当前位置：搜档网 › (完整word版)二次函数练习题及答案

(完整word版)二次函数练习题及答案

二次函数练习题及答案

一、选择题

1．将抛物线23y x =先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（）

A ．23(2)1y x =++

B ．23(2)1y x =+-

C ．23(2)1y x =-+

D ．23(2)1y x =--

2．将抛物线22+=x y 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是………………（）Ａ．32+=x y ；

Ｂ．12+=x y ；Ｃ．2)1(2++=x y ；

Ｄ．2)1(2+-=x y ． 3．将抛物线y= （x -1）2 +3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线

的解析式为（）

A ．y=（x -2）2

B ．y=（x -2）2+6

C ．y=x 2+6

D ．y=x 2

4．由二次函数1)3(22

+-=x y ，可知（）

A ．其图象的开口向下

B ．其图象的对称轴为直线3x =-

C ．其最小值为1

D ．当x<3时，y 随x 的增大而增大

5．如图，抛物线的顶点P 的坐标是（1，﹣3），则此抛物线对应的二次函数有（）

A ．最大值1

B ．最小值﹣3

C ．最大值﹣3

D ．最小值1

6．把函数()y f x ==246x x -+的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是（）

A ．2(3)3y x =-+

B ．2(3)1y x =-+

C ．2

(1)3y x =-+

D ．2(1)1y x =-+

7．抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则b 、c 的值为

A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2

c bx x y ++=2322--=x x y

二、填空题

8．二次函数y=－2（x －5）2＋3的顶点坐标是．

9．已知二次函数2y x bx c =-++中函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示，点11(,)A x y 、22(,)B x y 在函数图象上，当1201,23x x <<<<时，则1y 2y （填“>”或“<”）．

10．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，

所得抛物线的解析式为．

11．求二次函数2245y x x =--的顶点坐标(＿＿＿)对称轴＿＿＿＿。

12．已知(－2,y 1),(－1,y 2),(2,y 3)是二次函数y=x 2－4x+m 上的点,

则y 1,y 2,y 3从小到大用 “<”排列是 __________ .

13．（2011?攀枝花）在同一平面内下列4个函数；①y=2（x+1）2﹣1；②y=2x 2+3；③y=﹣2x 2﹣1；④的图象不可能由函数y=2x 2+1的图象通过平移变换得到

的函数是．（把你认为正确的序号都填写在横线上）

14．已知抛物线

，它的图像在对称轴 ▲ （填“左侧”或“右侧”）

的部分是下降的

15．x 人去旅游共需支出y 元，若x,y 之间满足关系式y=2x2 - 20x + 1050,则当人数为_____时总支出最少。

16．若抛物线y=x 2﹣4x+k 的顶点的纵坐标为n ，则k ﹣n 的值为 _________ ．

17．若二次函数y=（x-m ）2-1，当x<1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是______

三、解答题

18．已知二次函数

. （1）求二次函数

的图象与两个坐标轴的交点坐标；（2）在坐标平面上，横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点. 直接写出二次函

数

的图象与轴所围成的封闭图形内部及边界上的整点的个数． 122-+-=x x y 2286y x x =-+-2286y x x =-+-(,)x y 2286y x x =-+-x

19．（8分）张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．

（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）

（2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．

20．如图，矩形ABCD 中，AB=16cm ，AD=4cm ，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，点P 在边AB 上沿AB 方向以2cm/s 的速度匀速运动，点Q 在边BC 上沿BC 方向以1cm/s 的速度匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为x 秒，△PBQ

的面积为y （cm 2）.

（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；

（2）求△PBQ 的面积的最大值.

21．如图，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．

（1）求与轴的另一个交点D 的坐标；

（2）如果恰好为的直径，且

的面积等于，求和的值．

22．已知关于x 的方程mx 2

+(3m+1)x+3=0（m ≠0）．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值；

（3）在（2）的条件下，将关于x 的二次函数y= mx 2+(3m+1)x+3的图象在x 轴下方的

部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．

2)(m k m x y -++=x 1(0)A x ，2(0)B x ，y C ABC △P P ⊙y AB P ⊙ABC △5m k

23．已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，-1），点P 是抛物线y=14

x 2上的一个动点．

（1）求证：以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线y=-1的相切；

（2）设直线PM 与抛物线y=14

x 2的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：∠PNM=∠QNM ．

24．研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x （吨）时，所需的全部费用y （万元）与x 满足关系式y=110

x 2+5x+90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p 甲、p 乙（万元）均与x 满足一次函数关系．（注：年利润=年销售额-全部费用）

