同余的几个实际应用_曹宏举

圆的基本概念和性质教学设计

圆的基本概念和性质教学设计 教学设计思想 圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的基本概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验；第二课时在第一课时的基础上，掌握垂径定理及其逆定理；第三课时加深学生对弦、弧、圆心角之间关系的认识；第四课时的重点是圆周角，通过圆周角定理及其推理的推理论证，从而把圆周角、圆心角、弧和弦之间的关系展现出来，从而使学生全面了解和掌握圆的基本性质。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。 数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用电子白板教学帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。 教学目标 圆的基本概念和性质总目标： 1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念，理解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系； 2、掌握垂径定理及推论的意义及应用，掌握圆心角与弧、弦关系定理意义及应用，掌握圆周角定理及推论的意义和应用； 3、探索圆周角与圆心角、弧、弦的关系，理解并会证明圆周角定理及其推论，理解圆内接四边形的对角互补。 第一课时教学目标 知识与技能： 1、经历圆的形成过程，理解圆的概念， 2、能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等； 3、认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； 过程与方法： 1、经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念； 2、通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法； 情感态度价值观： 经历探索圆及其有关结论的过程，发展学生的数学观察及思考能力以及问题的提出能力。 教学重难点 重点：（1）了解圆的概念的形成过程；（2）揭示与圆有关的本质属性。 难点：圆的概念的形成过程和圆的定义。 学情分析

余数性质及同余定理(B级) 1

一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）

初等数论 第五章 同余方程

第五章同余方程 本章主要介绍同余方程的基础知识，并介绍几类特殊的同余方程的解法。 第一节同余方程的基本概念 本节要介绍同余方程的基本概念及一次同余方程。 在本章中，总假定m是正整数。 定义1设f(x) = a n x n a1x a0是整系数多项式，称 f(x) 0 (mod m) (1)是关于未知数x的模m的同余方程，简称为模m的同余方程。 若a n≡/0 (mod m)，则称为n次同余方程。 定义2设x0是整数，当x= x0时式(1)成立，则称x0是同余方程(1)的解。凡对于模m同余的解，被视为同一个解。同余方程(1)的解数是指它的关于模m互不同余的所有解的个数，也即在模m的一个完全剩余系中的解的个数。 由定义2，同余方程(1)的解数不超过m。 定理1下面的结论成立： (ⅰ) 设b(x)是整系数多项式，则同余方程(1)与 f(x) b(x) b(x) (mod m) 等价； (ⅱ) 设b是整数，(b, m) = 1，则同余方程(1)与 bf(x) 0 (mod m) 等价； (ⅲ) 设m是素数，f(x) = g(x)h(x)，g(x)与h(x)都是整系数多项式，又设x0是同余方程(1)的解，则x0必是同余方程 g(x) 0 (mod m) 或h(x) 0 (mod m)

的解。 证明 留做习题。 下面，我们来研究一次同余方程的解。 定理2 设a ，b 是整数，a ≡/0 (mod m )。则同余方程 ax b (mod m ) (2) 有解的充要条件是(a , m )b 。若有解，则恰有d = (a , m )个解。 证明 显然，同余方程(2)等价于不定方程 ax my = b ， (3) 因此，第一个结论可由第四章第一节定理1得出。 若同余方程(2)有解x 0，则存在y 0，使得x 0与y 0是方程(3)的解，此时，方程(3)的全部解是 ??? ????-=+=t m a a y y t m a m x x ),(),(00，t Z 。 (4) 由式(4)所确定的x 都满足方程(2)。记d = (a , m )，以及 t = dq r ，q Z ，r = 0, 1, 2, , d 1， 则 x = x 0 qm r d m x r d m +≡0(mod m )，0 r d 1。 容易验证，当r = 0, 1, 2, , d 1时，相应的解 d m d x d m x d m x x )1(20000-+++，，，，Λ 对于模m 是两两不同余的，所以同余方程(2)恰有d 个解。证毕。 在定理的证明中，同时给出了解方程(2)的方法，但是，对于具体的方程(2)，常常可采用不同的方法去解。 例1 设(a , m ) = 1，又设存在整数y ，使得a b ym ，则 x a ym b +(mod m ) 是方程(2)的解。 解 直接验算，有 ax b ym b (mod m )。

圆的基本概念和性质—知识讲解(提高)

