相似三角形的判定定理
24.4（1）相似三角形的判定
教学目标
1．知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用 “∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式； 2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1；
3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长.
4、了解判定定理1的证题方法与思路，应用判定定理l.
一、复习
1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？ 2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？ 3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形） 本节学习相似三角形的定义及相关判定定理. 二、学习新课
相似三角形的概念： 我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.
相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一.
[说明]相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例． 相似比的概念 ：相似三角形对应边的比k ，叫做相似比（或相似系数）．
[说明]①两个相似三角形的相似比具有顺序性． ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形．
注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比，叫做相似比.
如图，111,ABC A B C ??是相似三角形，则111,ABC A B C ??相
似可记作ABC ?∽111A B C ?.由于
111
2
AB A B =，则ABC ?与111A B C ?的相似比1112AB k A B =
=，则111A B C ?与ABC ?的相似比,112A B
k AB
==
. C 1
B 1
A 1
C
B
A
猜测两个三角形全等与相似的区别与联系：当两个相似三角形的相似比1k =时，这两个相似三角形就成为全等三角形，因此全等三角形是相似三角形的特例.
想一想：如果ABC ?∽111C B A ?，111C B A ?∽222C B A ?那么ABC ?与222A B C ?相似吗？利用相似三角形的定义说理.得到相似三角形具有传递性（性质）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.
思考问题：（l ）所有等腰三角形都相似吗？所有等边三角形呢？为什么？ （2）所有直角三角形都相似吗？所有等腰直角三角形呢？为什么？ 练习一：选择题
下列四组图形，必是相似形的是（ ）
Ａ、有一个角为0
40的两个等腰三角形； Ｂ、有一个角为0
50的两个等腰梯形； Ｃ、邻边之比都为2:3的两个平行四边形； Ｄ、有一个角为0
100的两个等腰三角形. 新授2：相似三角形的预备定理
l
E
D
C
B
A
l
E
D
C
B
A
l
E D C
B
A
课本通过探讨的方法，根据题设中有平行线的条件，结合定理的结论，再根据三角形的定义，从而得出了这两个三角形相似的结论，这里要强调的是：
（1）本定理的导出不仅复习了相似三角形的定义，而且为后面的证明打下了基础。 （2）由本定理的题设所构成的三角形有三种可能，基本图形在“平行线分线段成比例”出现过．
（3）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，做题时务必要认真仔细，如本定理的比例式，防止出现错误
（4）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，这两个三角形中相等的角所对的边就是对应边，对应边应写在对应位置．
（5）有平行就有成比例线段，有平行就有相似三角形． 我们称由预备定理得到的相似三角形为“平行线型”的相似三角形. 新授3：相似三角形的判定定理1：
如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似（两角对应相等，两个三角形相似）
.
C 1
B 1
A 1
E
D
C
B A
1.判定两个三角形全等的方法有哪几种？ SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL ．
2.全等三角形判定中的“对应角相等”及“对应边相等”的语句，用到三角形相似的判定中应如何说？ “对应角相等”不变，“对应边相等”说成“对应边成比例”．
3.我们知道，一条边是写不出比的，那么你能否由“ASA”或“AAS”，采用类比的方法，引出一个关于三角形相似判定的新的命题呢？
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
4.如图在△ABC 和△111A B C 中，
11
,A A B B ∠=∠∠=∠，△ABC 和△111A B C 是否相似？
5.我们现在已经学习了哪几个判定三角形相似的方法？ ①相似三角形的定义，②预备定理．
6.根据本命题条件，探讨时应采用哪种方法？为什么？预备定理，因为用定义条件明显不够．
7.采用预备定理，必须构造出怎样的图形？
8.应如何添加辅助线，才能构造出上一问的图形？
（1）在△ABC 边AB （或延长线）上，截取 ，过D 作DE ∥BC 交AC 于E ．“作相似．证全等”． （2）在△ABC 边AB （或延长线上）上，截取，在边AC （或延长线上）截取AE =，连结DE ，“作全等，证相似”．（教师向学生解释清楚“或延长线”的情况） 三、巩固练习
1、已知：在△ABC 和△DEF 中，∠A =40°, ∠B =80°, ∠E =80°, ∠F =60°. (1)求证: △ABC ∽△DEF ; (2)写出对应边成比例的式子.
2、（1）已知:如图5-58,直线BE,DC交于A, ∠E=∠C.求证:DA·AC=BA·AE.
（2）若图形作以下变化，结论是否依然成立，请证明.
3、已知:如图,Rt△ABC中, ∠ABC=90°,BD AC于D.
(1)图中有几个直角三角形?它们相似吗?为什么?
(2)用语言叙述第(1)题的结论:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.
(3)写出相似三角形对应边成比例的表达式.
四、小结
1、相似三角形的定义，相似比的概念
2、三角形相似与全等的判定方法的类比.
3、三角形相似的判定定理1，并强调判定相似需且只需两个独立条件.
4、常用的找对应角的方法：①已知角相等;②已知角度计算得出相等的对应角;③公共角;
④对顶角;⑤同角的余(补)角相等.
六、说明
1、相似三角形的概念是本节的重点也是本节的难点.相似三角形是研究相似形的最重要和最基本的图形，是在全等三角形知识的基础上的拓广和发展，全等形是相似形的特殊情况，研究相似三角形比研究全等三角形更具有一般性.
2、相似三角形的预备定理和相似三角形的判定定理的证明，类比全等三角形学习.
3、理解常见图形，掌握常用的找对应角的方法.