（1）成果表明，在甲地生产并销售x 吨时，p 甲=-120

x+14，请你用含x 的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润W 甲（万元）与x 之间的函数关系式；

（2）成果表明，在乙地生产并销售x 吨时，p 乙=-110

x+n （n 为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n 的值；

（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1）、（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得最大的年利润？

25．（12分）已知抛物线2

y x bx c =++经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C ，该抛物线的顶点为点D ．

（1）求该抛物线的解析式及点D 的坐标；

（2）连接AC ，CD ，BD ，BC ，设△AOC ，△BOC ，△BCD 的面积分别为1S ，2S 和3S ，用等式表示1S ，2S 、3S 之间的数量关系，并说明理由；

（3）点M 是线段AB 上一动点（不包括点A 和点B ），过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，连接MC ，是否存在点M 使∠AMN=∠ACM ？若存在，求出点M 的坐标和此时刻直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由．

26．如图，抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （﹣2，1），交y 轴于点M ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE 垂直x 轴于点E ，交线段AM 于点F ，求线段DF 长度的最大值，并求此时点D 的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点P ，作PN 垂直x 轴于点N ，使得以点P 、A 、N 为顶点的三角形与△MAO 相似？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△AOB 的斜边OB 在x 轴上，顶点A 的坐标为

(3，3)，AD 为斜边上的高．抛物线y ＝ax 2＋2x 与直线y

＝ 1 2

x 交于点O 、C ，点C 的横坐标为6．点P 在x 轴的正半轴上，过点P 作PE∥y 轴，交射线OA 于点E ．设点P 的横坐标为m ，以A 、B 、D 、E 为顶点的四边形的面积为S ．

27．求OA 所在直线的解析式 28．求a 的值

29．当m≠3时，求S 与m 的函数关系式．

30．如图②，设直线PE 交射线OC 于点R ，交抛物线于点Q ．以RQ 为一边，在RQ 的右

侧作矩形RQMN ，其中RN ＝ 3 2

．直接写出矩形RQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形时m 的取值范围．

O A

A B B C C P D

Q P D N M R E y

y x x 图①

图②

参考答案

【答案】B

【解析】分析：根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．

解答：解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x 2先向左平移2个单位可得到抛物线

y=3（x+2）2；

由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3（x+2）2先向下平移1个单位可得到抛物线y=3

（x+2）2-1．

故选B ．

点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

2．D

【解析】此题考查抛物线的上下左右平移问题；

0||220||()k k k k y ax y a x k >

；

0||220||h h h h h y ax y ax >

所以将抛物线22+=x y 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是2(1)2y x =-+，选D 3．D.

【解析】

试题分析：将y=（x-1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y=x 2+3；

再向下平移3个单位为：y=x 2．

故选D.

考点：二次函数图象与几何变换．

4．C ．

【解析】

试题分析：由二次函数1)3(22

+-=x y ，可知：

A ．∵a ＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；

B ．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；

C ．其最小值为1，故此选项正确；

D ．当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，故此选项错误．

故选C ．

考点：二次函数的性质．

5．B

【解析】

试题分析：因为抛物线开口向上，顶点P 的坐标是（1，﹣3），所以二次函数有最小值是﹣3．故选B ．

考点：二次函数的性质

6．C ．

【解析】

试题分析：抛物线2246(2)2y x x x =-+=-+的顶点坐标为（2，2），把点（2，2）向左平移1个单位，向上平移1个单位得到对应点的坐标为（1，3），所以平移后的新图象的函

数表达式为2

(1)3y x =-+．故选C ．

考点：二次函数图象与几何变换．

7．

【解析】方法1，由平移的可逆性可知将，的图像向左平移2个单位再向上平移3个单位，所得图像为抛物线的图像，又的

顶点坐标（1，-4）向左平移2个单位再向上平移3个单位，得到（-1，-1），∴22(1)12x x x =+-=+，即b=2,c=0; 方法2，的顶点（-2b ，2

44c b -）向右平移2个单位再向下平移3个单位，得的顶点（1，-4）即-2

b +2=1∴b=2, 2

c b -=-4,∴c=0,故选B 8．(5,3)..

