综合法和分析法
子洲三中数学导学案
2012-2013学年第二学期高二年级2 班组姓名编写者审核者使用时间2018年6 月日课题综合法与分析法课时1课时课型新授课
使用说明及学法指导
1.先精读教材P60-P64内容，用红色笔进行勾画，再针对导学案的问题，二次
阅读教材部分内容，并回答，时间为15分钟.
2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论和质疑.
3.必须记住的内容：综合法和分析法证明不等式.
学习目标
1.理解并掌握综合法与分析法;
2.会利用综合法和分析法证明不等式
3.高效学习，通过对典型案例的探究，激发学习数学激情.
学习重点
会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.
学习难点
根据问题的特点，选择适当的证明方法.
一．预习自学
1.常用直接证明方法有和
2.综合法：一般的，利用已知条件和某些数学、、等，
经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫综合
法 .
综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知→可知
1→可知
2
→…结论”.
3.分析法：一般的，从要证明的结论出发，逐步寻求使成立的条件，
直至最后，把证明的结论归结为判定一个为止，这种证明方法叫
做分析法，
分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“结论→需知
1
→需知
2
→…已知”.
4.基本不等式：
①.如果,a b R
∈, 那么222
a b ab
+≥. 当且仅当时, 等号成立.
②.如果,a b R+
∈, 那么
2
a b
ab
+
≥. 当且仅当时, 等号成立.
③.如果,,
a b c R+
∈, 那么3
3
a b c
abc
++
≥, 当且仅当时, 等号成立.
40.如果,,
a b c R+
∈, 那么≥
+
b
a
a
b
、≥
+
+
c
b
b
a
a
c
二、合作交流
1.若a b c
，，是不全相等的实数，求证：222
a b c ab bc ca
++>++．
证明：a b c∈R
，，
∵，222
a b ab
+
∴≥，222
b c bc
+≥，222
c a ac
+≥
变式训练
,,0,,a b c >已知且不全相等
2
222
22()()()6a b c b c a c a b a b c
+++++>求证:
2.用分析法证明
达标检测
1.下列说法不正确的是（ ）
Ａ.综合法是由因导果的顺推证法Ｂ.分析法是执果索因的逆推证法
Ｃ.综合法与分析法都是直接证法Ｄ.综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用
2．分析法是( )
A ．执果索因的逆推法
B ．执因导果的顺推法
C ．因果分别互推的两头凑法
D ．逆命题的证明方法 3.以下数列不是等差数列的是（ ） Ａ．53555，，
Ｂ．π2π5π8+++，，
Ｃ．
2713，，
Ｄ．204060，，
4.若P ＝
a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( )
A ．P ＞Q
B ．P ＝Q
C ．P ＜Q
D ．由a 的取值确定 5.已知b a ,是不相等的正数，,2
a b x y a b +==+，
则,x y 的大小关系是 . 6. （2）
：7115-
>-
7.已知,,a b c R +
∈，1a b c ++=，求证：111
(1)(1)(1)8a b c
---≥
.