圆的基本概念和性质—知识讲解（提高） 【学习目标】 1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性； 2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，?圆的对称性进行计算或证明； 3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯. 【要点梳理】 要点一、圆的定义及性质 1.圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

余数性质及同余定理(B级)

一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 一、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 余数性质及定理 知识框架

数论算法讲义 3章(同余方程)

第 3 章 同余方程 （一） 内容： ● 同余方程概念 ● 解同余方程 ● 解同余方程组 （二） 重点 ● 解同余方程 （三） 应用 ● 密码学，公钥密码学 3.1 基本概念及一次同余方程 (一) 同余方程 （1） 同余方程 【定义3.1.1】（定义1）设m 是一个正整数，f(x)为n 次多项式 ()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ 其中i a 是正整数（n a ≠0（mod m ）），则 f (x)≡0（mod m ） （1） 叫做模m 的（n 次）同余式（或模m 的（n 次）同余方程），n 叫做f(x)的次数，记为deg f 。 （2） 同余方程的解 若整数a 使得 f (a)≡0（mod m ）成立，则a 叫做该同余方程的解。 （3） 同余方程的解数 若a 是同余方程（1）的解，则满足x ≡a （mod m ）的所有整数都是方程（1）的解。即剩余类

a C ＝{x ｜x ∈Z ，x ≡a （mod m ）} 中的每个剩余都是解。故把这些解都看做是相同的，并说剩余类a C 是同余方程(1)的一个解，这个解通常记为 x ≡a （mod m ） 当21,c c 均为同余方程(1)的解，且对模m 不同余时，就称它们是同余方程(2)的不同的解，所有对模m 的两两不同余的解的个数，称为是同余方程（1）的解数，记作()m f T ;。显然 ()m f T ;≤m （4） 同余方程的解法一：穷举法 任意选定模m 的一组完全剩余系，并以其中的每个剩余代入方程（1），在这完全剩余系中解的个数就是解数()m f T ;。 【例1】（例1）可以验证，x ≡2，4（mod 7）是同余方程 15++x x ≡0（mod 7） 的不同的解，故该方程的解数为2。 50＋0＋1＝1≡3 mod 7 51＋1＋1＝3≡3 mod 7 52＋2＋1＝35≡0 mod 7 53＋3＋1＝247≡2 mod 7 54＋4＋1＝1029≡0 mod 7 55＋5＋1＝3131≡2 mod 7 56＋6＋1＝7783≡6 mod 7 【例2】求同余方程122742 -+x x ≡0（mod 15）的解。 （解）取模15的绝对最小完全剩余系：－7，－6，…，－1，0，1，2，…，7，直接计算知x ＝－6，3是解。所以，该同余方程的解是 x ≡－6，3（mod 15）

《数论算法》教案4章(二次同余方程与平方剩余)

第 4 章 二次同余方程与平方剩余 内容 1. 二次同余方程，平方剩余 2. 模为奇素数的平方剩余 3. 勒让德符号、雅可比符号 4. 二次同余方程的求解 要点 二次同余方程有解的判断与求解 4.1 一般二次同余方程 (一) 二次同余方程 2ax ＋bx ＋c ≡0（mod m ），（a 0（mod m ）） （1） (二) 化简 设m ＝k k p p p α ααΛ2121，则方程（1）等价于同余方程 ??? ????≡++≡++≡++） （） （）（k k p c bx ax p c bx ax p c bx ax αααmod 0mod 0mod 0222 1221Λ Λ 问题归结为讨论同余方程 2ax ＋bx ＋c ≡0（mod αp ）， （p a ） （2） (三) 化为标准形式 p ≠2，方程（2）两边同乘以4a ， 422x a ＋4abx ＋4ac ≡0（mod αp ） ()22b ax +≡2b －4ac （mod αp ）