24.4（2）相似三角形的判定
教学目标
1．掌握相似三角形的判定定理2;
2、会运用所学的两个定理判定三角形相似，计算相似三角形的边长等.
3、了解判定定理2的证题方法与思路, 应用判定定理2. 一、复习引入
1．问题1：什么叫做相似三角形？它们在形状上、大小上有何特征？什么叫做相似比?结合图形复述相似三角形的预备定理和判定定理1. 2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？ 3.类比全等三角形的“边角边”，我们来看问题
2.
C 1
B 1
A 1
C
B
A
E
D
C
B A
本节学习相似三角形判定定理2.
问题2：如上图，在ABC ?和111A B C ?中，如果1A A ∠=∠,
1111
AB AC
A B A C =那么ABC ?和111A B C ?相似吗？
分析：ADE ?≌111A B C ?（SAS ），再利用三角形一边的平行线判定定理，得到DE //BC ，可以转化为相似三角形预备定理中的平行线. 二、新课
新授1：相似三角形的判定定理2的推导及文字和符号表述.
通过问题2，得到相似三角形的判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.ABC C A AC
B A AB A A ?∴=∠=∠1
1111,
Θ∽111C B A ?
新授2：相似三角形的判定定理2的应用
例题1 已知如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，OA =1，0B =1.5,0C =3,OD=2.求证:OAD ?与OBC ?是相似三角形.
O
D
C
B A
分析：判断是否有成比例的线段,再利用判定定理2. 议一议:图中是否还有相似三角形? 答：OAB ?∽ODC ?
问题:(1)两条直角边对应成比例的两个直角三角形是否相似?为什么?
(2)等腰三角形ABC 与等腰三角形DEF 有一角相等,这两个三角形是否相似?为什么? 例题2 已知如图,点D 是ABC ?的边AB 上的一点,且AB AD AC ?=2
.
求证:ACD ?∽ABC ?.
D
C
B
A
分析:已知条件AB AD AC ?=2是一个乘积式,将它改写成比例式,得到
AD AC
AC AB =
,观察这个比例式中的四条线段结合图形,可以依据相似三角形的判定定理2推出结论.这是比较
困难的技巧问题,也是证题的关键步骤. 三、巩固练习
练习1:书后练习24.4(2)/1 练习2：（1）书后练习24.4(2)/2
（2）D 在的△ABC 边AB 上,且2
AC =AD ?AB ，则△ABC ∽△ACD ,理由是___________________ .
（3）一个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,那么这两个直角三角形__________________ 相似.(填“一定”、“不一定”或“一定不”)
（4）如图，在ABC ?中，若AED B ∠=∠，则下列比例式正确的是：
E
D
C
B A
()
AD AE A BD EC = ()AD AC B AE AB = ()DE AE C BC BD = ()AC AD
D AB ED =
练习3:补充
(1)在ABC ?和DEF ?中,
00
36,12,15,36,16A AB AC D DE ∠===∠==则当DF =______时, ABC ?∽DEF ? .
(2)如图,P 为AB 上一点(AB >AC ),要使ACP ?∽ABC ?,可添加一个条件_____. (3) 如图，D 是△ABC 一边BC 上的一点，△ABC ∽△DBA 的条件是( )
()
AC AD A BC BD = ()AC AB
B B
C A
D =
(C)BC CD AB ?=2
(D)BC BD AB ?=2
（4）如图，在ABC 中，AB =AC ，D 点是CB 的延长线上一点，E 是BC 延长线上的一点，且满足2AB =DB ·CE.
求证：（1）△ADB ∽ △EAC （2）若∠BAC =0
40，求∠DAE 的度数.
C
B
D
E
A
四、课堂小结
1、三角形相似与全等的判定方法的类比.
2、三角形相似的判定定理2，并强调判定相似需且只需两个独立条件.,强调对应边成比例. 五、作业布置
书后练习1-3，练习册24.4（2） 五、教学设计说明
1、相似三角形的判定定理2是本节的重点也是本节的难点，证明的导出过程多多理解，重点理解“角”是“两条对应边的夹角”.
2、例题及练习是相似三角形的判定定理2的应用，由浅入深，图形由简单到复杂.
24.4（3）相似三角形的判定
教学目标
1、掌握相似三角形的判定定理3；
2、会综合运用所学的三个定理判定三角形相似，进行相关证明与计算. 4. 了解判定定理3的证题方法与思路, 应用判定定理3，如网格问题.
一、复习引入 1．复述已经学习过的判定三角形相似的定理. (1)定义法：对应角相等、对应边成比例；
(2)预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形和原三角形相似.
(3)判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似；
(4)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似. 下面学习相似三角形判定定理3 二、学习新课
新授1：相似三角形的判定定理3的推导及文字和符号表述. 问题3：类比三角形全等的判定，思考猜测问题3.
如图在ABC ?和111A B C ?中，如果
1111
11AB AC BC
A B AC B C ==，那么ABC ?和111A B C ?相似吗？ C 1
B 1A 1
C
B
A
分析： 同样可以利用相似三角形预备定理来证明.
通过问题3，又得到相似三角形的判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.
111111
AB BC CA
A B B C C A ==Q
ABC ?∴∽111C B A ? 新授2：相似三角形的判定定理3的应用
例题3 已知如图，D 、E 、F 分别是ABC ?的边BC 、CA 、AB 的中点.求证：DEF ?∽ABC ?. （分析：利用中位线的性质，可得两个三角形三边对应成比例，根据相似三角形的判定定理3，可得两个三角形相似） 证明：
F
E
D
C
B
A
例题4（补充）如图，在正方形网格上有两个三角形111C B A 和222C B A 求证：△111C B A ∽△222C B A
.
