指数、指数幂、指数函数图象和性质教案
2.1.1指数与指数幂的运算 第1课时《根式》
课型：新授课 设计：田春霞 校对：刘学荣 第 周 第 课时 序号
一、 教学目标
1、知识目标：理解n 次方根和n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。
2、能力目标：通过对根式的学习，使学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力。
3、情感态度与价值观：通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想。 二、 教学重点：n 次方根的概念及其取值规律
教学难点：n 次方根的概念及其运算根据的研究．
三、 过程与方法：教学方法：启发探索式．
（一）、预习自学
1、指数幂的定义 ：a 的正整数指数幂=n a （其中R a n N n ∈>∈,1,*
） a 的零次幂=0
a （其中a ） a 的负整数指数幂=-n
a
（其中a ）
2、平方根与立方根的定义：（1）平方根：如果 ，那么 叫做 的平方根。正数a 的平方根有 个，它们 ，记作 ，0的平方根是 ，负数 。 （2）立方根：如果 ，那么 叫做 的立方根。正数a 的立方根是一个 ，负数a 的立方根是一个 ，0的立方根是 ，实数a 的立方根记作 。
3、n 次方根的概念：一般的，如果 其中（ ） 当n 是奇数时 ， 记作 当n 时偶数时 记作 负数 0的 ，记作
4、根式的概念：（1）定义：
（2）性质 ⅰ） =n
n a )( ，ⅱ）当n 为奇数时=n n
a
，n 为偶数时=n n
a
5、预习书P50例1
6、小试牛刀：化简下列各式：（1）38- （2）)(222b a b ab a <+-
（3）66)2(+x （4）)1()31(2
<--x x
x
（二）质疑、解疑
1、式子n a 中a 的取值范围由什么决定?
2、式子n a 的符号一定是正的吗？有什么规律？
3、式子n n a )(中a 的取值范围是实数集R 吗？化简结果是什么？
4、式子n
n
a 中a 的取值范围是实数集R 吗？化简结果一定是非负的吗？
（三）实践
1、根式有意义的条件：求
3
4
7311a
a a a ++-+
-的值
2、根式的化简与求值（1）计算 3
48
33
4
16
0625.0-
-+π
（2）如果,5- 44 +++ +--m m m m （3）设,33<<-x 求96122 2 ++-+-x x x x 的值 （四）师生小结 （五）验收：优化设计活页卷62页 四、 课后反思 2.1.1指数与指数幂的运算 第2课时《分数指数幂》 课型：新授课 设计：田春霞 校对：刘学荣 第 周 第 课时 序号 一、教学目标 1、 知识目标：能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化。能利用有理指数运算性质简化根式运算． 2、 能力目标：通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力。 3、 情感态度与价值观：通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质 二、教学重点：分数指数幂的概念及其运算性质． 教学难点：分数指数幂的概念 三、过程与方法：教学方法：启发探索式． （一）、预习自学 1、整数指数幂的运算法则： （1）=?n m a a （2）=n m a )( （3）=n ab )( （Z n m a ∈≠,,0） 2、分数指数幂的概念 （1）正数的正分数指数幂 （2）正数的负分数指数幂 （3）0的正分数指数幂 ，0的负分数指数幂 3、有理指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 4、无理指数幂 5、预习书P51-52例2-例5 6、测试一下预习效果：做课本P54练习1、2、3 （二）质疑、解疑 1、n m a 中为什么要求0>a ？ 2、有理指数幂的运算性质对底数有什么要求？ []41 41 4 1 )4()3()4)(3(--=--成立吗？ （三）实践 1、有理指数幂与根式的互化（师生共同分析课本P51例3后订正P54练习1、2） 练习（1）用根式表示3 241 - n m （)0,>n m （2）将根式322-化成分数指数幂的形式 2、应用运算性质化简求值（师生共同分析课本P51例2、例4后订正P54练习3） 练习：求下列各式的值（1）4 3 2 9 81? （2） ) 6 5)(41(56 131 21 1 2 1 3 2- -- -- ?y x y x y x （3）)0(3 2 2>? a a a a （4） 4 41 2 13 2)25()9 5() 25(10) 002.0() 8 27(++- + --+-- - 3、条件求值问题 例5、已知32 121 =+- a a ，求下列各式的值 （1）1 -+a a （2）2 2-+a a （3） 2 121 2323 - - --a a a a （四）师生小结 （五）验收：质量监测P31-32 四、课后反思 2.1.2指数函数及其性质 第1课时《指数函数基本内容》 课型：新授课 设计：田春霞 校对：刘学荣 第 周 第 课时 序号 一、教学目标 1、知识目标：使学生掌握指数函数的概念,图象和性质.(1)能根据定义判断形如什么样的函数是指数函数,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域. (2)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质.(3) 能利用指数函数的性质比较某些幂形数的大小。 2、 能力目标：通过对指数函数的概念图象性质的学习,培养学生观察,分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法。 3、 情感态度与价值观：通过对指数函数的研究,让学生认识到数学的应用价值,激发学生学习数学的兴趣.使学生善于从现实生活中数学地发现问题,解决问题。 二、教学重点：在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质。 教学难点：对底数a 在10,1<<>a a 两种前提下函数值变化情况的区分。 三、过程与方法：教学方法：启发探索式． （一）、预习自学 1、实际问题： 问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x 次 后,得到的细胞分裂的个数y 与x 之间,构成一个函数关系,能写出y 与x 之间的函数关系式吗? 