 ,y ＝x 2 1 等函数的性质和图象,让学生认识到 幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习. 将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x 2,y=x -1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径. 学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析. 三维目标 1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣. 2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望. 3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力. 重点难点 教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1 1.如果张红购买了每千克1元的水果w 千克,那么她需要付的钱数p （元）和购买的水果量w （千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p 是w 的函数. 2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a 2,这里S 是a 的函数. 3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a 3,这里V 是a 的函数.

高中数学必修1函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）； 注意： ○ 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○ 2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1

2020年高一数学必修一教案设计《函数模型及其应用》

高一数学必修一教案《函数模型及其应用》 【导语】心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，顽强拼搏脚踏实地，不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功！高一频道为大家推荐《高一数学必修一教案《函数模型及其应用》》希望对你的学习有帮助！ 【篇一】 【内容】建立函数模型刻画现实问题 【内容解析】函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的应用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上刚上高中进行的一节探究式课堂教学。在一个具体问题的解决过程中，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成。;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能导致学生不能真正理解函数模型的应用和在应用过程中函数模型的建立与解决问题的过程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中挖掘、提炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。

同时，应尽量让学生在简单的实例中学习并感受函数模型的选择与建立。因为建立函数模型离不开函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和计算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析过程来选择适当的函数模型和函数模型的构建过程。在这个过程中，要使学生着重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。 【教学目标】 (1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本过程. (2)了解函数模型的广泛应用 (3)通过学生进行操作和探究提高学生发现问题、分析问题、解决实际问题的能力 (4)提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度 【重点】了解并建立函数模型刻画现实问题的基本过程,了解函数模型的广泛应用 【难点】建立函数模型刻画现实问题中数据的处理

高中数学必修1幂函数测试卷

高中数学学科测试试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．单选题（共__小题） 1．已知幂函数f（x）过点，则f（4）的值为（） A．B．1C．2D．8 答案：A 解析： 解：设幂函数f（x）=x a，x＞0， ∵幂函数f（x）过点， ∴，x＞0， ∴，∴， ∴f（4）==． 故选A． 2．幂函数y=（m2+2m-2）的图象过（0，0），则m的取值应是（）A．-3或1B．1C．-3D．0＜m＜4 答案：B 解析： 解：由幂函数的定义得：m2+2m-2=1，且-m2+4m＞0， 解得：m=1，

3．函数y= 的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 答案：C 解析： 解：∵函数y=的定义域是[0，+∞）， ∴排除选项A 和B ， 又∵，∴曲线应该是下凸型递增抛物线． 故选：C ． 幂函数y=x -1及直线y=x ，y=1，x=1将平面直角坐标系的第一 象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图象经过的“卦限”是（ ） A ．④⑦ B ．④⑧ C ．③⑧ D ．①⑤ 答案：D 解析： 解：取x=得∈（0，1），故在第⑤卦限； 再取x=2得∈（1，2），故在第①卦限

5．幂函数f（x）=xα的图象经过点，则的值为（） A．4B．3C．2D．1 答案：C 解析： 解：幂函数f（x）=xα的图象经过点，所以，∴ ∴ 故选C． 二．填空题（共__小题） 6．若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（）=______． 答案： 解析： 解析：设f（x）=xα，则有=3，解得2α=3，α=log23， ∴f（）= = = = =． 故答案为： 7．设，则使函数y=xα的定义域为R且为偶函数的所有的α值为______．答案：，2

高中数学必修1《 函数的应用》知识点

第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数： 非连续函数： 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理： ()[]()()()(),::,.0.y f x a b p q y f x a b f a f b ?????

()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤： ()()()()()()()12121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ?

高一数学必修一教案《函数模型及其应用》

高一数学必修一教案《函数模型及其应用》心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，顽强拼搏脚踏实地，不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功！高一频道为大家推荐《高一数学必修一教案《函数模型及其应用》》希望对你的学习有帮助！ 建立函数模型刻画现实问题 函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的应用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上刚上高中进行的一节探究式课堂教学。在一个具体问题的解决过程中，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成。;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能导致学生不能真正理解函数模型的应用和在应用过程中函数模型的建立与解决问题的过程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中挖掘、提炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。同时，应尽量让学生在简单的实例中学习并感受函数模型的选择与建立。因为建立函数模型离不开函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始

数据的处理，这可能会用到电脑和计算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析过程来选择适当的函数模型和函数模型的构建过程。在这个过程中，要使学生着重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。 (1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本过程. (2)了解函数模型的广泛应用 (3)通过学生进行操作和探究提高学生发现问题、分析问题、解决实际问题的能力 (4)提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度 了解并建立函数模型刻画现实问题的基本过程,了解函数模型的广泛应用 建立函数模型刻画现实问题中数据的处理 通过对全班学生中抽样得出的样本进行分析和处理,，使学生认识到本节课的重点是利用函数建模刻画现实问题的基本过程和提高解决实际问题的能力,在引导突出重点的同时能过学生的小组合作探究来突破本节课的难点,这样,在小组合作学习与探究过程中实现教学目标中对知识和能力的要求(目标1,2,3)在如何用函数建模刻画现实问题的基本