Decoherence in non integrable systems
最简单的Excel的开方算法
一、最简单的Excel的开方算法 例如：8开三次方可输入=8^(1/3) 即可。平方=8^(1/2) ^在键盘中用上档键直接输入 二、EXCEL中的开方、乘方公式 POWER函数可以对数字进行乘幂运算，它的语法是：POWER(number,power) 其中Number是底数，可以为任意实数。 Power是指数，底数按该指数次幂乘方。 比如我们要求5的二次方，也就是平方，就可以在单元格内输入：“=POWER（5，2）”，即可得出答案25。 （也可以number^number,darkside注） ■返回给定数字的正平方根：SQRT 它的语法是：SQRT(number) 其中Number是要计算平方根的数。 比如我们要求出16的平方根，就可以在单元格中输入：“=SQRT(16)”，即可得出答案4。 知道了这两个函数的用法，我们就可以轻松的得出Z的值了。 先分别求出X和Y的平方，然后把它们相加，再相加得出的值开方，就可以得出答案。 如果你还是觉得这样的速度慢，还有更好的方法。下面介绍一个函数：SUMSQ ■返回参数的平方和：SUMSQ 它的语法是：SUMSQ(number1,number2, ...)。number1,number2等30个以内的数，用此函数可以求出它们的平方和，这样一来，只需输入X和Y的值，就可以求出它们的平方和了，再用SQRT函数一计算，最后Z值就可以求出。
■返回给定数字的N次方根：POWER POWER是乘幂函数，但可以反过来使用，就变成求N次方根了。 它的语法是：POWER(number,1/power) 其中Number是底数，可以为任意实数。 Power是指数，底数按该指数次开方。 比如我们要求8的三次方根，也就是平方，就可以在单元格内输入：“=POWER（8，1/3）”，即可得出答案2。
平方根公式
一、说教材 本节课是九年制义务教育课程标准试验教材八年级上册15章“整式的乘除”中第2节“乘法公式”中的第一课时。这节课是学生在已经学习了多项式乘以多项式的基础上，通过探究得出公式，可以提高计算能力，也为后面的因式分解打下基础。 根据新课标的精神，要改变学生的学习方式，实现“课堂素质化、素质课堂化”，我采取“先学后教，当堂训练”的教学模式，这也是我们学校正在推行培养学生综合素质的一种教学模式。 （一）教学目标（依据新课标的理念，人人学有价值的数学，人人都能获得必须的数学，不同的人在数学上有不同的发展。为此，我制定如下教学目标） 1、通过自主探究理解平方差公式意义，掌握平方差公式的结构特征，会用几何图形说明公式的意义，并能正确的运用平方差公式。 2、培养学生观察、分析、比较能力，逻辑推理能力及语言表达能力，提高探索能力。 3、积极参加探索活动，在此过程中培养学生勇于挑战的勇气和战胜困难的自信心。 （二）重难点、关键 重点：平方差公式及应用。 难点：平方差公式结构特点及灵活应用。 关键：正确分析公式的结构特征。 二、学情分析 学生在刚接触了多项式乘以多项式的乘法计算之后，从一般的计算中抽象出特殊形式的式子及结果写成平方差公式，通过对它的学习和研究，丰富了学习内容，也拓宽了学生的视野，在学生探究交流的同时建立数学模型。 三、说教法和学法 我采用“先学后教，当堂训练”的教学模式，即在课堂上教师先揭示教学目标，然后出示自学提纲，指导学生自学，暴露问题后，引导学生研讨解决，教师只能做评定、补充、更正，包括例题也是以自主探究的模式完成，学生能解决的问题一定让学生去解决，教师就是一个引导着、合作者、探究者，最后让学生当堂完成作业，经过严格有梯度的训练，形成学生解决问题的能力。课堂努力营造协作互助、自主探究的氛围，将课堂放给学生，让学生在自主活动中得以发展。 四、结合课件说教学过程 （一）创设情境（揭示目标） 1出示一道较大数字的计算题激发学生学习的欲望 2揭示本节课的学习目标，使学生明确学习的方向。 （二）探索发现（目标教学） 1、出示学生自学提纲，学生按要求自学，教师巡视并掌握学习状况。 2、教师出示第一个自学提纲的验收题，先由学生口答平方差的表达式，同时指一名学生到黑板板书，然后让学生用语言叙述，多数学生答完后教师课件出示，并指出以后可以直接应用此公式解决问题。最后课件演示几何图形面积的转化，由学生口答出两个图形的面积相等，又验证了平方差公式，学生体会数形结合的思想。 3、课件出示第二个自学提纲的验收题，判断以下各题是否可以应用平方差公式计算？让学生清楚公式适用的题型必须是（a+b）(a-b)型。 4、用课件出示第三个自学提纲的验收题，先让学生用方形和圆来表示公式的结构，加深对公式的理解，然后在模仿例子填空，逐步体会到公式中的a和b可以表示数字或者单项式，也可以是多项式。然后出示4道计算题，由易到难，先由学生想一想，对应平方差公式的结构特征，找准公式中的a和b分别指什么，然后解决问题，对于学生出现的错误，
用笔做开方运算的方法
用筆做開方運算的方法 很容易，先把被开方数自小数点左右分为每两个数一个区，如1049.76（以下都以这个数为例）可分为10…49.76，然后从高位区开始算，过程有点象除法竖式，下面就是正文：从高位区开始，10开方的整数是3，这整数3便是结果的最高位数字，余数1（10-3*3）和下一区和在一起便是149，用20(专用数字，从第二区开始一直用到完）去乘前面已开方结果3，便市60（20*3），记住，这个数的个位数不是固定的，它可是必须与除得的商相同且须尽量大，继实例部分，第二步用149除以60（60不是真正的除数，因为它的个位数是所得的商），这样可得出商的约数，如以上除的整数部分是2，那么须把60+2为62作为除数，得商2与除数62的个位数相同，因此商2便是结果的第二位数（既为32），余数为25（149-62*2），被开方数的整数区用完了便在结果32后加“.”既以后的算出来的结果为小数部分，剩下的都与第二部分相同下面与你们共同来完成它吧：把余数25和下一区放在一起为2576，试用除数为20*32=640，则商为4，4+640为644，2576除以644刚好为4（4恰为除数644的个位数）没余数，则4为结果的最后一位了，既结果为32.4。