搜档网
当前位置:搜档网 › 函数的值域题型总结

函数的值域题型总结

函数的值域题型总结
函数的值域题型总结

函数的定义域与值域 知识点与题型归纳

了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域. ★备考知考情 定义域是函数的灵魂,高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现,难度不大;有时也在解答题的某一小问当中进行考查;值域是定义域与对应法则的必然产物,值域的考查往往与最值联系在一起,三种题型都有,难度中等. 一、知识梳理《名师一号》P13 知识点一常见基本初等函数的定义域 注意: 1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则!!! 2、定义域必须写成集合或区间的形式!!! (1)分式函数中分母不等于零 (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0 (3)一次函数、二次函数的定义域均为R (4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R (5)y=log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0,+∞) (6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x≠0} 部分内容来源于网络,有侵权请联系删除!

部分内容来源于网络,有侵权请联系删除! (7)实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式有意 义外,还要考虑实际问题对函数自变量的制约. (补充) 三角函数中的正切函数y =tan x 定义域为 {|,,}2 ∈≠+∈x x R x k k Z π π 如果函数是由几个部分的数学式子构成的, 那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合. 知识点二 基本初等函数的值域 注意: 值域必须写成集合或区间的形式!!! (1)y =kx +b (k ≠0)的值域是R . (2)y =ax 2+bx +c (a ≠0)的值域是: 当a >0时,值域为{y |y ≥4ac -b 2 4a }; 当a <0时,值域为{y |y ≤4ac -b 2 4a } (3)y =k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0} (4)y =a x (a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0} (5)y =log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . (补充)三角函数中 正弦函数y =sin x ,余弦函数y =cos x 的值域均为[]1,1- 正切函数y =tan x 值域为R

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

函数的值域题型总结

求函数的值域 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定,确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。函数的值域,就是已知函数的定义域,求函数值最值问题,或取值范围的过程。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。对于如何求函数的值域,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,是高考中每年必考知识,而且试题占比很大,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下。 一、观察法求函数的值域 1 1+=x y 23+=x y 3 42-=x y 42sin +=θy 5 32-=x y 6 11+= x y 7 3cos 2+=θy 提示:(1)一次函数R y b kx y ∈+=,。 (2)二次函数0,2≥=y x y 。 (3)幂函数0,≥=y x y 。 (4)指数函数0,>=y a y x 。 (5)反比例函数0,≠=y x k y 。 (6)三角函数]1,1[,cos ,sin -∈==y y y θθ 二、利用函数的单调性求值域 1已知[0,1]x ∈,则函数21y x x = +-的值域是 23?? . 2函数4()([3,6])2 f x x x =∈-的值域为______[]1,4______。 3 已知函数]2,1[,42)(∈-=x x x x f 的值域 ]2,2[- 4 已知函数),1[,22+∞∈-=-x y x x 的值域 ),2 3[+∞ 5求函数]10,2[,1log 225∈-+=-x x y x 的值域。]33,8 1[ 提示:(1)利用函数的单调性,将定义域的取值带入函数求值。 三、分离常数法求函数的值域 1求函数x x y -+= 132的值域2-≠y 2求函数2323--=x x y 的值域 32-≠y 3求函数2 5422----=x x x x y 的值域 R y ∈{2≠y 且1≠y } 提示:(1)函数a c y b ax d cx y ≠++=,。(2)函数e f a b e f c d y a c y f ex b ax f ex d cx y --≠≠++++=且,,))(())(( 四、二次函数的值域问题 1函数22)(2+-=x x x f 在区间]4,0(的值域为( ]10,1[ ) 2函数2 1,(12)y x x =-+-≤<的值域是( (]3,1- ) 3函数1422 -+=x x y 的值域 ),3[+∞-

