恒成立问题和存在性问题

恒成立问题和存在性问题

1．若函数()f x =

R ，则a 的取值范围是 。

2．设函数y =(,1]-∞上有意义，求实数a 的取值范围。

3．若关于x 的不等式2

2

93x x x kx ++-≥在[1,5]上恒成立，则实数k 的范围为 . 4．若曲线3

()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________.

5．若2

1()ln(2)2

f x x b x =-

++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是 。

6．已知函数()(1).1

f x a a =≠- 若()f x 在区间(]0,1上是减函数，

则实数a 的取值范围是 . 7．已知函数()log (2)a f x ax =-在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是 。

8．函数)1,()32(log 2

2

1-∞+-=在mx x y 上为增函数，则实数m 的取值范围是 .

9．函数)10(log ≠>=a a x y a 且在),2[+∞上恒有1||>y ，则a 的取值范围是 。

10．若关于x 的方程2(1lg )10x

x a

m a +++=（0>a ，且1≠a ）有解，则m 的取值范围是 。

11．设()321,f x a x a a

=-+为常数，若存在0(0,1)x ∈，使得0()0f x =，则实数a 的取值范围是＝ 。 12．如果关于x 的方程||

2(2

2)20x a ----=有实数根，那么实数a 的取值范围是 。 13．已知函数()f x 的值域[0,4]([2,2])x ∈-，函数()1,[2,2]g x ax x =-∈-，

10[2,2],[2,2]x x ?∈-?∈-使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是 。

14．已知函数2

(),([2,2])f x x x ∈-=，2

()sin(2)3,[0,]62

g x a x a x π

π

=+

+∈， 1[2,2]x ?∈-，001[0,],()()2x g x f x π

?∈=总使得成立，则实数a 的取值范围是 ．

15．已知函数4()lg(5)5x

x f x m =++的值域为R ，则实数m 的取值范围是 。

16．若函数2

33()(1)log 6log 1(0,1)f x x a x a x a a =--++>≠在[0，1]上恒为正值，则实数a 的取值范

围是 。 17．已知命题2

1:"[1,2],

ln 0"2

p x x x a ?∈--≥与命题2:",2860"q x R x ax a ?∈+--=都是真命题,则实数a 的取值范围是 .

18．已知命题p:()()

2

lg 1f x x ax =++的定义域为R ，命题q ：关于x 的不等式2x x a +->1的解集为

R ，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围.

19．已知实数0>a ，且满足以下条件：①、R x ∈?，a x >|sin |有解；②、]43,

4[

π

π∈?x ，

01sin sin 2≥-+x a x ；求实数a 的取值范围

20．设函数1

()(01)ln f x x x x x

=

>≠且。

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知12a

x

x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。

21．设函数()()()3

22113

f x x x m x x R =-

++-∈，其中0m >（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率（2）求函数()f x 的单调区间与极值（3）已知函数()f x 有三个互不相同的零

点120,,x x ，且12x x <，若对任意的[]()()12,,1x x x f x f ∈>恒成立，求m 的取值范围

22．已知函数f(x)=

2

1x 2

-ax +(a -1)ln x ，1a >。（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212

()()

1f x f x x x ->--。

23．已知函数1ln )1()(2

+++=ax x a x f 。（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）设1-

),0(,21+∞∈x x ，1212|()()|4||f x f x x x -≥-，求a 的取值范围。

24．（2010山东）已知函数1()ln 1a

f x x ax x

-=-+-()a R ∈. (Ⅰ)当12a ≤

时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设2()2 4.g x x bx =-+当14

a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数

b 取值范围.

25．（2010全国新）设函数(

)

2

()1x

f x x e ax =-- （Ⅰ）若1

2

a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当x ≥0时()f x ≥0，求a 的取值范围

恒成立问题和存在性问题

1．若函数()f x =

R ，则a 的取值范围是 。答：[－1，0]

2．设函数y =(,1]-∞上有意义，求实数a 的取值范围。答：34

a ≥-。

3．若关于x 的不等式22

93x x x kx ++-≥在[1,5]上恒成立，则实数k 的范围为 .答：6k ≤

4．若曲线3

()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________.答：0a <

5．若2

1

()l n (2)

2

f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是 。答：(,1]-∞-

6．已知函数()(1).1

f x a a =

≠- 若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 .答： ()(],01,3-∞?

7．已知函数()log (2)a f x ax =-在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是 。答：（1，2） 8．函数)1,()32(log 2

2

1-∞+-=在mx x y 上为增函数，则实数m 的取值范围是 .答：12m ≤≤

9．函数)10(log ≠>=a a x y a 且在),2[+∞上恒有1||>y ，则a 的取值范围是 。答：)2,1()1,2

1

( 10．若关于x 的方程2(1lg )10x

x a

m a +++=（0>a ，且1≠a ）有解，则m 的取值范围是 。

答：3

100-≤

11．设()321,f x ax a a =-+为常数，若存在0(0,1)x ∈，使得0()0f x =，则实数a 的取值范围是

＝ 。答：1

(,1)(,)2

-∞-+∞ 。

12．如果关于x 的方程||2

(22)20x a ----=有实数根，那么实数a 的取值范围是 。答：[1,2)- 13．已知函数()f x 的值域[0,4]([2,2])x ∈-，函数()1,[2,2]g x ax x =-∈-，