问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,……剪了 x 次后绳子剩余的长度为y 米,试写出y 与x 之间的函数关系. 2、指数函数的定义： 3、指数函数的图像和性质 （1）画出函数x y 2=与x y )2 1 (=的图像（先补充课本P55表2-1,2-2，再描点画图） （2）通过分析图像，总结指数函数的性质 （二）质疑、解疑 （1）指数函数中为什么要规定底数大于0且不等于1呢? （2）指数函数的定义域为R ，当x 是无理数时，x a 有意义吗？ （3）具备什么形式的函数才是指数函数？判断下列函数是否指数函数。 ⅰ）x y π= ⅱ）2 3.0x y = ⅲ）x y 3)3(-= ⅳ）x y 2) 4 3( 2?= ⅴ）12+=x y （4）函数x y 2=的图像与函数x y )2 1 (=的图像有什么关系？可否利用x y 2=的图像画出函 数x y )2 1 (=的图像？ （5）为什么说指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且的图像过定点（0,1）？在定点（0,1）两侧 函数的取值有什么规律？ （6）在同一坐标系内画出 y 2=、x y )21(=、x y 3=、x y )3 1(=的图像，观察图像你 能得到什么结论？ （三）实践 1、对指数函数形式的认识 （1）学习课本P56例6 （2）练习：ⅰ）下列函数中指数函数有哪些？ ①3x y =②x y 4-=③x y -=2④)10()12(≠>-=a a a y x ，且⑤x y )2(-=⑥x a y = ⅱ）如果x a y )21(-=是一个指数函数，则常数a 的取值范围是 ⅲ）如果指数函数x a y )21(-=是R 上的单调减函数，则常数a 的取值范围是 ⅳ）已知指数函数)(x f 的图像过点（3,8），求)6(f 的值。 ⅴ）若函数)10(3)(1≠>+=-a a a x f x ，且的图像恒过定点P,则P 点坐标为 2、利用函数单调性比较大小 （1）学习课本P57例7 （2）练习：比较下列幂值的大小 ①1 .01 .09 .0,9.0- ②1,) 1 ( π π - ③1 .328 .067 .0,3 .2-- ④1 .01 .03 ,2 （四）师生小结 （五）验收：质量监测35-36 四、课后反思 2.1.2指数函数及其性质 第2课时《指数函数图像与性质的应用》 课型：新授课 设计：田春霞 校对：刘学荣 第 周 第 课时 序号 一、教学目标 1、知识目标：会利用指数函数的性质求函数的定义域、值域、单调区间，解指 数不等式 2、能力目标：通过对指数函数的性质的应用,培养学生观察,分析归纳的能力, 进一步体会数形结合的思想方法。 3、情感态度与价值观：通过对指数函数的研究,让学生认识到数学的应用价值, 激发学生学习数学的兴趣. 二、教学重点：如何应用指数函数的图象和性质解决相关问题。 教学难点：将数与形结合应用于解题中。 三、过程与方法：教学方法：启发探索式． （一）预习自学 1、复习指数函数的图像和性质 2、完成下面练习：(1)课本P59第5题、第8题 (2) ①x y )2 1 (=当1≥x 时值域为 ②x y 4-=当[)1,1-∈x 时值域为 ③当27 13< x 时x 的取值范围是 ④x y -=2当?? ? ??∈2,41 y 时x 的取值范围是 （二）实践应用 1、求函数的定义域、值域 例1、求下列函数的定义域、值域 （1）11 4.0-=x y （2）1 53-=x y (3)12+=x y (4)2 21) 2 1 (x x y -+= 师生小结：1、求函数定义域要注意哪些问题？ 2、怎样求“复合函数”的值域？ 练习：求下列函数的定义域、值域 （1）121 8-=x y （2）x y )2 1(1-= 2、求函数的单调区间 例2、求下列函数的单调区间 （1）17 62 2+-=x x y （2）17 62 ) 2 1 (+-=x x y 师生小结:求复合函数单调区间的方法、规律 练习：求函数2 2) 3 1 (x x y -=的单调区间 （三）课堂小结 （四）验收：质量监测P36-37 四、课后反思 2.1.2指数函数及其性质 第3课时《指数函数图像与性质的应用》 课型：新授课 设计：田春霞 校对：刘学荣 第 周 第 课时 序号 一、教学目标 1、知识目标：会进行图像的变换，会根据已知函数的图像做出相关函数的图像， 并能够利用图像解决问题。 2、能力目标：通过对指数函数的性质的应用,培养学生观察,分析归纳的能力, 进一步体会数形结合的思想方法。 3、情感态度与价值观：通过对指数函数的研究,让学生认识到数学的应用价值, 激发学生学习数学的兴趣. 二、教学重点：函数的图象的变换和应用。 教学难点：将数与形结合应用于解题中。 三、过程与方法：教学方法：启发探索式． （一）预习自学 1、函数x y 2=的图像与函数x y )2 1 (=的图像有什么关系？可否利用x y 2=的图像画出函数 x y )2 1(=的图像？ 2、函数x y 2=的图像与函数x y 2-=的图像有什么关系？可否利用x y 2=的图像画出函数 x y 2-=的图像？试着画一下。 3、你能根据x y 2=画出下面这些函数的图像吗？（1）12-=x y （2）12+=x y （3）12+=x y （4）12-=x y ⑤x y 2=，试着画一下。 （二）质疑、解疑 师生小结：函数图像的变换规律 1、 对称变换 2、 平移变换 3、 绝对值变换 （三）实践 例1、利用函数x y 2=的图像做出函数12-=x y 的图像，并分析说明当a 变化时图像与 直线a y =的交点有几个？ 练习：1、若函数m x f x +=-1) 2 1 ()(的图像与x 轴有公共点，则m 的范围是（ ） (A)1-≤m (B) 01≤≤-m (C) 1≥m (D) 10≤ 2、若函数)1,0)(1()(≠>+-=a a b a x f x 的图像过第一、三、四象限，则b a ,的取值范 围是 （四）课堂小结 （五）验收：已知函数1 3 -=x y （1）画出该函数图像（2）由图像求出单调区间和值域 四、课后反思 指数函数的图象和性质 一、指数函数的定义：形如),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的函数叫指数函数. 1、函数x a a a y )232(2 +-=是指数函数，则a 的值是________. 2、已知函数1 4)(-+=x a x f 的图象恒过定点P ，则P 的坐标是__________. 3、将三个数31 7 .02.0)3 2(,3.1,5.1-按从小到大的顺序排列. 