这结果可是精确的数哦，如果后面还除不尽的话，就在被开方数的小数部分后加00……还是每两数为一区，用以上的方法一直精确下去，结果可是与计算器算出来一样哦， 开方,一般都是...按计算机,以前是查数学用表... 现在有一个更容易的方法了,而且可以一下子给你开出这个数,而且多少次方都无问题! 例:32*32=1024 我们把1024分解质因数(小学知识,别说你不会) 1024=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2 一共是10个2 把10的因数找出来: 10(1,2,5,10) 一共10个2对不?10/1=10,2的10次方 10/2=5,2*2=4,4的五次方 10/5=2,2*2*2*2*2=32,32的二次方(即平方) 10/10=1,2*2.....*2=1024,1024的一次方 手动开平方 1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。 2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。（在右边例题中，比5小的平方数是4，所以平方根的最高位为2。） 3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。 4．把第二步求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。（右例中的试商即为[152/(2×20)]＝[3.8]＝3。） 5．用第二步求得的的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。如果所得
数字计算方法
数字计算方法——手动开方 手动开平方 1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。 2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。（在右边例题中，比5小的平方数是4，所以平方根的最高位为2。） 3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。 4．把第二步求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。（右例中的试商即为[152/(2×20)]＝[3.8]＝3。） 5．用第二步求得的的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。（即3为平方根的第二位。） 6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。用上一个余数减去上法中所求的积（即152－129＝23），与第三段数组成新的余数（即2325）。这时再求试商，要用前面所得到的平方根的前两位数（即23）乘以20去试除新的余数（2325），所得的最大整数为新的试商。（2325/(23×20)的整数部分为5。）7．对新试商的检验如前法。（右例中最后的余数为0，刚好开尽，则235 为所求的平方根。） 如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值。在《九章算术》里就已经介绍了上述笔算开平方法。 《九章算术》少广章： 第十二题：今有积五万五千二百二十五步。问为方几何？ 答曰：二百三十五步。 开方术曰： 置积为实。借一算。步之。超一等。议所得。以一乘所借一算为法。而以除。除已。倍法为定法。其复除。折法而下。复置借算步之如初。以复议一乘之。所得副。以加定法。以除。以所得副从定法。复除折下如前。 若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实。乃开之，讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。以《九章算术》中求55225的开方为例，图解说明。 | 5’ 52’ 25 (1) 2 | 5’ 52’ 25 (2) | 4 |1’ 52 (3) 152/(2×20)＝3＋... | 1’ 52’ (4) (2×20＋3)×3＝129 | 1’ 52’ (5) 1 29 | 23’ 25 (6)
笔算开方公式
笔算开方公式 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
笔算开方公式（竖式） 今日入定冥想时突然想起，中考前数学老师教过的手算开平方（下面简称“手开方”）公式。只是当时仅仅作为求二次方程判别式的应急公式，并没有仔细琢磨其正确性以及严格证明。既然今日想起，不妨钻研一下，却竟然得出了证明。以下为完整过程，请广大数学爱好者斧正！ 1.手开方公式举例： 上式意为65536的开平方为256。手开方过程类似于除法计算。为了方便表述，以下仍称类似位置的数为“被除数”、“除数”、“商”。以65536为例，其具体计算过程如下： Step1：将被开方数(为了形象，表述成“被除数”，此例中即为65536)从个位往高位每两位一断写成6,55,35的形式，为了方便表述，以下每一个“,”称为一步。 Step2：从高位开始计算开方。例如第一步为6，由于22=4<6<9=32，因此只能商2(这就是和除法不同的地方，“除数”和“商”的计算位必须相同)。于是将2写在根号上方，计算开方余项。即高位余项加一步低位，此例中，即为高位余项2和低位一步55，余项即为255。 Step3：将Step2得到的第一步开方得数2乘以20(原理在后面证明)作为第二步除数的高位。即本步除数是4x(四十几)。按照要求，本步的商必须是x。因为45×5=225<255<46×6=276，所以本步商5。 Step4：按照类似方法，继续计算以后的各步。其中，每一步的除数高位都是20×已求出的部分商。例如第三步的除数高位就是25×20=500，所以第三步除数为50x。本例中，506×6=3036恰好能整除，所以256就是最终计算结果。 2.字母表示和手开方公式的证明： 既然要证明，必须先把公式一般化。简言之，用字母而不是特殊值来表示计算过程和结果。 任意正整数均可表示成 则正整数M开方计算得到的就是A。根据手开方公式的思路，应该写成：不失一般性，对A进行推广。前面A表示正整数，现在A可以表示任意实数。因为计算开平方问题上，对于数值，正负是无所谓的。因此不妨假设A为
