高中数学选修2-2全套知识点及练习答案解析

选修2-2 知识点及习题答案解析

导数及其应用

一.导数概念的引入

1. 导数的物理意义：

瞬时速率。一般的,函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000

()()lim x f x x f x x

?→+?-?,

我们称它为函数

()

y f x =在

x x =处的导数,记作

0()

f x '或

|x x y =',即

0()f x '=000

()()lim

x f x x f x x

?→+?-?

2.

导数的几何意义：

曲线的切线.通过图像，我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n

n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数

()y f x =在0x x =处的导数就是切线ＰT 的斜率

ｋ,即00

()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==-

3. 导函数:当x 变化时，

()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数.

()y f x =的导函数有时

也记作

y ',即

()()()lim

x f x x f x f x x

?→+?-'=?

二.导数的计算

基本初等函数的导数公式:

1若()f x c =（ｃ为常数）,则()0f x '=; 2 若()f x x α=,则1

()f x x αα-'=;

３ 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-；

5 若()x f x a =，则()ln x f x a a '=

6 若()x f x e =，则()x f x e '=

7 若

()log x

a

f x =,则1()ln f x x a '= 8 若

()ln f x x =,则1()f x x

'=

导数的运算法则

1． [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2.

[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+?

3. 2

()()()()()[]()[()]

f x f x

g x f x g x g x g x ''?-?'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数，即(())y f g x =为一个复合函数

(())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用

1．函数的单调性与导数:

一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内

(1）如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增;(２)如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. ２．函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况．

求函数()y f x =的极值的方法是：（1)如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值（２）如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值； ４．函数的最大(小)值与导数

求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤: （1)求函数()y f x =在(,)a b 内的极值； （2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ,()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是

最小值.

推理与证明

考点一 合情推理与类比推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理

根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致）性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理．

类比推理的一般步骤：

(1) 找出两类事物的相似性或一致性；

(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；

(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的，而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相

同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.

(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越

可靠.

考点二 演绎推理(俗称三段论)

由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法

1. 它是一个递推的数学论证方法.

2. 步骤:A ．命题在ｎ=1（或0n )时成立，这是递推的基础;B.假设在n=k 时命题成立； C.证明n=k+1时

命题也成立，

完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>＝0n ,且n N ∈)结论都成立。 考点三 证明

1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法:

数系的扩充和复数的概念 复数的概念

(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中，当0b =,就是实数；

0b ≠，叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚

数．

(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等．

(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数．

(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,ｘ轴叫做实轴,y 轴除去原点的部分叫做虚轴。 (6) 两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

复数的运算

1．复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 （1)12()()z z a c b d i ±=±+± （２）

12()()z z ac bd ad bc i ?=-++ (3)

12222()()(0)z ac bd ad bc i z z c d

-++=≠+ 2,几个重要的结论

(1） 2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+ (2) 22||||z z z z ?== (3）若z 为虚数，则22||z z ≠ 3.运算律 （１）

m n m n z z z +?=;(２) ()m n mn z z =；(3)1212()(,)n n n z z z z m n R ?=?∈

4.关于虚数单位i 的一些固定结论:

(１)2

1i

=- （２）3

i

i =- （3)41i = （2）2340n n n n i i i i ++++++=

练习一组

一、选择题

1．在平均变化率的定义中,自变量ｘ在ｘ0处的增量Δx ( ) A ．大于零 Ｂ.小于零

C.等于零 ? ??

D.不等于零

[答案] D

[解析] Δx 可正,可负,但不为0,故应选D ．

2．设函数ｙ＝ｆ(x ），当自变量x 由ｘ０变化到ｘ０+Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A.f （ｘ0＋Δx ) ?? B.f (x 0)+Δx

Ｃ．f (ｘ０)·Δｘ ? ??Ｄ.f (ｘ0＋Δx )-f (x 0）

[答案］ Ｄ

[解析] 由定义，函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故应选Ｄ． 3．已知函数ｆ(x )=-x ２

+x ,则f (ｘ）从－1到-０.9的平均变化率为( ) A ．３ ?

??B ．０.29 Ｃ．２．０9 ?

D.２．9

[答案] D

[解析] f (-1)=－(－1)2+(-1)＝－２. f (-0．９)=-(－0.９）２

+(－0.9)=－1.71． ∴平均变化率为错误!=错误!=２.9，故应选D ．

4．已知函数f(ｘ)＝x2+4上两点A，B,xＡ=1，x B=1.３,则直线AB的斜率为( )

Ａ.2??? B.2.3

C.2.０9 ?Ｄ．２.1

［答案] B

[解析]f（1）=5，ｆ（1．3)=５.69.

∴ｋＡB=错误!=错误!＝2.3，故应选B.

５．已知函数f（x)=－ｘ2+2ｘ，函数f(ｘ)从2到2＋Δx的平均变化率为（）

A.2-Δx???Ｂ.－2－Δx

C.2＋Δx??Ｄ．(Δx)2－2·Δｘ

［答案] Ｂ

[解析] ∵f（2）=－2２＋2×2=0，

∴f（2＋Δx)＝－（2＋Δｘ)2+２(2＋Δｘ）

＝-2Δx-(Δx)2,

∴＼ｆ（ｆ(2＋Δx）-f(２）,2＋Δx－2）＝-２－Δx,故应选B.

6.已知函数y＝x2+1的图象上一点(1,２)及邻近一点（1+Δx,２＋Δy),则错误!等于（）

A.2 ????

B.2x

C．2+Δx?D．2＋(Δx)2

［答案] C

[解析]＼ｆ(Δy,Δx)=错误!

＝[(1＋Δx)２+1］－2

Δx=2+Δx.故应选C.

7.质点运动规律Ｓ(t)＝ｔ2+３，则从３到3．３内,质点运动的平均速度为()

A.6．３?Ｂ．３6.3

C.３.3????

D.９.3

[答案] A

［解析]S(３)=12,S(３.3)=13．8９,

∴平均速度错误!=错误!=错误!=6．3,故应选A.

8.在x=1附近，取Δx=0.3,在四个函数①y＝x、②y=ｘ２、③y=x３、④ｙ＝1

ｘ

中,平均变化率最大的是()

A．④??? B.③

C．②?Ｄ.①

[答案］B

[解析］Δｘ＝０.３时，①y=x在x=１附近的平均变化率k1=１；②y=x２在x＝１附近的平均变化率ｋ2＝2＋Δx=2.３;③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3=3＋3Δx＋(Δx)2＝3.９

９;④y ＝1

x

在ｘ＝1附近的平均变化率ｋ4=－错误!=-错误!.∴k 3>ｋ2>ｋ1>k ４，故应选B.