分析 由条件可考虑三边是否对应成比例.可设小正方形边长为1，由勾股定理可求出各自边长，再进行证明.
证明：设小正方形边长为1，则由勾股定理可求得：22B A 2，2210B C 115A B =1110AC ，又22C A ＝2，11C B ＝5.
∴11B A ∶22B A 52102==
11C A ∶22C A 102=，11C B ∶22C B ＝10102=
∴
111111222222
A B A C B C
A B A C B C == ∴△111C B A ∽△222C B A . 三、巩固练习
练习1:书后练习24.4(3)/1
练习2：（1）书后练习24.4(3)/2（2）书后练习24.4(3)/3
（3）以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与△ABC 相似的三角形图形为（ ）
A B C A B C D
（4）如图，是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与ABC 不相似的是______________. （A ）△BDE ； （B ）△BCD ；（C ）△FGH ； （D ）△BFG .
四、课堂小结
1、三角形相似与三角形全等的判定方法的类比.
2、三角形相似的判定定理3，并强调用判定3证明相需三个条件,强调对应边成比例.
3、得到判定三角形相似的方法有：(1)定义法：对应角相等、对应边成比例；(2)预备定理：
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形和原三角形相似.(3)判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似；(4)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似(5) 判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似. 五、说明
1.相似三角形的判定定理3是本节的重点，证明的导出过程要掌握，重点理解三边对应成比例.
2.例题及练习的教学是相似三角形的判定定理3的应用，建议由浅入深，图形由简单到复杂，对于网格问题应注意解题方法
3.总结所得到判定三角形相似的方法.
B
C D A
E F G
H
K
24.4（4）相似三角形的判定
教学目标
1．了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用．
2．通过了解定理的证明方法，提高利用已学知识证明新命题的能力． 3. 了解判定定理的证题方法与思路, 应用判定定理.
一、复习引入 1．我们学习了几种判定三角形相似的方法？（5种） 2．叙述预备定理、判定定理1、2、3，
其中判定定理1、2、3的证明思路是什么？（①作相似，证全等；②作全等，证相似）
3．什么是“勾股定理”？什么是比例的合比性质
?
C 1
B 1
A 1
C
B
A
E
D
C
B A
直角三角形全等有特殊的判定定理.同样我们要探讨判定直角三角形相似的特殊定理. 下面学习直角三角形相似的判定定理.
二、学习新课
问题4：如图,在111,Rt ABC Rt A B C ??中，如果11111
90,AC BC
C C A C B C ?
∠=∠==， 那么111,Rt ABC Rt A B C ??相似吗？
C 1
B 1A 1
C
B A
分析： 将已知条件与相似三角形判定定理3的条件比较.
新授1：直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.
1
11101,
90C B BC
B A AB
C C ==∠=∠ΘABC Rt ?∴∽111C B A Rt ?. 注：直角三角形的判定除了用此判定定理外，还可以用前面所学的判定定理. 新授2：直角三角形相似的判定定理的应用. 例题4 已知如图，在四边形ABC
D 中，
090,BAC ADC ∠=∠
=,,AD a BC b AC ===，求证： DC BC ⊥.
D
C
B
A
例题5 已知如图，90,BAC AD BC ?
∠=⊥,垂足为点D ，DE //AC .则图中共有几对相似三角形？请证明.
E
D
C
B
A
三、巩固练习
练习1：如图，在ABC ?中，AD BC ⊥于D ，下列条件:
（1）0
90B DAC ∠+∠=（2）B DAC ∠=∠（3）
CD AC
AD AB = （4）BC BD AB ?=2，其中一定能判定ABC ?是直角三角形的共有 （ ） A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个
D
C
B
A
练习4：在ABC ?中，0
90,A AC CE CD BC ∠=?=?，求证：ED BC ⊥
E
D
C
B
A
练习5：已知，在ABC ?中，0
90,C CD AB ∠=⊥，E 是BC 的中点，DE 交AC 的延长线于点F .求证：AD CF CD DF ?=?.
F
E
D
C
B A
四、小结
直角三角形相似的判定除了本节定理外，前面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用． 六、教学设计说明
1、直角三角形的判定定理是本节的重点也是本节的难点，证明的导出过程掌握
2、例题及练习的教学是直角三角形的判定定理的应用，建议由浅入深，图形由简单到复杂.
24.4（5）相似三角形的判定
教学目标
综合运用所学判定定理结合相似三角形的定义进行判定或计算.
根据图形特征和已知条件选择判定定理进行证明和计算.
一、复习引入
主要内容是相似三角形的判定定理(其中有任意三角形相似的三个判定定理和直角三角形相似的判定定理).
二、学习新课
新授1:
1.关于三角形的判定方法
(1)定义法：对应角相等、对应边成比例；
(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形和原三角形相似；
(3)判定定理1.两角对应相等两三角形相似；
(4)判定定理2.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
(5)判定定理3.三边对应成比例的两三角形相似；
(6)直角三角形相似的判定方法.
①以上各种判定方法均适用;
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似；
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.
2.判定定理的适用范围
(1)已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2.
(2)有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3.
(3)直角三角形判定先考虑判定直角三角形相似的方法.还可以考虑一般三角形相似的方法.
[说明]一般不用定义来判定三角形的相似.
3.相似三角形与全等三角形判定方法的联系
4、相似三角形的判定定理的作用：
①可以用来判定两个三角形相似；
②间接证明角相等、线段成比例；
③间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件.