变量代换， y ＝2ax ＋b （3） 有 2y ≡2b －4ac （mod αp ） （4） 当p 为奇素数时，方程（4）与（2）等价。即 ● 两者同时有解或无解；有解时，对（4）的每个解 ()p y y mod 0≡， 通过式（3）（x 的一次同余方程，且（p , 2a ）＝1，所以解数为1）给出（2）的一个解()p x x mod 0≡，由（4）的不同的解给出（2）的不同的解；反之亦然。 ● 两者解数相同。 结论：只须讨论以下同余方程 2x ≡a （mod αp ） （5） 【例】化简方程7x 2＋5x －2≡0（mod 9）为标准形式。 （解）方程两边同乘以4a ＝4×7＝28，得 196x 2＋140x －56≡0（mod 9） 配方 (14x ＋5) 2－25－56≡0（mod 9） 移项 (14x ＋5) 2≡81（mod 9） 变量代换 y ＝14x ＋5 得 y 2≡0（mod 9） （解之得y ＝0, ±3，从而原方程的解为 x ≡114-(y －5)≡15- (y －5) ≡2(y －5)≡2y －10≡2y －1 ≡－7, －1, 5≡－4, －1, 2（mod 9））

1.同余的概念及基本性质

第三章 同余 §1 同余的概念及其基本性质 定义 给定一个正整数m ，若用m 去除两个整数a 和b 所得的余数相同，则称,a b 对模m 同余，记作()mod .a b m ≡若余数不同，则称,a b 对模m 不同余，记作 ()\mod a b m ≡. 甲 ()mod . a a m ≡ （甲：jia 3声调； 乙：yi 3声调； 丙：bing 3声调； 丁：ding 1声调； 戊：wu 声调； 己：ji 3声调； 庚：geng 1声调； 辛: xin 1声调 天； 壬: ren 2声调； 癸: gui 3声调.） 乙 若()mod ,a b m ≡则()mod .b a m ≡ 丙 若()()mod ,mod ,a b m b c m ≡≡则()mod .a c m ≡ 定理1 ()mod |.a b m m a b ≡?- 证 设()mod a b m ≡，则12,,0.a mq r b mq r r m =+=+≤<于是， ()12,|.a b m q q m a b -=-- 反之，设|.m a b -由带余除法，111222,0,,0a mq r r m b mq r r m =+≤<=+≤<，于是， ()()1221. r r m q q a b -=-+- 故，12|m r r -，又因12r r m -<，故()12,mod .r r a b m =≡ 丁 若()()1122mod ,mod ,a b m a b m ≡≡则，()1212mod .a a b b m ±≡± 证 只证“+”的情形.因()()1122mod ,mod a b m a b m ≡≡，故1122,m a b m a b --，于是()()()()11221212|m a b a b a a b b -+-=+-+，所以()1212mod .a a b b m +≡+ 推论 若()mod ,a b c m +≡则()mod .a c b m ≡-

《数论算法》教案5章(二次同余方程与平方剩余)

第5章 二次同余方程与平方剩余 内容 1. 二次同余方程，平方剩余 2. 模为奇素数的平方剩余 3. 勒让德符号、雅可比符号 4. 二次同余方程的求解 要点 二次同余方程有解的判断与求解 5.1 一般二次同余方程 （一） 二次同余方程 2ax ＋bx ＋c ≡0（mod m ），（a 0（mod m ））（1） （二） 化简 设m ＝k k p p p αααΛ2 121，则方程（1）等价于同余方程组 ??? ????≡++≡++≡++） （） （）（k k p c bx ax p c bx ax p c bx ax αααmod 0mod 0mod 0222 1221Λ Λ ?2ax ＋bx ＋c ≡0（mod αp ）， （p a ） （2） （三） 化为标准形式 p ≠2，方程（2）两边同乘以4a ， 422x a ＋4abx ＋4ac ≡0（mod αp ） ()22b ax +≡2b －4ac （mod αp ） 变量代换， y ＝2ax ＋b （3） 有

2y ≡2b －4ac （mod αp ） （4） 当p 为奇素数时，方程（4）与（2）等价。即 ● 两者同时有解或无解；有解时，对（4）的每个解 ()p y y mod 0≡， 通过式（3）（x 的一次同余方程，且（p , 2a ）＝1，所以解数为1）给出（2）的一个解()p x x mod 0≡，由（4）的不同的解给出（2）的不同的解；反之亦然。 ● 两者解数相同。 结论：只须讨论方程2x ≡a （mod αp ） （5） 【例5.1.1】化简方程7x 2＋5x －2≡0（mod 9）为标准形式。 （解）方程两边同乘以4a ＝4×7＝28，得 196x 2＋140x －56≡0（mod 9） 配方 (14x ＋5) 2－25－56≡0（mod 9） 移项 (14x ＋5) 2≡81（mod 9） 变量代换y ＝14x ＋5 得 y 2≡0（mod 9） （解之得y ＝0, ±3，从而原方程的解为 x ≡114-(y －5)≡15- (y －5) ≡2(y －5)≡2y －10≡2y －1 ≡－7, －1, 5≡－4, －1, 2（mod 9）） （四） 平方剩余 【定义5.1.1】设m 是正整数，a 是整数，m a 。若同余方程 2x ≡a （mod m ） （6） 有解，则称a 是模m 的平方剩余（或二次剩余）；若无解，则称a 是模m 的平方非剩余（或二次非剩余）。