算平方根的简便方法
解：由图可知a<0，b>0，a-b<0 ∴ () 2a b a b a b a b a =----=---+=- 其实平方根与立方根是可以笔算算出来的，当你身边没有计算机的时候，掌握此类的算法十分有用。 至于怎样算，可以归纳为如下两条公式：平方根，20m+n ；立方根， 300m^2+30mn+n^2。 怎样去理解呢，很简单。模板是按除法的模式。以开平方为例，譬如要求72162的平方根，先要从个位开始将它分块，每两位一块，即7，21，62这样分。然后开始试商，从最高为试起，先来7，什么数的平方小于7的呢？明显是2。然后用7减去2的平方，得出的数字3为余数，将要在下一步与后两位数字合起来用来进行下一步运算。第二步，此时被除的变成了321，此时公式开始派上用场，上一步试出来的商2即为m ，至于n 呢，当然是第二步要试的商啦，而除数就是公式20m+n ，切记商与除数的积不要大过被除数。具体到刚才的数字，除数是321，而被除数则是20×2+n，即40几，要n×（20×2＋n ）小于等于321，最合适的就是n=6，即46×6=276，再用321减去276得出结果45用于第三步的试商。第三步，也像第二步一样试商，只不过此时的被除数变成4562，除数m=20×26+n，n 是第三步要试的商。由n×（20×26+n）小于等于4562得出第三步的试商n=8，第四步开始棘手了，因为个位之前的已经试完了，此时，应从小数点之后的十分位开始，如一开始一样，每两位分成一块，这之后，就可以按前面的方法一直试下去了。 至于立方根，也是与平方根一样的思路，只不过比平方根复杂一点。与平方根的区别主要有三点，一、分块变为每三位一块，如刚才的72162，要分为72，162；二、除数变成300m^2+30mn+n^2；三、余数的区别，平方根的余数肯定要比除数小的，不然说明试的商不合适，例如上面的题目，第二步余数45小于除数46，第三步余数338小于除数528；而立方根就有点不同，它在第二步开始试商的时候，得出来的余数是有可能比除数大的，而且经实践得出，这可能性不低，至于到了第三步，余数又开始回归正常了，即必定小于除数，否则试商有误。
开平方的计算
在中学阶段，涉及开平方的计算，一是查数学用表，一是利用计算器。而在解题时用的最多的是利用分解质因数来解决。如化简√1024，因为1024=2^10,所以。√1024=2^5=32；又如√1256=√（2^3*157）＝2*√(2*157）＝2√314. 如果想用笔算求算术平方根，在初二代数中讲完平方根后，有一个附录，讲得很详细。以下的介绍不知能否讲清楚： 比如求√37625.(如图） ①将37625从个位起，向左每两位分一节：3,76,25 ②找一个最大的数，使它的平方不大于第一节的数字，本题中得1(1的平方为1,而2的平方为4,大于3,所以得1）.把1写在竖式中3的上方。 ③将刚才所得的1平方写在竖式中3的下方,并相减，然后将76移写在本行（如图） ④将前面所得的1乘20,再加一个数a,写在竖式的左方（如图），并同时把a 写在竖式的上方对准6。而这个所谓的a，是需要试验的，使它与（20+a）的积最大且不超过276.本题中所得的a为9 ⑤用9乘29,再用276减去，所得的差写在下方 ⑥继续反复运用步骤④和⑤。如果后面的数字不足，则补两个0,继续运算。如果最后的余数是0,则该数的算术平方根是有理数；如果被开方数是小数，小数部分在分节的时候是从十分位起，每两位小数分一节。 （附图中的虚线方框为制图时所产生，又竖式中最后的余数应是2779）
手算开平方和开立方的方法 2011-01-14 17:58 手算开平方和开立方的方法 1)开平方Extracting Square Root 写出被开方数，从小数点起向左和向右每隔两位分段，并在段的上方打点作记号。左边加一竖线，右边加一个左括号。 从左段起求最大平方数，将方根写在括号右边，同时也写在竖线左边。然后在第一段下边写平方数，减去此平方数。写出减的结果，并将被开数第二段移下来，两者合并作为新被除数。此时竖线左边第二行（对齐新被除数）写出刚刚得的根乘2后再乘10的积作为新的除数（预留出个位的空白），将它去试除新被除数，所得的商填到除数的个位空白处，最终一起去除被除数，此时落实的商写在括号后已得根的后面。除数与商的积写在被除数的下方，然后相减，继续此步骤直到所有的分段都移下，包括小数点后两位两位彺下移。如果除不尽，余数后面可再补两个零，继续到所需位数。
高一数学开方公式具体计算步骤
高一数学开方公式具体计算步骤 开方公式 X(n + 1) = Xn + ( Xn Xn)1 / 2。 (n，n+1与是下角标) 例如： A=5： 5介于2的平方至3的平方之间。 我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取中间值2.5。 第一步：2.5+(5/2.5-2.5)1/2=2.2; 输入值大于输出值，负反馈; 即5/2.5=2， 2-2.5=-0.5， -0.51/2=-0.25， 2.5+(-0.25)=2.25， 取2位数2.2。 第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23; 输入值小于输出值，正反馈; 即5/2.2=2.27272， 2.27272-2.2=0.07272， 0.072721/2=0.03636， 2.2+0.03636=2.23636。
