二次函数知识点及练习 (1)
二次函数
考点一 二次函数的定义
1.形如 的函数是二次函数；
2.二次函数的一般形式： ；
3. 已知:二次函数2
2
(2)32k
y k x x -=--+ ，则k 的值是 ；
考点二 二次函数、图像及其性质
1、二次函数图像是一条 ；
2、a
值探究
(1) 当a ＞0时，图像开口 ；当a ＜0时，图像开口 ； (2) a 的绝对值相等，则图像形状、大小相同
（3）a 的绝对值越大，图像的开口越小；a 的绝对值越小，图像的开口越大
3、c 值探究：二次函数与y 轴的交点坐标（ ， ）
4、对称轴：
（1）对称轴在y 轴左侧，则a 与b
（2）对称轴在y 轴右侧，则a 与b 简称
5、顶点坐标（ ）
6、增减性：结合 开口 、对称轴 分析 如：
7、最值：结合 开口 、顶点坐标 分析 如：
8、平移：（1）首先化成顶点式 ；（2）应用左 右 ； 上 ，下 完成平移。 如：
9、对称应用：
（1）关于x 轴对称：
（2）关于y 轴对称：
考点三 二次函数常见形式图像及其性质
1、2
(0)y ax a =≠ 2、
2
(0)y ax c a =+≠ 3、
2
()(0)y a x h k a =-+≠ 4、2
(0)y ax bx c a =++≠
5、12()()(0)y a x x x x a =--≠
考点三 用二次函数观点看一元二次方程
1、 ?>0 ? 二次函数与X 轴有两个不同的交点坐标
2、 ?=0 ? 二次函数与X 轴有一个交点坐标
3、 ?<0 ? 二次函数与X 轴无交点坐标 应用举例：
1、已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次
方程-x 2
+3x+m=0的解为________.
2、小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面八条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->；⑥?<0；⑦a b <；⑧ 420a b c -+>，你认为其中正确信息的个数有_____ （填序号）
3、二次函数223y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是
考点四 实际问题和二次函数应
1、小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S （单位：平方米）随矩形一
边长x （单位：米）的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？
图2
图1
2、某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
3、某商品的进价每件为50元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出70件，市场调查反映：如果每件的售价每涨10元（售价每件不能高于140元），那么每星期少卖5件，设每件涨价x 元（x 为10的正整数倍），每周销售量为y 件 。 ⑴ 求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围。
⑵ 如何定价才能使每周的利润最大且每周销量较大？每周的最大利润是多少？
4、如图，抛物线y =2
1
x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，
且A （一1，0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；
⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时， 求m 的值．
二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习
【典型例题】
题型 1 二次函数的概念
例1.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4） 点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式 例2. 下列命题中正确的是
○
1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○
2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。
○
3当c=－5时，不论b 为何值，抛物线y=ax 2+bx+c 一定过y 轴上一定点。 ○
4若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有唯一公共点，则方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根。 ○
5若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点A 、B ，与y 轴交于c 点，c=4，S △ABC =6，则抛物线解析式为y=x 2－5x+4。
○
6若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根。
○
7若抛物线y=ax 2
+bx+c （a ≠0）经过原点，则一元二次方程ax 2
+bx+c=0必有一根为0。 ○
8若a －b+c=2，则抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）必过一定点。 ○
9若b 2＜3ac ，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴一定没有交点。 ○
10若一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx 2+bx+a 的图象与x 轴必有两个交点。
○
11若b=0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。 点拨：本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。复习时，抓住系数a 、b 、c 对图形的影响的基本特点，提升学生的数形结合能力，抓住抛物线的四点一轴与方程的关系，训练学生对函数、方程的数学思想的运用。
题型2 二次函数的性质
例3 若二次函数24y ax bx =+-的图像开口向上，与x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2x x =-=时，对应的y 1 与y 2的大小关系是（ ） A ．y 1
解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y 随x 的变化规律确定：a>0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a<0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大
解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a ，b 的值 再把横坐标值代入求出y 1 与y 2 的值，进而比较它们的大小
【举一反三】
变式1：已知12(2,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小 变式2：已知12(0,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小
变式3：已知二次函数2y ax bx m =++的图像与22y x x m =-++的图像关于y 轴对称，
12(2,),(3,)q q --是前者图像上的两点，试比较12q q 与的大小
题型3 二次函数图像性质（共存问题、符号问题）