4、作出下列函数的图象： （1）12-=x y （2）131+=-x y (3)12-=x y (4)12 -=x y 5、要得到x y 212 -=的图象，只需将函数x y )4 1(=的图象 A 、向左平移1个单位 B 、向右平移1个单位 C 、向左平移 21个单位 D 、向右平移2 1 个单位 6、已知1,10-<< 实数指数幂及运算 课前预习案 【课前自学】 一 、 整数指数 1、正整指数幂的运算法则 （1）m n a a = ，（2）()m n a = ，（3）m n a a = ，（4）()m ab = 。 2、对于零指数幂和负整数指数幂，规定：0___(0)a a =≠， ____(0,)n a a n N -+=≠∈。 二、 分数指数幂 1．n 次方根的概念 . 2．n 次算术根的概念 . 3．根式的概念 . 4．正分数指数幂的定义 1n a = ； m n a = . 5．负分数指数幂运算法则： m n a -= . 6．有理指数幂运算法则：（设a>0,b>0，,αβ是任意有理数） a a αβ= ；()a αβ= ；()a b α= 自学检测(C 级) =-0)1(______ ; =-3)x 2(_______; 3)2 1(--=_______ ; =-223 )y x (_____ 课内探究案 例:化简下列各式 （1 （2； （3）)0(322>a a a a ； （4）232520432()()()a b a b a b --?÷； （5）12 2 31111362515()()46x y x y x y ----- （6）111222m m m m --+++. 当堂检测： 1. (C 级)化简44)a 1(a -+的结果是( ) A. 1 B. 2a-1 C. 1或2a-1 D. 0 2.(C 级) 用分数指数幂表示下列各式： 32x =_________；31a =_________；43)(b a +=_________； 322n m +=_________；32y x =_________. 3. (C 级) 计算： 21)4964(- =________ 3227=________；________= 41 10000； 课后拓展案 1.(C 级)计算： (1) 21 6531 -÷a a a (2) )32(431313132----÷ b a b a (3) (4). 643 3)1258(b a 2. (C 级)计算：（1）3163)278(--b a ； （2）632x x x x （3）22 121)(b a -； （4）302 32)()32()2(--?÷a b a b a b . 3.(B 级)k 2)1k 2()1k 2(222---+-+-等于（ ） §3.1 《指数函数的图像和性质》教学设计 一、教学指导思想与理论依据 通过学习新课标和新的教育理念，我深深感受到：在中学数学的教学过程中，不仅要重视让学生掌握知识，更应重视让学生经历数学知识的形成与应用过程；重视学习过程中的情感体验；重视培养学生自主探究，合作交流，勇于创新的意识和能力。以往那种教师说的多，强调的多，学生未必会记住；教师讲得精彩，学生未必能理解；学生做题多，未必正确率高。同时教学中应采用多种教学形式，多种教学手段进行，在适当的时候，合理的运用多媒体，能有益的辅助教学，提高课堂效率，丰富教学内容。 新课标的教育宗旨是：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。这就要求在课程的设计中，要联系生活实际，联系学生已有的知识经验，学习内容要有层次。 二、教材分析： 本节课是北师大版高中《数学》必修1第三章第三节《指数函数》的内容。我将从以下两个方面对教材进行分析。 （一）教学内容的地位和作用分析: 《指数函数》是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。而指数函数的图像和性质是学习指数函数的重要内容。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，特别是通过这部分的学习，对于学生进行数形结合、几何直观等重要的数学思想方法的渗透，有很大的促进作用，这些数学思想方法对于进一步探究对数函数、三角函数等有很强的引领作用。 （二）教材分析和教材处理： 教材在安排这一节内容时，共安排了三个课时，《指数函数的概念及指数函数x y 2=与 x y ?? ? ??=21的图象和性质》 、《指数函数的图像和性质（1）》、《指数函数的图像和性质（2）》第一课时侧重指数函数概念的理解以及两个具体的指数函数图像的认识，第二课时在第一课时基础上探究指数函数的性质及性质，第三课时侧重性质的应用。 我对教材内容进行了重新的整合与处理，这部分内容的重点在于学生根据图像研究指数函数的性质，难点在于性质的运用。性质的研究必须以具体的指数函数图像为载体，而列 §3.指数函数图像和性质 一、教材分析 教材的地位和作用 函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图象与性质。一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。 重难点分析 教学重点：指数函数的图像、性质及其简单运用 教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系。 二、教学目标分析 知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力情感目标：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。 三、教法学法分析 教法分析 采用梳理—探究—训练的教学方法，充分利用多媒体辅助教学，通过学生的互动探究，教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受 学法分析 学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导；从学生原有知识和能力出发，在教师的带领下创设疑问，通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。 四、教学过程分析 1.创设情景，形成概念 2.发现问题，探究新知 3.深入探究，加深理解 4.强化训练，巩固双基 5.小结归纳，拓展深化 6.布置作业，升华提高 2.1.1 指数与指数幂的运算（二） （一）教学目标 1．知识与技能 （1）理解分数指数幂的概念； （2）掌握分数指数幂和根式之间的互化； （3）掌握分数指数幂的运算性质； （4）培养学生观察分析、抽象等的能力 2．