10[2,2],[2,2]x x ?∈-?∈-使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是 。答：55

(,][,)22

-∞-+∞ 。

14．已知函数2

(),([2,2])f x x x ∈-=，2

()sin(2)3,[0,]62

g x a x a x π

π

=+

+∈， 1[2,2]x ?∈-，001[0,],()()2

x g x f x π

?∈=总使得成立，则实数a 的取值范围是 ．

答：(,4][6,)-∞-+∞

15．已知函数4()lg(5)5x

x f x m =++的值域为R ，则实数m 的取值范围是 。答：4m ≤-。

16．若函数2

33()(1)log 6log 1(0,1)f x x a x a x a a =--++>≠在[0，1]上恒为正值，则实数a 的取值范

围是 。答：1

(3

17．已知命题21:"[1,2],ln 0"2

p x x x a ?∈--≥与命题2

:",2860"q x R x ax a ?∈+--=都是真命题,则

实数a 的取值范围是 . 答：}12|{=-≤a a a 或

18．已知命题p:()()

2

lg 1f x x ax =++的定义域为R ，命题q ：关于x 的不等式2x x a +->1的解集为

R ，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围. 解：p 为真命题时，2

40a =-< 22a -<< P 为真命题时，令()22,222,2x a x a

g x x x a a x a -≥?=+-=?

()2g x a ∴=小

|2|1x x a +-> 的解集为R 1

212

a a ∴>>即 又“p 或q 为真”，“p 且q ”为假 ∴P ，q 中一真一假

∴2222

11

22a a a a a ?-<<≤-≥???

??≤>????

或或 ∴1222a a -<≤≥或 ∴a 的取值范围是1

222

a a -<≤≥或

19．已知实数0>a ，且满足以下条件：①、R x ∈?，a x >|sin |有解；②、]43,

4[

π

π∈?x ，

01sin sin 2≥-+x a x ；求实数a 的取值范围 解：由于实数0>a ，由①得：10<

由②得：]4

3,4[π

π∈x 时，]1,22[

sin ∈x ，则由01sin sin 2≥-+x a x 得： x x a sin sin 1-≥，令x t sin =，则]1,22[∈t ，函数t t

t f -=1

)(在区间),0(+∞上为减函数， 则当]1,2

2[∈t 时，22

)22(1)(=

≤-=f t t t f ， 要使x x a sin sin 1-≥在]4

3,4[π

π∈x 上恒成立，则22≥

a ；由上可知，122<≤a 20．设函数1

()(01)ln f x x x x x

=>≠且。

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知12a

x

x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。

解 (1) '

22ln 1(),

x f x +=-

若 '

()0,f x = 则 1x =

列表如下 (2)在 2a

x x > 两边取对数, 得 1ln 2ln a x x >,由于01,x <<所以1ln 2ln a x x

>

(1) 由(1)的结果可知,当(0,1)x ∈时, 1

()()f x f e e ≤=-,

为使(1)式对所有(0,1)x ∈成立,当且仅当ln 2

a

e >-,即ln 2a e >-

21．设函数()()()322

113

f x x x m x x R =-++-∈，其中0m >（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点

()()1,1f 处的切线的斜率（2）求函数()f x 的单调区间与极值（3）已知函数()f x 有三个互不相同的零

点120,,x x ，且12x x <，若对任意的[]()()12,,1x x x f x f ∈>恒成立，求m 的取值范围

【答案】（1）1（2）)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。函数)(x f 在

m x +=1处取得极大值)1(m f +，且)1(m f +=3

13223-+m m

函数)(x f 在m x -=1处取得极小值)1(m f -，且)1(m f -=3

13223-+-m m 【解析】解：当1)1(,2)(,3

1)(1'2/23

=+=+=

=f x x x f x x x f m 故时， 所以曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率为1.

（2）解：12)(22'-++-=m x x x f ，令0)('=x f ，得到m x m x +=-=1,1

因为m m m ->+>11,0所以

当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：

x

)1,(m --∞

m -1

)1,1(m m +- m +1

),1(+∞+m

)('x f

+

0 - 0 +

)(x f

极小值

极大值

)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。

函数)(x f 在m x +=1处取得极大值)1(m f +，且)1(m f +=31322

3-+m m

函数)(x f 在m x -=1处取得极小值)1(m f -，且)1(m f -=3

1322

3-+-m m

（3）解：由题设， ))((3

1)131()(212

2x x x x x m x x x x f ---=-++-=

所以方程1312

2-++-m x x =0由两个相异的实根21,x x ，故321=+x x ，且0)1(3412>-+=?m ，解

得2

1

)(21>-

因为12

3

,32,221221>>=+>

若0)1)(1(3

1

)1(,12121≥---=<≤x x f x x 则，而0)(1=x f ，不合题意

若,121x x <<则对任意的],[21x x x ∈有,0,021≤-≥-x x x x

则0))((3

1

)(21≥---==x x x x x x f 又0)(1=x f ，所以函数)(x f 在],[21x x x ∈的最小值为0，于是对

任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立的充要条件是031)1(2

<-=m f ,解得3

333<

<-m 综上，m 的取值范围是)33

,21(

22．已知函数f(x)=2

1x 2

-ax +(a -1)ln x ，1a >。（1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有

1212

()()