9.物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s (t )，则物体在时间间隔［t 0,t 0+Δt ］内的平均速度是（ )

A ．ｖ０

?

??Ｂ.Δｔ

s (t 0＋Δt )-ｓ(ｔ0)

Ｃ.＼f(s （t 0+Δt )－s (t 0),Δｔ) ? Ｄ.＼f （s （t )，ｔ)

[答案］ Ｃ

[解析] 由平均变化率的概念知C 正确,故应选C.

10．已知曲线y =14ｘ２

和这条曲线上的一点P 错误!,Q 是曲线上点P 附近的一点,则点Q

的坐标为( )

A ．错误! ?

Ｂ.错误!

C.错误! ??D ．错误! [答案] C

［解析] 点Q 的横坐标应为1+Δｘ,所以其纵坐标为f (1＋Δｘ)=错误!(Δｘ＋1)2,故应选C.

二、填空题

1１.已知函数y =ｘ３

－２，当x ＝2时,错误!=________. ［答案] (Δx )2+6Δｘ＋12 ［解析] 错误!＝错误! =错误!

＝(Δx )2＋6Δx ＋12．

12．在x ＝2附近,Δx ＝＼ｆ(1，４）时,函数y ＝＼f(1,ｘ）的平均变化率为_＿＿_＿＿__．

[答案］ -错误!

[解析] 错误!＝错误!=－错误!＝-错误!．

1３．函数y =＼r(x )在x ＝１附近，当Δx =错误!时的平均变化率为_＿＿＿__＿_. [答案］ 错误!－2

［解析] 错误!＝错误!=错误!＝错误!-2.

１4．已知曲线y =x 2－1上两点A (２,３)，Ｂ(２+Δｘ,３＋Δｙ)，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是＿__＿____;当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是＿_＿＿_＿__.

［答案] 5 4.1

[解析] 当Δｘ=1时，割线AB 的斜率 k 1＝错误!=错误!=错误!=5.

当Δx =0.1时，割线ＡB 的斜率 k 2=＼f(Δy,Δx )=错误!＝４.1. 三、解答题

１５.已知函数ｆ(x )=２ｘ＋1,g (x )=－2x ，分别计算在区间[－3,－１]，[0,5］上函数f (x )及g （x ）的平均变化率.

[解析] 函数ｆ（ｘ)在［－３，-1]上的平均变化率为 f (－１)-ｆ(-3)-１－(－3)

＝[2×(－1)+1]-[2×(-3)+1］

2＝2.

函数f （x )在[0，5]上的平均变化率为 错误!＝２.

函数g （x )在[－3，－1]上的平均变化率为 错误!＝-2.

函数ｇ(x )在[０，5]上的平均变化率为 错误!＝-２.

16．过曲线f (x )＝2

x ２的图象上两点A （1,2），B (1+Δｘ,2＋Δy )作曲线的割线AB ，求出当

Δｘ＝＼f(１,４)时割线的斜率．

[解析］ 割线A Ｂ的斜率k ＝错误!＝错误! ＝错误!＝错误!=-错误!.

17.求函数y ＝x 2在x ＝1、2、3附近的平均变化率,判断哪一点附近平均变化率最大? [解析] 在x ＝２附近的平均变化率为 k 1=错误!＝错误!=2＋Δx ; 在ｘ=2附近的平均变化率为 k ２＝错误!=错误!＝4+Δｘ; 在ｘ＝3附近的平均变化率为

k 3＝＼f(ｆ(3+Δx )-ｆ（３),Δx ）=错误!＝6+Δx . 对任意Δx 有,ｋ1＜k 2＜k 3， ∴在x ＝3附近的平均变化率最大.

1８．路灯距地面8m,一个身高为1．６m 的人以84m ／ｍin 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点Ｃ处沿直线离开路灯．

(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式; （2)求人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率.

[解析］ (１）如图所示,设人从C 点运动到B 处的路程为ｘm ，AB 为身影长度，AB 的长度为ｙm ，由于ＣD ∥ＢE ，

则错误!=错误!,

即错误!＝错误!,所以ｙ＝f （ｘ)＝错误!ｘ. （2）84m/min=1.4m/s ，在[0，10]内自变量的增量为

x ２-ｘ1＝１.4×10－1.4×0＝１４,

ｆ（x ２）-f (x 1)＝错误!×14－错误!×0＝错误!.

所以＼f （f (ｘ2)－f （x 1)，x 2－x 1)=72

１4=＼f(1,4).

即人离开路灯的第一个10ｓ内身影的平均变化率为1

４

.

?练习二组

一、选择题

1.函数在某一点的导数是( ）

A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 Ｂ.一个函数

C ．一个常数，不是变数

D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 ［答案] C

［解析] 由定义，f ′（x 0)是当Δｘ无限趋近于0时,＼f(Δy,Δx )无限趋近的常数，故应选C.

2.如果质点Ａ按照规律ｓ=3t 2运动,则在ｔ0＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 ?? ?B.1８ C ．54 ??

D ．8１

[答案] B

[解析] ∵s (t )=3t 2，t 0＝3,

∴Δs =s (t 0+Δt )－s （t ０)=3(３+Δt )2-3·32 ＝１8Δt +3(Δt )2∴＼f(Δs,Δt )=1８＋３Δｔ． 当Δｔ→0时,Δs

Δt →1８,故应选B.

3．y =x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x ?B ．2

C.2＋Δｘ ?? ?

D.1

[答案] B

[解析］ ∵f (ｘ)=x 2，ｘ=1，

∴Δy ＝f (１＋Δx )2-f (１）=（１+Δx )２

-1＝2·Δx +(Δｘ)2 ∴错误!＝2+Δx 当Δx →0时,Δy

Δx →2

∴f ′(1)=2，故应选B.

4.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s (t ）＝４ｔ２

-3(s (t )的单位：ｍ，t 的单位:ｓ),则t =5时的瞬时速度为（ )

A ．３7 ?

B ．38 Ｃ.3９ ??