高中函数值域求法小结

函数值域求法小结 一、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数) 1、求242-+-=x y 的值域。 由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得: )[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以 2、求函数1 11 y x = ++的值域。 分析:首先由1x +≥0,得1x ++1≥1,然后在求其倒数即得答案。 解: 1x +≥0∴1x ++1≥1,∴0< 1 11 x ++≤1,∴函数的值域为(0,1]. 二、配方法(当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求值域) 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 设:)0)((4)(2 ≥+-=x f x x x f 配方得:][)4,0(4)2()(2 ∈+--=x x x f 利用二次函数的 相关知识得][4,0)(∈x f ,从而得出:][2,2-∈y 。 说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为:0)(≥x f 。 2、求函数3 42-+-=x x e y 的值域。 解答:此题可以看作是u e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数,对u 配方可得: 1)2(2+--=x u ,得到函数u 的最大值1=u ,再根据u e y =得到y 为增函数且0>y 故 函数3 42-+-=x x e y 的值域为:],0(e y ∈。 3、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。 本题可看成一象限动点),(y x p 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4,0),(0,2)确定一条直线,作出图象易得: 2 )1(2lg[)]24(lg[lg lg lg ),2,0(),4,0(2+--=-==+∈∈y y y xy y x y x 而,y=1时,y x lg lg +取最大值2lg 。 三、反函数法(分子、分母只含有一次项的函数,也可用于其它易

函数的概念及定义域、值域基本知识点总结.doc

函数的概念及定义域.值域基本知识点总结 函数概念 1.映射的概念 设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则/ ,对于集合4小的任意元素,在集合B 中都冇唯一确宦的元索与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射,通常记为f :A^ B , f 表示对应法则 注意:(1)A中元素必须都有彖J1唯一;(2)B中元素不一定都有原彖,但原彖不一定唯一。 2.函数的概念 (1)函数的定义: 设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合4屮的每个数兀, 在集合B中都

冇唯一确怎的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数,通常

⑵函数的定义域、值域 在函数y = f(x\xeA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做y = f(x)的定义域;与x的值相对应的y值叫做两数值,函数值的集合{/⑴卜e △}称为函数y = /(%)的值域。 (3)函数的三要素:定义域、值域和对丿应法则 3.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法 (1).图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系; (2).列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式來表示。 4.分段函数 在H变量的不同变化范围屮,对应法则用不同式子來表示的函数称为分段函数。 (-)考点分析 考点1:映射的概念 例1. (1) A = R , B = {yly〉O}, f :x —> y =1 xI ; (2) A = {x\ x>2,x e N^}, B = {y\ y>O,y e N], / : x y = x2 - 2x + 2 ; (3) A = {xI x > 0}, = {>' I y e R}, / : x —> y = ±\[x . 上述三个对应是A到B的映射. 例2.若A = {1,2,3,4}, B = {aM,a,b,cwR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个,A到B 的函数有个 例3.设集合M ={-1,0,1}, 7V = {-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件:对 (4)8 个(3)12 个(C)16 个(0)18 个 M中的每个元素兀与它在N中的象/(兀)的和都为奇数,则映射/的个数是() 考点2:判断两函数是否为同一个函数

函数定义域与值域经典类型总结 练习题 含答案

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义:设集合A 和B 是非空数集,按照某一确定的对应关系f ,使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知:确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系(f ),②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域:由于定义域是决定函数的重要因素,所以必须明白定义域指的是: (1)自变量放在一起构成的集合,成为定义域。 (2)数学表示:注意一定是用集合表示的范围才能是定义域,特殊的一个个的数时用“列举法”;一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域:是由定义域和对应关系(f )共同作用的结果,是个被动变量,所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 (1)明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合:{y|y=f(x),x ∈A}。 (2)明白定义中集合B 是包括值域,但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 (一)求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时:只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 (1)常见情况简总: ①表达式中出现分式时:分母一定满足不为0; ②表达式中出现根号时:开奇次方时,根号下可以为任意实数;开偶次方时,根号下满足大于或等于0(非负数)。 ③表达式中出现指数时:当指数为0时,底数一定不能为0. ④根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时:根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时:底数和指数都含有x ,必须满足指数底数大于0且不等于1.(0<底数<1;底数>1) ⑥表达式中出现对数函数形式时:自变量只出现在真数上时,只需满足真数上所有式子大于0,且式子本身有意义即可;自变量同时出现在底数和真数上时,要同时满足真数大于0,底数要大于0且不等于 1. (2 ()log (1)x f x x =-) 注:(1)出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的是所有式子解集的交集。