2163:<+求证7
62251:+<+）（用分析法证明
8.已知,,a b c R +
∈，1a b c ++=，求证：111
9a b c
++≥
变式.已知,,a b c 是两两不相等的正实数，求证：3b c a a c b a b c
a b c
+-+-+-++>
综合法与分析法各有何特点？
【思考·提示】 分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻求它的充分条件；综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法均能证明出来，往往选择较简单的一种．平时我们常用分析法探索解题思路，然后用综合法书写步骤．
综合法与分析法分析法教学设计
综合法与分析法分析法教 学设计 Final approval draft on November 22, 2020
综合法与分析法——分析法 一、教材分析 1教材背景 生活中存在这样那样的推理，证明的过程离不开推理；而合情推理所得的结论是需要证明的，数学结论的正确性也必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节的证明方法，蕴含着解决数学问题常用的思维方式，也是培养训练学生分析问题，解决问题能力的重要内容。 2地位与作用 《综合法与分析法》是直接证明的两类基本方法。是在学习了合情推理与演绎推理的基础上，学习证明数学结论的两种常见方法，它不是孤立存在的，这种证明的方法渗透到函数，三角函数，数列，立几，解析几何等等。可见，直接证明的方法在中学数学里占有重要地位的。 现在的高考中不会单独命制直接证明的试题，而是把它与函数、数列、解析几何等问题相结合命制成综合性考题，重在考察学生的逻辑思维能力，这类问题立意新颖，抽象程度高，更能体现高观点、低起点，深入浅出的高考命题特点。 二、学情分析 1．有利因素 学生在数学的学习中已经初步形成了一定的证明思想，例如初中阶段的几何证明；高一学习了一元二次不等式，初步证明了一些不等式的问题；在本节课前，学习了合情推理与演绎推理，都为本节课的学习打下了基础。 2．不利因素 学生对已学知识的应用意识不强；三角代换，代数式的变形没有目的性，随意性较大。特别是与其他章节知识的交汇存在很大障碍。 三、目标分析 根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，我制定本节课的教学目标如下： 1知识目标 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分和综合法的思考过程、特点．能运用综合法，分析法证题。 2能力目标 通过分析法与综合法的学习，提升分析解决问题的能力。 3德育目标 通过分析法与综合法的学习，体会数学思维的严密性。 四、重点：了解分析法的思考过程、特点。 难点：分析法的思考过程、特点 五、学习方法：探析归纳，讲练结合 六、学习过程 (一)、复习：直接证明的方法：综合法。 （二）、引入新课 分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由因导果，它们
综合法与分析法(公开课教案)
肥东锦弘中学高中部公开课教案设计 2. 2 .1 综合法与分析法 授课时间：2013.4.16下午第一节 地点：高二（15）班 授课人：赵尚平 一．教材分析 《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子． 二．教学目标 1．知识与技能目标 (1)了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法． (2)了解综合法和分析法的思维过程和特点． 2．过程与方法目标 (1)通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力． (2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力． 3．情感、态度及价值观 通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生 活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力． 三．教学重难点 重点：综合法和分析法的思维过程及特点． 难点：综合法和分析法的应用． 四．教具准备：多媒体. 五．教法与学法：师生合作探究 六．教学过程: （一）创设情境 引入新课 证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识． （二） 新 课 讲 授 合情推理分为归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法——直接证明与间接证明. 思考:已知a ,b >0,求证2222 ()()4a b c b c a abc +++≥ 设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义. 证明:因为222,0b c bc a +≥>, 所以22()2a b c abc +≥, 因为222,0c a ac b +≥>, 所以22()2b c a abc +≥. 因此, 2222()()4a b c b c a abc +++≥.
综合法和分析法
，求证：2.分析法
知识拓展
【新知生成】 从要证明的 出发，逐步寻找使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、 、 、 等）为止，这种证明方法叫做分析法. 【小组讨论】 用1P 、2P 、3P 表示已知条件，已有的定义、公理，Q 表示所要证明的结论，则分析法用框图如何表示？ 【总结分析法的特点】 ， . 变式：求证7632-<-. 【学习心得】 【问题情景三】 比较综合法与分析法的特点，在解题过程中，我们如何综合使用综合法和分析法？ 【典型例题】 例3．已知,()2 k k Z π αβπ≠+∈，且sin cos 2sin θθα+= ① 2sin cos sin θθβ= ② 求证：22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--= ++ ※ 学习探究 探究任务一：综合法 问题：已知,0a b >,求证:2222()()4a b c b c a abc +++≥. 新知：一般地,利用 ,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法. 要点：顺推证法；由因导果. 探究任务二：分析法 问题 ：如何证明基本不等式 (0,0)2 a b a b +>> 新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 要点：逆推证法；执果索因 ※ 典型例题 例1已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：111 9a b c ++≥ 变式：已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证： 111 (1)(1)(1)8a b c ---≥. 小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明. 小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.