取3位数2.23。 第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。 即5/2.23=2.2421525， 2.2421525-2.23=0.0121525， 0.01215251/2=0.00607， 2.23+0.006=2.236， 取4位数。 每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。 例如： A=200： 200介如10的平方至20的平方之间。 初始值可以取11，12，13，14，15，16，17，18，19。 我们取15. 15+(200/15-15)1/2=14。 取19也一样得出14.。 19+(200/19-19)1/2=14.。 14+(200/14-14)1/2=14.1。 14.1+(200/14.1-14.1)1/2=14.14.
笔算开平方法的计算步骤
笔算开平方法的计算步骤如下： 1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。 2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。 3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。 4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商 5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。 6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。 如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值． 笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值． 我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍． 手工开根号法,只适用于任何一个整数或者有限小数开二次方. 因为网上写不出样式复杂的计算式,所以只能尽量书写,然后通过口述来解释: 假设一个整数1456456,开根号首先要从个位开始,每两位数做个标记,这里用'表示,那么标记后变成1'45'64'56.然后根据你要开的小数位数在小数点后补0,这里的举例开到整,则补2个0,(原因等明白该做法后自会理解),解法如下: 解法中需要说明的几个问题: 1,算式中的....没有意义,是因为网上无法排版,为了能把版式排得整齐点而加上的 2,为了区别小数点，所以小数点用。表示，而所有的.都是为了排版需要 3、除了1'45'64'56中的'有特殊意义，在解题中有用处外，其他的'都是为了排版和对起位置，说明数字来源而加的，取消没有任何影响 ...........1..2..0..6。8 .........----------------------- .....1../..1'45'64'56.00.. (1) (1) ............-------- .......22..|.45.. (2) (44) ..............-------- ........240.|.1'64.. (3)
单片机C语言求平方根
在单片机中要开平方.可以用到下面算法: 算法1: 本算法只采用移位、加减法、判断和循环实现，因为它不需要浮点运算，也不需要乘除运算，因此可以很方便地运用到各种芯片上去。 我们先来看看10进制下是如何手工计算开方的。 先看下面两个算式， x = 10*p + q (1) 公式(1)左右平方之后得： x^2 = 100*p^2 + 20pq + q^2 (2) 现在假设我们知道x^2和p，希望求出q来，求出了q也就求出了x^2的开方x了。 我们把公式(2)改写为如下格式： q = (x^2 - 100*p^2)/(20*p+q) (3) 这个算式左右都有q，因此无法直接计算出q来，因此手工的开方算法和手工除法算法一样有一步需要猜值。 我们来一个手工计算的例子：计算1234567890的开方 首先我们把这个数两位两位一组分开，计算出最高位为3。也就是(3)中的p，最下面一行的334为余数，也就是公式(3)中的(x^2 - 100*p^2)近似值 3 --------------- | 12 3 4 56 78 90 9 --------------- | 3 34 下面我们要找到一个0-9的数q使它最接近满足公式(3)。我们先把p乘以20写在334左边： 3 q --------------- | 12 3 4 56 78 90 9 --------------- 6q| 3 34 我们看到q为5时(60+q*q)的值最接近334，而且不超过334。于是我们得到： 3 5 --------------- | 12 3 4 56 78 90 9 --------------- 65| 3 34 | 3 25 --------------- 9 56 接下来就是重复上面的步骤了，这里就不再啰嗦了。 这个手工算法其实和10进制关系不大，因此我们可以很容易的把它改为二进制，改为二进制之后，公式(3)就变成了： q = (x^2 - 4*p^2)/(4*p+q) (4) 我们来看一个例子，计算100(二进制1100100)的开方： 1 0 1 0 --------------- | 1 10 01 00 1 --------------- 100| 0 10 | 0 00 --------------- | 10 011001| 10 01 --------------- 0 00 这里每一步不再是把p乘以20了，而是把p乘以4，也就是把p右移两位，而由于q的值只能为0
开方运算