圆的基本概念与性质

圆的有关概念和性质 一 本讲学习目标 1、理解圆的概念及性质，能利用圆的概念和性质解决有关问题。 2、理解圆周角和圆心角的关系；能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。 3、了解垂径定理的条件和结论，能用垂径定理解决有关问题。 二 重点难点考点分析 1、运用性质解决有关问题 2、圆周角的转换和计算问题 3、垂径定理在生活中的运用及其计算 三 知识框架 圆的定义 确定一个圆 不在同一直线上的三点点与圆的位置关系 圆的性质 圆周角定理及其推论 垂径定理及其推论距关系定理及其推论圆心角、弦、弧、弦心对称性 四 概念解析 1、 圆的定义，有两种方式： 错误！未找到引用源。在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，一个端点A 随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O 叫做圆心，以O 为圆心的圆记作O ，线段OA 叫做半径； 错误！未找到引用源。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 2、 与圆有关的概念： 错误！未找到引用源。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如图1所示 线段AB ，BC ，AC 都是弦； 错误！未找到引用源。直径：经过圆心的弦叫做直径；如AC 是O 的直径，直径是圆中最长的弦； 错误！未找到引用源。弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简 称弧，如曲线BC,BAC 都是O 中的弧，分别记作BC 和BAC ； 错误！未找到引用源。半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成

两条弧，每条弧都叫做半圆，如AC 是半圆； 错误！未找到引用源。劣弧和优弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像BAC 这样大于 半圆周的圆弧叫做优弧； 错误！未找到引用源。同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆； 错误！未找到引用源。弓形：由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形； 错误！未找到引用源。等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧； 错误！未找到引用源。圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的∠AOB,∠BOC 是圆心角，圆心角的度数：圆心角的读书等于它所对弧的度数；∠ 错误！未找到引用源。 圆周角：定点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；如图1中的∠BAC,∠ACB 都是圆周角。 3、 圆的有关性质 ①圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条。圆是中心对称图形，圆心是对称中心，优势旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合。 错误！未找到引用源。垂径定理 A. 垂直于弦的直径平分这条弦，且评分弦所对的两条弧； B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且评分弦所对的两条弧。如图2 所示。 注意 (1)直径CD ，（2）CD ⊥AB,(3)AM=MB,(4)BD AC =BC ,(5)AD =BD .若 上述5个条件中有2个成立，则另外3个业成立。因此，垂径定理也称五二三定理，即推二知三。（以（1），（3）作条件时，应限制AB 不能为直径）。 错误！未找到引用源。弧，弦，圆心角之间的关系 A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； B. 同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，他们所对应的其余各组量也相等； 错误！未找到引用源。圆周角定理及推论 A.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半； B.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。 五 例题讲解 例1. 如图所示，C 是⊙O 上一点，O 是圆心，若80AOB =∠，求B A ∠+∠ 的值. 例1题图 A B C O