D ．４0

［答案] D

［解析] ∵Δs

Δt

＝错误!＝4０＋4Δｔ，

∴ｓ′（5)＝ｌi 错误! 错误!＝li 错误! (40+4Δt )=40.故应选D. ５．已知函数y ＝f (x )，那么下列说法错误的是( ) Ａ.Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)叫做函数值的增量

B ．错误!＝错误!叫做函数在x ０到x 0＋Δx 之间的平均变化率 C.f (x )在x 0处的导数记为y ′ D.f (ｘ)在x 0处的导数记为ｆ′（x 0） [答案］ Ｃ

[解析] 由导数的定义可知Ｃ错误.故应选C ．

６．函数f (x ）在x =x 0处的导数可表示为y ′|x ＝x 0,即( ) Ａ．f ′(ｘ0)=f (x ０＋Δx )-f （x 0)

B ．f ′(x ０)=ｌi ｍΔx →０

[ｆ(x 0+Δx ）－f (ｘ0)] C ．ｆ′(x 0）=＼f （f （x 0＋Δx ）-f （x 0)，Δx ）

Ｄ．f ′(ｘ０)=li ＼ｏ(m ，＼s ＼ｄo4(Δx →0）) ＼f(ｆ(x ０+Δｘ)-ｆ(x 0），Δx ） [答案] Ｄ

［解析] 由导数的定义知D 正确.故应选D.

7．函数y =ax 2＋ｂｘ＋c (a ≠0,a ，b ，ｃ为常数)在x =2时的瞬时变化率等于( ) A.4a ?? ???Ｂ.2a ＋ｂ Ｃ.b

???? D ．4ａ＋b

［答案］ D

[解析] ∵ΔｙΔx =a (2+Δx )2＋b (2+Δx )＋c －4a －2b -c

Δx

=４a +b +ａΔx ,

∴y ′｜x =2=li 错误! 错误!＝li 错误! （4a +ｂ+ａ·Δx )＝4a ＋b .故应选D. 8.如果一个函数的瞬时变化率处处为0,则这个函数的图象是( ) A ．圆 ?? ? B ．抛物线 C ．椭圆

???Ｄ．直线

[答案] Ｄ

[解析] 当f (x )=b 时，f ′(x )=0，所以f (x )的图象为一条直线，故应选D.

９．一物体作直线运动,其位移s 与时间t 的关系是s ＝３t -t ２

，则物体的初速度为( ) A ．０ ? ? ? Ｂ．3 C.－2 ?

?Ｄ．3-2t

[答案] B

[解析] ∵错误!=错误!=3-Δt ，

∴s ′（０）=ｌi 错误! 错误!=３．故应选B ． １０．设ｆ(x )=错误!,则ｌi 错误! 错误!等于( ） Ａ.-错误! ? ? B.错误! Ｃ.－错误! ? ?

?D ．错误!

[答案] C

［解析] l ｉ错误! 错误!=li 错误! 错误! ＝l ｉ错误! 错误!=-ｌi 错误! 错误!=－错误!. 二、填空题

11.已知函数ｙ=f (x )在ｘ＝x ０处的导数为１１，则 ｌｉ错误!错误!=__＿＿＿_＿_; ｌi 错误! 错误!＝＿____＿_＿. [答案］ －1１,－1１

2

[解析] li 错误! 错误!

＝-li 错误! 错误!＝－ｆ′(x ０)=－１1； li 错误! 错误!＝－错误!l ｉ错误! 错误! ＝-＼f(1,2)f ′（x 0）=－错误!．

12．函数y =ｘ+＼f （1,x ）在x =1处的导数是_____＿_＿． [答案] 0

[解析] ∵Δy =错误!-错误! ?＝Δx -1+错误!=错误!，

∴Δy

Δx＝错误!.∴y′|x=1＝ｌi错误!错误!＝0.

１３.已知函数f（ｘ)＝ａx＋4,若ｆ′(2）=2，则ａ等于______.

[答案］２

［解析］∵错误!=错误!＝ａ,

∴ｆ′(1)＝li＼o(m，

Δx→0

）错误!＝a．∴a=2．

1４．已知ｆ′（x0)＝lｉ错误!错误!,f（3)＝２,f′(3)＝-2,则li错误!错误!的值是____＿___.

[答案] 8

[解析] li错误!错误!＝ｌｉ错误!错误!

错误!错误!+li错误!错误!.

由于f(3)=2，上式可化为

li m

ｘ→3

＼f（2(x－3),x-3)-3ｌi错误!错误!=２－３×（－2）=８.

三、解答题

15．设ｆ(ｘ）=x2,求f′（x0），f′(-1),f′(２）．

［解析] 由导数定义有f′（ｘ０)

=ｌi错误!错误!

=li错误!错误!＝li错误!错误!＝2x0，

１6．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动,如果它的加速度是5．0×10５ｍ/s2,枪弹从枪口射出时所用时间为1．6×10-３s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度.

[解析］位移公式为s=错误!aｔ2

∵Δs＝错误!a(t0+Δt)２－错误!at错误!=at0Δt+错误!ａ(Δｔ）2

∴错误!=aｔ0＋错误!ａΔt，

∴ｌi错误!错误!=lｉ错误!错误!=at0,

已知a=5．0×105m/ｓ２，t０＝1．6×10-3ｓ，

∴aｔ0＝800m/ｓ.

所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为８0０m／s.

17．在曲线y=f(ｘ）=x2+3的图象上取一点P（１,4）及附近一点(1+Δx，4+Δy),

求(1)＼f(Δｙ,Δx）

(2)ｆ′(1）．

［解析](１)错误!＝错误!

＝＼ｆ(（1＋Δx)2＋3－１2－3,Δx)＝2+Δｘ.

(2)f′(１）＝＼o(lim,＼s＼dｏ4(Δx→０)) 错误!

=错误!(２＋Δx）＝２．

18．函数f(x)=|x|(1＋x)在点ｘ０=0处是否有导数?若有，求出来,若没有，说明理由．[解析］f(ｘ）=错误!

Δy＝ｆ（0+Δx）-f(0)＝f(Δｘ)

=错误!

∴错误!错误!＝错误!（１＋Δx)=1，

错误!错误!=错误!(－1-Δx)＝-１，

∵ｌim

Δx→0-Δｙ

Δｘ≠错误!错误!,∴Δx→０时,错误!无极限.