【解析】

试题分析：因为顶点式y=a （x ﹣h ）2+k,其顶点坐标是（h,k ）,对照求二次函数y=－2（x －

5）2＋3的顶点坐标(5,3).

故答案是(5,3)．

考点：二次函数的顶点坐标.

9．（小于）

【解析】

试题分析：代入点（0，-1）（1,2）（2,3）有2

1,112441c b b y x x =--+-=?=?=-+- ()()2

224144323y x x x x x =-+-=--++=--+，因为在0到1递增，所以y1的最大值是2，y2的最小值是2，所以小于

考点：二次函数解析式

点评：本题属于对二次函数的解析式的顶点式的求法和递增、递减规律的考查

10．223y x x =-++（顶点式为2(1)4y x =--+）．

【解析】

试题分析： ∵2223(1)2y x x x =++=++，∴顶点坐标为（﹣1，2），当x=0时，y=3，

∴与y 轴的交点坐标为（0，3），∴旋转180°后的对应顶点的坐标为（1，4），∴旋转后的

抛物线解析式为22(1)423y x x x =--+=-++，即223y x x =-++．

考点：二次函数图象与几何变换．

322--=x x y c bx x y ++=2322--=x x y c bx x y ++=2c bx x y ++=2

322--=x x y

11．

【解析】先把y=2x2-4x-5进行配方得到抛物线的顶点式y=2（x-1）2-7，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标和对称轴．

解：∵y=2x2-4x-5

=2（x2-2x+1）-5

=2（x-1）2-7，

∴二次函数y=2x2-4x-5的顶点坐标为（1，-7），对称轴为x=1，

故答案为（1，-7），x=1．

12．y3< y2

【解析】由于点的坐标符合函数解析式，将点的坐标代入直接计算即可．

解：将（-2，y1），（-1，y2），（2，y3）分别代入二次函数y=x2-4x+m得，

y1=（-2）2-4×（-2）+m=12+m，

y2=（-1）2-4×（-1）+m=5+m，

y3=22-4×2+m=-4+m，

∵12＞5＞-4，

∴12+m＞5+m＞-4+m，

∴y1＞y2＞y3．

按从小到大依次排列为y3＜y2＜y1．

故答案为y3＜y2＜y1．

13．③，④

【解析】找到二次项的系数不是2的函数即可．

解：二次项的系数不是2的函数有③④．

故答案为③，④．

本题考查二次函数的变换问题．用到的知识点为：二次函数的平移，不改变二次函数的比例系数．

14．右侧

【解析】本题实际上是判断抛物线的增减性，根据解析式判断开口方向，结合对称轴回答问题．

解：∵抛物线y=-x2-2x+1中，a=-1<0，抛物线开口向下，

∴抛物线图象在对称轴右侧，y随x的增大而减小（下降）．

填：右侧．

15．５

【解析】

考点：二次函数的应用．

分析：将y=2x2-20x+1050变形可得：y=2（x-5）2+1000，根据二次函数的最值关系，问题可求．

解答：解：由题意，旅游的支出与人数的多少有关系，

∵y=2x2-20x+1050，

∴y=2（x-5）2+1000，

∴当x=5时，y值最小，最小为1000．

点评：本题考查利用二次函数来求最值问题，将二次函数解析式适当变形即可．

16．4．

【解析】

试题解析：∵y=x 2-4x+k=（x-2）2+k-4，

∴k-4=n ，即k-n=4．

考点：二次函数的性质

17．m ≥1.

【解析】

试题分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的自变量的取值范围．

试题解析：∵二次函数的解析式y=（x-m ）2-1的二次项系数是1，

∴该二次函数的开口方向是向上；

又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m ，-1），

∴当x ≤m 时，即y 随x 的增大而减小；

而已知中当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，

∴m ≥1.