不用表和计算器，可不可以求出一个数的平方根呢？先一起来研究一下，怎样求，这里1156是四位数，所以它的算术平方根的整数部分是两位数，且易观察出其中的十位数 是3．于是问题的关键在于；怎样求出它的个位数a？为此，我们从a所满足的关系式来 进行分析． 根据两数和的平方公式，可以得到 1156=(30+a)^2=30^2+2×30a+a^2， 所以1156－30^2=2×30a+a^2， 即256=(30×2+a)a， 这就是说， a是这样一个它与30×2的和，再乘以它本身，等于256． 为便于求得a，可用下面的来进行计算： 根号上面的数3是的十位数．将 256试除以30×2，得4(如果未除尽则取整数位).由 于4与30×2的和64，与4的积等于256，4就是所求的个位数a．竖式中的余数是0，表示开方正好开尽．于是得到 1156=34^2，或√1156=34. 上述求平方根的方法，称为笔算方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下： 开平方运算开方的计算步骤 1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开（竖式中的11’56），分成几段，表示所求是几位数； 2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（中的3）； 3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一 个（竖式中的256）； 4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（20×3 除256，所得的最大整数是 4，即试商是4）； 5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试中（20×3+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）； 6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数． 如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．例如求的近似值（精确到0.01），可列出上面右边的竖式，并根据这个竖式得到 笔算方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．
开方公式
手动开立方术 立方公式 设A=X^3，求X。这称为开立方。开立方有一个标准的公式： 开方公式 开方公式 X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3(n，n+1是下角标） 例如，A=5，即求 5介于1的3次方、2的3次方之间（因为1的3次方=1，2的3次方=8） 初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我们取X0=1.9按照公式： 第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。 即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位数值，即1.7。 第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。 即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。 第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709. 第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099 这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值 偏小，输出值自动转大。即5=1.7099^3; 当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，……，1.8，1.9中的任何一个,都是X1=1.7>。当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，即1.5。1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。 如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。即
平方根的计算方法
平方根的计算方法 上面的太复杂拉,其实很简单: 智能ABC输入法的词库文件存储为计算机上的两个文件“Tmmr.rem”和“User.rem”。不知道你说的是不是这类型的文件，因为WINDOWS 关闭计算机时是要关闭输入法的，如果发现词库错误的话，可能有上述提示，建议把正在使用的输入法删除再安装一次 就是 智能ABC输入法的问题. 你说的记忆文件是指输入法的记忆文件。一般出现这个错误不要紧~不影响日常使用。 你还是使用微软拼音2003吧，智能、紫光、拼音加加都出现很多问题，这些输入法本身就有问题。相反微软拼音2003却没有那么多的问题，就是因为它整合兼容windows所有版本，微软的操作系统使用微软的输入法就不会出现问题，即使有问题也是偶尔发生的。备份一下字库如果不是专业打字人员就用微软拼音常见硬件术语手册 作者：佚名文章来源：本站原创点击数：30 更新时间：2006-2-27 常见硬件术语手册 一、CPU术语解释
3DNow!：(3D no waiting)AMD公司开发的SIMD指令集，可以增强浮点和多媒体运算的速度，它的指令数为21条。 ALU：(Arithmetic Logic Unit，算术逻辑单元)在处理器之中用于计算的那一部分，与其同级的有数据传输单元和分支单元。 BGA：(Ball Grid Array，球状矩阵排列)一种芯片封装形式，例：82443BX。 BHT：(branch prediction table，分支预测表)处理器用于决定分支行动方向的数值表。 BPU：(Branch Processing Unit，分支处理单元)CPU中用来做分支处理的那一个区域。 Brach Pediction：（分支预测）从P5时代开始的一种先进的数据处理方法，由CPU来判断程序分支的进行方向，能够更快运算速度。 CMOS：（Complementary Metal Oxide Semiconductor，互补金属氧化物半导体）它是一类特殊的芯片，最常见的用途是主板的