1f x f x x x ->--。 解：(1)()f x 的定义域为(0,)+∞。2'

11(1)(1)

()a x ax a x x a f x x a x x x

--+--+-=-+== （i ）若11a -=即2a =,则2'

(1)()x f x x

-=故()f x 在(0,)+∞单调增加。

(ii)若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，'

()0f x <;

当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'

()0f x >故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加。 (iii)若11a ->,即2a >,同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加.

(II)考虑函数 ()()g x f x x =+2

1(1)ln

x ax a x

x =

-+-+ 则21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+≥-=- 由于1，即g(x)在(4, +∞)单调增加，从而当120x x >>时有12()()0g x g x ->，

即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--，当120x x <<时，有2121

()()

1f x f x x x ->--

23．已知函数1ln )1()(2

+++=ax x a x f 。（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）设1-

),0(,21+∞∈x x ，1212|()()|4||f x f x x x -≥-，求a 的取值范围。

解：（Ⅰ）()f x 的定义域为（0，+∞）. 2121

'()2a ax a f x ax x x

+++=+=

. 当0a ≥时，'()f x ＞0，故()f x 在（0，+∞）单调增加； 当1a ≤-时，'()f x ＜0，故()f x 在（0，+∞）单调减少；

当-1＜a ＜0时，令'()f x =0

，解得x =. 则当

x ∈时，'()f x ＞0；)x ∈

+∞时，'()f x ＜0. 故()f x

在单调增加，在)+∞单调减少. （Ⅱ）不妨假设12x x ≥，而a ＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而

12,(0,)x x ?∈+∞，1212()()4f x f x x x -≥-等价于

12,(0,)x x ?∈+∞，2211()4()4f x x f x x +≥+ ①

令()()4g x f x x =+，则1

'()24a g x ax x

+=++

①等价于()g x 在（0，+∞）单调减少，即 1

240

a ax x

+++≤. 从而222

222

41(21)42(21)2212121

x x x x a x x x ------≤==-+++ 故a 的取值范围为（-∞，-2]. 24．（2010山东）已知函数1()ln 1a

f x x ax x

-=-+-()a R ∈. (Ⅰ)当12a ≤

时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设2()2 4.g x x bx =-+当14

a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数

b 取值范围.

解析：(Ⅰ)1()ln 1(0)a

f x x ax x x

-=-+->，222l 11()(0)a ax x a f x a x x x x --++-'=-+=

> 令2

()1(0)h x ax x a x =-+->

（1）当0a =时，()1(0)h x x x =-+>，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增.

(2)当0a ≠时，由()0f x '=，即2

10ax x a -+-=，解得1211,1x x a

==-.

当1

2

a =时12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 单调递减；

当102a <<

时，1

110a

->>，(0,1)x ∈时()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减； 1

(1,1)x a ∈-时，()0,()0h x f x '<>，函数()f x 单调递增；

1

(1,)x a

∈-+∞时，()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减.

当0a <时1

10a

-<，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；

当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增.

综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增；

当1

2a =时12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；

当102a <<时，函数()f x 在(0,1)单调递减，1(1,1)a -单调递增，1

(1,)a -+∞单调递减.

（Ⅱ）当1

4

a =时，()f x 在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈，

有11

()(1)-2

f x f ≥=，

又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以21

()2

g x -≥，[]21,2x ∈，（※）

又22

()()4,[1,2]g x x b b x =-+-∈

当1b <时，min ()(1)520g x g b ==->与（※）矛盾；

当[]1,2b ∈时，2

min ()(1)40g x g b ==-≥也与（※）矛盾；

当2b >时，min 117()(2)84,28

g x g b b ==-≤-≥. 综上，实数b 的取值范围是17

[

,)8

+∞. 25．（2010全国新）设函数()2

()1x f x x e ax =--

（Ⅰ）若1

2a =

，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当x ≥0时()f x ≥0，求a 的取值范围 解：（Ⅰ）12a =时，21()(1)2

x

f x x e x =--，'()1(1)(1)x x x f x e xe x e x =-+-=-+。当()

,1x ∈-∞-时'()f x >0;当()1,0x ∈-时，'()0f x <;当()0,x ∈+∞时，'()0f x >。故()f x 在(),1-∞-，()0,+∞单

调增加，在（-1，0）单调减少。

（Ⅱ）()(1)a

f x x x ax =--。令()1a

g x x ax =--，则'()x

g x e a =-。若1a ≤，则当()0,x ∈+∞时，

'()g x >0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当x ≥0时()g x ≥0，即()f x ≥0.

若a >1，则当()0,ln x a ∈时，'()g x <0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当()0,ln x a ∈时()g x ＜

0，即()f x ＜0. 综合得a 的取值范围为(],1-∞