高中数学求函数值域的方法十三种审批稿

高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

高中数学:求函数值域的十三种方法 一、观察法(☆ ) 二、配方法(☆) 三、分离常数法(☆) 四、反函数法(☆) 五、判别式法(☆) 六、换元法(☆☆☆) 七、函数有界性 八、函数单调性法(☆) 九、图像法(数型结合法)(☆) 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法:从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥, ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是: ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1- =f f,()1 1- f所以: = 2 0= f,()()0 ∈ 3 x,而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为R x∈,则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二.配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题,均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=1 ∈[-1,2]时,,当时,故函数的值域是:[4,8] 【变式】已知,求函数的最值。 【解析】由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内,如图2所示。函数的最小值为,最大值为。 图2

高三总复习-指对数函数题型总结归纳

指对函数 1比较大小,是指对函数这里很爱考的一类题型,主要依靠指对函数本身的图像性质来做题,此外,对于公式的理解也很重要。常用方法有建立中间量;估算;作差法;作商法等。 1、若π2log =a ,6log 7=b ,8.0log 2=c ,则( ) A.c b a >> B.c a b >> C.b a c >> D.a c b >> 2、三个数6log ,7.0,6 7.067 .0的大小顺序是( ) A.60.70.70.7log 66<< B.60.70.70.76log 6<< C.0.760.7log 660.7<< D.60.7 0.7log 60.76<< 3、设 1.5 0.90.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ,则( ) A.312y y y >> B.213y y y >> C.132y y y >> D.123y y y >> 4、当10<> B.a a a a a a >> C.a a a a a a >> D.a a a a a a >> 5、设 1)3 1()31(31<<>x x b a ,则下列不等式成立的是( ) A .10<<a 且1≠a ),则()f x 一定过点( ) A.无法确定 B.)3,0( C.)3,1( D.)4,2( 2、当10≠>a a 且时,函数()32-=-x a x f 必过定点( ) 3、函数0.(12>+=-a a y x 且)1≠a 的图像必经过点( ) 4、函数1)5.2(log )(-+=x x f a 恒过定点( ) 5、指数函数()x a x f =的图象经过点?? ? ??161,2,则a =( ) 6、若函数log ()a y x b =+ (0>a 且1≠a )的图象过)0,1(-和)1,0(两点,则b a ,分别为( ) A.2,2==b a B.2,2==b a C.1,2==b a D.2,2==b a 3针对指对函数图像性质的题

求函数值域 、 周期的方法总结(适合高一)

求函数值域 、 周期的方法总结(适合高一) 求值域 一、直接法:(从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围)例1.求函数2+=x y 的值域。 二、配方法(是求二次函数值域的基本方法,如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法)例2.求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。 三、分离常数法(分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法)例3.求函数125 x y x -=+的值域。 四、换元法(运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函 数的值域,如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数,且0a ≠)的函数常用此法 求解。例4.求函数2y x = 五、函数的单调性法(确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域,形如求函数()0>+=k x k x y 的值域(k x <<0时为减函数;k x >时为 增函数))例5.求函数y x = 六、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域)例6求函数2211 x y x -=+的值域。 七、数型结合法(函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法)例7.求函数11-++=x x y 的值域。 除此之外,还有反函数法(即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域)和判别式法(即把函数转化成关于x 的二次方程()0,=y x F ,通过方程有实根,0≥?,从而求得原函数的值域,需熟练掌握一元二次不等式的解法),在今后的学习中,会具体讲述。 周期 一.定义:若T 为非零常数,对于定义域内的任一x ,使)()(x f T x f =+恒成立 则f (x )叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期。 二.重要结论 1、()()f x f x a =+,则()y f x =是以T a =为周期的周期函数; 2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 3、 若函数()()f x a f x a +=-,则()x f 是以2T a =为周期的周期函数

高中数学求函数值域的类题型和种方法

高中数学求函数值域的类 题型和种方法 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

求函数值域的 7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1.定义:在函数()y f x =中,与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。 2.确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合; ②当函数()y f x =用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合; ③当函数()y f x =用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; ④当函数()y f x =由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地,常见函数的值域: 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ,当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ???., 3.反比例函数()0k y k x = ≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.