5、三角形相似的基本图形：
①平行型：如图1，“A”型即公共角对的边平行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；
②相交线型：如图2，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相似
.
新授2: 综合运用所学判定定理结合相似三角形的定义进行判定计算
例题5 已知，在△111C B A 和△222C B A 中，AD BC ⊥，1111A D B C ⊥，垂足D 、1D 分别在边BC 、11B C 上，且
111111
AB AD AC
A B A D A C ==.求证：ABC ?∽111C B A ?. D 1
C 1
B 1
A 1
D C
B
A
例题6、已知：点111,,A B C 分别在射线PM 、PN 、PT 上，AB //11A B ，
BC //11B C .求证: ABC ?∽111C B A ?.
T N
M
P
C 1
B 1
A 1
C
B
A
一题多解
三、巩固练习
练习1、如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G .求证：2
AG ＝AF ·FC ..
练习2、如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 上的高，AD 、BE 相交于H ，则图中相似的三角形共有( )对.
A.3
B.4
C.5
D.6
练习5、如图，D 是△ABC 一边BC 上的一点，△ABC ∽△DBA 的条件是
( )
A.
AC AD BC BD = B. AC AB BC AD
=
C.2AB ＝CD ·BC
D.2
AB ＝BD·BC 练习6、已知过平行四边形ABCD 的顶点C 作一直线CF 交BD 于点E ，交DA 的延长线于点F ，交AB 于点M .
求证：EM EF EC ?=2
.
F
E
D
M
B
C
A
四、小结
1.关于三角形的判定方法
2.判定定理的适用范围
3.相似三角形与全等三角形判定方法的联系 4、相似三角形的判定定理的作用 5、三角形相似的基本图形
6、根据已知条件和图形特征灵活选用相似三角形的判定定理是本节的重点也是本节的难点。
7、对于不确定条件或开放性问题应多锻炼意识和能力.
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形 1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． ①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽ △ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； （双A型） ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
《相似三角形的性质》教案
《相似三角形的性质》教案 课标要求 了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方． 教学目标 知识与技能：1．了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方；2．能够运用相似三角形的性质定理解决相关问题．过程与方法：通过操作、观察、猜想、类比等活动，进一步提高学生的思维能力和推理论证能力． 情感、态度与价值观：通过对性质的发现和论证，提高学习热情，增强探究意识． 教学重点 相似三角形性质定理的理解与运用． 教学难点 探究相似三角形面积的性质，并运用相似三角形的性质定理解决问题． 教学流程 一、情境引入 三角形中有各种各样的几何量，如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等等． 问题：如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？ 引出课题：今天，我们就来研究相似三角形的这些几何量之间的关系． 二、探究归纳 回顾：从相似三角形的定义出发，能够得到相似三角形的什么性质？ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 问题：相似三角形的其他几何量可能具有哪些性质？ 探究：如图1，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少． 图1
图2 问题1：如图2，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′．AD 和A ′D ′的比是多少？ 追问：对应高在哪两个三角形中，它们相似吗？如何证明？ 解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠B ＝∠B ′ ∵△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形 ∴△ABD ∽△A ′B ′D ′ ∴==''''AD AB k A D A B 问题2：它们的对应中线、角平分线的比是否也等于相似k ？ 结论:相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比． 问题3：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，对应线段的比呢？ 推广：相似三角形对应线段的比等于相似比． 问题4：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，它们的周长有什么关系？ 结论：相似三角形的周长比等于相似比． 思考：相似三角形面积比与相似比有什么关系？ 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′． 2122 ABC A B C BC AD S BC AD k k k S B C A D B C A D ?'''??==?=?=''''''''? 结论：相似三角形面积比等于相似比的平方． 三、应用提高 例：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ．若△ABC 的边
相似三角形的性质 (2)教学设计
相似三角形的性质 【教学目标】 1．初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。 2．在动手参与解决身边实际问题的过程中，增强主动探索、发现数学知识的意识，提高观察、归纳能力，应用数学知识解决生活中实际问题的能力。 3．在学习过程中，进一步改善独立思考、合作学习、自主评价等学习品质。 【教学重难点】 重点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的探究与证明。 难点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用。 【教学过程】 一、设计龟免赛跑故事导入新课 有一只极速乌龟和骄傲的兔子在规定的两块相似四边形的场地上进行比赛，谁先跑完一圈谁为胜，已知：免子的速度是乌龟的4倍，结果乌龟跑完一圈只用了一个小时，兔子说，我睡上半个小时再跑，也能比你先跑完一圈；你认为兔子的说的话对吗？你能猜到比赛的最后结果吗？ (以“龟兔赛跑”精典故事开头，引起同学对这堂课的兴趣。) 二、自主探究，发现新知 1．分组猜想探究活动，完成下列实验报告单
(学生经历动手实验 - 观察－思考－归纳－发现的学习过程，分别总结两个相似三角形的周长比与相似比的关系，面积比与相似比的关系。注重学生动手实验、探索过程，并利用小组合作方式，培养学生的合作意识。)
猜测得到命题：相似三角形的周长比等于相似比。相似三角形的面积比等于相似比的平方。2．验证猜想，得出结论（小组讨论） 探究：如果两个三角形相似，它们的周长比是否等于相似比呢？两个相似多边形呢？ 如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么 ?AB BC CA k A B B C C A === '''''' ?AB=kA′B'，BC=kB'C'，CA=kC'A' ? AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A ++''+''+'' == ''+''+''''+''+'' 可以得到相似三角形周长的比等于相似比 类似的方法还可以得出相似多边形周长的比等于相似 延伸问题： 探究： （1）如图27．2-11（1），?ABC∽? A'B'C'，相似比为k1，它们的面积比呢？ 图27．2-11（1） 分析：如图27．2-11，分别作出?ABC和? A'B'C'的高AD和A'D'。 ∵∠ADB=∠A'D'B'=900又∠B=∠B' ∴?ABD∽?A'B'D' ∴1 '''' AD AB k A D A B ==（在此得出相似三角形对应高的比等于相似比）1111111 1 2 1 2 ABC A B C BC AD S S B C A D ? ? ? = ? = ()() 1111 2 1111 1 2 1 2 kB C kA D k B C A D = ? 可以得到：相似三角形面积比等于相似比的平方 相似三角形对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比吗？
