大学课件清华大学材料科学基础作业习题第一章.docx

第一章目录

1.1 要点扫描 (1)

1.1.1晶体材料的结合键 (1)

1.1.2空间点阵和晶胞 (4)

1.1.3常见纯金属（FCC、BCC、HCP）的晶体结构 (6)

1-1-4晶面指数和晶向指数及其标注 (10)

1.1.5 标准投影 (14)

1.1.6倒易点阵和晶体学公式 (16)

1.1.7合金相结构 (21)

1.1.8离子晶休结构 (23)

1.1.9共价晶体结构 (27)

1.2难点释疑 (27)

1.2.1 7大晶系包含的点阵类型为什么不是28种，而是14种？ (27)

1.2.2为什么没有底心正方和面心正方点阵？ (28)

1.2.3确定晶面指数时应注意哪些问题？ (28)

1.2.4立方晶系中重要晶面上的晶体排列及面密度 (29)

1.2.5立方晶系中重要方向上的晶体排列及线密度 (29)

1.3 解题示范 (30)

1.4 习题训练 (39)

参考答案 (43)

第一章晶体结构

1.1要点扫描

1.1.1晶体材料的结合键

1. 原子结构

原子是由原子中心带正电的原子核和核外绕核高速旋转的带负电的电子所构成。

元素的原子序数等于原子核中的质子数或核外电子数。每种元素均与一定的原子序数相对应。所有元素按照原子序数由小到大排列在元素周期表中，如表1-1所示。

精系

钢系

2. 原子半径

如表1-2所示，列出了元素的原子半径。可以看出，元素的原子半径呈周 期性变化。 同一族中，从上到下过渡时，虽然核电荷增加了，但内层的屏蔽效应也增 加了。由于电子层的增加，主族元素原子半径递增显著，副族元素原子半径递 增不显著。

原子半径小，核电荷对外层电子的吸引力强，元素的原子就难于失去电子 而易与电子结合，非金属性就强。反之，原子半径大，核电荷对外层电子吸引 力弱，元素的原子就易于失去电子，金属性就强。

表1-2原子半径

He o 0X)5

3. 元素的电负性

电负性是指元素的原子在分子中吸收电子的能力。以氟原子的电负性为 4.0,比较各元素原子吸引电子的能力，得到其他元素的相对电负性，如表1-3 所示。元素的电负性数值越大，表示原子在分子中吸引电子的能力越强，即非 金属性越强。

可以看出：在周期表中毎一周期元素从左到右的有效核电荷逐渐增大，原 子半径逐渐减小，

0208 U

O 0.167

our <).060

one** 0.031

0.192

0.160

0Na + OMg2+ 0,095 0.065

? @

?

0.238 _ 0,197

0.160 o,]33

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... O O O 027。

厂叫7显1採

0144

O? Q ??>+

0.169

0.136

Tl o 0.147

Zr

o

0.136

Nb o 0447

Ta

o 0.U3

Cr o

0.128 Mo o 0.140 W

o 0.141 Mn o

0.118 Tc

o 0,127 Rc

o 0 138 o

0124 Ru

o

0.126 Chi

o

0 135

Co o

0.125

Rh

o 0.134 lr Q

0.135

O? ?C ON 0.007 0 077

0.071

Al

o 0.143

Ga o 0135

In

o 0.144

Si

o 0J17

Ge

o

0 13H

Sn o 015A Ni Cu Zn

000

0.125 0.128 0.137

Pd Ag Cd o o o 0.137 0.144 0.148 Pt Au Hg

@ ? ? ? ? 0,39

0,55

0171

0.175

0182

Q 0.12a

Sb

o 0.138

OO

0F

NeG

0.040

OJ071

0.160 G)冈

F-

0.140

0.136

a

O O

Ar O

0.104^ 0.099— 0.182

I 1

o 0.110

2轡 ?Cl

0.184 0.181

Se Br

Kr

0.198 0.19&

? ? ?