综合法与分析法(二)
2.2.1 综合法与分析法(二) 一、基础过关 1．已知a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2，则 ( ) A ．a≤12 B ．ab≥12 C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤3 2．已知a 、b 、c 、d∈{正实数}，且a b
2-2-1综合法与分析法
选修1-2 2.2.1 一、选择题 1．分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分条件又非必要条件 [答案] A [解析] 分析法证明是从所证命题的结论出发，寻求使结论成立的充分条件． 2．要证明3＋7<25可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．反证法 D ．归纳法 [答案] B [解析] 要证明3＋7<25最合理的方法是分析法． 3．a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab ≥2 2 B ．(a ＋b )????1a ＋1b ≥4 ≥a ＋b ≥ab [答案] D [解析] ∵a >0，b >0，∴2ab a ＋b ≤ab . 4．下面的四个不等式： ①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b ≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] C [解析] ∵a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ， a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－(a －12)2≤0，
(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2 ≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2， 只有当b a >0时，才有b a ＋a b ≥2，∴应选C. 5．若a ，b ∈R ，则1a 3>1b 3成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab >0 B ．b >a C ．a 1b 3，但1a 3>1b 3?/ a 1b 3的一个充分不必要条件． 6．若x 、y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 [答案] B [解析] 由y 2＝6x －2x 2≥0得0≤x ≤3，从而x 2＋y 2＋2x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝3时，最大值为15. 7．设a 与b 为正数，并且满足a ＋b ＝1，a 2＋b 2≥k ，则k 的最大值为( ) D ．1 [答案] C [解析] ∵a 2＋b 2≥12(a ＋b )2＝12(当且仅当a ＝b 时取等号)，∴k max ＝12 . 8．已知函数f (x )＝????12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ????a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ??? ?2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( ) A ．A ≤ B ≤C B ．A ≤ C ≤B C ．B ≤C ≤A D ．C ≤B ≤A [答案] A [解析] ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ， 又函数f (x )＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b )．
分小学数学分析法 综合法
十、分析法和综合法 分析与综合都是思维的基本方法，无论是研究和解决一般问题，还是数学问题，分析和综合都是最基本的具有逻辑性的方法。分析与综合本是两种思想方法，但因二者具有十分密切的联系，因此把二者结合起来阐述。 1. 分析法和综合法的概念。 分析是把研究对象的整体分解为若干部分、方面和因素，分别加以考察，找出各自的本质属性及彼此之间的联系。综合是把研究对象的各个部分、方面和因素的认识结合起来，形成一个整体性认识的思维方法。分析是综合的基础，综合是分析的整合，综合是与分析相反的思维过程。在研究数学概念和性质时，往往先把研究对象分解成几个部分、方面和要素进行考察，再进行整合从整体上认识研究对象，形成理性认识。实际上教师和学生都在经常有意识和无意识地运用了分析和综合的思维方法。如认识等腰梯形时，可以从它的边和角等几个要素进行分析：它有几条边？几个角？四条边有什么关系？四个角有什么关系？再从整体上概括等腰梯形的性质。数学中的分析法一般被理解为：在证明和解决问题时，从结论出发，一步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止，是一种“执果索因”的分析法。综合法一般被理解为：在证明和解决问题时，从已知条件和某些定义、定理等出发，经过一系列的运算或推理，最终证明结论或解决问题，是一种“由因导果”的综合法。如小学数学中的问题解决，可以由问题出发逐步逆推到已知条件，这是分析法；从已知条件出发，逐步求出所需答案，这是综合法。再如分析法和综合法在中学数学作为直接证明的基本方法，应用比较普遍。因此，分析法和综合法是数学学习中应用较为普遍的相互依赖、相互渗透的思想方法。 2. 分析法和综合法的重要意义。 