∴函数f(x)＝|ｘ|(１+x)在点ｘ0＝０处没有导数，即不可导．(x→0+表示x从大于0的一边无限趋近于0,即x>0且x趋近于0)

练习三组

1．如果曲线y =f (x )在点(x 0,ｆ（x 0))处的切线方程为x +2ｙ-3＝0,那么( ) Ａ．f ′(x 0）>0

B ．f ′(x 0）<0

C ．f ′(x 0)=０ ?? D.f ′(x 0)不存在

[答案] B

[解析] 切线x +2y -３=0的斜率ｋ=－＼f(１,2),即f ′(x 0）=-＼f （１,2)＜０．故应选B. ２．曲线y =错误!x 2-2在点错误!处切线的倾斜角为( ) A.1

??

B.π4

C ．错误!π ?? ???

D ．－错误! ［答案］ B

[解析] ∵ｙ′＝li ＼ｏ（m ，＼s ＼do4（Δx →０)) 错误! ＝li 错误! (ｘ＋错误!Δx )=x ∴切线的斜率k ＝ｙ′｜ｘ＝1＝１. ∴切线的倾斜角为错误!,故应选Ｂ.

3．在曲线y =x ２

上切线的倾斜角为错误!的点是( ) Ａ．(0,０） ? ??Ｂ.(2,4） C ．错误! ?

Ｄ.错误!

[答案] D

[解析] 易求y ′=2x ,设在点P (x ０,x 错误!)处切线的倾斜角为错误!，则2x ０=1，∴x 0＝＼f(1,2)，∴P 错误!．

4.曲线y ＝x 3－3x ２＋１在点(1，－1)处的切线方程为( ) A.y ＝３ｘ-4 ? ?B.ｙ=－３ｘ+2

C.y =-４x +3 ??

D.y ＝４x -5

[答案] B

［解析] ｙ′＝3x 2－6x ，∴y ′|x =1=-3. 由点斜式有y +１＝-3(ｘ－1).即y =－3x +2．

5．设ｆ(ｘ)为可导函数,且满足错误! 错误!＝－1,则过曲线y ＝ｆ(x ）上点(１,f (1))处的切线斜率为（ )

A ．２ ?? ?Ｂ.-1 C.1 ??D.－２

[答案] Ｂ

［解析] 错误! 错误!＝错误! 错误! =-１，即y ′|ｘ=１=－１，

则ｙ＝f(x）在点（1，ｆ(１))处的切线斜率为－1,故选B.

6.设f′(x０)=0,则曲线y＝ｆ(x)在点(x0,f(x0))处的切线( )

Ａ.不存在??B.与ｘ轴平行或重合

C．与x轴垂直??D.与x轴斜交

[答案] Ｂ

[解析]由导数的几何意义知B正确,故应选Ｂ.

7．已知曲线y＝f(x）在ｘ=5处的切线方程是y=－x+8，则ｆ(5）及f′(5）分别为()

A.3,3 ????B．３，－1

C.-1,3D．－1,－1

[答案］ B

［解析] 由题意易得:f(5)＝-5+８＝3,f′(５)=－１，故应选B.

8.曲线f(x)＝ｘ3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4ｘ-1，则P点的坐标为()

Ａ．(1,0)或(－1，－4)??B.(0,1)

C．（-１,0)?????D．(1,4)

［答案] Ａ

[解析] ∵f（x）=x3+x－2,设xＰ=ｘ0,

∴Δy=3x错误!·Δｘ+３ｘ0·(Δx)2+（Δx)3+Δx,

∴错误!=3x错误!+1+３x0(Δx)+(Δx)２,

∴f′(x0)=3ｘ20＋１,又k=4，

∴３x错误!+1=4，x错误!＝1.∴ｘ０＝±1，

故Ｐ(1,０）或(－１,-4)，故应选A.

9.设点P是曲线ｙ=x３-错误!x+错误!上的任意一点,P点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为( )

A.错误!∪错误!?Ｂ.错误!∪错误!

C.错误!?????

D.错误!

[答案] A

［解析] 设Ｐ（x0，y0），

∵f′(x)＝li错误!错误!

＝3ｘ2－错误!，∴切线的斜率k＝3x错误!－错误!,

∴tanα＝3ｘ错误!－错误!≥－错误!.

∴α∈错误!∪错误!.故应选Ａ.

１0．设Ｐ为曲线C：y＝x2＋２ｘ＋3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为［0，错误!],则点P横坐标的取值范围为()

A．[-１，－错误!］B．[－１,0]

C.［0,1］ ?? ??

D.[＼f(1,2),１］

［答案] A

［解析] 考查导数的几何意义．

∵y ′＝2x +2,且切线倾斜角θ∈[0,错误!］， ∴切线的斜率ｋ满足0≤k ≤1,即０≤2ｘ+2≤1， ∴－１≤x ≤－１2

.

11.已知函数f (x ）＝ｘ２

＋3，则f (x )在(2，f (２))处的切线方程为________． [答案] ４x －ｙ-１=0

[解析] ∵f （ｘ)=ｘ２＋3,ｘ０=2

∴f (２）＝7,Δy ＝f （2＋Δx )－ｆ(２）＝4·Δx +(Δx )２

∴＼f(Δy,Δx )=4＋Δx .∴li 错误! 错误!＝4.即f ′（2)＝4.

又切线过(2，7)点，所以f (ｘ）在(２,f (2))处的切线方程为y －7＝4(x －2) 即4x -y -１＝０．

1２.若函数ｆ(x )＝x -错误!，则它与ｘ轴交点处的切线的方程为_＿__＿＿__． [答案] y =２（x －1)或y =２(ｘ+1)

[解析］ 由f (x ）＝x -＼f(1,x )＝0得x ＝±１，即与x 轴交点坐标为(1,0）或（－1,0). ∵f ′（x )＝li 错误! 错误! ＝li 错误! 错误!＝1+错误!. ∴切线的斜率k ＝1+＼f （1,１)=2. ∴切线的方程为ｙ＝2(x -1)或y =2(x +1).

13．曲线C 在点P (x ０,ｙ0)处有切线ｌ,则直线l 与曲线C 的公共点有___＿＿___个. ［答案］ 至少一

[解析] 由切线的定义，直线l 与曲线在P (ｘ0,y 0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切,但直线与曲线公共点至少一个.