过程与方法 通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质 3．情感、态度与价值观 （1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想； （2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （3）让学生体验数学的简洁美和统一美. （二）教学重点、难点 1．教学重点：（1）分数指数幂的理解； （2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 2．教学难点：分数指数幂概念的理解 （三）教学方法 发现教学法 1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特 殊情形归纳出一般规律. 2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发 现规律，并由特殊推广到一般的研究方法. （四）教学过程 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 提出问题 回顾初中时的整数指数幂及运算性质 ,1(0) n a a a a a a a =?????=≠, 0无意义 老师提问，学生回答. 学习 新知前的 简单复 1(0) n n a a a -= ≠;()m n m n m n mn a a a a a +?==(),()n m mn n n n a a a b a b ==什么叫实数？ 有理数，无理数统称实数. 习，不仅 能唤起学生的记 忆，而且为学习新课作好了知识上的准备. 复习 引入 观察以下式子，并总结出规律：a ＞0① 105 10 252 55 ()a a a a === ② 884242 ()a a a a === ③ 12 12 34 3 44 4 ()a a a a === ④5 10510 252 5 ()a a a a ===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）. 根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如： 23 2 3 (0)a a a ==> 1 2 (0) b b b ==>55 4 4 (0) c c c ==>即：*(0,,1) m n m n a a a n N n =>∈> 老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根 式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形 式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义 数学中引进一 个新的概 念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的 形成概念 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为： 学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导 让学生经历从“特殊一 实数指数幂及运算 课前预习案 【课前自学】 一 、 整数指数 1、正整指数幂的运算法则 （1）m n a a = ，（2）()m n a = ，（3）m n a a = ，（4）()m ab = 。 2、对于零指数幂和负整数指数幂，规定：0 ___(0)a a =≠， ____(0,)n a a n N -+=≠∈。 二、 分数指数幂 1．n 次方根的概念 . 2．n 次算术根的概念 . 3．根式的概念 . 4．正分数指数幂的定义 1n a = ； m n a = . 5．负分数指数幂运算法则： m n a -= . 6．有理指数幂运算法则：（设a>0,b>0，,αβ是任意有理数） a a αβ= ；()a αβ= ；()a b α= 自学检测(C 级) =-0 )1(______ ; =-3 ) x 2(_______; 3 )2 1(--=_______ ; =-223)y x (_____ 课内探究案 例:化简下列各式 （12 ()a b -； （224 3 819?； （3）)0(32 2>a a a a ； （4）232520432()()()a b a b a b --?÷； （5） 12 23 1 1 11362 515()()46 x y x y x y - ---- （6）11122 2 m m m m -- +++. 当堂检测： 1. (C 级)化简4 4)a 1(a -+的结果是( ) A. 1 B. 2a-1 C. 1或2a-1 D. 0 2.(C 级) 用分数指数幂表示下列各式： 3 2x =_________；3 1a =_________；43)(b a +=_________； 3 22n m +=_________； 3 2 y x =_________. 3. (C 级) 计算： 21)49 64(- =________ 3227=________；________= 41 10000； 课后拓展案 1. (C 级)计算： (1) 2 16 53 1-÷a a a (2) )3 2(43 1 313 13 2--- -÷b a b a (3) 3 443327 讲 义 教材与考点分析： 本节课学习的内容是了解指数函数的图像及性质，函数是数学研究的主要对象，也是考试必然会涉及的知识点，我们必须从简单的函数出发，学好每一类基本初等函数。 考点1：分数指数幂 我们规定分数指数幂的意义： 负分数指数幂的意义： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 考点2：有理数指数幂的运算性质 ),,0,0())(3(,))(2(, )1(Q s r b a b a ab a a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>===?+ 考点3：指数函数及其性质 a>1 0 Ａ．()()()f xy f x f y = Ｂ．()()()f xy f x f y =+ Ｃ．()()()f x y f x f y += Ｄ．()()()f x y f x f y +=+ 第2题. 若11()()23 x x <，则x 满足（ ） Ａ．0x > Ｂ．0x < Ｃ．0x ≤ Ｄ．0x ≥ 第3题. 