大纲时代的小学数学教育，比较重视逻辑思维能力的培养，在教学过程中重视培养学生的分析、综合、抽象、概括、判断和推理能力，其中培养学生分析和综合的能力、推理能力是很重要的方面，如在解答应用题时重视分析法和综合法的运用，也就是说可以先从应用题的问题出发，找出解决问题需要的条件中哪些是已知的、哪些是未知的，未知的条件又需要什么条件解决，这样一步一步倒推，直到利用最原始的已知条件解决。这样分析了数量关系和解题思路后，再利用综合法根据已知条件列式解答。再如在学习概率统计时对各种统计数据需要经过整理和描述，并进行分析和综合，做出合理的判断和预测。虽然新课标并没有明确提出逻辑思维能力的培养，但在推理能力方面仍然提出了“能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。”这其中就包含了对学生逻辑思维、分析和综合能力的要求。分析能力不仅是逻辑思维能力的重要方面之一，也是其他一些思维能力的基础。分析法和综合法是培养学生分析问题、解决问题和推理等能力的重要的思想方法。因此，分析法和综合法在课标时代仍然是培养逻辑思维能力和解决问题能力的重要的思想方法。 3. 分析法和综合法的具体应用。 如上所述，分析法和综合法作为数学的思想方法，在小学数学的各个方面都有重要的应用。首先，在四大领域的内容中，无论是低年级的数和计算、图形的认识，还是中高年级的方程和比例、统计与概率，分析法和综合法都有较多应用。如数的计算法则的学习，就是一个先分析再综合概括的过程，先一步一步地学习法则的不同方面，再综合概括成一个完整的法则。其次，在贯穿整个数学学习过程中
山东省郯城三中高二数学《2.2.1综合法和分析法》教案一
郯城三中个人备课 课 题 ： 高二 年级 数学 备课组 主备人 王春生 课型 新授课 验收结果： 合格/需完善 时间 2012年 月 日 分管领导 课时 1 第 周 第 课时 总第 课时 教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法 的思考过程、特点. 重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程. 难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教 学 过 程 教师活动 学生活动 一、复习准备： 1. 已知 “若12,a a R + ∈，且121a a +=，则 12 11 4a a +≥”，试请此结论推广猜想. 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=， 求证：111 9a b c ++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？ 生分组讨论后回答： 若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则 12111 ....n a a a +++≥ 2n
二、讲授新课： 1. 教学例题： ① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc . 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点 ② 提出综合法：. ③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证 3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形. 分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点. 2. 练习： ① ,A B 为 锐 角 ， 且 tan tan 3tan tan 3A B A B ++=，求证： 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示： 要 点：顺推证法；由因导果. 文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
《综合法和分析法》参考教案
第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一） 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点． 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程． 教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法． 教学过程： 一、准备： 1． 已知“若12a a +∈R ， ，且121a a +=，则12 11 4a a +≥”，试请此结论推广猜想． （答案：若12n a a a +∈R ， ，，，且121n a a a +++=，则 212 111 n n a a a +++ ≥） 2．已知a b c +∈R ， ，，1a b c ++=，求证：1 119a b c ++≥． 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？ 二、讲授新课： 1． 教学例题： ①出示例1：已知a b c ，，是不全相等的正数，求证： 222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>． 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点 ② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立． 框图表示： 要点：顺推证法；由因导果． ③ 练习：已知a b c ，，是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>． ④ 例题讲解： P37例1：△ABC 在平面α外，AB ∩α=P ，BC ∩α=Q ，AC ∩α=R ，求证：PQR 三点共线.