１4.曲线y =x 3+３x 2+６x -1０的切线中,斜率最小的切线方程为＿_＿___＿_． [答案] ３ｘ-y －１１=0

[解析］ 设切点Ｐ(x 0,y 0),则过P (ｘ０，y ０）的切线斜率为,它是x 0的函数，求出

其最小值．

设切点为P (x ０，y 0）,过点P 的切线斜率ｋ=

＝3ｘ错误!+6x 0+6=３(x 0+1)2＋3.当

x 0＝-１时ｋ有最小值3，此时P 的坐标为(-１,-14),其切线方程为3ｘ－ｙ－11＝0.

三、解答题

1５.求曲线y =错误!－错误!上一点P 错误!处的切线方程． [解析] ∴y ′＝错误! 错误!

＝错误! 错误!

=错误! 错误!＝－错误!-错误! .

∴y ′｜x ＝4=-＼ｆ(1,16）-＼f(1,４)＝－错误!， ∴曲线在点Ｐ错误!处的切线方程为： y ＋错误!＝-错误!（ｘ－4）． 即5x ＋16y ＋8＝0.

16．已知函数f (x ）＝x 3-３x 及y =f (x )上一点P (１,－2)，过点Ｐ作直线ｌ. (1)求使直线l 和ｙ=f (x )相切且以P 为切点的直线方程;

(2)求使直线l 和ｙ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程y =ｇ(x ）． [解析］ (1）y ′＝li 错误! 错误!＝３x ２

-3. 则过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率 k １=f ′（１)=０， ∴所求直线方程为y =-2.

(2)设切点坐标为（x 0,ｘ错误!－3ｘ０), 则直线l 的斜率k ２＝f ′(x ０)＝3x 错误!－３，

∴直线ｌ的方程为y －（ｘ错误!－3x ０)=（３x 错误!-3)(ｘ－ｘ0) 又直线l 过点Ｐ(1,－2），

∴-2-(x 错误!－3x 0)=(3x 错误!-3）(1－ｘ0),

∴ｘ＼ｏ＼a ｌ（３

,0)-３ｘ0+２＝(3x 错误!－3)(x ０-1)， 解得ｘ0＝1(舍去)或x 0=-错误!.

故所求直线斜率k =3x 错误!-３=-错误!，

于是：y -(-2)＝－＼f(9,4)（x －1)，即y =－９

4x +错误!.

1７.求证:函数y =x +错误!图象上的各点处的切线斜率小于1. [解析] ｙ′=ｌi 错误! 错误! ＝ｌi 错误! 错误! =li 错误! 错误!

＝li m ＼s ＼d ｏ４(Δｘ→０) 错误! =错误!＝１-错误!＜1，

∴ｙ=x ＋错误!图象上的各点处的切线斜率小于1．

1８．已知直线l 1为曲线ｙ=x ２

＋x -２在点(1,0)处的切线,l 2为该曲线的另一条切线,且ｌ

1⊥l 2.

(1)求直线l ２的方程;

(２)求由直线l １、l 2和x 轴所围成的三角形的面积.

[解析] (１)y ′｜x ＝１ =li 错误! 错误!＝3,

所以l 1的方程为:y ＝3（x －1)，即y =3x －3. 设l 2过曲线y ＝ｘ2＋x －2上的点B (b ，b ２

+b -２), y ′|x =b =li 错误! 错误!

=2b +1,所以l ２的方程为：ｙ-(ｂ２

＋b -2)=（２b ＋1)·(x －b )，即y =(2ｂ＋１)x －ｂ2－2． 因为ｌ1⊥l ２,所以3×(2b +1）=－1,所以b ＝－＼f(2，3),所以l 2的方程为:y ＝－＼f （１,３)x -错误!.

（2)由错误!得错误!

即ｌ1与l 2的交点坐标为错误!.

又ｌ1,l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0),错误!． 所以所求三角形面积S =1

2

×错误!×错误!=错误!.

?练习三组

1．下列结论不正确的是( ) A ．若y =0，则ｙ′=０ Ｂ．若y ＝5x ,则ｙ′=5 C.若y ＝x －

1，则ｙ′＝－x －

2

[答案］ D

2.曲线y ＝错误!x 3－2在点错误!处切线的倾斜角为( ） A ．30° ?B.4５°

C.１35° ?

?Ｄ．60°

[答案] B

[解析] y ′|x =-1＝1,∴倾斜角为4５°.

3.函数y=（x＋１）2(x-1)在ｘ＝1处的导数等于( ）

Ａ．1??B．2

Ｃ.3?? D.4

［答案]Ｄ

［解析] y′=[(x+1)2]′（x-1)+(x+1)2(x-1)′

=2(ｘ＋１)·（x-１)+(ｘ＋1）2＝3x2＋2x-1,

∴y′｜x=1＝4．

4.设ｆ（ｘ）=aｘ3+ｂx2+cｘ＋d(a>0),则f(x)为Ｒ上增函数的充要条件是（)

A．b2-4ａc>0 B．b＞0,c＞0

Ｃ.b＝0,c>0 ??D．b2－3ac<0

[答案] Ｄ

[解析］∵a>0,ｆ(x)为增函数,

∴f′(x)=3ax2＋2bｘ＋c>０恒成立,

∴Δ＝(２b)2－４×3a×c＝4b2-１２ac＜０,∴b2-3ac＜０．

?5．已知函数f（ｘ）在点ｘ0处连续,下列命题中，正确的是()

Ａ.导数为零的点一定是极值点

B.如果在点x0附近的左侧f′(ｘ)>０,右侧f′(ｘ)＜0，那么ｆ(x０)是极小值

Ｃ．如果在点x０附近的左侧f′(x）>0,右侧f′（ｘ)<０,那么f（ｘ０)是极大值

D．如果在点ｘ０附近的左侧ｆ′(ｘ)<0，右侧f′(ｘ）>０,那么ｆ(ｘ０）是极大值

［答案］Ｃ

[解析] 导数为0的点不一定是极值点,例如ｆ(x)＝x3，ｆ′(x)＝３x２，f′(0）=0,但x=０不是f(x)的极值点,故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.

６．函数y＝ｆ(x）在区间[a,b］上的最大值是M，最小值是m，若M＝m,则f′(x)( ) A．等于0 B.大于0

C.小于０???Ｄ．以上都有可能

[答案］Ａ

［解析] ∵M＝ｍ,∴y=f（x)是常数函数

∴f′（ｘ)＝0，故应选A.