0.143

0.136

0218

0.040

4. 原子间的键合

使不同的原子、离子或分子相互结合在一起的作用力称为结合键。结合键一般可分为一次键和二次键两种。

①一次键：

＞离子键

正电性元素原子失去外层价电子变成带正电荷的正离子，负电性元素原子获得电子变成带负电荷的负离子，两者之间靠静电引力相互吸引，形成稳定的离子键。

离子键晶体的特点是：硬度高，强度大，脆性大，热膨胀系数小。

＞共价键

原子之间以共用电子对的形式形成稳定结构，这种由共用电子对所产生的结合键叫做共价键。

共价晶体的特点是：强度高，硬度高，脆性大，熔、沸点高，挥发性低。

＞金属键

周期表中I、II、III族元素的原子很容易失去其外层的价电子形成正离子, 这些失去的价电子被全体原子公共占有，在正离子之间自由运动，称为电子气。正离子和电子气之间通过强烈的静电吸引力结合在一起，这种结合力就叫做金属键。金属键没有方向性。

金属材料的特点是：有良好的导热性、导电性和塑性变形能力，强韧性高。

②二次键

原子或分子之间依靠范德华力结合在一起，这种结合方式叫做分子键。

通过分子键结合的材料的特点是：熔点低、硬度低，有良好的绝缘性。

5. 高分子链

高分子材料由大量相对分子质量很大的化合物组成，其所包含的结构单元可能不止一种，每种结构单元又具有不同的构形。由一种或多种简单低分子化合物通过共价键重复连接而成的链称为分子链。大分子链中的重复结构单元称为链节，链节的重复次数称为聚合度。

1.1.2空间点阵和晶胞

1. 空间点阵

代表晶体中原子、原子团或分子分布规律（周期性）的几何点的集合称为空间点阵。其中的几何点一般叫做结点（或阵点）。每个结点周围的环境都是相同的，即结点都是等同点。空间点阵利用这些周期性排列的结点描述了晶体中原子的排布规律。用假想的直线将这些结点连接起来，所构成的几何框架称为晶格。晶格的最小重复单元（平行六面体）称为晶胞（unit cell）o每个晶格的三条棱和三个夹角叫做晶格的晶格（点阵）常数，并以此刻画晶胞（从而是晶格）的大小和形状特点，如图1-1所示。

图1-1晶格常数

2. 晶系和点阵类型

根据晶体的晶格常数，可以将晶体分为7大晶系，如表1-2所示。7大晶系共有14种点阵类型，如表1-3所示。

3. 布拉菲点阵和复式点阵

由等同点构成的点阵叫做布拉菲点阵。但布拉菲点阵的结点反映的是晶体中原子或原子集团的分布规律，结点本身并不一定代表原子，即点阵和晶休结构并不一定相同。

有吋也把实际晶体结构看成是一个点阵，但不是单一的布拉维点阵，而是由几个布拉维点阵穿插而成的复杂点阵，称为复式点阵。

4. 晶胞和原胞

晶格中能反映该晶格特征的最小重复单元称为晶胞。

选择晶胞时应遵循以下条件：

①完全反应点阵的对称性；

②体积尽可能小（但不一定是最小）。

体积最小，仅含一个结点的结构单元叫做原胞。由于原胞的选取只需遵循体积最小的原则，因此，通过原胞往往不易看出晶体的对称性。

1.1.3常见纯金属（FCC, BCC、HCP）的晶体结构

1. 晶体结构

FCC （面心立方）：

贵金属、Cu 、Al 、Ni 、丫-Fe 等；

BCC （体心立方）：

碱金属、难熔金属（V 、Nb 、Cr 、Mo 、Ta 、W 等）、a-Fe 等；

HCP （密排六方）: Zn(c/a=1.86)、Cd (1.89)、Co 、Mg (1.62)、Be (1.59)、

Ti 、Zr 、Hf(1.59)、石墨(2.6)等。

2.几何特性

? 每个晶胞中的原子数;

? 配位数（C.N.）：毎一个原子周围最近邻的原子数;

Z 间的关系。

3.间隙

两种主要间隙——四面体间隙；八面休间隙。

堆垛密度（§）：

晶胞中原子占扌居的体积

一个晶胞的体积

如表1-4所示，为立方晶系中, 各晶休的几何特性及点阵常数和原子半径

若在晶胞的空隙中放入刚性球, 则能放入的球的最大半径为间隙半径。

四面体间隙包括： ? BCC 中的四面体间隙，如图1-2所示。 ?