函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）对于任意的实数x ，y 都有（ ） Ａ．()()()f xy f x f y = Ｂ．()()()f xy f x f y =+ Ｃ．()()()f x y f x f y += Ｄ．()()()f x y f x f y +=+ 第4题. 某工区绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x 年后的绿化面积成原绿化面积之比为y ，则()y f x =的图象大致为（ ） 第5题. 当0a >且1a ≠时，函数2()3x f x a -=-必过定点 ． 第6题. 函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于x 轴对称，则()f x 的表达式为 ． 第7题. 当0x >时，函数()()21x f x a =-的值总大于1，则实数a 的取值范围是 ． 第8题. 求不等式2741(0x x a a a -->>，1)a ≠且中x 的取值范围． 第10讲 指数函数的图像及性质 一、学习目标 1．理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质 2．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 掌握指数函数的性质及应用. 3. 逐步渗透数形结合的数学思想方法 二、重点难点 1.教学重点：利用函数的单调性求最值 2.教学难点：函数在给定区间上的最大(小)值 第一部分 知识梳理 讨论：12()2x x y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？ ②利用电脑软件画出11 5,3,(),()35x x x x y y y y ====的函数图 象. 864 2 -2 -4 -6 -8-5510 问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 8 6 4 2 -2-4 -6 -8-5 510 从图上看x y a =（a ＞1）与x y a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征. 问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性. 3x y = 5x y = 13x y ??= ??? 15x y ?? = ??? 0 问题3：指数函数x y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系 图象特征 函数性质 a ＞1 0＜a ＜1 a ＞1 0＜a ＜1 向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点（0，1） 0a =1 自左向右， 图象逐渐上升 自左向右， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于1 x ＞0，x a ＞1 x ＞0，x a ＜1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于1 x ＜0，x a ＜1 x ＜0，x a ＞1 5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ； 例1：（P 66例7）比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.10.8-与0.20.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.9 3.1 1、已知0.70.90.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 2. 比较1 132a a 与的大小（a ＞0且a ≠0）. x y d =的图象，判断,,,a b c d 与1的大小关系； 指数与指数函数图像及性质 【知识要点】 1．根式 （1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且* ∈N n 。 （2）如果a x n =，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且* ∈N n 。 (3)() () *∈>==N n n a a n n n ,1, 00。 (4) ,||,a n a n ?=? ?为奇数 为偶数 其中1>n ，且*∈N n 。 2. 分数指数幂 (1)正分数指数幂的定义: n m n m a a =()1,,,0>∈>*n N n m a (2)负分数指数幂的定义: n m n m a a 1=- () 1,,,0>∈>* n N n m a (3) 要注意四点： ①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ②根式与分数指数幂可以进行互化； ③0的正分数指数幂等于0； ④0的负分数指数幂无意义。 (4)有理数指数幂的运算性质: ①s r s r a a a +=?()Q s r a ∈>,,0； ② () rs s r a a =()Q s r a ∈>,,0； ③()r r r b a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0. 3.无理数指数幂 (1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。 4．指数函数的概念： 一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。 5．指数函数的图像与性质 第一课时 【典例精讲】 题型一 根式、指数幂的化简与求值 3.1.1 实数指数幂及其运算 1．整数指数 (1)一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积，即n n n a a a a a =????个 叫 做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数．并规定a 1＝a . (2)正整指数幂 在a n 中，n 是正整数时，a n 叫做正整指数幂． 正整指数幂具有以下运算法则： ①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(a m )n ＝a mn ；③a m a n ＝a m －n (a ≠0，m ＞n )；④(ab )m ＝a m b m .