7.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()

Ａ.R???B．2R

Ｃ.错误!R??D．错误!Ｒ

[答案] C

[解析] 设圆锥高为h ，底面半径为ｒ，则R ２

＝(Ｒ－h )2＋r 2，∴ｒ2＝2R ｈ－h 2 ∴V ＝＼ｆ(1,3)πr 2h =＼f （π，３）h （2Ｒh －h 2)=２３πRh 2－π3h ３

V ′＝错误!πRh -πh ２

.令V ′＝0得h ＝错误!R .

当0＜h <错误!R 时，V ′>０;当错误!＜h <2R 时,V ′<０. 因此当h ＝错误!R 时，圆锥体积最大.故应选Ｃ. 8..和式 i =15

(ｙi +1）可表示为( )

A.(y １+１）＋(ｙ5＋1） B ．ｙ1+y 2＋y 3+y 4+ｙ5＋1 C.ｙ１＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5+５ D ．（ｙ1+１)(y 2+1)…（y 5＋1） [答案] Ｃ

[解析] 错误!(y ｉ+1)=（y １＋1)＋（y 2+1)+(ｙ3+1)＋(y 4＋１)＋(ｙ5+1）＝y １+y ２+y 3＋y 4＋

ｙ5+5，故选Ｃ.

９．设f (x )是［a ,ｂ]上的连续函数,则f (x )ｄx －ｆ(t ）d t 的值( ) Ａ.小于零 ?

B ．等于零

Ｃ.大于零 ??

?D.不能确定

[答案］ Ｂ

[解析] f （ｘ)d ｘ和f (t )ｄｔ都表示曲线y ＝ｆ（ｘ）与x ＝a ，x =b 及y ＝0围成的曲边梯形面积,不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置.所以其值为0.

10．.设f (x ）＝错误!,则f （x )d x 等于( ) A.3

4

? ??? ?B.错误!

C.５

６ ?

??Ｄ.不存在 [答案］ C

[解析] f （x )d ｘ＝x ２

ｄｘ+(２-x )d x 取Ｆ1(x )=＼ｆ(1,３）x 3,F 2(x )=2x -１

2x 2，

则F ′1（x )=x 2，F ′2(x )＝2-x

∴f (x ）d ｘ＝Ｆ1(1)－F １(0)＋F 2(2)－F ２(1)

＝＼f(1，3)-0+2×２－错误!×22－错误!=错误!.故应选C. １1..如图所示，阴影部分的面积为( ）

A.ｆ(x）d x?

B.g(x)d x

C.[f(x)-g（x)］dｘ?

D.[g（x）-ｆ(ｘ)]d x

[答案] Ｃ

[解析］由题图易知,当x∈[a,b］时,f(x)＞g（x)，所以阴影部分的面积为［f(x)－g(ｘ)]d x．

12已知ｆ(ｘ)=x３的切线的斜率等于1，则其切线方程有( )

A.1个

B．2个

C．多于两个

D．不能确定

［答案] Ｂ

[解析］∵f(x)＝x3，∴f′(x)＝3x2，

令3x2＝１,得ｘ＝±

３３

,

即切点坐标为错误!或错误!.

由点斜式可得切线方程为ｙ-错误!＝x-错误!或y+错误!＝x+错误!，即y=x-错误!或y=ｘ＋错误!.故应选B．

13．若曲线y＝x2+aｘ＋b在点(0,b)处的切线方程是x－y＋１＝0，则()

Ａ.a=1,b＝1

Ｂ．ａ=-1,b＝1

C．a=1，ｂ＝－1

D．a＝-1，b=－1

[答案] Ａ

[解析] y′＝2x＋a,∴y′|x＝0=（2x＋a）|x=０=ａ＝1,

将(0，b）代入切线方程得ｂ＝1.

14.关于归纳推理，下列说法正确的是( ）

A.归纳推理是一般到一般的推理

B.归纳推理是一般到个别的推理

C.归纳推理的结论一定是正确的

D.归纳推理的结论是或然性的

[答案] D

［解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定.故应选D．

15.下列说法正确的是( )

A.由合情推理得出的结论一定是正确的

B.合情推理必须有前提有结论

C.合情推理不能猜想

Ｄ.合情推理得出的结论无法判定正误

［答案］B

[解析] 由合情推理得出的结论不一定正确,A不正确；Ｂ正确;合情推理的结论本身就是一个猜想，C不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误,D也不正确，故应选B.

16.“∵四边形ＡBCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”,补充以上推理的大前提是（)

A.正方形都是对角线相等的四边形

B．矩形都是对角线相等的四边形

C．等腰梯形都是对角线相等的四边形

Ｄ.矩形都是对边平行且相等的四边形

[答案］ B

[解析］由大前提、小前提、结论三者的关系,知大前提是：矩形是对角线相等的四边形.故应选Ｂ.

1７.证明命题“f(x)=eｘ＋错误!在(0，+∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：∵f(x）=e x＋错误!,∴f′(x)=e x－错误!.

∵x>0,∴e x>1,０＜错误!＜1

∴eｘ－1

eｘ

>0，即f′(x）>0,

∴f(ｘ)在（0,+∞)上是增函数，他使用的证明方法是() A．综合法Ｂ.分析法

C．反证法?D．以上都不是

[答案] A

[解析] 该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.

18.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( )

A.有一个解

B．有两个解

C.至少有三个解

D．至少有两个解

［答案] C

整理全面《高中数学知识点归纳总结》

整理全面《高中数学知识点归纳总结》

教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向 量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用

高中数学三角函数基础知识点及答案

高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

高中数学复习必背知识点

高中数学复习必背知识点 第一章 集合与简易逻辑 含n 个元素的集合的所有子集有n 2个 第二章 函数 1、求)(x f y =的反函数：①解出)(1y f x -=②y x ,互换③写出)(1x f y -=的定义域； 2、对数：①负数和零没有对数 ②1的对数等于0：01log =a ③底的对数等于1：1log =a a ， ④积的对数：N M MN a a a log log )(log +=， 商的对数：N M N M a a a log log log -=， 幂的对数：M n M a n a log log =；b m n b a n a m log log = ， 第三章 数列 1、数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321； 数列前n 项和与通项的关系：???≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 2、等差数列 ： ①定义：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数； ②通项公式：d n a a n )1(1-+= （其中首项是1a ，公差是d ；） ③前n 项和：2)(1n n a a n S += d n n na 2 ) 1(1-+= ④等差中项： A 是a 与b 的等差中项：2 b a A +=或b a A +=2， 三个数成等差常设：a-d ，a ，a+d 3、等比数列：