任意正实数开平方的几种算法
任意正实数开平方的几种算法 马丽君 （集宁师范学院 数学系，内蒙古 乌兰擦布市 012000） 摘 要：给出正实数开平方的四种不同算法。 关键词：查表法；笔算开平方法；迭代法；无穷级数法。 任意正实数开平方我们在初中已经学习过。方法是查表法。本文介绍了包括查表法在内的四种不同开平方的算法，供大家参考。 方法一：查表法。 方法二：笔算开平方法。 将被开方数从小数点起向左、向右每隔两位划为一段，用“ ’ ”分开；求不大于且最接近左边第一段数的完全平方数，此平方数的平方根为“初商”； 从左边第一段数里减去求得初商的平方数，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数； 把初商乘以20，试除第一个余数，所得的最大整数作试商(如果这个最大整数大于或等于10，就用9或8作试商)；用初商乘以20加上试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，就把这个试商写在商后面，作为新商；如果所得的积大于余数，就把试商逐次减小再试，直到积小于或等于余数为止；以此类推，直至满足要求的精度；平方根小数点位置应与被开平方数的小数点位置对齐。 例1 求316.4841的平方根。 第一步，先将被开方的数，从小数点位置向左、向右每隔两位用逗号分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41。 第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方 则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为2113=<，而 2(11)43+=>。 第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216。 第四步，找出试商，使(20×初商+试商)×试商不超过第一余数，而 [20(1)]?++初商试商(1)?+试商则大于第一余数。 第五步，把第一余数减去(20×初商+试商)×试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748。依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束。若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值。 第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐。 本例的算式如下：
快速平方根算法(1)
快速平方根算法(1) 默认分类2010-09-03 06:42:49 阅读16 评论0 字号：大中小订阅 快速平方根算法 在3D图形编程中，经常要求平方根或平方根的倒数，例如：求向量的长度或将向量归一化。C数学函数库中的sqrt具有理想的精度，但对于3D游戏程式来说速度太慢。我们希望能够在保证足够的精度的同时，进一步提高速度。 Carmack在QUAKE3中使用了下面的算法，它第一次在公众场合出现的时候，几乎震住了所有的人。据说该算法其实并不是Carmack发明的，它真正的作者是Nvidia的Gary Tarolli（未经证实）。 // // 计算参数x的平方根的倒数 // float InvSqrt (float x) { float xhalf = 0.5f*x; int i = *(int*)&x; i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 计算第一个近似根 x = *(float*)&i; x = x*(1.5f - xhalf*x*x); // 牛顿迭代法 return x; } 该算法的本质其实就是牛顿迭代法（Newton-Raphson Method，简称NR），而NR的基础则是泰勒级数（Taylor Series）。NR是一种求方程的近似根的方法。首先要估计一个与方程的根比较靠近的数值，然后根据公式推算下一个更加近似的数值，不断重复直到可以获得满意的精度。其公式如下： 函数：y=f(x) 其一阶导数为：y'=f'(x) 则方程：f(x)=0 的第n+1个近似根为 x[n+1] = x[n] - f(x[n]) / f'(x[n]) NR最关键的地方在于估计第一个近似根。如果该近似根与真根足够靠近的话，那么只需要少数几次迭代，就可以得到满意的解。 现在回过头来看看如何利用牛顿法来解决我们的问题。求平方根的倒数，实际就是求方程1/(x^2)-a=0的解。将该方程按牛顿迭代法的公式展开为：
手算开平方
今日入定冥想时突然想起，中考前数学老师教过的手算开平方（下面简称“手开方”）公式。只是当时仅仅作为求二次方程判别式的应急公式，并没有仔细琢磨其正确性以及严格证明。既然今日想起，不妨钻研一下，却竟然得出了证明。以下为完整过程，请广大数学爱好者斧正！ 1.手开方公式举例： 上式意为65536的开平方为256。手开方过程类似于除法计算。为了方便表述，以下仍称类似位置的数为“被除数”、“除数”、“商”。以65536为例，其具体计算过程如下： 转载请注明本文出自“风中落叶”https://www.sodocs.net/doc/934983697.html,/xiamengy Step1：将被开方数(为了形象，表述成“被除数”，此例中即为65536)从个位往高位每两位一断写成6,55,35的形式，为了方便表述，以下每一个“,”称为一步。 Step2：从高位开始计算开方。例如第一步为6，由于22=4<6<9=32，因此只能商2(这就是和除法不同的地方，“除数”和“商”的计算位必须相同)。于是将2写在根号上方，计算开方余项。即高位余项加一步低位，此例中，即为高位余项2和低位一步55，余项即为255。