其中m ，n ∈N ＋. (3)整数指数幂 在上述法则③中，限制了m ＞n ，如果取消这种限制，那么正整 指数幂就推广到了整数指数幂．规定：①a 0＝1(a ≠0)；②a －n ＝1 a n (a ≠0，n ∈N ＋)．这样，上面的四条法则可以归纳为三条：①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(a b )n ＝a n b n ；③(a m )n ＝a mn .其中m ，n ∈Z .同时，将指数的范围由正整数扩大为整数． 0的零次幂没有意义，0的负整数次幂也没有意义，因此对于整数指数幂，要求“底数不等于0”． 【例1】化简：(a 2b 3)－2·(a 5b －2)0÷(a 4b 3)2. 解：原式＝2232464232 86()()1=()()a b a b a b a b ----??? ＝(a －4·a －8)·(b －6·b －6) ＝a －12b －12. 2．根式 如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根．求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算． 当n a 有意义时，式子n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根． n 次方根具有以下性质：(1)在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；(2)在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根不存在；(3)零的任何次方根都是零． 指数函数的图象及其性质 一、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（，我将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。 二、学生学习况情分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 三、设计思想 1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。 2.结合参加我校组织的两个课题《对话——反思——选择》和《新课程实施中同伴合作和师生互动研究》的研究，在本课的教学中我努力实践以下两点： ⑴.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 ⑵.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 四、教学目标 根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能 第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.1.1 实数指数幂及其运算(二) 【学习要求】 1.理解规定分数指数幂的意义. 2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化. 3.理解有理指数幂的含义及其运算性质. 4.了解无理指数幂的意义. 【学法指导】 通过类比、归纳,理解分数指数幂的有关运算性质,加深根式与分数指数幂关系的理解,提高归纳、概括的能力,了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.正数的正分数指数幂:a m n ＝ (n a)m ＝∈N ＋,且m n 为既约分数). 2.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同.即 a -m n ＝ (a>0,m,n ∈N ＋,且m n 为既约分数). 3.a r ·a s ＝a r ＋s (a>0,r,s ∈Q). 4.(a r )s ＝ a rs _ (a>0,r,s ∈Q). 5.(ab)t ＝ a t b t (a>0,b>0,t ∈Q). 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 我们知道12,(12)2,(12)3,…,它们的值分别为12,14,1 8 ….那么,2 ,2 ,2 ,2 ……的意义是什么呢？ 这正是我们将要学习的知识.下面,我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数. 探究点一 分数指数幂 问题1 什么叫实数？ 问题2 根据n 次方根的定义和数的运算,得出以下式子,你能从中总结出怎样的规律？ ① 5 a 10 ＝5 (a 2)5＝a 2＝a 105(a>0); ②a 8＝(a 4)2＝a 4＝a (a>0); ③4 a 12＝4(a 3)4＝a 3＝a(a>0). 问题3 当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式？ 小结：正分数指数幂的定义为:a 1 n ＝ n a (a>0);a m n ＝(n a)m ＝n a m (a>0,n,m∈N ＋,且m n 为既约分数).负分数指 数幂的意义与负整数指数幂的意义相同,即:a － m n ＝ (a>0,m,n∈N ＋).定义了分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的一种新的写法. 问题4 定义了分数指数幂的意义后,指数幂的概念就从整数指数幂推广到有理指数幂,那么整数指数幂的运算性质对于有理指数幂是否还适用？ 例1 求下列各式的值: 823 ; 25－1 2 ; ? ????12－5 ; ? ?? ??1681 －3 4. 小结：在进行求解时,首先要把比较大的整数化成比较小的数的指数幂的形式,还要熟练掌握分数指数幂的运算性质, 化负指数为正指数,同时还要注意运算的顺序问题. 1 m n a 1 m n a 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 本章教材分析 教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题. 