(完整版)相似三角形中的射影定理
相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理 【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt△ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题） 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= ·AC2= ·BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。 B A
【典型例题】 例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF 例3．（1）已知ABC ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ??和的 高，这时CAB DEF ??和是否相似？ 【拓展练习】 1、已知：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。求证：△BEF ∽△ACF A B A B C N D C
相似三角形的判定定理2
A B C A 1 B 1 C 1 A B C D O 1、 相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在ABC ?与111A B C ?中，1A A ∠=∠，1111 AB AC A B AC = ，那么ABC ?∽111A B C ?． 【例1】 如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， 2OA =，3OB =，6OC =，4OD =． 求证：OAD ?与OBC ?是相似三角形． 相似三角形判定定理2 知识精讲
A B C D A B C D E 【例2】 如图，点D 是ABC ?的边AB 上的一点，且2AC AD AB =g ． 求证：ACD ?∽ABC ?． 【例3】 如图，在ABC ?与AED ?中， AB AC AE AD = ，BAD CAE ∠=∠． 求证：ABC ?∽AED ?． 【例4】 下列说法一定正确的是（ ） A ．有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似 B ．对应角相等的两个三角形不一定相似 C ．有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 D ．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似 【例5】 在ABC ?和DEF ?中，由下列条件不能推出ABC ?∽DEF ?的是（ ） A ．A B A C DE DF = ，B E ∠=∠ B ．AB AC =，DE DF =，B E ∠=∠ C ．AB AC DE DF = ，A D ∠=∠ D ．AB AC =，DE DF =，C F ∠=∠
相似三角形的性质 (第2课时)
相似三角形的性质（第2课时） 一、教学目标 1．掌握相似三角形的性质定理2、3． 2．学生掌握综合使用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题．3．进一步培养学生类比的教学思想． 4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美 二、教法引导 三、重点及难点 1．教学重点：是性质定理的应用． 2．教学难点：是相似三角形的判定与性质等相关知识的综合使用． 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、常用画图工具． 六、教学步骤 ［复习提问］ 叙述相似三角形的性质定理1． ［讲解新课］
让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理2． 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比． ∽， 同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，得出命题． “相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象． 性质定理3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方． ∽， 注：（1）在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方，这个点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．（2）在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周长比是，它们的面积之经不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题． 例1 已知如图，∽，它们的周长分别是60cm和72cm，且AB=1 5cm，，求BC、AB、、． 此题学生一般不会感到有困难．
例2 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比． 教材上的解法是用语言叙述的，学生不易掌握，教师可提供另外一种解法． 解：设原地块为，地块在甲图上为，在乙图上为． ∽∽且，． ． 学生在使用掌握了计算时，容易出现的错误，为了纠正或防止这类错误，教师在课堂上可举例说明，如：，而 ［小结］ 1．本节学习了相似三角形的性质定理2和定理3． 2．重点学习了两个性质定理的应用及注意的问题． 七、布置作业 教材P247中A组4、5、7． 八、板书设计
初中数学相似三角形的判定定理
相似三角形的判定 教学目标1．知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用“∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式； 2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1； 3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长. 4、了解判定定理1的证题方法与思路，应用判定定理l. 一、复习 1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？ 2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？ 3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形） 本节学习相似三角形的定义及相关判定定理. 二、学习新课 相似三角形的概念：我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一. [说明]相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例． 相似比的概念：相似三角形对应边的比，叫做相似比（或相似系数）． [说明]①两个相似三角形的相似比具有顺序性．②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形． 注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应 边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的 对应边的比，叫做相似比. 如图，是相似三角形，则 相似可记作∽.由于，则与 的相似比，则与的相似比.