2.2.1综合法与分析法 (5)
第二章第2节直接证明与间接证明 一、综合法与分析法 课前预习学案 一、预习目标： 了解综合法与分析法的概念，并能简单应用。 二、预习内容： 证明方法可以分为直接证明和间接证明 1．直接证明分为和 2．直接证明是从命题的或出发，根据以知的定义， 公里，定理，推证结论的真实性。 3．综合法是从推导到的方法。而分析法是一种从 追溯到的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立的条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。综合法是由导，分析法是执索。 三、提出疑惑 课内探究学案 一、学习目标 让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用 二、学习过程： 例1．已知a,b∈R+，求证： 例2．已知a,b∈R+，求证： 例3.已知a,b,c∈R，求证（I） 课后练习与提高
1．（A 级）函数???≥<<-=-0 ,; 01,sin )(12x e x x x f x π，若,2)()1(=+a f f 则a 的所有可能值为 （ ） A ．1 B ．22 - C ．1,或 D ．1, 2．（A 级）函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是增函数 （ ） A ．)23,2(π π B ．)2,(ππ C ．)2 5,23(π π D ．)3,2(ππ 3．（A 级）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ） A ．22- B ．3 3 5- C ．－3 D ．27- 4．（A 级）下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A ．x y 2sin = B ．x xe y = C ．x x y -=3 D ．x x y -+=)1ln( 5．（A 级）设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则 =+y c x a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定 6．（A 级）已知实数0≠a ，且函数)1 2()1()(2a x x a x f +-+=有最小值1-，则 a =__________。 7．（A 级）已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+= ,2 ，则y x ,的大小关 系是_________。 8．（B ）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则)3010.02.(lg ______________ ≈=m 9．（B ）设)(),0)(2sin()(x f x x f <<-+=?π?图像的一条对称轴是8 π =x . （1）求?的值；
综合法与分析法
综合法与分析法 学习目标： 1． 理解综合法和分析法的概念及区别 2． 熟练的运用综合法分析法证题 学习重难点: 综合法和分析法的概念及区别 自主学习： 一：知识回顾 1． 合情推理：前提为真，结论可能为真的推理。它包括归纳推理与类比推理。 2． 演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊命题为真的推理叫演绎推理 二：课题探究 1. 直接证明: 从命题的条件或结论出发,根据已知的定义,公理,定理直接推证结论的真实性. 2. 综合法：从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所 求证的命题.综合法是一种由因所果的证明方法. 3. 分析法: 一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使 结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析 法．分析法是一种执果索因的证明方法. 4.综合法的证明步骤用符号表示: 0P (已知) 1n P P ???L (结论) 5.分析法的证明“若A 成立,则B 成立”的思路与步骤; 要正(或为了证明)B 成立, 只需证明1A 成立(1A 是B 成立的充分条件). 要证1A 成立, 只需证明2A 成立(2A 是1A 成立的充分条件). … , 要证k A 成立, 只需证明A 成立(A 是k A 成立的充分条件).. Q A 成立, ∴B 成立. 三: 例题解析 例1: 已知a>0,b>0,求证a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc 证明: 因为b 2+c 2 ≥2bc,a>0 所以a(b 2+c 2)≥2abc. 又因为c 2+b 2 ≥2bc,b>0 所以b(c 2+a 2)≥ 2abc.因此a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc. 例2: 已知:a,b,c 三数成等比数列,且x,y 分别为a,b 和b,c 的等差中项.