考点: 二次函数的性质．

18．

（1）和

（2）5

【解析】解: （1）令，则，

∴二次函数

的图象与轴的交点坐标为.…………1分令，则

，求得， ∴二次函数

的图象与轴的交点坐标为和.……………………3分

（2）5个 . ……………………4分

19．(1)S=-2x 2+32x (2)x=8时最大值是128

【解析】

考点：二次函数的应用。

分析：在题目已设自变量的基础上，表示矩形的长，宽；用面积公式列出二次函数，用二次函数的性质求最大值。

解答：

（1）由题意，得S=AB ?BC=x （32-2x ），

∴S=-2x 2+32x 。

（2）∵a=-2＜0，

∴S 有最大值．

∴x=-b/2a=-32/2×(-2)=8时，

有S 最大=（4ac-b 2）/4a

=-322/4×(-2)

=128。

(1,0)(3,0)0x =6y =-2286y x x =-+-y (0,6)-0y =22860x x -+-=121,3x x ==2286y x x =-+-x (1,0)(3,0)

∴x=8时，S 有最大值，最大值是128平方米。

点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a 的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x 2-2x+5，y=3x 2-6x+1等用配方法求解比用公式法简便。

20．（1）y=-x 2+8x ，自变量取值范围：0

（2）△PBQ 的面积的最大值为16cm 2．

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的对边相等表示出BC ，然后表示出PB 、QB ，再根据三角形的面积列式整理即可得解，根据点Q 先到达终点确定出x 的取值范围即可；

（2）利用二次函数的最值问题解答．

试题解析：（1）∵四边形ABCD 是矩形，

∴BC=AD=4，

根据题意，AP=2x ，BQ=x ，

∴PB=16-2x ，

∵S △PBQ =

12PB QB ?， ∴y=-x 2+8x

自变量取值范围：0

（2）当x=4时，y 有最大值，最大值为16

∴△PBQ 的面积的最大值为16cm 2．

考点：二次函数的最值．

21．（1）（0，1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）令x=0，代入抛物线解析式，即求得点C 的坐标．由求根公式求得点A 、B 的横坐标，得到点A 、B 的横坐标的和与积，由相交弦定理求得OD 的值，从而得到点D 的坐标．

（2）当AB 又恰好为⊙P 的直径，由垂径定理知，点C 与点D 关于x 轴对称，故得到点C 的坐标及k 的值．根据一元二次方程的根与系数的关系式表示出AB 线段的长，由三角形的面积公式表示出△ABC 的面积，可求得m 的值．

（1）易求得点C 的坐标为

由题设可知12x x ，是方程即的两根，

所以，所

∵⊙P 与轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，设它们的交点为点O ，

.2±=m 1-=k (0)k ，0)(22=-++m k m x 022=++k mx

x 12x =，12122x x m x x k +=-?=，y

连结DB ，

∴△AOC ∽△DOC ，则由题意知点C 在轴的负半轴上，从而点D 在轴的正半轴上，

所以点D 的坐标为（0，1）；

（2）因为AB ⊥CD ， AB 又恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，

所以点C 的坐标为，即又，所以解得考点：一元二次方程的求根公式，根与系数的关系，相交弦定理，垂径定理，三角形的面积公式

点评：本题知识点较多，综合性强，难度较大，是中考常见题，如何表示OD 及AB 的长是本题中解题的关键．

22．（1）证明略；（2）m=1；（3）1＜b ＜3，b ＞134

．【解析】

试题分析：（1）求出根的判别式总是非负数即可；

（2）由求根公式求出两个解，令这两个解是整数求出m 即可；

（3）先求出A 、B 的坐标，再根据图像得到b 的取值范围．

试题解析：（1）证明：∵m ≠0，∴mx 2+(3m+1)x+3=0是关于x 的一元二次方程.

∴△=(3m+1)2－12m =(3m －1)2． ∵ (3m －1)2≥0， ∴方程总有两个实数根.

（2）解：由求根公式，得x 1=－3，x 2=1m

． ∵方程的两个根都是整数，且m 为正整数， ∴m=1．

（3）解：∵m=1时，∴y=x 2+4x+3．

∴抛物线y=x 2+4x+3与x 轴的交点为A （－3，0）、B （－1，0）．

依题意翻折后的图象如图所示． .121===?=k

k k x x OC OB OA OD y y (01)-，

1-=

k 21AB x x =-====

11122

ABC S AB OC =?=?=△.2±=m

当直线y=x+b经过A点时，可得b=3．当直线y=x+b经过B点时，可得b=1．∴1＜b＜3．当直线y=x+b与y=－x2－4x－3 的图象有唯一公共点时，可得x+b=－x2－4x－3，

∴x2+5x+3+b=0，∴△=52－4(3+b) =0，∴b=13

．∴b＞

．

综上所述，b的取值范围是1＜b＜3，b＞13

．

考点：根的判别式，求根公式的应用，函数的图像.