猜测两个三角形全等与相似的区别与联系：当两个相似三角形的相似比时，这两个相似三角形就成为全等三角形，因此全等三角形是相似三角形的特例. 想一想：如果∽，∽那么与相似吗？ 利用相似三角形的定义说理.得到相似三角形具有传递性（性质）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似. 思考问题：（l）所有等腰三角形都相似吗？所有等边三角形呢？为什么？ （2）所有直角三角形都相似吗？所有等腰直角三角形呢？为什么？ 练习一：选择题 下列四组图形，必是相似形的是（） Ａ、有一个角为的两个等腰三角形；Ｂ、有一个角为的两个等腰梯形； Ｃ、邻边之比都为2:3的两个平行四边形；Ｄ、有一个角为的两个等腰三角形. 新授2：相似三角形的预备定理 课本通过探讨的方法，根据题设中有平行线的条件，结合定理的结论，再根据三角形的定义，从而得出了这两个三角形相似的结论，这里要强调的是： （1）本定理的导出不仅复习了相似三角形的定义，而且为后面的证明打下了基础。 （2）由本定理的题设所构成的三角形有三种可能，基本图形在“平行线分线段成比例”出现过． （3）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，做题时务必要认真仔细，如本定理的比例式，防止出现错误 （4）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，这两个三角形中相等的角所对的边就是对应边，对应边应写在对应位置．
(完整版)相似三角形知识点梳理
相似三角形知识点汇总 重点、难点分析： 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点． 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 一、重要定理 （比例的有关性质）： 二、有关知识点： 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： 6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2 反比性质：c d a b = 更比性质：d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ?=?=bc ad d c b a （比例基本定理）
相似三角形判定的基本模型 A字型X字型反A字型反8字型 母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型 C B E D A
相似三角形的性质定理
相似三角形的性质定理（2、3） 一、教学目标 1．掌握相似三角形的性质定理2、3． 2．学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题．3．进一步培养学生类比的教学思想． 4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美 二、教法引导 先学后教，达标导学 三、重点及难点 1．教学重点：是性质定理的应用． 2．教学难点：是相似三角形的判定与性质等有关知识的综合运用． 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、常用画图工具． 六、教学步骤 ［复习提问］ 叙述相似三角形的性质定理1． ［讲解新课］ 让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理2． 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比． ∽，
同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，得出命题． “相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象． 性质定理3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方． ∽， 注：（1）在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方，这一点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习． （2）在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周 长比是，它们的面积之经不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题． 例1 已知如图，∽，它们的周长分别是60cm和72cm， 且AB=15cm，，求BC、AB、、． 此题学生一般不会感到有困难． 例2 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比． 教材上的解法是用语言叙述的，学生不易掌握，教师可提供另外一种解法．解：设原地块为，地块在甲图上为，在乙图上为．∽∽且，．
相似三角形判定基础 练习
相似三角形的判定① 1、已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两数的比例中项，第 三个数是 (只需写出一个即可). 2、在△ABC 中，AB=8，AC=6，点D 在AC 上，且AD=2，若要在AB 上找一点E ，使△ADE 与原三角 形相似，那么AE= 。 3、如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB ，那么可添加的条件是 4、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件， 使ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的 条件即可). 5、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角 形都相似；④所有的直角三角形都相似. 其中正确的是 (把你认为正确的说法的序号都填上). 6、如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2)，如果点C 在x 轴 上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为 或 时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与 ΔAOB 相似(至少写出两个满足条件的点的坐标). 7、下列命题中正确的是 （ ） ①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④ 8、如图，已知D E ∥BC ，E F ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ） A AC AE AB AD = B FB EA CF CE = C BD AD BC DE = D CB CF AB EF = 9、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ， 下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是 （ ） A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB C. BE=CD ，AB=AC D. AD ∶AC=AE ∶AB 10、在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF= 90°，则一定有 （ ） A ΔADE ∽ΔAEF B ΔECF ∽ΔAEF C ΔADE ∽ΔECF D ΔAEF ∽ΔABF 11、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点， 连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ） A 1对 B 2对 C 3对 D 4对 12、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
相似三角形的判定定理1
1 / 7 1、 相似三角形的定义 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形． 如图，DE 是ABC ?的中位线，那么在ADE ?与ABC ?中， A A ∠=∠， ADE B ∠=∠，AED C ∠=∠； 1 2AD DE AE AB BC AC ===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作 ADE ?∽ABC ?，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分 别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”． 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“?”后相应的位置上． 根据相似三角形的定义，可以得出： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）． （2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、 相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线l 与ABC ?的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ?∽ABC ?． 相似三角形判定定理1 A B C D E A B C D E A B C D E D A B C E
2 / 7 A B C A 1 B 1 C 1 3、 相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在ABC ?与111A B C ?中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ?∽111A B C ?． 常见模型如下：
相似三角形的判定定理
