大学高数下册试题及答案,第11章
第十一章无穷级数作业29 方程项级数的概念和性质 1.按估测定义判断下列级数的敛散性,若收敛,并求其和:
(1);
解:因为所以因此由假定可知该级数收敛(2);
解:因为所以,因此由定义可知该级数发散(3);
解:因为所以,因此由定义可知该指数函数收敛(4);
解:因为,依次重复所以,,不存在因此由定义可知该级数发散 2.利用基本性质判别下列级数的敛散性:
(1);
解:观察发现该级数为,是发散的调和级数每项乘以得到的,由级数的基本性质,该级数发散(2);
解:观察寻获该级数为,是收敛的二个等比级数,逐项相加得到的,由级数的基本上性质,该级数收敛(3);
解:观察发现该级数为,是收敛的等比级数与发散的逐项相加的,由连分数的基本性质,该级数发散(4).解:观察发现该级数一般
项为,但由行列式收敛的必要条件,该级数发散作业30 正十项级数及其收敛性 1.用比较判别法(或定理2的推论)判定下列级数的
敛散性:
(1);
解:由于,而是闭合的等比级数从而由比较判别法,该级数收敛(2).解:由于,而是闭合的等比级数从而由比较判别法的极限刑
事法形式,该级数收敛 2.用达朗贝尔判别法判定下列级数的敛散性:(1);
解:由于,从而由达朗贝尔判别法及,该级数收敛(2);
解:由于,从而由达朗贝尔判别法,该级数收敛(3);
解:由于,从而由达朗贝尔判别刑事法,该级数收敛
(4).解:由于,从而由达朗贝尔判别刑事法,该级数收敛 3.用
柯西判别法判定下列级数的敛散性:
(1);
解:由于,从而由柯西解析法,该级数收敛(2).解:由于,从而由柯西解析法,该级数收敛 4.用判别法断定下列级数的敛散性:
(1);
解:由于,而为的发散的有理数,从而由判别法,该级数发散(2).解:由于,而为的发散的有理数,从而由判别法,该级数发
散 5.设为正整数,证明:
(1);
解:对来说,由于,从而由达朗贝尔假定法,该级数收敛再行
由级数收敛的发散必要条件可知(2).解:对来说,由于,从而
由达朗贝尔假定法,该级数收敛再行由级数收敛的发散必要条件可知,从而由无穷大量与量子场论的关系作业31 渐变级数与任意项级数
的收敛性 1.判别下列级数的敛散性;
若收敛,说明是条件收敛还是绝对收敛:
(1);
解:该级数为交错级数,其一般项的自变量为单调减少,且,
从而由莱布尼茨判别法知其收敛再由于,由判别法知发散,从而原
级数不会绝对收敛,只有条件收敛(2);
解:由于,由判别法知,绝对收敛(3);
解:由于不存在,由趋近级数的必要条件,从而该级数发散(4);
解:由于,从而由达朗贝尔判别法,该级数绝对收敛
(5).解:当时显然收敛,否则,当
时由达朗贝尔判别法,从而该级数绝对收敛,其时级数变为发散当
时级数变为有理分式 7.若存在,证明绝对收敛.证明:由已知从
而绝对收敛. 8.若级数绝对收敛,且,试证:级数和都收敛.级数
是否收敛?为什么?证明:若级数绝对收敛,则必收敛,由必要条件由,从而级数和即使有意义,而,从而级数和都收敛。
级数发散,因为,收敛的必要条件不满足。
作业32 幂级数及其求和 1.求下列幂级数的收敛半径和收敛域:
(1);
解:
当时即为条件收敛,从而收敛域为(2);
解:
当时即为,由于从而级数收敛,因此收敛域为(3);
解:当时,当时幂级数即为,由于从而级数弥散当时幂级数即为,由于且从而级数收敛。因此收敛域当时当时,当时即为即为,
由于从而级数弥散,从而当时收敛域为(4);
解:
当时即为条件收敛,从而收敛域为(5);
解:
因此收敛域为(6).解:对于,当时即为有理分式,当时即
为发散,从而现级数的收敛半径为1,收敛域为 2.求上述幂级数的
收敛域回撤及其和函数:
(1);
解:
当时,即为条件收敛,当时即为发散,从而幂级数的收敛闭包为设,则从而故(2);
解:
当时,即为发散,从而幂级数的趋近域为故,(3).解:
从而幂级数的发散域为设,则,,由特征方程,得通解再由得特解(4),并求数项级数的和.解:,当时发散,从而幂级数的发散域为设,则,作业33 函数积极展开成幂级数 1.将下列函数展开成麦克劳林级数(要指出其创设的区间):
(1);
解:
(2);
解:
(3);