①定义：等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，（0≠q ）。 ②通项公式：11-=n n q a a （其中：首项是1a ，公比是q ） ③前n 项和：??? ?? ≠--=--==) 1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na S n n n ④等比中项： G 是a 与b 的等比中项：G b a G = ，即ab G =2（或ab G ±=，等比中项有两个） 第四章 三角函数 1、弧度制：①π= 180弧度，1弧度'1857)180 ( ≈=π ； ②弧长公式：r l ||α= （α是角的弧度数） 2、三角函数定义： y r x r y x x y r x r y ====== ααααααcsc sec cot tan cos sin 3、特殊角的三角函数值 4、同角三角函数基本关系式： 1cos sin 22=+αα α α αcos sin tan = 1cot tan =αα

高中数学知识点归纳总结》

教师版高中数学必修+选修知识点归纳

安徽·合肥郭建德老师整理 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二 项式定理及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、 抽样、正态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 必修1数学知识点 第一章：集合与函数概念 §

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 .

2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念

1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设

高中数学知识点总结精华版

高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版

一、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子 集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ；

高中数学知识点完全总结(绝对全)

高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m

),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。

高中数学学业水平考试复习必背知识点

高中数学会考复习必背知识点 第一章 集合与简易逻辑 1、含ｎ个元素得集合得所有子集有个 第二章 函数 1、求得反函数:解出,互换,写出得定义域; 2、对数:①:负数与零没有对数,②、1得对数等于0:,③、底得对数等于1:, ④、积得对数:, 商得对数:, 幂得对数:;, 第三章 数列 1、数列得前n 项与:; 数列前ｎ项与与通项得关系: ２、等差数列 :(1)、定义:等差数列从第2项起,每一项与它得前一项得差等于同一个常数; (2)、通项公式: (其中首项就是,公差就是;) (3)、前ｎ项与:１、(整理后就是关于n 得没有常数项得二次函数) (4)、等差中项: 就是与得等差中项:或,三个数成等差常设:ａ-d ,a ,ａ+ｄ 3、等比数列:(１)、定义:等比数列从第2项起,每一项与它得前一项得比等于同一个常数,()、 (２)、通项公式:(其中:首项就是,公比就是) (3)、前ｎ项与: (4)、等比中项: 就是与得等比中项:,即(或,等比中项有两个) 第四章 三角函数 1、弧度制:(１)、弧度,1弧度;弧长公式: (就是角得弧度数) 2、三角函数 (１)、定义: y r x r y x x y r x r y ======ααααααcsc sec cot tan cos sin 4、同角三角函数基本关系式: 5、诱导公式:(奇变偶不变,符号瞧象限) 正弦上为正;余弦右为正;正切一三为正 公式二: 公式三: 公式四: 公式五: 6、两角与与差得正弦、余弦、正切 : : : : : : ７、辅助角公式:??? ? ?? ++++=+x b a b x b a a b a x b x a cos sin cos sin 2 22222

2020最新高二数学知识点归纳总结5篇精选

2020最新高二数学知识点归纳总结5篇精选高中学生要根据自己的条件，以及高中阶段学科知识交叉多、综合性强，以及考查的知识和思维触点广的特点，找寻一套行之有效的学习方法。下面就是我给大家带来的高二数学知识点总结，希望能帮助到大家！ 高二数学知识点(一) 第一章：集合和函数的基本概念，错误基本都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就是五分没了。次一级的知识点就是集合的韦恩图，会画图，集合的“并、补、交、非”也就解决了，还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。 第二章：基本初等函数：指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像。函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习基本就没多大问题。函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系，这也是常考常错点。另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化问题也要了解清楚。 第三章：函数的应用。主要就是函数与方程的结合。其实就是的实根，即函

数的零点，也就是函数图像与X轴的交点。这三者之间的转化关系是这一章的重点，要学会在这三者之间的灵活转化，以求能最简单的解决问题。关于证明零点的方法，直接计算加得必有零点，连续函数在x轴上方下方有定义则有零点等等，这是这一章的难点，这几种证明方法都要记得，多练习强化。这二次函数的零点的Δ判别法，这个倒不算难。 高二数学知识点(二) 第一章：三角函数。考试必考题。诱导公式和基本三角函数图像的一些性质只要记住会画图就行，难度在于三角函数形函数的振幅、频率、周期、相位、初相，及根据最值计算A、B的值和周期，及等变化时图像及性质的变化，这一知识点内容较多，需要多花时间，首先要记忆，其次要多做题强化练习，只要能踏踏实实去做，也不难掌握，毕竟不存在理解上的难度。 第二章：平面向量。个人觉得这一章难度较大，这也是我掌握最差的一章。向量的运算性质及三角形法则平行四边形法则难度都不大，只要在计算的时候记住要同起点的向量。向量共线和垂直的数学表达，这是计算当中经常要用的公式。向量的共线定理、基本定理、数量积公式。难点在于分点坐标公式，首先要准确记忆。向量在考试过程一般不会单独出现，常常是作为解题要用的工具出现，用向量时要首先找出合适的向量，个人认为这个比较难，常常找不对。有同样情况的同学建议多看有关题的图形。 第三章：三角恒等变换。这一章公式特别多。和差倍半角公式都是会用到的公式，所以必须要记牢。由于量比较大，记忆难度大，所以建议用纸写之后贴在桌子上，天天都要看。而且的三角函数变换都有一定的规律，记忆的时候可以结合起来去记。除此之外，就是多练习。要从多练习中找到变换的规律，比如一般

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.