4.1基本概念及一次同余式

1. 同余方程15x ≡12(mod99)关于模99的解是__ x ≡14,47,80(mod99)_。 2. 同余方程12x+7≡0 (mod 29)的解是__ x ≡26 (mod 29)_____. 3. 同余方程41x≡3(mod 61)的解是__ _ . 4. 同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是___ x ≡11(mod 37)______ 5. 同余方程13x ≡5(mod 31)的解是_ x ≡ 29(mod 31)__ 6. 同余方程24x ≡6(mod34)的解是__ x ≡13,30(mod34)__ 7. 同余方程26x+1≡33 (mod 74)的解是__ x ≡24,61 (mod 74)_ 8. 同余方程ax +b ≡0(mod m )有解的充分必要条件是__()b m a ,_ 9. 21x ≡9 (mod 43)的解是_ x ≡25 (mod 43)__ 10. 设同余式()m b ax mod ≡有解()m x x mod 0≡，则其一切解可表示为_ _ . 11. 解同余式()15mod 129≡x 12. 同余式()111mod 1227≡x 关于模11有几个解？（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 13. 同余式3x ≡2(mod20)解的个数是（ B ） A.0 B.1 C.3 D.2 14. 同余式72x ≡27(mod81)的解的个数是_9_个。 15. 同余方程15x ≡12(mod27) 16. 同余方程6x ≡4(mod8)有 个解。 17. 同余式28x ≡21(mod35)解的个数是( B ) A.1 B.7 C.3 D.0 18. 解同余方程：63x ≡27(mod72) 19. 同余方程6x≡7(mod 23)的解是__ _ . 20. 以下同余方程或同余方程组中,无解的是（ B ） A.6x ≡10(mod 22) B.6x ≡10(mod 18) C.???≡≡20) 11(mod x 8) 3(mod x D. ???≡≡9) 7(mod x 12) 1(mod x 21. 同余方程12x ≡8(mod 44)的解是x ≡8,19,30,41(mod 44)____ 22. 同余方程20x ≡14(mod 72)的解是 ___ 23. 下列同余方程无解的是( A ) A.2x ≡3(mod6) B.78x ≡30(mod198) C.8x ≡9(mod11) D.111x ≡75(mod321) 24. 解同余方程 17x+6≡0(mod25) 25. 同余方程3x ≡5(mod16) 的解是___ x ≡7(mod16)____ 26. 同余方程3x ≡5(mod14)的解是_ x ≡11(mod14)的解是__。 27. 同余方程3x ≡5(mod13)的解是__ x ≡6(mod13)_________。 28. 下列同余方程有唯一解的是( C )

线性同余方程组的解

线性同余方程组的解 学生：罗腾，江汉大学数计学院（数学与应用数学系） 指导老师：许璐，江汉大学 摘要 “孙子算经”一书中写于公元前三世纪，这个谜题如下：有堆东西不知道有多少，如果三个三地数，最后余下两个；五个五个的数，最后余下三个；七个七个的数，最后余下二个，问这堆东西共有多少？我们可以把这个问题用数学符号表示成同余式的形式： ()()().7mod 3,5mod 2,3mod 1≡≡≡x x x 定理1 设,,,,,a b c d e f 和m 均为整数，0m >，若(,)1m ?=，其中ad bc ?=-.则 线性同余方程组(mod ) (mod )ax by e m cx dy f m +≡??+≡? ，有唯一一组关于模m 的解为 ()(mod ) ()(mod ) x de bf m y af ce m ?≡?-?? ≡?-??， 其中?是?关于模m 的逆，即1(mod )m ??≡. 证 首先，将同余式(mod )ax by e m +≡两边都乘以d ，将同余式(mod )cx dy f m +≡两边都乘以b ，得到 (mod )(1) (mod )(2)adx bdy de m bcx bdy bf m +≡?? +≡? ()()12-得到 ()()mod ad bc x de bf m -≡- 令ad bc ?=-，则()mod x de bf m ??≡-.下面我们把同余式两边都乘以?，其中 1(mod ) m ??≡ ∴()()mod x de bf m ≡?- 同理，将同余式(mod )ax by e m +≡两边都乘以c ，将同余式(mod )cx dy f m +≡两边

二次互反律

高斯二次互反律 主讲：李宗儒 在正式介绍高斯二次互反律之前，我们先简单的介绍一下同余方程式 同余方程式 给定正整数m 及n 次整系数多项式 1 110 ()...n n n n f x a x a x a x a --=++++ 我们讨论这样的问题：求出所有的整数x ，使同余式 ()0f x ≡ (mod m ) (1) 成立，这就是所谓的解同余方程式。而上式称为模m 的同余方程式。若(1)式在x=c 时同余式成立，称c 是(1)式的解。显然，这时剩余类 c (mod m ) 中的任意整数也都是解，我们把这些解看作是相同的，并说剩余类 c (mod m ) 是(1)中的一个解，我们把它记为 x c ≡ (mod m ) 当12,c c 均为(1)式的解，且模m 不同余，我们就称它是同余方程式(1)的不同解，所有模m 两两不同余的解的个数，称为是同余方程式(1)的解数。 模为质数的二次同余方程 在此节，由于2p =的情形是显然的，所以下面我们假定p 是奇质数。假设p 不整除a ，二次同余方程的一般形式是 2 0a x b x c ++≡ (mo d p ) (2) 但是因为p 不整除a ，所以p 不整除4a ，所以(2)的解跟 ()240a ax bx c ++≡ (mod p ) (3) 的解相同，上式可以改为 ()2 2 24ax b b ac +≡- (mod p) (4) 透过变量变换，我们可以得到下列式子 224y b ac ≡- (mod p ) (5) (4)与(5)是等价的，也就是说，两者同时无解或有解。若有解，对于(5)的每个解 0y y ≡ (mod p )，通过变数变换2y ax b =+(因为这是x 的一次同余方程， (,2)1p a =，所以解数为1)，我们可以解出一个0x x ≡ (mod p )，由以上的讨论可