24.4（1）相似三角形的判定 教学目标 1．知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用 “∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式； 2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1； 3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长. 4、了解判定定理1的证题方法与思路，应用判定定理l. 一、复习 1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？ 2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？ 3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形） 本节学习相似三角形的定义及相关判定定理. 二、学习新课 相似三角形的概念： 我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一. [说明]相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例． 相似比的概念 ：相似三角形对应边的比k ，叫做相似比（或相似系数）． [说明]①两个相似三角形的相似比具有顺序性． ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形． 注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比，叫做相似比. 如图，111,ABC A B C ??是相似三角形，则111,ABC A B C ??相似可记作ABC ?∽111A B C ?.由于 111 2 AB A B =，则ABC ?与111A B C ?的相似比111 2 AB k A B = =，则111A B C ?与ABC ?的相似比,112A B k AB == . C 1 B 1 A 1 C B A
《相似三角形的性质》
4.7 《相似三角形的性质》教案 教学目标： 1、知识目标：经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。利用相似三角形的性质解决一些实际问题. 2、能力目标：培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质. 3、情感与价值观目标：在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性. 教学重点：相似三角形的性质。 教学难点：相似三角形的性质定理的推理过程。 教学方法：合作交流、启发诱导法 教学过程： 一、揭示课题指明方向 在由定义得出相似三角形具有“对应角相等,对应边成比例”的性质后，本节课要进一步学习相似三角形的其它性质。 二、合作交流探索新知 1、复习导课 提问：①什么叫相似比？ ②当两个相似三角形的相似比为1时，这两个三角形有何特殊关系？ ③全等三角形除了它们的对应角相等、对应边相等外，三条主要线段：对应高、对应中线、对应角平分线有何关系？ ④那么相似比不为1的相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线又有哪些性质呢？ 2、动手操作，猜想推理： 引导学生依次完成以下的实验步骤：分别作出两对相似三角形对应边上的高，用刻度尺量出所作出的对应高的长，并计算它们的比值，用所得的比值与相似三角形的对应边的比相比较，发现有什么特殊关系？并将所得的结论用命题的形式表述出来。 然后，让学生依次作出对应中线、对应角平分线，并且完成与以上相同的实验步骤，最终引导学生猜想归纳出三个命题：
命题1：相似三角形对应高的比等于相似比。 命题2：相似三角形对应中线的比等于相似比。 命题3：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 3、活动探究，推理证明 （1）探究活动一：（投影片） 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC ，以1：2的比例建造了模型房梁△A /B /C /，CD 和C /D /分别是它们的立柱。 （1） 试写出△ABC 与△A /B /C /的对应边之间的关系，对应角之间的关系。 （2） △ACD 与△A /C /D /相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。 （3） 如果CD=1.5cm ，那么模型房的房梁立柱有多高？ （4） 据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？ 学生合作交流，教师引导探究完成上面几个问题，让学生进行证明推理，最后归纳总结得出： 相似三角形的性质：对应高的比等于相似比. （2）探究活动二：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比 如图：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD 平分∠BAC ，A /D /平分∠B /A /C /；E 、E /分别为BC 、B /C /的中点。试探究AD 与 A /D /的比值关系，AE 与A /E /呢？ 要求：类比探究，小组合作，至少证明其中一个结论. 学生小组合作，同类比的方法进行推理证明，最后得出： 相似三角形中对应角平分线、对应中线的比等于相似比. （3）、探究活动三：（投影片） 过渡语：我们已经得到了相似三角形中特殊线段的关系，如果把角平分线、 中线A B C A / / C / D / E /
全等相似三角形的判定定理
相似三角形的判定定理: (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。(简叙为两角对应相等两三角形相似). (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.) (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.) (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似. (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 相似三角形的性质定理: (1)相似三角形的对应角相等. (2)相似三角形的对应边成比例. (3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (4)相似三角形的周长比等于相似比. (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 射影定理 射影定理（又叫欧几里德定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 全等三角形 1. 三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。 2．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。 3．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。 4．有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 5．直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA(角角角)和SSA(边边角)(特例：直角三角形为HL，属于SSA)，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
初中数学相似三角形的判定定理资料讲解
相似三角形的判定 教学目标 1．知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用 “∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式； 2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1； 3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长. 4、了解判定定理1的证题方法与思路，应用判定定理l. 一、复习 1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？ 2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？ 3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形） 本节学习相似三角形的定义及相关判定定理. 二、学习新课 相似三角形的概念： 我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一. [说明]相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例． 相似比的概念 ：相似三角形对应边的比k ，叫做相似比（或相似系数）． [说明]①两个相似三角形的相似比具有顺序性． ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形． 注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比，叫做相似比. 如图，111,ABC A B C ??是相似三角形，则111,ABC A B C ??相 似可记作ABC ?∽111A B C ?.由于 111 2 AB A B =，则ABC ?与111A B C ?的相似比1112AB k A B = =，则111A B C ?与ABC ?的相似比,112A B k AB == . C 1 B 1 A 1 C B A
《相似三角形的判定》教案
《相似三角形的判定》教案 课标要求 1．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 2．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似； 3．了解相似三角形判定定理的证明． 教学目标 知识与技能： 1．了解相似三角形及相似比的概念； 2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论； 3．掌握相似三角形判定方法：平行线法、三边法、两边夹一角法、两角法； 4．进一步熟悉运用相似三角形的判定方法解决相关问题． 过程与方法： 类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法． 情感、态度与价值观： 发展学生的探究能力，渗透类比思想，体会特殊与一般的关系． 教学重点 掌握相似三角形的概念，能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似． 教学难点 探究三角形相似的条件，并运用相似三角形的判定定理解决问题． 教学流程 一、知识迁移 类比相似多边形的相关知识回答下面的问题： 1．对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 2．相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 师介绍：“相似”用符号“∽”来表示，读作“相似于”，2题可以用符号表示为 ∵△ABC∽△DEF，