6.正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一:一次函数()0y ax b a =+≠的值域(最值) 1、一次函数:()0y ax b a =+≠当其定义域为R ,其值域为R ; 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值,只需分别求出()(),f m f n ,并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时,需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二:二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域(最值) 1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,当其定义域为R 时,其值域为 ()()22 4 044 04ac b y a a ac b y a a ?-≥>???-?≤时,()2b f a -是函数的最小值,最大值为(),()f m f n 中 较大者;当0a <时,()2b f a -是函数的最大值,最大值为 (),()f m f n 中较小者。 (2)若[],2b m n a - ?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大(小)值。 特别提醒: ①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时,要结合图像来确函数的值域; ③当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1:已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞,则()f x 的定义域为(],1-∞。 例2:已知()211f x x -=+,且()3,4x ∈-,则()f x 的值域为()1,17。 题型三:一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{}0x x ≠,值域为{}0y y ≠ 2、形如:cx d y ax b +=+的值域:

函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题

函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳: 1. 求函数的解析式 (1)求函数解析式的常用方法: ①换元法( 注意新元的取值范围) ②待定系数法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等) ③整体代换(配凑法) ④构造方程组(如自变量互为倒数、已知f (x )为奇函数且g (x )为偶函数等) (2)求函数的解析式应指明函数的定义域,函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围,同时也要注意变量的实际意义。 (3)理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y =f (x )表示的函数的定义域时,常有以下几种情况: ①若f (x )是整式,则函数的定义域是实数集R ; ②若f (x )是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集; ③若f (x )是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合; ④若f (x )是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑤若f (x )是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域(最值)的一般方法: (1)利用基本初等函数的值域; (2)配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数); (3)不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数) (4)函数的单调性:特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 (5)部分分式法、判别式法(分式函数) (6)换元法(无理函数) (7)导数法(高次函数) (8)反函数法 (9)数形结合法 4. 求函数的单调性 (1)定义法: (2)导数法: (3)利用复合函数的单调性: (4)关于函数单调性还有以下一些常见结论: ①两个增(减)函数的和为_____;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是______; ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性;偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性; ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性; (5)求函数单调区间的常用方法:定义法、图象法、复合函数法、导数法等 (6)应用:比较大小,证明不等式,解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f (x ) 与f (-x )的关系。f (x ) -

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)

求函数值域的解题方法总结(16种) 在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。 一、观察法: 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例:求函数()x 323y -+=的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出 ()x 3-2的值域。 解:由算术平方根的性质知()0x 3-2≥,故()3x 3-23≥+。 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)、被开方数的非负性,(2)、值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧发。 练习:求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。(答案:{}5,4,3,2,1,0) 二、反函数法: 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例:求函数2 x 1x y ++=的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数2 x 1x y ++=的反函数为:y y --=112x ,其定义域为1y ≠的实数,故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数x -x -x x 10101010y ++=的值域。(答案:{}1y 1-y |y 或)。 三、配方法: 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求函数的值域。 例:求函数() 2x x -y 2++=的值域。 点拨:将被开方数配方成平方数,利用二次函数的值求。 解:由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。此时2x x -2++=

函数定义域、值域求法总结(精彩)

函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 常用的求值域的方法:(1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 21)(-= x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -++=21 1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式21 -x 无意义, 而2≠x 时,分式21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-3 2 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式 x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ?? ?≠-≥+020 1x x ?? ?≠-≥2 1 x x