23．(1)证明见解析．（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）可先根据抛物线的解析式设出P点的坐标，那么可得出PM的长的表达式，P 点到y=-1的长就是P点的纵坐标与-1的差的绝对值，那么可判断得出的表示PM和P到y=-1的距离的两个式子是否相等，如果相等，则y=-1是圆P的切线．

（2）可通过构建相似三角形来求解，过Q，P作QR⊥直线y=-1，PH⊥直线y=-1，垂足为R，H，那么QR∥MN∥PH，根据平行线分线段成比例定理可得出QM：MP=RN：NH．（1）中已得出了PM=PH，那么同理可得出QM=QR，那么比例关系式可写成QR：PH=RN：NH，而这两组对应成比例的线段的夹角又都是直角，因此可求出∠QNR=∠PNH，根据等角的余角相等，可得出∠QNM=∠PNM．

试题解析：（1）设点P的坐标为（x0，1

x20），则

=x20+1；

又因为点P到直线y=-1的距离为，1

x20-（-1）=

x20+1

所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1相切．

（2）如图，分别过点P，Q作直线y=-1的垂线，垂足分别为H，R．

由（1）知，PH=PM，同理可得，QM=QR．

因为PH，MN，QR都垂直于直线y=-1，

所以，PH∥MN∥QR，

于是QM MP RN NH

=，

所以QR PH RN HN

=，

因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．

于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM．考点：二次函数综合题．

24．（1）（-1

x2+14x）万元；w甲=-

x2+9x-90．（2）n=15．（3）应选乙地．

【解析】

试题分析：（1）依据年利润=年销售额-全部费用即可求得利润W甲（万元）与x之间的函数关系式；

（2）求出利润W乙（万元）与x之间的函数关系式，根据最大年利润为35万元．求出n 的值；

（3）分别求出x=18时，W甲和W乙的值，通过比较W甲和W乙大小就可以帮助投资商做出选择．

试题解析：（1）甲地当年的年销售额为（-1

x+14）?x=（-

x2+14x）万元；

w甲=（-1

x2+14x）-（

x2+5x+90）=-

x2+9x-90．

（2）在乙地区生产并销售时，年利润：

w乙=-

x2+nx-（

x2+5x+90）

=-1

x2+（n-5）x-90．

由

4()(90)(5)

44()

ac b

?-?---

=35，

解得n=15或-5．

经检验，n=-5不合题意，舍去，

∴n=15．

（3）在乙地区生产并销售时，年利润

w乙=-1

x2+10x-90，

将x=18代入上式，得w乙=25．2（万元）；

将x=18代入w甲=-3

x2+9x-90，

得w甲=23．4（万元）．∵W乙＞W甲，

∴应选乙地．

考点：二次函数的应用．

25．（1）223y x x =--，D （1，﹣4）；（2）132S S S +=；（3）M （32，0）， 32

y x =-．【解析】

试题分析：（1）把A 、B 的坐标代入即可求出抛物线的解析式，用配方法把一般式化为顶点式求出点D 的坐标；

（2）利用勾股定理的逆定理判断△BCD 为直角三角形，分别求出△AOC ，△BOC ，△BCD 的面积，计算即可得到答案；

（3）假设存在，设点M 的坐标为（m ，0），表示出MA 的长，由MN ∥BC ，求出AN ，根据偶△AMN ∽△ACM ，求出m ，得到点M 的坐标，从而求出BC 的解析式，由于MN ∥BC ，设直线MN 的解析式为y x b =+，求解即可．

试题解析：（1）∵抛物线2y x bx c =++经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，∴10930b c b c -+=??++=?