∴A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF EF ==． 如何判断两个三角形相似呢？反过来 ∵A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF k EF === ∴△ABC∽△DEF． 师介绍：△ABC与△DEF的相似比为k，△DEF与△ABC的相似比为1 k ． 追问：当k＝1，这两个三角形有怎样的关系？ 引出课题：如何判断两个三角形相似呢？有没有更简单的方法？回顾学习三角形全等时，我们知道，除了可以验证所有的角和边分别相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？ 二、探究归纳 （一）平行线分线段成比例 探究1：如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，l4，l5．分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB ，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度， AB BC 与 DE EF 相等吗？任意平移l5． AB BC 与 DE EF 还相等吗？ 当l3//l4//l5时， 有 AB DE BC EF =， BC EF AB DE =， AB DE AC DF =， BC EF AC DF =等． 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．迁移：将基本事实应用到三角形中， 当DE//BC时，有
相似三角形的判定优秀教案
相似三角形的判定 【教学目标】 1．理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角； 2．掌握相似三角形判定定理的“预备定理”； 3．能灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。 【教学重点】 灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。 【教学难点】 三角形相似的判定定理的探索与证明。 【课时安排】 5课时。 【教学过程】 【第一课时】 三角形相似判定定理的“预备定理”。 一、复习旧知： 前面我们学习了相似多边形及相似比的有关概念，下面请同学们思考以下几个问题：（一）辨析： 1．四个角分别相等的两个四边形一定相似吗？ 2．四组对应边的比分别相等的两个四边形一定相似吗？ 3．什么样的两个多边形是相似多边形？ 4．什么是相似比（相似系数）？ （二）简答： 1．正方形和长方形或长宽之比不相等的两个矩形。 2．正方形和不是正方形的菱形或两组内角均不相等的菱形。 3．两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。 4．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。
二、概念讲解： 概念：如图1，△ABC与△A′B′C′相似。记作“△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC相似于△A′B′C′”。 注意：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角。 明确：对于，根据相似三角形的定义，应有…… （引导学生明白定义的双重性。） 问题：将△ABC与△A'B'C'相似比记为k1，△A'B'C'与△ABC相似比记为k2，那么k1与k2有什么关系？ k1＝k2能成立吗？ 说明：三角形全等是三角形相似的特例。 （一）类比猜想： 1．两个三角形全等的判定有哪几种方法？ 2．全等是不是需要所有的对应边和对应角都相等？ 3．猜想：两个三角形相似是不是也需要所有的对应边？ 和对应角都相等？有没有简便的方法？ （二）简析： 1．两个三角形全等的判定方法有：SAS、ASA、SSS、AAS，直角三角形还有HL。 2．不需要所有的对应边和对应角都相等。 3．猜想：两个三角形相似也不需要所有的对应角和对应边长度的比相等。 三、探索交流。 （一）探究： 1．在△ABC中，D为AB的中点，如图，过D点作DB∥BC交AC于点E，那么△ADE 与△ABC相似吗？
公开课相似三角形的判定一教案
相似三角形的判定（一） 贵池区唐田初中柯润忠 [教材分析]本节内容是沪科版《新时代数学》九上第22章《相似形》第二节《相似三角形判定》的第一节课．是在学习了第一节相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质，并具备了有关 三角形中位线和平行四边形知识后,研究三角形一边的平行线的判定定理．一方面，该定理是 前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展；另一方面，不仅可以直接用来证明有关三角形相 似的问题，而且还是证明其他三种判定定理的主要根据，所以有时也把它叫做相似三角形判 定定理的“预备定理”．通过本节课的学习，还可培养学生实验、猜想、证明、探索等能力， 对掌握分析、比较、类比、转化等思想有重要作用．因此，这节课在本章中有着举足轻重的 地位． [教学目标] 知识与技能目标： （1）、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应角． （2）、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”． 过程与方法目标： （1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法． （2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力． 情感与态度目标： （1）通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷． （2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦． [教学重点]相似三角形判定定理的预备定理的探索 [教学难点] 相似三角形判定定理的预备定理的有关证明 [教学方法]探究法 [教学媒体]多媒体课件直尺、三角板 [教学过程] 一、课前准备 1、全等三角形的基础知识 2、三角形中位线定理及其证明方法 3、平行四边形的判定和性质 4、相似多边形的定义 5、比例的性质 二、复习引入 （一）复习1、相似图形指的是什么？
《相似三角形的判定预备定理》
【教学目标】 18.5.1 相似三角形的判定——预备定理 知识技能：掌握用相似三角形的定义和预备定理判断两个三角形相似 过程方法：在探索相似三角形判定定理过程中，体现解决问题的方法 情感态度：在探索相似图形的性质过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质． 【教学重点】预备定理的证明与应用 【教学难点】预备定理的证明 【教学过程】 一. 复习引入 活动 1 回顾相似三角形的定义，定义既是判定也是性质；平行线分线段成比例 出示问题：如图,DE//BC, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由. 学生猜想：相似。能得到△ADE∽△ABC吗？ 教师活动:教师出示并提出问题，组织学生思考． （1）△ ADE 与△ ABC满足“对应角相等”吗？为什么？ （2）△ADE与△ABC 满足对应边成比例吗？由“DE∥B C”的条件可得到哪些线段的比相等？（3）根据以前学习的知识如何把DE 移到BC 上去？（作辅助线DF∥AC） 学生活动:学生小组讨论：要证△ADE∽△ABC A 只需证∠ A=∠A，∠ B=∠2，∠ C=∠3←——由平行得 AD AE = DE 相似定义 1 2 AB AC BC 由DE∥BC得 只需证出：DE AD BC AB 或DE AE BC AC D E B F C 由于DE、BC 不在同一直线上，故可以通过做辅助线平移DE，将DE、BC 放在同一直线上 证明： 过D 点作DF∥AC交BC于F ∵DE∥BC，DF∥AC ∴四边形DFCE是□ ∴DE=CF ∵DF∥AC ∴ CF AD BC BD DE AD ∴ BC BD ∴ AD = AE BD AC AD AE DE AB AC BC ∵DE∥BC ∴∠A=∠A，∠ 1=∠B，∠2=∠C ∴△ ADE∽△ABC ∵DE∥BC
相似三角形判定定理
相似三角形判定定理 相似三角形的判定定理: (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。(简叙为两角对应相等两三角形相似). (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.) (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.) (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似. (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的 斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 相似三角形的性质定理: (1)相似三角形的对应角相等. (2)相似三角形的对应边成比例. (3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (4)相似三角形的周长比等于相似比. (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似三角形的传递性 如果△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC∽A2B2C2 三角函数的和差化积公式 sinα＋sinβ＝2sin（α＋β）/2·cos（α－β）/2 sinα－sinβ＝2cos（α＋β）/2·sin（α－β）/2 cosα＋cosβ＝2cos（α＋β）/2·cos（α－β）/2 cosα－cosβ＝－2sin（α＋β）/2·sin（α－β）/2 三角函数的积化和差公式