定义域和值域

定义域、解析式、值域方法总结 (一)定义域: 1. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型? () ()例:函数的定义域是 y x x x =--432lg ()()()(答:,,,)022334 函数定义域求法: ● 分式中的分母不为零; ● 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; ● 指数式的底数大于零且不等于一; 对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。 ● 正切函数x y tan = ??? ??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 反三角函数的定义域 ● 函数y =arcsinx 的定义域是 [-1, 1] ,值域是, 函数y =arccosx 的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] ,函数y = arctgx 的定义域是 R ,值域是.,函数y =arcctgx 的定义域是 R ,值域是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条 件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域? []的定,则函数,,的定义域是如:函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。 [] (答:,)a a - 复合函数定义域的求法:已知)(x f y =的定义域为[]n m ,,求[])(x g f y =的 定义域,可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围,即为[])(x g f y =的定义域。 例 若函数)(x f y =的定义域为??????2,21,则)(log 2x f 的定义域为 。

高一人教版必修一数学函数定义域、值域、解析式题型

高一函数定义域、值域、解析式题型 一、 具体函数的定义域问题 1 求下列函数的定义域 (1 )1 y = (2 )y = (2)(3) 若函数()f x =的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( ) (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 二、 抽象函数的定义问题 (一)已知函数()f x 的定义域,求函数[()]f g x 的定义域 2. 已知函数()f x 的定义域为[0,1],求函数2(2)f x 的定义域。 (二)已知函数[()]f g x 的定义域,求函数()f x 的定义域 3. 已知函数(21)f x +的定义域为[1,2],求函数()f x 的定义域。 (三)已知函数[()]f g x 的定义域,求函数[()]f h x 的定义域 4. 已知函数2(1)f x -的定义域为(2,5),求函数1()f x 的定义域。 5.已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取值范围。

(一) 配凑法 5 .已知22113(1)x f x x x ++=+,求()f x 的解析式。 (二) 换元法 6.已知(12f x +=+()f x 的解析式。 (三) 特殊值法 7 .已知对一切,x y R ∈,关系式()()(21)f x y f x x y y -=--+且(0)1f =,求()f x 。 待定系数法 8.已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+,求()f x 。 (四) 转化法 9. 设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数,对一切x R ∈,均有()(2)0f x f x ++=,当11x -≤≤时,()21f x x =-,求当13x <≤时,函数()f x 的解析式。 (五) 消去法 11.已知函数()f x 21()()x f x x -=,求()f x (六) 分段求解法 12. 已知函数2,()21,()1,0x x o f x x g x x ?≥=-=?-

映射,函数定义域,值域 解题办法归纳

一种特殊的对应:映射 (1) (2) (3) (4) 1.对于集合A 中的每一个元素,在集合B 中都有一个(或几个)元素与此相对应。 2.对应的形式:一对多(如①)、多对一(如③)、一对一(如②、④) 3.映射的概念(定义):强调:两个“一”即“任一”、“唯一”。 4.注意映射是有方向性的。 5.符号:f : A B 集合A 到集合B 的映射。 6.讲解:象与原象定义。 再举例:1?A ={1,2,3,4} B ={3,4,5,6,7,8,9} 法则:乘2加1 是映射 2?A =N + B ={0,1} 法则:B 中的元素x 除以2得的余数 是映射 3?A =Z B =N * 法则:求绝对值 不是映射(A 中没有象) 4? A ={0,1,2,4} B ={0,1,4,9,64} 法则:f : a b =(a -1)2 是映射

一一映射 观察上面的例图(2)得出两个特点: 1?对于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象(单射) 2?集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象(满射)即集合B中的每一个元素都有原象。