综合法和分析法(1)
综合法和分析法（1） 【学习目标】 1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法； 2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程. 3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 【重点难点】 重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程. 难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 【知识链接】 〔预习教材P45~ P47，找出疑惑之处〕 复习1：两类基本的证明方法: 和. 复习2：直接证明的两中方法: 和. 【学习过程】 ※学习探究 探究任务一：综合法的应用 问题：,0 a b>, 求证:2222 ()()4 +++≥. a b c b c a abc 新知：一般地,利用 ,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法. 反思： 框图表示：要点：顺推证法；由因导果. ※典型例题 例1,, ∈，1 a b c R+ a b c ++=，求证：1119 ++≥ a b c 变式：,, a b c R+ ∈，1 ++=，求证： a b c
小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明. 例2 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、 B 、 C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形. 变式：设在四面体P ABC -中, 90,,ABC PA PB PC ∠=?==D 是AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC ?所在的平面. 小结：解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来. ※ 动手试试 练1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-= 练2. ,A B 为锐角， 且 tan tan tan A B A B +， 求证：60A B +=o . 〔提示：算tan()A B +〕 【学习反思】 ※ 学习小结 综合法是从的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ???，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. ※ 知识拓展 综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题,综合法是一种由因索果的证明方法. 【基础达标】 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为〔 〕. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测〔时量：5分钟 总分值：10分〕计分： 1. 22,,"1""1"x y R xy x y ∈≤+≤则是的〔 〕 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
综合法和分析法
《综合法和分析法（1）》导学案 编写人：马培文 审核人：杜运铎 编写时间：2016-02-24 【学习目标】 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。 【重点难点】 1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法； 2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。 3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。 【学法指导】 ① 课前阅读课文（预习教材P 85～P 89，找出疑惑之处）② 思考导学案中的探究 问题，并提出你的观点。 【知识链接】 复习1 两类基本的证明方法: 和 。 复习2 直接证明的两中方法: 和 。 知识点一 综合法的应用 问题 已知,0a b >, 求证 2222()()4a b c b c a abc +++≥。 新知 一般地,利用 ,经过一系列的推理论 证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法。 反思 框图表示 要点 顺推证法；由因导果。 【典型例题】 例1 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥ 变式 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证 111(1)(1)(1)8a b c ---≥。
小结 用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应 用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明。 例2 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等 差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形。 变式 设在四面体P ABC -中,90,,ABC PA PB PC ∠=?==D 是AC 的中点. 求证 PD 垂直于ABC ?所在的平面。 小结 解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或 把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明 确表示出来。 【基础达标】 A1. 求证 对于任意角θ，44cos sin cos 2θθθ-=。 B2. ,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B +=， 求证 60A B += . （提示：算tan()A B +）。
2. 2 .1 综合法和分析法
§2. 2 .1 综合法和分析法 一、教学目标： （一）知识与技能： 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 （二）过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力； （三）情感、态度与价值观： 通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 二、教学重点： 了解分析法和综合法的思考过程、特点 三、教学难点： 分析法和综合法的思考过程、特点 四、教学过程: （一）导入新课： 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。 （二）推进新课： 1. 综合法 在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如： 已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥ 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证 明。教师最后归结证明方法。 学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法 设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义 证明:因为222,0b c bc a +≥>， 所以22()2a b c abc +≥。 因为222,0c a ac b +≥>， 所以22()2b c a abc +≥。 因此 2222()()4a b c b c a abc +++≥。 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。 用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论，则综合法可表示为： ()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ?→?→?→→? 综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。 例1、在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,且A,B,C 成等差数列, ,,a b c 成等比数列,求证△ABC 为等边三角形.