小学奥数精讲：带余除法(同余式和同余方程)知识点及典型例题

小学奥数精讲：带余除法（同余式和同余方程） 一、基本性质的复习 1、带余数除法算式：a÷b=q……r(a、b、q、r 均为整数) 从中我们应该得到： （1）b>r 除数大于余数 （2）a-r=b×q 被除数减去余数则会出现整除关系， 则带余数问题就可以转化为整数问题。 2、余数的性质： （1）可加性：和的余数等于余数的和。 即：两数和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和。 例：7÷3=2……1 5÷3=1……2， 则（7+5）÷3 的余数就等于（1+2）÷3 的余数0。 （2）可减性：差的余数等于余数的差。 即：两数差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差。 例：17÷3=5……2 5÷3=1……2， 则（17-5）÷3 的余数就等于（2-2）÷3 的余数0。 （3）可乘性：积的余数等于余数的积。 即：两数积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积。 例：64÷7=9……1 45÷7=6……3， 则（64×45）÷3 的余数就等于（1×3）÷7 的余数3。 二、同余式 在生活中，若两个自然数 a 和 b 都除以同一个除数m 时，余数相同该如何表示呢？在代数中我们称之为同余。即：a 与b 同余于模m。意思就是自然数a 和b 关于m 来说是余数相同的。用同余式表达为：a≡b(modm).

注：若a 与b 同余于模m，则a 与b 的差一定被m 整除。（余数的可减性） 三、例题。 例1、当2011 被正整数N 除时，余数为16，请问N 的所有可能值有多少个？ 例2、（1）求多位数1234567891011…20102011除以9的余数？ （2）将1开始到103的连续奇数依次写成一个多位数：a=135791113…9799101103，则数a共有多少位？数a除以9 的余数为几？ （3）一个多位数1234567……979899，问除以11 的余数是多少？ 例3、（1）用一个数除200 余5，除300 余1，除400 余10，求这个数？ （2）甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69 人，85 人、93 人、97 人。现在要把这四个旅行团分别进行分组，使每组有A名游客，以便乘车前往参观游览，已知甲、乙、丙三个旅行团分成每组A人的若干组后，所剩的人数都相同，问丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩几人？

同余的概念与性质

同余的概念与性质 同余：设m 是大于1的正整数，若用m 去除整数b a ,，所得余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ≡，读作a 同余b 模m ；否则称a 与b 关于模m 不同余记作)(mod m b a ≠。 性质1：)(mod m b a ≡的充要条件是Z t mt b a ∈+=,，也即)(|b a m -。 性质2：同余关系满足下列规律： （1）自反律：对任何模m 都有)(mod m a a ≡； （2）对称律：若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡； （3）传递律：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则若)(mod m c a ≡。 性质 3:若,,,2,1),(mod s i m b a i i =≡则 ).(mod ), (mod 21212121m b b b a a a m b b b a a a s s s s ≡+++≡++ 推论： 设k 是整数，n 是正整数， （1）若)(mod m c b a ≡+，则)(mod m b c a -≡。 （2）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a mk a ≡+；)(mod m bk ak ≡；)(mod m b a n n ≡。 性质4：设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ≡，则 ))(mod ()(m b f a f ≡。 性质5：若)(mod m bd ad ≡，且1),(=m d ，则)(mod m b a ≡。 性质6：若)(mod m b a ≡，且m d b d a d |,|,|，则)(mod d m d b d a ≡。