例4、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）
点拨：本题考查函数图象与性质，当0a >时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D 是错的，函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象必过（0，1），所以C 是正确的，故选C ．
例5： 已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，
4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ）
A ．2
B 3
C 、4
D 、5
点拨：本题考查二次函数图像性质，a 的符号由开口方向确定，b 的符号由对称轴和a 共同决定，c 看其与y 轴的交点坐标，a+b+c ，4a －2b+c 看x 取某个特殊值时y 的值可从图像中直观发现
题型4 二次函数的平移
例6将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．22(1)y x =+ B ．22(1)y x =- C ．221y x =+
D ．221y x =-
B ．
C ．
D ．
题型5 二次函数应用销售利润类问题
例7 某商品的进价每件为50元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出70件，市场调查反映：如果每件的售价每涨10元（售价每件不能高于140元），那么每星期少卖5件，设每件涨价x 元（x 为10的正整数倍），每周销售量为y 件 。
⑴ 求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围。
⑵ 如何定价才能使每周的利润最大且每周销量较大？每周的最大利润是多少？ 点拨：销售总利润=销售量×(售价-进价) 本类题主要考查学生用二次函数知识解决实际问题中的最值问题（如最大利润、最大面积、材料最值、时间最少，效率最高等问题），及函数自变量取值对最值的约束等知识。复习时注意，自变量的取值限制条件：如正整数倍，非负整数倍，自然数倍，2的整数倍等条件的限制。
题型6 二次函数与几何图形综合(面积、动点)
例8 已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线x m
=（2m >）与x 轴交于点D ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．
图
2
点拨：本类题主要考察二次函数表达式的求法，二次函数与几何知识的运用。面广，
知识综合性强。复习时要着重深究点、线、面中所包含的隐含条件，要用运动、发展、全面的观点去分析图形，并注意到图形运动过程中的特殊位置。
【基础达标训练】 一、选择题
1. 抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）
A ．（2，3）
B ．（－2，3）
C ．（2，－3）
D ．（－2，－3） 2.二次函数2(1)2y x =++的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ．
2
3
3.抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ）
A ．()m n ，
B ．()m n -，
C ．()m n -，
D ．()m n --，
4.根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴
【 】 x … －
1 0 1
2 …
y …
－1 47- －2
47
- … A ．只有一个交点 B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧 C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧
5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列
结论：
0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的
增大而增
大；④0a b c -+<，其中正确的个数（）
A ．4个
B ．3个 C2个 D ．1个
6. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）
A ．21y y <
B ．21y y =
C ．21y y >
D ．不能确定
7. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数
24y bx b ac =+-与反比例函数a b c
y x ++=在同一坐标系内的图象大致
为（ ）
8.向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2+bx 。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？ (A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。
9. (2009年南充)抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ） A ．1x =
B ．1x =-
C ．3x =-
D ．3x =
10. （2009年遂宁）把二次函数34
12+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式 A.()224
12+--=x y B. ()424
12+-=x y
C.()42412++-=x y
D. 3212
12
+??? ??-=x y
二、填空题
11. 图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是_____________
12. 把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2－3x+5，则a+b+c=__________
13. 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ．
①过点(31)
，； ②当0x >时，y 随x 的增大而减小；
③当自变量的值为2时，函数值小于2．
图6（1） 图6（2）
x
x
x
x
x
14.如图7，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12x 2的图象，C 2是函数y =-12
x 2的图象，则阴影部分的面积是 .
15.抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图8所示，请写出与其
关系式、图象相关的2个正确结论： ， ．（对称轴方程，图象与x 正半轴、y 轴交点坐标例外）
16. 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值 是 cm 2．
17.若抛物线23y ax bx =++与232y x x =-++的两交点关于原点对称，则a b 、分别为 ．
18、二次函数
223y x
=
的图象如图12所示，点0A 位于坐
标原点，
点1A ，2A ，3A ，…， 2008A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…， 2008B 在二次函数
2
23y x
=
位于第一象限的图象上，若△
011A B A ,
△122A B A ，△233A B A ，…，△200720082008A B A
都为等边三角形，则△200720082008A B A 的边长＝ .