本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a x 的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log a x 的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）;知道指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数（a ＞0,a≠1）,初步了解反函数的概念和f -1(x)的意义;通过实例了解幂函数的概念,结合五种具体函数y=x,y=x 2,y=x 3,y=x -1,y=x 2 1的图象,了解它们的变化情况. 本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读. 本章教学时间约需14课时,具体分配如下（仅供参考） 2.1.1 指数与指数幂的运算 整体设计 教学分析 我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n 次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂. 1.问题设计：同学们想一下，这个张纸将它不限次的对折下去会出现什么情况啊？ 2.问题设计：n 个a 相加能够写作什么？n 个a 相乘呢？ n 个a （a ≠0）相乘能够写作n n a a a a a ??? ?=个 ，a n 叫做a 的n 次幂，其中a 叫底数，n 叫指数 3.规定10=a (a ≠0)，n n a a 1 = - (a ≠0，n 为正整数) 问题设计：0 0有意义吗？3 0呢？ 教学情境二 根式的概念 如果a x n =（1n n >∈N ，），那么x 叫做a 的n 次方根.正数的偶次方根（n 为偶数时）有两个，分别表示为n a 和n a -，其中n a 叫做a 的n 次算术根，负数的偶次方根没有意义．任意实数a 的奇次方根只有一个，表示为n a ．形如n a （1n >且n ∈N ）的式子叫做n 次根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 问题设计：同学们来判断下面的等式一定成立吗，你认为它在什么情况会成立？能不能举些实例？ （1）a a n n =)(，（2）=n n a a 师生互动，分析归纳出根式的意义。 （1）a a n n =)(，R a ? （2）=n n a ? ??为偶数时为奇数时n a n a |,|, 教学情境三 分数指数幂的意义，以及与根式之间的相互转化 我们规定：n m n m a a = （m 、n 为正整数且2≥n ）． 问题设计：上面等式中，字母m 、n 在位置有什么样的变化，a 的取值范围跟m 、n 有什么样的关系呢？ 当n 为偶数时，2≥a ；当n 为奇数时，a ∈R 零除外. 问题设计：当m 为偶数时，有什么情况发生呢？ 扩展同学们对m 、n 、a 的有意义情况的思考。 教学情境四 实数指数幂的含义及其运算性质 将正整数指数幂推广到实数指数幂，其运算法则为： n m n m a a a +=?，mn n m a a =)(， n n n b a ab =)(． 上述运算法则成立的条件是：出现的每个实数指数幂都有意义的情况下. 问题设计：大家知道n m a a 的算法吗？ 加深同学们对负指数幂的运算理解使用。 教学情境五 例题讲解 (1) 1 3 0.125； (2) 解：(1) 1 1 1 1 (3)313 333110.125()(2)2 282 -?--=====； (2) 11 1111133 33 22211112123 3 33 3 3 363(32)33292(3) 232?????== = ???1121111023333 6 6 32323+--= ?= ?= 教学情境六 课堂练习 = ； 123 3 a a ?= ； 教学情境七 课堂小结 问题设计：同学想下，本节内容主要讲了哪些知识呢？ 1.根式的概念； 2.根式与分数指数幂之间的相互转化； 3.实数指数幂的含义及其运算性质等。 习题设计 (1)434330(2)(3)()2b a b a b a -?? (2)11112222()()a b a b +- (3)5 352523b a b a ÷÷- = 指数函数的图像与性质 一、教材分析 （一）教材的地位和作用 “指数函数”的教学共分三个课时完成，第1课时为指数函数的概念，具体指数函数的图像和性质；第2课时为指数函数的图像和性质及简单应用；第三课时为指数函数的性质应用。本课时主要通过对指数函数图像的研究归纳其性质，并进行简单的应用。“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数。（二）教学目标 1、知识目标： i会做指数函数的图像； ii能归纳出指数函数的几个基本性质； iii会进行指数函数性质的简单应用。 2、能力目标： 通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。 3、情感目标： 通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。（三）教学重点和难点 1、重点：指数函数的性质和图像。 2、难点：指数函数性质的归纳。 二、教法分析 （一）教学方式 直接讲授与启发探究相结合 （二）教学手段 借助多媒体，展示学生的做图结果；演示指数函数的图像 三、教学基本思路： 1、引入 1）复习指数函数概念 2）回忆指数函数图像的画法 2、探究指数函数的性质 1）研究指数函数的图象 2）归纳总结指数函数的性质 3、指数函数性质的简单应用 4、巩固练习 5、小结 6、作业布置 1、探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”——图象突破，体会数形结合的思想。通过研究几个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。让学生在研究出指数函数的一般性质后进行总结归纳函数的其他性质，从而对函数进行较为系统的研究。 2、进行一些巩固练习从而能对函数进行较为基本的应用。 4.1.1 n 次方根与分数指数幂 教学设计 从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，并将幂的运算性 质由整数指数幂推广到分数指数幂．通过对有理数指数幂；1≠ ，且0>(a a a n m 、实数指数幂R)∈1；；≠ 且a 0，(a>a x 含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 1．掌握n 次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算； 2．