Step3：将Step2得到的第一步开方得数2乘以20(原理在后面证明)作为第二步除数的高位。即本步除数是4x(四十几)。按照要求，本步的商必须是x。因为45×5=225<255<46×6=276，所以本步商5。 Step4：按照类似方法，继续计算以后的各步。其中，每一步的除数高位都是20×已求出的部分商。例如第三步的除数高位就是25×20=500，所以第三步除数为50x。本例中，506×6=3036恰好能整除，所以256就是最终计算结果。 2.字母表示和手开方公式的证明： 既然要证明，必须先把公式一般化。简言之，用字母而不是特殊值来表示计算过程和结果。 任意正整数均可表示成 转载请注明本文出自“风中落叶”https://www.sodocs.net/doc/934983697.html,/xiamengy 则正整数M开方计算得到的就是A。根据手开方公式的思路，应该写成：
数字计算方法——手动开方
手动开平方1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。（在右边例题中，比5小的平方数是4，所以平方根的最高位为2。）3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。4．把第二步求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。（右例中的试商即为[152/(2×20)]＝[3.8]＝3。）5．用第二步求得的的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。（即3为平方根的第二位。）6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。用上一个余数减去上法中所求的积（即152－129＝23），与第三段数组成新的余数（即2325）。这时再求试商，要用前面所得到的平方根的前两位数（即23）乘以20去试除新的余数（2325），所得的最大整数为新的试商。（2325/(23×20)的整数部分为5。）7．对新试商的检验如前法。（右例中最后的余数为0，刚好开尽，则235为所求的平方根。）如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值。在《九章算术》里就已经介绍了上述笔算开平方法。《九章算术》少广章：第十二题：今有积五万五千二百二十五步。问为方几何？答曰：二百三十五步。开方术曰：置积为实。借一算。步之。超一等。议所得。以一乘所借一算为法。而以除。除已。倍法为定法。其复除。折法而下。复置借算步之如初。以复议一乘之。所得副。以加定法。以除。以所得副从定法。复除折下如前。若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实。乃开之，讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。以《九章算术》中求55225的开方为例，图解说明。| 5’ 52’ 25 (1)2 | 5’ 52’ 25 (2)| 4|1’ 52 (3)152/(2×20)＝3＋... | 1’ 52’ (4)(2×20＋3)×3＝129 | 1’ 52’ (5)1 29| 23’ 25 (6)2325/(23×20)＝5＋... | 23’ 25 (7)(23×20＋5)×5＝2325 | 23’ 25 (8)| 23’ 25 (9)0 (10)于是，235即为所求。手动开立方1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；5．把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；6．用同样的方法，继续求立方根的其他各位上的数。对新试商的检验亦如前法。
中值定理法(开平方算法)
最快的开平方算法(中值定理法) 作者:李义2006 关键词:最快开平方根算法中值定理开方 整数平方数中值定理: 设a、b、c为顺序排列间距为P的3个整数,A、B、C是它们的平方 则有:b2＝(a 2+c2)/2-R,即:B＝(A+C)/2-R 其中:修正值R＝P2 特别地,如果间隔P＝1、2、4、8、16、…2 n (或Pn=2Pn-1)时 则: 修正值R＝1、4、16、64、256、…22n (或Rn＝4Rn-1) 证明: 已知:a＝b+P c＝b-P 有:a 2＝(b+P)2＝b2+2Pb+P2 c2＝(b-P)2＝b2-2Pb+P2 则:a2+c2＝2b2+2P2 即:b2＝(a2+c2)/2-P2 特别地 当:间隔P＝2 n＝2*2 n -1＝2 Pn-1时(n为自然数) 则:修正值R＝P2＝22n＝(2 Pn-1)2＝4(P n-1)2＝4Rn-1 (证明完) 根据以上定理,可以实现整数快速开平方根计算: 先构建一个长度为N的数组1: 数组长N=Ni+1 1 2 3 4 5 … 间隔P=2Pi 2 4 8 16 32 … 修正值R=4Ri 4 16 64 256 1024 … 以及一个对应2PN(这里N=4、2PN=32)的典型数和它的平方数组2: 按N=4间隔 排列的数d=di+2PN 32 64 96 128 160 192 224 256 … 该数的平方D=d2 1024 4096 9216 16384 25600 36864 50176 65536 … 显然,N值越大则数组2越小、程序代码效率越高、用时(插值次数)越多. 以2字节整数开方为例的计算流程如下: 其中,被开方数D(范围0~65536),其平方根d(范围0~256) 注:1、查表可以从任何位置开始,对计算速度影响不大.其中D=0、D=1、D=Di、D>65280判断可以省去.