分析法与综合法
一、分析法与综合法的定义 1、定义 所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法． 分析法的思维全貌可概括为下面形式： “结论需知1需知2…已知”． 所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法． 综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式： “已知可知1可知2…结论”． 二 、例题赏析 例1、已知：a b ∈R ，，且a b ≠，求证：3322a b a b ab +>+． 证明一：（分析法）要证3322a b a b ab +>+， 即证22()()()a b a ab b ab a b +-+>+， 因为0a b +>， 故只需证22a ab b ab -+>， 即证2220a ab b -+>， 即证2()0a b ->， 因为a b ≠， 所以2()0a b ->成立， 所以3322 a b a b ab +>+成立． 证明二：（综合法）由a b ≠，知2()0a b ->，即2220a ab b -+>，则22a ab b ab -+>． 又0a b +>，则22 ()()()a b a ab b ab a b +-+>+g ，即3322a b a b ab +>+． 实际证题过程中，分析法与综合法往往是结合起来运用的，把分析法和综合法孤立起来
运用是比较少的．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，综合法居主导地位，而分析法伴随着它． 特别是，对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们又常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．上面所言的思维模式可概括为如下图所示： 综合法与分析法是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维的严谨性极为有用．把分析法与综合法两者并列起来进行思考，寻求问题的解答途径方式，就是人们通常所说的分析、综合法． 下面举一具体例子加以说明： 例2、若a b c ，，是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222 a b b c c a a b c +++++>++． 证明：要证lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++ 只需证lg lg()222a b b c c a a b c +++>g g g g ， 只需证222a b b c c a abc +++>g g ． 但是，02a b +> ，02b c +> ，02c a +>． 且上述三式中的等号不全成立，所以222a b b c c a abc +++>g g ． 因此lg lg lg lg lg lg 222 a b b c c a a b c +++++>++． 注：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法． 例3、例1 如图1，在四面体A VBC -中，
综合法与分析法--分析法--教学设计
综合法与分析法——分析法 一、教材分析 1教材背景 生活中存在这样那样的推理，证明的过程离不开推理；而合情推理所得的结论是需要证明的，数学结论的正确性也必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节的证明方法，蕴含着解决数学问题常用的思维方式，也是培养训练学生分析问题，解决问题能力的重要内容。 2地位与作用 《综合法与分析法》是直接证明的两类基本方法。是在学习了合情推理与演绎推理的基础上，学习证明数学结论的两种常见方法，它不是孤立存在的，这种证明的方法渗透到函数，三角函数，数列，立几，解析几何等等。可见，直接证明的方法在中学数学里占有重要地位的。 现在的高考中不会单独命制直接证明的试题，而是把它与函数、数列、解析几何等问题相结合命制成综合性考题，重在考察学生的逻辑思维能力，这类问题立意新颖，抽象程度高，更能体现高观点、低起点，深入浅出的高考命题特点。 二、学情分析 1．有利因素 学生在数学的学习中已经初步形成了一定的证明思想，例如初中阶段的几何证明；高一学习了一元二次不等式，初步证明了一些不等式的问题；在本节课前，学习了合情推理与演绎推理，都为本节课的学习打下了基础。 2．不利因素 学生对已学知识的应用意识不强；三角代换，代数式的变形没有目的性，随意性较大。特别是与其他章节知识的交汇存在很大障碍。 三、目标分析 根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，我制定本节课的教学目标如下： 1知识目标 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分和综合法的思考过程、特点．能运用综合法，分析法证题。 2能力目标 通过分析法与综合法的学习，提升分析解决问题的能力。 3德育目标 通过分析法与综合法的学习，体会数学思维的严密性。 四、重点：了解分析法的思考过程、特点。 难点：分析法的思考过程、特点 五、学习方法：探析归纳，讲练结合 六、学习过程 (一)、复习：直接证明的方法：综合法。 （二）、引入新课 分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。在很多数学命题的证明中，往往需要综合地运用这两种思维方法。
数学中的分析法与综合法
龙源期刊网 https://www.sodocs.net/doc/915599445.html, 数学中的分析法与综合法 作者：冯伟源 来源：《师道·教研》2012年第10期 做任何事情都要讲究方法.古往今来,人们十分重视方法论的研究,力图运用正确的方法来认识世界和改造世界,中学数学教学,要进一步提高教学质量,必须熟悉和灵活运用数学中的科学方法,其中分析与综合是中学数学中最常用的科学方法,在数学教学中,它有各种不同的表现形式,既是研究数学概念的方法,又是解答数学问题证明数学定理的方法.笔者就这两种方法作一阐述. 分析是在思想中把事物的整体分解为部分,把复杂事物分解为简单要素,把完整的过程分解到各个阶段,并加以研究的思维方法.在数学中,分析就是从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法.例如,为了求多边形的面积,我们可以把多边形分解为若干个三角形,分别进行研究, 又如,对于列方程解应用题这一完整过程,可以分解为设元、列方程、解方程、检验等四个阶段分别予以考察,在数学解题中,分析是首先且大量要用到的一种思维方法,因为对于求知的整体事物,要使学生深刻地认识它、理解它,首先就得恰当地分解它、简化它.具体地说,分析法是从数学题的特征结论或要求出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件. 例1:如图,P是⊙O外一点,PQ切⊙O于Q,PAB和PCD是割线,∠PAC=∠BAD.求 证:PQ■=PA■+AC·AD. 证法(分析法):由于易知PQ■=PA·PB 要证:PQ■=PA■+AC·AD 只需证:PA·PB= PA■+AC·AD 即证AC·AD= PA■-PA·PB 即AC·AD= PA(PA-PB) 又因PA-PB=AB 只需证AC·AD=PA·AB 即AC/PA=AB/AD 这就将问题转化为证明△PAC与△ABD相似. 连接BD,因∠PAC是圆内接四边形ABCD的一个外角,故∠PCA=∠ABD.