解:
(4)(提示:利用);
解:,(5).解:
2.将前述函数展开成的幂级数(要指出其成立山手线):(1);
解:
(2).解:
3.求下列算子的幂级数展开式,并确定其成立各站:(1);
解:
(2).解:
4.展开为的幂级数,并证明:.解:
从而作业34 傅里叶级数 1.下列周期函数的周期为,它在表
达式一个周期上的运算子列举如下,试求的正弦级数展开式.(1);
解:
(2);
解:
(3);
解:
(4).解:
2.将下列函数展开成傅里叶不等式:
(1);
解:
(2);
解:
3.将各函数分别展开成正弦级数和余弦级数:
(1)解:展开成正弦级数,则作奇延拓,展开成余弦级数,则作偶延拓,,(2)解:展开成正弦级数,则作奇延拓,展
开转变成余弦级数则,作偶延拓,,作业35 一般周期函数的傅
里叶不等式 1.设是周期为6的周期函数,它在上的表达式为
试求的傅里叶展开式.解:
2.在指定区间上展开下列函数上用为指数函数级数:
解:取作周期延拖在限定方能,函数为偶函数,故时时
3.将函数数列分别展开成正弦级数和余弦级数.解:展开成正弦
级数,则作奇延拓,展开成余弦级数,则作偶延拓,,
4.试将函数展开成周期为8的正弦级数.解:展开成正弦级数,则
作奇延拓,,第十一章《无穷级数》测试题 1.选择题:(1)对级数,“”是它收敛的 B 条件. A.充分;
B.必要;
C.充要;
D.非充分且非必要.(2)“部分和数列有界”是正项级数收敛的 C 条件. A.充分;
B.必要;
C.充要;
D.非充分且非必要.(3)若级数绝对收敛,则级数必定 A . A.收敛;
B.发散;
C.绝对收敛;
D.条件收敛.(4)若级数条件收敛,则级数必定
B . A.收敛;
B.发散;
C.绝对收敛;
D.条件收敛. 2.用适当的方法判定下列级数的敛散性:
(1);
解:因为从而该正项级数弥散(2);
解:因为从而该正项级数收敛(3);
解:因为从而该正项行列式收敛(4);
解:因为从而该正项有理数收敛(5);
解:因为从而该正项级数发散(6);
解:因为从而该正项级数发散(7);
解:因为从而该正项级数卷曲(8);
解:设,则而,时,从而收敛的必要条件满足。
设,则同理可以推出而的级数收敛,从而原正项级数也收敛(9),其中均为正数,且;
解:用柯西判别法当时发散,当时该正项级数收敛当时不能判别敛散性。
(10).解:由积分中值定理,从而有比较判别法收敛 3.推论下列级数的敛散性;
若收敛,说明是条件收敛还是绝对收敛:
(1);
解:令,则时从而单碟减少,又从而以来布尼茨判别法收敛但是,因此是毛序条件收敛而不能绝对收敛(2);
解:
从而该级数是交错级数,由于单碟减少且从而以来布尼茨判别法
收敛但是,因此是条件收敛而不能绝对收敛(3);
解:因为从而该级数即使收敛(4).解:去掉前面有限项即
当多余大时为交错级数,由于,对足够大点的单碟减少且从而以来
布尼茨判别法收敛但不绝对收敛 4.求下列极限:
(1);
解:由于单调增加且从而因此由夹逼准则(2).解:令,由
于看从而,因此 5.求下列幂级数的收敛倾角半径和收敛概率分布:(1);
解:看,而因一般极限五项极限不为零而发散从而该幂级数的
收敛密度也收敛为,收敛域为(2).解:为收敛半径考虑端点,
当时收敛域为;
当时收敛域为;
当时收敛域为;
6.不求下列幂级数的收敛逻辑系统域及其和函数:
(1);
解:为收敛半径考虑端点则知收敛有界为。
在收敛域内设,则在收敛域内再设,则(2).解:解:为收
敛半径考虑端点则知收敛域为。
在收敛域内设,则 7.将下列函数展开转变成麦克劳林级数(要
分析指出其成立的区间):
(1);
解:由于(2);
解:由于,从而(3).解:由于,从而 8.将下列
函数展开成的成为幂级数(要分析指出其成立区间):
(1);
解:
(2).解:,而从而 9.将下列函数展开成傅里叶级数:
解:该函数为奇函数,延拓自变量为周期的周期函数展开,
当 10.将函数在区间上分别展开成正弦级数和余弦级数.解:该函
数延拓为奇函数,再延拓自变量为周期的周期函数展开得正弦级数,;
该向量延拓为偶函数,再延拓为周期的周期函数展开得余弦级数,;
切入点很棒!
