排列组合全部20种方法
排列组合解法
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：
1. 认真审题弄清要做什么事
2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素?
4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
1、由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数
练习、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略
2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.
练习、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 _____________
三.不相邻问题插空策略
3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种?
练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 _____
四.定序问题倍缩空位插入策略
4、7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法?
练习、10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法?
五.重排问题求幕策略
5、把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法
练习
1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原
节目单中，那么不同插法的种数为________
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法______
六.环排问题线排策略
6、8人围桌而坐，共有多少种坐法？一般地,n个不同元素作圆形排列，共有（n-1）!种排法?如果从n个不同元素中取出m：
练习、6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？
七.多排问题直排策略
7、8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法?
"__前排 " ' 后排 l
练习、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐, 并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是__________
八.排列组合混合问题先选后排策略&有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法.
练习、一个班有6名战士，其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正副班长有且只有1人参加，则不同的选法有______________ 种
九?小集团问题先整体后局部策略
9、用1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间，这样的五位数有多
少个？
练习、
1 .计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的必须连在一
起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为________________
2. 5男生和5女生站成一排照像，男生相邻，女生也相邻的排法有 _______ 种
十.元素相同问题隔板策略
10、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
练习题：
1. 10个相同的球装5个盒中，每盒至少一有多少装法？
2 . x y z ^100求这个方程组的自然数解的组数?
十一.正难则反总体淘汰策略
11、从0,123,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数，不同的
取法有多少种？
练习、我们班里有43位同学，从中任抽5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种？
十二.平均分组问题除法策略
12、6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
练习题：
1、将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队，有多少分法？
2、10名学生分成3组,其中一组4人，另两组3人但正副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法
3、某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安
排2名，则不同的安排方案种数为________
十三.合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能唱歌,5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目有多少选派方法
练习：
1、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法
共有________
2、3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人，他们任选2只船或3 只船,但小孩不能单独乘一只船，这3人共有多少乘船方法?
十四?构造模型策略
14、马路上有编号为123,4,5,6,7,8,9 的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏,
也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒
模型等，可使问题直观解决练习、某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？
十五.实际操作穷举策略
15、设有编号1,2,3,4,5 的五个球和编号1,2,3,4,5 的五个盒子，现将5个球投入这五个盒子内，要求每个
盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少投法
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果
练习
1、同一寝室4人，每人写一张贺年卡集中起来，然后每人各拿一张别人的贺年卡，
则四张贺年卡不同的分配
方式有多少种？
2、给图中区域涂色，要求相邻区域不同色，现有4种可选颜色，则不同的着色方法
有_________ 种
十六?分解与合成策略
16、30030能被多少个不同的偶数整除
练习：正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略，把一个复杂问题分解成几个小问题
逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得
到
问题的答案海个比较复杂的问题都要用到这种解题策略
十七.化归--------------------------------------------- ----------------------------------------------
17、25人排成5 X 5方阵，现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种?
处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到
解题方法, 从而进下一步解决原来的问题
练习、某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种?
十八?数字排序问题查字典策略
324105大的
18、由0, 1, 2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比数？
数字排序问题可用查字典法，查字典的法应从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，根据分类
计数原理求出其总数。
练习：用0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来，第71个数是
十九.树图策略
19、3人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传求后，球仍回到甲的手中，则不同的传球方式有________
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果
练习：分别编有1, 2, 3，4，5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅(i =1,2,345 )的不同坐法有多少种？
二十.复杂分类问题表格策略
20、有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A B、C、D E五个字母，现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共
有多少种不同的取法
一些复杂的分类选取题，要满足的条件比较多，无从入手，经常出现重复遗
漏的情况，用表格法，则分类明确,能保证题中须满足的条件，能达到好的效
------------------ 排列组合解法 -----------
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：
1. 认真审题弄清要做什么事
2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素?
4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,123,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置
先排末位共有C；
然后排首位共有C：
最后排其它位置共有A3
113
由分步计数原理得C4C3A4 =288
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需
先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有A f A^A：=480种不同的排法
要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并
为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.
练习题：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20
三.不相邻问题插空策略
例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？解：分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A f种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种A4不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有A：A： ______ 种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两
练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为_J0_
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解：（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总
排列数除以这几个元素之间的全排列数
，则共有不同排法种数是： A 7/ A 3
（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A 7种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 丄种
坐法，则共有A ；种方法。 思考：可以先让甲乙丙就坐吗 ？
（插入法）先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 _______________ 方法 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插
练习题:10人身高各不相等，排成前后排，每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ C ；。
五. 重排问题求幕策略
例5.把6名实习生分配到 7个车间实习，共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有
7_种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7种分依
此类推，由分步计数原理共有 76种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素 的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在
m 个位置上的排列数为 m n 种
练习题：
2.
某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目
?如果将这两个节目插入原
节目单中，那么不同插法的种数为
42_
2.某8层大楼一楼电梯上来 8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法78 六. 环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐，共有多少种坐法？
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直 线其余7人
共有（8-1 ）!种排法即7 !
般地，n 个不同元素作圆形排列，共有（n-1）!种排法?如果从n 个不同元素中取出 m 个元素作圆
1
形排列共有1 A m
n
七. 多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排，每排4 人,其中甲乙在前排
解:8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.个特殊元素有 A 2种,再排后4个位
置上的特殊元素丙有 A
4种,其余的5人在5个位置上任意排列有 A 种,则共有A 4A 4A 5种
'—前1—'
'—排，
QOOOOOOOO
ABCDEFGHA
练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 A =*