综合法与分析法参考教案
综合法与分析法 教学目的： 1掌握综合法、分析法证明不等式； 2熟练掌握已学的重要不等式； 3增强学生的逻辑推理能力教学重点：综合法、分析法 教学难点：不等式性质的综合运用 一、复习引入： 1．重要不等式： 如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 3公式的等价变形：ab ≤222b a +，ab ≤（2 b a +） 4． b a a b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； 5．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 二、讲解新课： （一）1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法 2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ????? 3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 （二）1分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法 2．用分析法证明不等式的逻辑关系是：12n B B B B A ??? ??
3．分析法的思维特点是：执果索因 4．分析法的书写格式： 要证明命题B 为真， 只需要证明命题1B 为真，从而有…… 这只需要证明命题2B 为真，从而又有…… …… 这只需要证明命题A 为真 而已知A 为真，故命题B 例1：已知a b ,是正数，且a b ≠，求证：a b a b ab 3322+>+ 转化尝试，就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止. 其逻辑关系是：12n B B B B A ??? ?? 证明：∵0,0,a b a b >>≠且 ∴要证3322a b a b ab +>+,只要证22()()()a b a ab b ab a b +-+>+, 只要证22a ab b ab -+>,只要证2220a ab b -+>. ∵0a b -≠,∴2()0a b ->即2220a ab b -+>得证. 注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通 联想尝试，就是由已知的不等式及题设条件出发产生联想,大胆尝试,巧用已知不等式及不等式性质做适当变形，推导出要求证明的不等式.其逻辑关系是：12n A B B B B ????? 法二：证明：∵0,0,a b a b >>≠且 ∴3222a ab a b +>,3222b ba ab +>, ∴32322222a ab b ba a b ab +++>+,∴3322a b a b ab +>+ 法三 aab b a a ≥++3 3 33
综合法与分析法教案
2、2、1综合法与分析法教案 年级：高二 学科：数学 一、授课时间：2006年2月 二、授课地点：胶州一中 三、执教教师：纪淑燕 四、研究课题：综合法 五、教学目标 结合已学过的数学实例，了解直接证明的基本方法----综合法 了解综合法的思考过程、特点；培养学生逻辑推理能力 六、教学内容分析：本节课是选修1—2中第二章第一课时，本章是重点，可以和其他知识联系在一起。学习重点：综合法证明数学问题 七、教学对象分析：学生是普通文科班的学生，基础较差，应以讲练结合的方法为主 八、教学用品：多媒体电脑与投影仪 九、教学过程： 一. 引入 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。 若要证明下列问题： 已知a,b>0,求证 2222()()4a b c b c a abc +++≥ 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。 学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法
设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义 二.新知探索 1、综合法的定义 2、框图表示 ()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ?→?→?→→? P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论 三、典型例题 1、证明不等式 教师活动：由引入的例子的证明方法，让学生思考应该如何证明本题 学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法 设计意图：应用不等式证明不等式问题 )(2:,,,,,12 22zx yz xy z c b a y b a c x a c b R c b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证、已知：例222222 c c a a b x x y y z z a b b c c +++++若不等式左边分解成 b a