作者的构思挺巧妙!
高等数学(Ⅱ)期末参考答案
一、填空题(每小题3分,共30分)
1.已知a(1,1,2),b(0,1,2),则a b1
i j11
k
2(0,2,1) .
22.点(1,1,1)到平面3x6y2z140的距离为 3.
3.过点(3,0,1)且与平面3x7y5z120平行的平面方程为 3x7y5z40 .
4.已知z f(xy,2x e2y),则
t
4
z x
yf12f2 .
5.曲线x
14
4
13
,y
t
3
3
12
,z
t
2
2
在相应于t1处的法平面方程为
(x)(y
)(z
)0 .
10
y0
6.交换积分dx f(x,y)dy的积分次序为 x dy
223
7.设:z x y
22
(0z1),则zdS
x y1
2
x y
2
22
2dxdy.
8.设向量A(x2yz)i(y2zx)j(z2xy)k,则divA
P x
Q y
R z
9.设函数f(x)以2为周期,且f(x)x(x),其Fourier级数为
a02
n1
(ancosnx bnsinnx),则b2
2
1
xsin2xdx 1 .
10.函数f(x)
12x
的麦克劳林级数为
2
(1)2
n
n
x .
n
n0
二、(8分)求函数f(x,y)x xy y x y1的极值,并指出是极大值还是极小值.解:fx(x,y)2x y1,fy(x,y)2y x1,
2
2fx(x,y)02x y10令,得驻点(1,1).由于 , 即
f(x,y)02y x10y
A fxx(x,y)2,
B fxy(x,y)1,
C fyy(x,y)2,
且
(B AC)x112230,A20,
y1
则(1,1)为极小值点,极小值为
f(1,1) 2.
三、(8分)求级数(n1)xn的收敛域及它的和函数.
n0
解:由于 lim|
n
an1an
|lim|
n
nn1
|1,则R1,当x1时,级数(n1)(1)n均 n0
发散,所以收敛域为(1,1).设
s(x)
(n1)x
n0
n
,
则
于是
x0
s(t)dt
[(n1)tdt]
n0
x
n
n0
x
n1
x1x
,
d x1x s(t).s(t)dt20dx(1x)1x
四、(8分)计算(5x43xy
L
y)dx(3xy3xy
322
其中L是抛物线y x y)dy,
22
上自点(0,0)到点(1,1)的一段弧.
解:P(x,y)5x3xy
y,Q(x,y)3xy3xy
322
y在xoy面偏导数连续,
且
P y
Q x
6xy3y,
则曲线积分与路径无关,取折线段(0,0)(1,0)(1,1),则
L
(5x3xy
42
y)dx(3xy3xy
32
2y)dy
10
(5x3x00)dx321
13)
116
10
222
(31y31y y)dy
1(.
(z x)dzdx(x y)dxdy,其中是由
五、(8分)计算曲面积分I
x(y z)dydz
柱面x2y21,平面z0,z3燕易王立体表面的外侧.
解:P(x,y,z)x(y z),Q(x,y,z)z x,R(x,y,z)x y在柱面x2y21,平面z0,z3所围立体上偏导数连续,则由高斯公式有
I
x(y z)dydz
(z x)dzdx(x y)dxdy
R z
(