，解得：23

b c =-??=-?，∴抛物线的解析式为：223y x x =--，∵223y x x =--=2(1)4x --，∴点D 的坐标为：（1，﹣4）；

（2）132S S S +=．证明如下：

过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，DF ⊥y 轴于F ，由题意得，CD=，BD=BC=222CD BC BD +=，

∴△BCD 是直角三角形，1S =12×OA×OC=32，2S =12×OB×OC=92，3S =12

×CD×BC=3， ∴132S S S +=；

（3）存在点M 使∠AMN=∠ACM ，设点M 的坐标为（m ，0），∵﹣1＜m ＜3，∴MA=m+1，

∵MN ∥BC ，∴AM AB

AN AC =，即1m AN +=AN=(1)4m +，∵∠AMN=∠ACM ，∠

MAN=∠CAM ，∴△AMN ∽△ACM ，∴

AM AN AC AM =，即2(1)(1)4m m +=+，解得， 132m =，21m =-（舍去），∴点M 的坐标为（32

，0），设BC 的解析式为y kx b =+，把B （3，0），C （0，﹣3）代入得，303k b b +=??=-?，解得13k b =??=-?

，则BC 的解析式为3y x =-，又MN ∥BC ，∴设直线MN 的解析式为y x b =+，把点M 的坐标为（32，0）代入得，b=32

-，

∴直线MN 的解析式为32

y x =-．

考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．探究型；4．和差倍分；5．动点型；6．综合题；

7．压轴题．

26．（1）21

2y x x 133

=--+ （2）点D 的坐标为3524??- ??

? ，（3）满足条件的点P 的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，53

-）、（10，﹣39）。

【解析】

分析：（1）把点A 、B 、C 的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三元一次方程组，通过解该方程组即可求得系数的值。

（2）由（1）中的抛物线解析式易求点M 的坐标为（0，1）．所以利用待定系数法即可求得直线AM 的关系式为1y x 13=+。由题意设点D 的坐标为200012x x x 133??--+ ???

，，则点F 的坐标为001x x 13??+ ???

，，易求DF 关于0x 的函数表达式，根据二次函数最值原理来求线段DF 的最大值。

（3）对点P 的位置进行分类讨论：点P 分别位于第一、二、三、四象限四种情况。利用相似三角形的对应边成比例进行解答。

解：（1）把A （﹣3，0）、B （1，0）、C （﹣2，1）代入2y ax bx c =++得，

9a 3b c 0a b c 04a 2b c 1-+=??++=??-+=?．解得1a 32b 3c 1?=-???=-??=???

。 ∴抛物线的表达式为212y x x 133

=--+。

（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M 的坐标为（0，1）。

设直线MA 的表达式为y=kx+b ，

则b 13k b 0=??-+=?，解得1k 3b 1

?=???=?。 ∴直线MA 的表达式为1

y x 13

=+。设点D 的坐标为200012x x x 133??--+ ???

，，则点F 的坐标为001x x 13??+ ???

，。 ∴2220000001211133DF x x 1x 1x x x 3333324????=--+-+=--=-++ ? ???

??。 ∴当03x 2=-时，DF 的最大值为34。此时2001

25x x 1334--+=，即点D 的坐标为3524??- ???

，。（3）存在点P ，使得以点P 、A 、N 为顶点的三角形与△MAO 相似。

设P 212m m m 133??--+ ???

，，在Rt △MAO 中，AO=3MO ，要使两个三角形相似，由题意可知，点P 不可能在第一象限。 ①设点P 在第二象限时，∵点P 不可能在直线MN 上，∴只能PN=3NM 。 ∴()212m m 13m 333

--+=+，即2m 11m 240++=，

解得m=﹣3或m=﹣8。

∵此时﹣3＜m ＜0，∴此时满足条件的点不存在。

②当点P 在第三象限时，

∵点P 不可能在直线MN 上，∴只能PN=3NM 。 ∴()212m m 13m 333??---+=-- ???

，即2m 11m 240++=，

解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8。

当m=﹣8时，21

2m m 11533

--+=-，∴此时点P 的坐标为（﹣8，﹣15）。

③当点P 在第四象限时，

若AN=3PN 时，则2123m m 1m 333??---+=+ ???

，即m 2+m ﹣6=0。

解得m=﹣3（舍去）或m=2。

当m=2时，2125m m 1333--+=-，

∴此时点P 的坐标为（2，5

-）。若PN=3NA ，则()212m m 13m 333??---+=+ ???