口算平开方
口算开平方 先以13为例， 第一，我们要知道哪两个数的平方介于13之间，这两个数为3和4。 第二，算出3和4的平方，3为9，4为16。 第三，用13减去9得4，16减9得7。 第四，将第三步中的差值相除，用4除以7得0.571428571。最后3加上这个商即为结果3.571428571。而用计算机得的结果为3.605551275，误差为0.03。 再以1998为例，用此方法得出的结果为44.696629213，计算机结果为44.69899328，误差为0.002。 最后以40634为例，用此方法得出的结果为201.578763771，计算机结果为201.5787687，误差为0.00005。 由上可看出数越大，算得就越精确。但是实际情况下的问题是：找哪两个数的平方介于目标数之间比较累人，不过只要数学较好，都会很容易的找出来。 从另一方面看这种方法的原理就是：以13为例，把9到16之间看成单位一，算出13在这里的位置，从上可得13大概在这个单位一的0.571428571处，因此再用3加上这个量即可。 上面的例子找的介于目标数之间的两个数都是与答案相邻的数。如上边算1998时，我找的是44（平方为1936）和45（平方为2025）。如果不找这两个数可以么？也可以。例如如果找43（平方为1849）和46（平方为2116）。这回相除的结果就不能直接加43了，因为43与46之间差是3，也就是说这回单位一是3而不是1了。这时要用商先乘以3，再将积加上43才为答案。这样算得结果为44.671573。误差为0.02，与上边的误差0.002相比，误差增大了。并且找的两个数差越大，误差就越大。所以，还是找差为1的两个数为妙。 虽然找那两个数的时候有时得算，但之后的计算几乎就是口算了（如果你计算能力好的话）。因此称之为“口算开方”。
开方与幂运算
数的开方幂运算 【语录天下】能不能学学人家电视剧里女猪脚，心情不好就啥子胃口都没有，死活就是吃不下饭，没几天嗷一下瘦的跟竹竿似的。再瞧瞧你，心情不好就吃吃吃，吃完饭吃下午茶吃完下午茶吃零食，吃完零食吃夜宵，吃完了心情就好的差不多了，而且还经常心情上下变换，你说说你不胖谁胖？ 【学习目标】①回顾上一章数的开方，并且完全掌握其计算注意事项与实数定义 ②记住各种幂的运算的运算公式与注意事项 ③掌握幂运算的技巧与抽象计算事项 边听边记边想，熟悉考点考法，获得方法技巧。 【数的开方与实数复习】 【1】解方程 ①0972 2=-x ②32212=y ③16)47(2=+a ④02572)3(22=-+-a 【2】a 的两个平方根是方程223=+y x 的一组解（1）求a 的值；（2）求2a 的平方根； 【3】已知n m n m a -++=3是3++n m 的算数平方根，322+-+=n m n m b 是n m 2+的立方根，求a b -的立方根 【4】观察下列各式：33722722=，3326332633=，3363446344=，33124 5512455=······ 将你发现的规律用含n 的式子表示
【幂的运算】同底数幂的乘法；公式： 【例1】计算=?32x x 计算=??8247 变式训练1）计算=?-98)(x x 计算=-?-32)45()54(x y y x 变式训练2）计算=?-23)2(a 计算=--+--?)3)(2()(42232x x x x x 【例2】已知n 是大于1的自然数，则=-?-+-11)()(n n c c 变式训练1）计算=-?-22)()(a a 【例2】已知m n m m m 2732793=??+，求n m 的值 变式训练2）计算=---53)())((b a a b a b 变式训练3）已知4,2==n m a a ，求下列各式的值； （1）1+m a ；（2）n a +3；（3）2++n m a ；（用含a 的代数式表示） 【深度思考】阅读材料：求201320124322222221+++++++ 的值。 解：设201320124322222221+++++++= S ，将等式两边同时乘以2得 20142013543222222222+++++++= S 将下式减上式得1222014-=-S S ，即122014-=S ， 即122222221201420132012432-=+++++++ 请仿照此计算方法计算： （1）10432222221++++++ ；（2）n 333331432++++++ ；（其中n 为正整数）