FCC 中的四面体间隙，如图1-3所示。

八面体间隙包括： ? BCC 中的八面体间隙，如图1-5所示。 ?

FCC 中的八面体间隙，如图1-6

所示。

HCP 中的四面体间隙，如图1-4所示。

图1-2 BCC 中的四面体间隙 图1-3 FCC 中的四面体间隙

? HCP 中的八面体间隙，如图1-7所示。

立方晶系中堆跺密度和间隙数等属性见表l-5o

n CN

§

interstices

d'J d (j oct.

tete. oct. tete. BCC 2 8 0.68 6 6/2=3 12 12/2=6 0.15 0.29 FCC 4 12 0.74 4 4/4=1 8

8/4=2

0.41 0.22 HCP

6

12

0.74

6

6/6=1

12 12/6=2

0.41

0.22

图1-7 HCP 中的八面体间隙

4.堆垛次序

在钢球模型的基础上，晶体可以看成是由某些晶面(或层)在空间按一定 次序一个挨一个堆垛而成。该次序就称为堆垛次序。

对简单立方晶体来说，｛100｝面的堆垛次序为AAA ……；｛110｝面的堆垛次 序为ABAB 。如图1-8所示。

1.1.4晶面指数和晶向指数及其标注

1. 晶面指数

晶体内的原子层面叫做晶体的晶面。 确定晶面指数的步骤：

① 建立一个空间直角坐标系，坐标轴分别为a, b, c ； ② 求出晶面在三个坐标轴上的截距x, y, z ； ③ 对所求截距取倒数得1/x, My, 1/z ；

④ 将它们按比例化成三个最小的整数％, k, /； ⑤ 再将它们放在…个圆括号中即得该晶面的晶面指数

用三指数表示的晶面指数又叫米勒指数(Miller indices)。

对于高对称性的晶体来说，结晶学上等价的面具有相同的指数，这些结晶 学

上的等价面就构成一个晶面族。

例如，立方晶系中:

⑴0)方向

[——?

(010)面按AAA ?…的顺序堆垛而成

{110} =（no）+（T io）+（ioi）+（ioT）+ （oil） +（oT 1）

2. 晶向指数

就晶向指数的含义来说，一个晶向的指数就是其方向余弦数。常用的标定晶向指数的方法一般有两种，分别是坐标法和行走法。

用坐标法确定晶向指数的步骤：

①建立一个空间直角坐标系，并将坐标原点设在待测晶向上；

②在该待测晶向上找到另一点，并求出该点的坐标；

③将坐标数按比例化为最小的整数，放在一个方括号中，就得到该晶向的

晶向指数。

用行走法确定晶向指数的步骤：

①建立一个空间直角坐标系，并将坐标原点设在待测晶向上；

②从原点出发，分别延各坐标轴方向行走，最后落在待测晶向上的另一

点；

③将延三个坐标轴方向行走的距离化为最小的整数，放在方括号中，就得

的该晶向的晶向指数。

对于高对称性的晶体来说，晶体学上等价的晶向具有相似的晶向指数。这些等价的晶向构成的集合，称为晶向族<"VW>。

例如，<100 >= [1 oo]+[oio]+[ooi]+[Too]+[oTo]+[ooT]o

立方晶系中的一些重要晶向：

<100> :轴向

<110> :面对角线

<111>:体对角线

<112>:顶点到面心方向

在立方晶系中，如果一个晶面指数与一个晶向指数数值相等，符号相同，则该晶面与晶向互相垂直。

3. 六方指数

我们发现在使用三指数来表示六方晶胞的晶面时，晶体学上等价面的晶面指数不同。例如图1-9中的A面和B面是?对等价面，但是使用三指数方式标定时，所得的晶面指数不相同，分别为(100)和(lTO)o