从映射的观点定义函数(近代定义): 1?函数实际上就是集合A 到集合B 的一个映射 f :A B 这里 A , B 非空。 2?A :定义域,原象的集合 B :值域,象的集合( C )其中C ? B f :对应法则 x ∈A y ∈B 3?函数符号:y =f (x ) —— y 是 x 的函数,简记 f (x ) 函数的三要素: 对应法则、定义域、值域 只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。 例:判断下列各组中的两个函数是否是同一函数?为什么? 1.3) 5)(3(1+-+=x x x y 2- =x y 解:不是同一函数,定义域不同 2。 11 1-+= x x y )1)(1(2-+=x x y 解:不是同一函数,定义域不同 3。 x x f =)( 2 )(x x g = 解:不是同一函数,值域不同 4. x x f =)( 3 3 )(x x F = 解:是同一函数 5.21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 解:不是同一函数,定义域、值域都不同

求函数值域的题型和方法

求函数值域的7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1.定义:在函数()y f x =中,与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。 2.确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合; ②当函数()y f x =用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合; ③当函数()y f x =用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; ④当函数()y f x =由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地,常见函数的值域: 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ??-+∞????,当0a <时的值域为24,4ac b a ??--∞ ?? ?., 3.反比例函数()0k y k x = ≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 6.正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一:一次函数()0y ax b a =+≠的值域(最值) 1、一次函数:()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ,其值域为R ;

定义域及值域类型总结(全,含答案)

◎求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为零; (2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义; (3)对数函数的真数必须大于零;(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1; (5)*三角函数中的正切x y tan =的定义域为? ?? ??? ∈+ ≠Z k k x x ,2 π π; (6)已知函数()x f 的定义域为D ,求函数()[]x g f 的定义域,只需()D x g ∈; (7)已知函数()[]x g f 的定义域D ,求()x f 的定义域,只需(){}x g y y x =∈,即求()x g 的值域。 (8)已知函数()[]x g f 的定义域D ,求()[]x t f 的定义域,只需()1D x g D x ∈?∈,()21D x D x t ∈?∈?。 (9)已知函数()x f 或()[]x g f 的定义域D ,求()[]x t f 与别的函数的复合函数的定义域,按(6)、(7)的方法求()[]x t f 的定义域,再与别的函数定义域的交集。 (10)已知()x f 的解析式,求()[]x f f 的定义域,先求出()x f 的定义域D ,让()D x f ∈,求出x 的范围。 如果()x f 的定义域是D x ≠,则让()D x f ≠求出1D x ≠,最终D x ≠且1D x ≠。 例:求下列函数的定义域 1、)2-lg(=2x x y 2>0

高中数学常见题型解法归纳-函数的值域(最值)的常见求法

高中数学常见题型解法归纳-函数的值域(最值)的常见求法1 (直接法、分离常数法、配方法、反函数法和换元法) 【知识要点】 一、函数值域的定义 函数值的集合叫做函数的值域. 二、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法求函数的值域,都要考虑定义域,函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则. 三、常见函数的值域 1、一次函数的值域为. 2、二次函数,当时的值域为;时的值域为 . 3、反比例函数的值域为. 4、指数函数的值域为. 5、对数函数的值域为. 6、幂函数的值域为,幂函数的值域为. 7、正弦函数、余弦函数的值域为,正切函数的值域为. 四、求函数的值域常用的方法 求函数的值域常用的方法有直接法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数(函数、数形结合、导数)”和“三不(基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式)”. 五、函数的值域一定要用集合或区间来表示. 六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题,所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.

【方法讲评】 【例1】求函数的值域. 【解析】故函数的值域是. 【点评】(1)对于某些特殊的数的性质大家要熟悉,如算术平方根具有双重非负性,即:被开方数的非负性和值的非负性;是非负数;是一个非负数,是一个正数.掌握这些数的性质后,可以很快得到函数的值域.(2)不等式的性质在求函数的值域中经常用到,所以不等式的性质要熟练掌握. 【反馈检测1】求函数的值域. 函数是对称的分式函数. 【例2 】求函数的值域. 【点评】对于对称的分式函数,常利用分式的除法分离成常数和一个分式函数的和,再求函数的值域. 【反馈检测2 】求函数的值域.

相关主题