第5讲同余的概念和性质

第5讲同余的概念和性质 解题思路：理解并熟记同余的性质，运用同余性质把数化小、化易。 同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为： a≡b（modm）. 性质1：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。 ★性质2：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。 ★性质3：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。 性质4：若a≡b（mod m），那么a n≡b n（mod m），（其中n为自然数）。 性质5：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。 例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢 例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。 例3 求14389除以7的余数。

例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列 十位，…上的数码，再设M=0a ＋0a ＋…＋n a ，求证：N ≡M （mod 9） 例6 求自然数1002＋1013＋1024的个位数字。 习题 1.验证对于任意整数a 、b ，式子a ≡b （mod1）成立，并说出它的含义。 2.已知自然数a 、b 、c ，其中c ≥3，a 除以c 余1，b 除以c 余2，则ab 除以c 余多少 年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几 4.求＋被7除的余数。

《数论算法》教案 4章(二次同余方程与平方剩余)

第 4 章 二次同余方程与平方剩余 4.1 一般二次同余方程 (一) 二次同余方程 2ax ＋bx ＋c ≡0（mod m ），（a 0（mod m ）） （1） (二) 化简 设m ＝k k p p p α αα 2 121，则方程（1）等价于同余方程 ??? ????≡++≡++≡++） （） （）（k k p c bx ax p c bx ax p c bx ax αααmod 0mod 0mod 0222 1221 问题归结为讨论同余方程 2ax ＋bx ＋c ≡0（mod αp ）， （p a ） （2） (三) 化为标准形式 p ≠2，方程（2）两边同乘以4a ， 422x a ＋4abx ＋4ac ≡0（mod αp ） ()22b ax +≡2b －4ac （mod αp ）

变量代换， y ＝2ax ＋b （3） 有 2y ≡2b －4ac （mod αp ） （4） 当p 为奇素数时，方程（4）与（2）等价。即 ● 两者同时有解或无解；有解时，对（4）的每个解 ()p y y mod 0≡， 通过式（3）（x 的一次同余方程，且（p , 2a ）＝1，所以解数为1）给出（2）的一个解()p x x mod 0≡，由（4）的不同的解给出（2）的不同的解；反之亦然。 ● 两者解数相同。 结论 2x ≡a （mod αp ） （5） 【例】化简方程7x 2＋5x －2≡0（mod 9）为标准形式。 （解）方程两边同乘以4a ＝4×7＝28，得 196x 2＋140x －56≡0（mod 9） 配方 (14x ＋5) 2－25－56≡0（mod 9） 移项 (14x ＋5) 2≡81（mod 9） 变量代换 y ＝14x ＋5 得 y 2≡0（mod 9） （解之得y ＝0, ±3，从而原方程的解为 x ≡114-(y －5)≡15- (y －5) ≡2(y －5)≡2y －10≡2y －1 ≡－7, －1, 5≡－4, －1, 2（mod 9））

初三数学圆的基本概念和性质知识点、

B C 鸣 人 教 育 学 科 教 师 讲 义 【考纲说明】 1、理解圆及其有关概念， 知道圆的对称性，了解弧﹑弦﹑圆心角的关系。 2、了解圆周角与圆心角的关系，了解直径所对的圆周角是直角，会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论。 3、本部分在中考中占5分左右。 【知识梳理】 1.圆的基本概念 定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离 等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ” 2.圆的对称性及特性： (1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. (3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 4.直径：经过圆心的弦叫直径。 注：圆中有无数条直径 5.圆弧： (1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧” 以A,B 两点为端点的弧.记作AB ,读作“弧AB ”.

(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ? (用两个字母). (4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作ACB ? (用三个字母). 6.垂径定理及其推论: （1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧； （2）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 垂径定理归纳为：一条直线，如果具有：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所 对的劣弧。这五条中可以“知二推三” 7.垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 8.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角； 9.圆周角：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角； 10.弦心距：过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离. 11.弧﹑弦﹑圆心角之间的关系 （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,如果有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 12.圆周角定理及其推论 （1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半； （2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。 【经典例题】 【例1】下列判断中正确的是（ ） A. 平分弦的直线垂直于弦 B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【例2】如果两条弦相等，那么（ ） A ．这两条弦所对的弧相等 B ．这两条弦所对的圆心角相等 C ．这两条弦的弦心距相等 D ．以上答案都不对 【例3】如图，已知AB 为⊙O 的直径，∠ E ＝20°，∠DBC ＝50°，则∠CBE ＝______． 【例4】（08山东滨州）如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图