图1-9三指数标定六方晶胞

为解决该问题，我们对六方晶胞选择了鬲、乞、鬲、0四个坐标轴，并使為=-(?! +52),如图1-10所示。由此得到的六方晶系晶面指数的一般形式为(Mil),其中i=-(h+k)o

在使用四指数标定六方晶胞的晶向指数时，使用行走法获得的同一晶向的晶向指数不唯…。如图1-11所示，鬲晶向使用行走法所得到的晶向指数可以是［1000］也可以是［2110］o所以，为保证晶向指数的唯一性，对于晶向指数［"Ww］添加了t=-(ii+v)的条件。由此得到鬲晶向的晶向指数应为［2ll0］o

图1-11行走法标定六方晶胞的晶向指数

4. 指数换算

在六方晶系中确定任意晶向的晶向指数，一般使用三指数推导到四指数的方法。推导过程如下：

?/ ua x + va2 + 心+wc = Ua r + Va2 + Wc

a3 = —(a〔 + a2 X t = _(" + v)

U = 2u + v V = 2v + u W = w

r ? = l/3(2t/-K)

v = l/3(2K-t/)

或'

、t= _(“ + v)

例如

(J

3

1

[100] : J 3 n [2110]

1

t = -------

3

< w = 0

1.1.5标准投影

描述晶体取向的方法有两种，一种是用晶面和晶向指数表示；另一种就是用晶体投影图。所谓晶体投影就是按一定规则表示各晶面或晶向分布的图形。

1. 极射投影原理

极射投影的原理如图1-12所示。光源S位于球面上的南极点。投影面垂直于南极与北极的连线SN, SN与投影面的交点就是极射投影中心O。

图1-12极射投影的原理

极射投影的主要性质如下：

①平行于投影面的大圆，其极射投影是一个圆，圆心就是极射投影中心O'.这

个大圆称为基圆。

②平行于投影面的晶向或晶面法线，其极射投影必在基圆上，且有两个点（位

于基圆的某一直径的两端）。

③只有半个球（图1-12中的北半球）上极点的极射投影位于基圆内；另半

个球（南半球）上极点的投影则位于基圆外。由于任意晶向或晶面法线与

球面的交点有两个，如一个在南半球上，另一个必在北半球上, 因此，只

需要将北半球上所有极点投影即可，而不需要基圆外的投影。

个别时候需要南半球的投影，则将光源放置在N点。

④球面上大圆的极射投影是一段通过基圆某直径两端的圆弧。在特殊情况下

也可以是一条直径线(大圆垂直于投影面)或是基圆(大圆平行于投影面)。

⑤球面上小圆的极射投影也是小圆，它不通过直径的两端，且圆心并不和圆

周上各点等距离。

⑥球面上两极点间的角度是用这两点之间的大圆弧度来度量，因此，在极射

投影图上两极点间的角度也要用这两点之间的大圆弧度来度量。

⑦当晶体绕定轴旋转时，由于极点在球面上的轨迹是小圆，因此，它在极射

投影上的轨迹也是小圆。在旋转过程中任何极点间的夹角是不变的。

2. 标准投影

所谓标准投影是指投影面为低指数的重要晶面或投影中心为低指数的重要晶向的极射投影。前者称为晶面标准投影，后者称为晶向标准投影。因此，(力k /) 标准投影的投影面就是(hkl)；［uvw］标准投影的投影中心就是［uvw］方向。如图1-13是立方晶体的(001)标准投影。图中标出了x=z、和y=z的线。