了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化； 3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质． 教学重难点 【教学重点】 理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 【教学难点】 能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 课前准备 引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础． 二、教学过程： （一）自主预习——探新知： 问题导学 预习教材P104－P109，并思考以下问题：1．n 次方根是怎样定义的？ 2．根式的定义是什么？它有哪些性质？ 3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？4．有理指数幂有哪些运算性质？ （二）创设情景，揭示课题 （1）以牛顿首次使用任意实数指数引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性． （2）简单复习正整数指数幂的概念和运算，并且思考一下问题： ４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？ -27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？ 如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根， 类似的，（±2）4 ＝16，我们可以把±2叫做16的4次方根，（2）5＝32，2叫做32的5次方根？ 推广到一般情形，a 的n 次方根是一个什么概念？给出定义． （3）当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，若a >0，则a 的n 次方根为n a 若a =0，则a 的n 次方根为0； 若a <0，则a 的n 次方根不存在．即：指数函数的图象和性质
中职数学基础模块上册实数指数幂及其运算法则word教案
3.1《指数函数的图像和性质》教学设计
指数函数图像与性质的教案
人教版数学高中必修一教材《指数与指数幂的运算》教学设计
实数指数幂及其运算教案
指数函数的图像及性质
指数函数的图像及性质知识要点
指数与指数函数图像及性质(教师版)
实数指数幂及其运算教案
指数函数的图象及其性质
实数指数幂及其运算教案
§3.1 指数与指数函数
3.1.1 实数指数幂及其运算(一) 【学习要求】 1.了解根式与方根的概念及关系; 2.理解分数指数幂的概念; 3.掌握有理数指数幂的运算性质,能运用性质进行化简计算. 【学法指导】 通过类比、归纳,感知根式概念的形成过程,进一步认清根式与绝对值的联系,提高归纳,概括的能力,了解由特殊到一般 的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想. 填一填：知识要点、记下疑难点
1.相同因数相乘
记作 an,an 叫做 a 的 n 次幂 ,a 叫做幂的 底数 ,n 叫做幂的 指数
2.正整指数幂的性质:(1)am·an＝am＋n;
(2)(am)n＝am·n;(3)aamn ＝am－n (m>n,a≠0);
(4)(ab)m＝ambm.
3.如果存在实数 x,使得 xn＝a (a∈R,n>1,n∈N＋),则 x 叫做 a 的 n 次方根 求 a 的 n 次方根,叫做把 a 开 n 次方,称作
开方 运算.正数 a 的正 n 次方根叫做 a 的 n 次 算术根 当n a有意义的时候,n a叫做 根式 ,n 叫做根指数.当 n 为
奇数时,正数的 n 次方根是一个 正数 ,负数的 n 次方根是一个 负数 ,此时 a 的 n 次实数方根只有一个,记为n a;当 n
为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为
相反数 ,它们可以合并写成
n ±a
(a>0)形式.
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境] 我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根、…、n 次方根呢？答案是肯定的,
这就是本节我们要研究的问题:实数指数幂及其运算.
探究点一 整数指数及其运算
问题 1 整数指数幂 an (n∈N＋)的意义是什么？an、a、n 分别叫做什么？
答: an (n∈N＋)的意义为:an ＝,an 叫做 a 的 n 次幂,a 叫做幂的底数,n 叫做幂的指数.
问题 2 正整指数幂有哪些运算法则？ 答: (1)am·an＝am＋n;
(2)(am)n＝am·n;
(3)aamn＝am－n (m>n,a≠0);
(4)(a·b)m＝am·bm.
问题 3 零和负整指数幂是如何规定的？
答: 规定:a0＝1 (a≠0);00 无意义;a－n＝a1n (a≠0,n∈N＋).
例 1 计算下列各式,并把结果化为只含正整指数幂的形式(式子中的 a,b≠0).
a－3b－2 －3a2b－1
(1)
9a－2b－3
;
(2)
a＋b a－b
－3 －2
a－b a＋b
403(a＋b≠0,a－b≠0).
解
a－3b－2 －3a2b－1
(1)
9a－2b－3
＝－3a－39＋2b－2－1a2b3＝－13a－1＋2b－3＋3＝－13a;
(2)
a＋b a－b
－3 －2
a－b a＋b
403＝[(a＋b)－3(a－b)4(a－b)2]3＝(a＋b)－9(a－b)18.
小结: 当我们规定了 a0＝1 (a≠0);00 无意义;a－n＝a1n
(a≠0,n∈N＋)后,就把正整指数幂推广到整数指数幂,并且正整指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立.
跟踪训练 1 化简下列各式:
(1)80＝______;(－8)0＝______;(a－b)0＝____(a≠b);
(2)10－3＝______;－21－6＝______.
答案： (1)1 1 1
(2)0.001 64
探究点二 根式的概念与性质
问题 1 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？3.1.1(二)实数指数幂及其运算教案学生版
示范教案(11指数与指数幂的运算第1课时)
实数指数幂教案 (1)
《指数函数的图像和性质》教案
【教案】4.1.1 《n次方根与分数指数幂》教案