让我再看你一眼(高中数学知识点回顾)

让我 再看你一眼 高中数学知识点回顾 姓名：

答题技巧 一、技术矫正： 考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意： ⑴、按序答题,先易后难：一定要选择熟题先做、有把握的题目先做； ⑵、不能纠缠在某一题、某一细节上，该跳过去就先跳过去，千万不能感觉自己被卡住，这样会心慌，影响下面做题的情绪； ⑶、避免“回头想”现象。一定要争取一步到位，不要先做一下，等回过头来再想再检查，高考时间较紧张，也许待会儿根本顾不上再来思考； ⑷、做某一选择题时如果没有十足的把握，初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记，有时间再推敲，不要空答案，否则要是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率。 二、规范化提醒： 这是取得高分的基本保证，规范化包括：①解题过程有必要的文字说明或叙述;②注意解完后再看一下题目，看你的解答是否符合题意，谨防因解题不全或失误，答题或书写不规范而失分，总之，要吃透题“情”；③合理分配时间，做到一准、二快、三规范，特别是要注意解题结果的规范化。 例如： ⑴、解与解集：方程的结果一般用解表示(除非强调求解集)；不

3 等式、三角方程的结果一般用解集(集合或区间)表示.三角方程的通解中必须加k Z ∈.在写区间或集合时,要正确地书写圆括号、方括号或大括号,区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开； ⑵、解题结束后一定要写上符合题意的“答”，如利用法向量求出的空间角的余弦，应用题等都要作答； ⑶、分类讨论题,最后一定要写综合性结论； ⑷、任何结果要最简.如2 , 2 211 4 22 == 等. ⑸、排列组合题,无特别声明,要求出数值. ⑹、函数解析式后面一般要注明定义域； ⑺、参数方程化普通方程,要考虑消参数过程中最后的限制范围； ⑻、注意轨迹与轨迹方程的区别：轨迹方程一般用普通方程表示,轨迹则需要说明图形形状，且有条件限制的轨迹方程必须注明x 或y 的范围. 三、考前寄语： ①、先易后难，先熟后生； ②、一慢一快：审题要慢，做题要快； ③、不能小题难做，小题大做，而要小题小做，小题巧做； ④、我易人易我不大意，我难人难我不畏难； ⑤、考试不怕题不会，就怕会题做不对； ⑥、基础题拿满分，中档题拿足分，难题力争多得分，似曾相识题力争不失分； ⑦、对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目，力争高上水平，有时“放弃”是一种策略。

高一数学必修一知识点必考难点总结5篇分享

高一数学必修一知识点必考难点总结5篇分享高一是高中学习生涯中打好基础的一年，而高中数学也是比较难的一门学科。那么，如何学好高一数学呢?下面就是我给大家带来的高一数学必修一知识点，希望对大家有所帮助！ 高一数学必修一知识点1 集合有以下性质 若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B 集合的表示方法 集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 常用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0 4.自然语言常用数集的符号：(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N;不包括0的自然数集合，记作N_(2)非负整数集内排除0

的集，也称正整数集，记作Z+;负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作Z-(3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)(6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a，b，c}，则card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+c ard(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求补律A∪CuA=UA∩CuA=Φ设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)～(BUC)=~B∩~C～(B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示复数集C实数集R正实数集R+负实数集R-整数集Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+负有理数集Q-不含0的有理数集Q 高一数学必修一知识点2 对数函数 对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里

高考精华总结---高中数学知识点总结

高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 50 1539252 2∈--

若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334Y Y 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--21 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域） () () 如：求函数的反函数f x x x x x ()=+≥---

高中数学知识点体系框架超全超完美

高中数学基础知识整合 函数与方程区间建立函数模型 抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 单调性：同增异减赋值法，典型的函数 零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多 函数的基本性质 单调性奇偶性周期性 对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 函数的概念 定义 列表法解析法图象法 表示三要素使解析式有意义及实际意义 常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 定义域 对应关系值域 函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换 基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数 指数函数与对数函数三角函数 定义、图象、性质和应用 函数 映 射 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 退出 上一页 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 导数 导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率 函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别 与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 0''' ' 1' 'x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；； 为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值 曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。 一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。 定 积分与微积分 定积分概念 定理应用 性质定理含意微积分基本 定理 曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限 和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程： （2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?=

高一数学上册基础知识点总结

数学必修一基础要点归纳 第一章 集合与函数的概念 一、集合的概念与运算： 1、集合的特性与表示法：集合中的元素应具有：确定性、互异性、无序性；集合的表示法 有：列举法、描述法、文氏图等。 2、集合的分类：①有限集、无限集、空集。 ②数集：{ } 2 2y y x =- 点集： (){},1x y x y += 3、子集与真子集：若x A ∈则x B ∈?A B ? 若A B ?但A ≠B ?A B 若{}123,n A a a a a =，，，则它的子集个数为2n 个 4、集合的运算：①{}A B x x A x B =∈∈且，若A B A =则A B ? ②{}A B x x A x B =∈∈或，若A B A =则B A ? ③ {} U C A x x U x A =∈?但 5、映射：对于集合A 中的任一元素a,按照某个对应法则f ,集合B 中都有唯一的元素b 与 之对应，则称:f A B →为A 到的映射，其中a 叫做b 的原象，b 叫a 的象。 二、函数的概念及函数的性质： 1、函数的概念：对于非空的数集A 与B ，我们称映射:f A B →为函数，记作()y f x =， 其中,x A y B ∈∈,集合A 即是函数的定义域，值域是B 的子集。定义域、值域、对应法则称为函数的三要素。 2、 函数的性质： ⑴ 定义域：0 1 简单函数的定义域：使函数有意义的x 的取值范围，例： 25y x =- 的定义域为：25053302x x x ->??<? 2 复合函数的定义域：若()y f x =的定义域为[),x a b ∈，则复合函数 ()y f g x =????的定义域为不等式()a g x b ≤<的解集。 0 3 实际问题的定义域要根据实际问题的实际意义来确定定义域。

高中必考数学知识点归纳整理

高中必考数学知识点归纳整理 1高中数学重难点知识点 高中数学（文）包含5本必修、2本选修，（理）包含5本必修、3本选修，每学期学习两本书。 必修一：1、集合与函数的概念（这部分知识抽象，较难理解）2、基本的初等函数（指数函数、对数函数）3、函数的性质及应用（比较抽象，较难理解） 必修二：1、立体几何（1）、证明：垂直（多考查面面垂直）、平行（2）、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角 这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。这部分知识高考占22---27分 2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题 3、圆方程：

必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分（选择或填空）2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分 必修四：1、三角函数：（图像、性质、高中重难点，）必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查 2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。09年理科占到5分，文科占到13分 必修五：1、解三角形：（正、余弦定理、三角恒等变换）高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：（线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。高考必考5分）不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。 文科：选修1—1、1—2 选修1--1：重点：高考占30分 1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考 2、圆锥曲线： 3、导数、导数的应用（高考必考） 选修1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：（新课标比老课本难的多，高考必考内容）