三、解答题
19. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =． （1）求一次函数y kx b =+的表达式；
（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为
多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．
20. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x ＜30)。y 值越大，表示接受能力越强。 (1)x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10分时，学生的接受能力是什么？ (3)第几分时，学生的接受能力最强？
21. 如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过矩形ABCD 的两个顶点A 、B ，AB 平行于x 轴，对角线BD 与抛物线交于点P ，点A 的坐标为(0，2)，AB ＝4． (1)求抛物线的解析式；
(2)若S △APO ＝2
3，求矩形ABCD 的面积
22. 抛物线与x 轴交A 、B 两点(A 点在B 点左侧)，直线与抛物线交于A 、C 两
点，其中C 点的横坐标为2.
(1)求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；
(2)P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；
(3)点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由.
【能力提高训练】
23．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为(10)A -，
，(0B ，(00)O ，，将此三角板绕原点O 顺时针旋转90°，得到A B O ''△．
（1）如图，一抛物线经过点A B B '、、，求该抛物线解析式； （2）设点P 是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB '的面积达到最大时点P 的坐标及面积的最大值．
x
图1 图2
24．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象顶点为D ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0)，OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝ 1
3
．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度；
(3)如图2，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，△AGP 的面积最大？求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面
积．
.
25. 为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示． （1）求月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润＝销售额－生产成本－员工工资－其它费用），该公司可安排员工多少人？
（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？
26. 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，已知AD ＝AB ＝3，BC ＝4，动点P 从B
点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．
(1)求NC ，MC 的长(用t 的代数式表示)；
(2)当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形？
(3)是否存在某一时刻，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； (4)探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形？
专题一：二次函数的图象与性质
本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.
考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标
二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a ，2
44ac b a
-）.
例1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x
=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． （1）求m 、c 的值；
（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.
图1
(第25题图)
考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系
抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2b
a
的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.
例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限
考点3.二次函数的平移
当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2
+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2
向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.
例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习一
1.对于抛物线y=13-x 2+103x 16
3
-，下列说法正确的是（ ）
A.开口向下，顶点坐标为（5，3）
B.开口向上，顶点坐标为（5，3）
C.开口向下，顶点坐标为（-5，3）
D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4
D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）
3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.
4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）
专题复习二：二次函数表达式的确定
图2
本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.
考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式
例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2
）与x （单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）．
考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式
1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；
2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）；
3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）.
例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式.
例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标.
专项练习二
1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）
A.y=2a （x-1）
B.y=2a （1-x ）
C.y=a （1-x 2）
D.y=a （1-x ）2
A
B
C D
图1
菜园
墙
2.如图2，在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于
A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，
且tan∠ACO=1
2
，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是．
3.对称轴平行于y轴的抛物线与y轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；
x=-1时y=1，求此抛物线的关系式.
4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)
A-
，，(23)
B-
，，(10)
C-，．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少
．．平移个单位，使得该图象的顶点在原点．
专题三：二次函数与一元二次方程的关系
本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.
考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围
一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况.
例1 根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c,为常数）的一个解x的范围是（）
图2
Ａ．6 6.17
x
<<Ｂ．6.17 6.18
x
<<
Ｃ．6.18 6.19
x
<<Ｄ．6.19 6.20
x
<<
考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、一
个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的
横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
例2 已知二次函数y=-x2+3x+m的部分图象如图1所示，则关于x的一
元二次方程-x2+3x+m=0的解为________.
考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况
当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.
例3 在平面直角坐标系中，抛物线21
y x
=-与x轴的交点的个数是（）
A.3
B.2
C.1
D.0
专项练习三
1.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是________.
2.已知二次函数22
y x x m
=-++的部分图象如图2所示，则关于x的一元二次方程220
x x m
-++=的解为．
3.已知函数2
y ax bx c
=++的图象如图3所示，那么关于x的方
程220
ax bx c
+++=的根的情况是（）
A.无实数根
B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根
D.有两个同号不等实数根
图2
图
1
4. 二次函数2(0)
=++≠的图象如图4所示，根据图象解答
y ax bx c a Array下列问题：
（1）写出方程20
++=的两个根．
ax bx c
（2）写出不等式20
ax bx c
++>的解集．
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
（4）若方程2
ax bx c k
++=有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
专题四：利用二次函数解决实际问题
本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.
解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.
例某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
专题训练四
1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
2.某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；
（2）求支柱EF的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
x
图1
初三.二次函数知识点总结
二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项 系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结：
2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。 总结：
3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k
总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法 如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
二次函数知识点大全
二次函数知识点归纳及提高训练 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0c ,与y 轴交于正半轴；③0二次函数知识点总结及典型题目
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