图1-13立方晶体的(001)标准投影

标准投影有以下儿个特点：

A 对于立方晶系，相同指数的晶面和晶向是相互垂直的，所以标准投影图中的

极点既代表了晶面又代表了晶向；

> 只表示角度关系，与大小无关；

A 同一晶带各晶面的法线在同一平面上，因此，同一晶带的各晶面的极点一定

位于参考球的同一大圆上；

A 晶带上取两个方向做叉积，可求出法线一一晶带轴；

1.1.6倒易点阵和晶体学公式

所谓倒易点阵是一个新点阵，该点阵的每一个结点都对应着正点阵（即实际点阵）中的一定晶面，即不仅反映该晶面的取向，而且还反应晶面距。具体来说，从新点阵的原点。至任一结点P（h,k,/）的矢量OP正好沿正点阵中（.hkl）的法线方向，而0P的长度就等于晶面距的倒数，即\OP\ = l/d（hklV这样的新点阵就叫倒易点阵。

只要有了正点阵，就可以作出倒易点阵。首先根据正点阵的基矢a, 0和c 求出倒易点阵的基矢a*, b*和c*。然后，对于■切允许的整数％, k, I,作出向量（加*+好* + /卢），这些向量的终点就是倒易点阵的结点，结点的集合就构成倒易点阵。

根据倒易点阵的要求，可以确定倒易基矢如下：

*bxc bxc

a = ------------- = --------

a?bxc V

丁 * cxa cxa

b = ------------- = -------- >

b-cxa V

*axb axb

c = ------------- = --------

c-axb V ‘

式中/为晶胞（或原胞）的体积。

1. 倒易点阵的基本性质

倒易点阵的基本性质有以下几点:

①正点阵和倒易点阵的同名基矢的点积为1,不同名基矢的点积为零,

即：

②正点阵晶胞（或原胞）体积y与倒易点阵晶胞（或原胞）体积7*成倒

数关系。

③正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易。

④任意倒易矢量g=ha*+^*+/c*必然垂直于正点阵中的（.hkD面。

⑤|g| = i/“阳）

2. 实际晶体的倒易点阵

（1）简单立方点阵

倒易基矢为：

可见，a* II a, b* \\b, c* II c；长度恰为倒数。

1

Q*=b*=C*= —

a

所以，简单立方晶体的倒易点阵仍为简单立方，晶胞边长为丄。

a （2）体心立方点阵

正点阵的基矢仍取立方晶胞的三条正交棱a, b, c-,倒易基矢如上所述。

但由于体心原子]的存在，只有满足下述条件的倒易结点才能

出现：

h k 1

------------ =n

2

可以看出，Zk+D必须为偶数。因此，BCC的倒易点阵中没有（1,0,0）、

（3,0,0）、（5,0,0）等结点，但（1,1,0）、（2,0,0）、（3,1,0）等各点均存在。如果画出倒易点阵在（001）面上的投影，则可以从倒易结点投影图中看出，BCC的倒易点阵是一个立方晶胞的边长为2/a的FCC点阵。

（3）面心立方点阵

与体心立方点阵相似，可以证明，FCC点阵的倒易点阵是一个体心立方点阵，其立方晶胞的边长为2/a。

（4）简单六方点阵

六方点阵的倒易基矢为：

*_bxc _ 2（b xc）

°=_F=

A* _ ex a _ 2（cx a）

=_r=vs?? ‘

*_ axb _ 2（ax b）

V y[3a2c .

由此可见，a*, b*轴均在基面（0001）上，模为：

且有c*丄a*, c*丄b*

对于简单立方点阵来说，由于原胞中只有个原子（0,0,0）,故对任何组

值，均可作出相应的倒易结点w从作出的倒易点阵图可以看出，简单六方点阵的倒易点阵仍然是简单六方点阵。

(5)密排六方结构

密排六方结构的倒易基矢和简单六方一样。但是由于密排六方的晶胞内有

(211、2 1 1

-附加的原子，其坐标为￡ J故只有满足方程丁+ §七一的

(W)结点才存在，其它结点应消失。但这样?来，各结点就不再是等同点了，密排