，即m 2﹣7m ﹣30=0。解得m=﹣3（舍去）或m=10。

当m=10时，212m m 13933--+=-，∴此时点P 的坐标为（10，﹣39）。

综上所述，满足条件的点P 的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，53

-）、（10，﹣39）。

27．设直线OA 的解析式为y kx =. Q 点A 的坐标为（3，3）.

33k ∴=. 解得1k =.

∴直线OA 的解析式为y x =

28．当6x =时，116322

y x ==?=. C ∴点的坐标为(6，3)，

Q 抛物线过点C （6，3）

33626a ∴=+?. 解得14

a =- 29．根据题意，()()3060D B ，，，.

Q 点P 的横坐标m ，PE

y ∥轴交OA 于点E ，

()E m m ∴，.当03m <<时，如图①，

OAB OED S S =△△-S

＝

1136339222

m m ??-?=-+.…………7分当3m >时，如图②，

1163322

OBC ODA

S S m ==??-??△△-S 93.2

m =- 30．33m =-或94m =

或34m <≤. 提示：

如图③，RQ RN =时，33m =-，……………………………………11分

如图④，AD 所在的直线为矩形RQMN 的对称轴时，94

m =，…………………12分如图⑤，RQ 与AD 重合时，重叠部分为等腰直角三角形，3m =；………13分

如图⑥，当点R 落在AB 上时，4m =. 所以34m <≤.…………………14分

图②

【解析】（1）已知了A点的坐标，即可求出正比例函数直线OA的解析式；

（2）根据C点的横坐标以及直线OC的解析式，可确定C点坐标，将其代入抛物线的解析式中即可求出待定系数a的值；

（3）已知了A点的坐标，即可求出OD、AD的长，由于△OAB是等腰直角三角形，即可确定OB的长；欲求四边形ABDE的面积，需要分成两种情况考虑：

①0＜m＜3时，P点位于线段OD上，此时阴影部分的面积为△AOB、△ODE的面积差；

②m＞3时，P点位于D点右侧，此时阴影部分的面积为△OAB、△OAD的面积差；

根据上述两种情况阴影部分的面积计算方法，可求出不同的自变量取值范围内，S、m的函数关系式；

（4）若矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形，首先要找出其对称轴；

①由于直线OA的解析式为y=x，若设QM与OA的交点为H，那么∠QEH=45°，△QEH是等腰直角三角形；那么当四边形QRNM是正方形时，重合部分是轴对称图形，此时的对称轴为QN 所在的直线；可得QR=RN，由此求出m的值；

②以QM、RN的中点所在直线为对称轴，此时AD所在直线与此对称轴重合，可得PD=1

RN=

，

由OP=OD-PD即可求出m的值；

③当P、D重合时，根据直线OC的解析式y=1

x知：RD=

；此时R是AD的中点，由于RN

∥x轴，且RN=31

DB，所以N点恰好位于AB上，RN是△ABD的中位线，此时重合部分是

等腰直角三角形REN，由于等腰直角三角形是轴对称图形，所以此种情况也符合题意，此时OP=OD=3，即m=3；当R在AB上时，根据直线OC的解析式可用m表示出R的纵坐标，即可得到PR、PB的表达式，根据PR=PB即可求出m的值；根据上述三种轴对称情况所得的m的值，及R在AB上时m的值，即可求得m的取值范围

图③图④

圆与二次函数难度题(含答案)

水尾中学中考专项训练（压轴题）答案 1．（四川模拟）如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，AC ＝23，BC ＝1．以AC 为一边，在AC 的右侧作等边△ACD ，连接BD ，交⊙O 于点E ，连接AE ，求BD 和AE 的长．解：过D 作DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F ∵△ACD 是等边三角形 ∴AD ＝CD ＝AC ＝23，∠ACD ＝60° ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝90° ∴∠DCF ＝30°，∴DF ＝ 1 2 CD ＝3，CF ＝3DF ＝3 ∴BF ＝BC ＋CF ＝1＋3＝4 ∴BD ＝ BF 2 ＋DF 2 ＝ 16＋3 ＝19 ∵AC ＝23，BC ＝1，∴AB ＝ AC 2 ＋BC 2 ＝ 13 ∵BE ＋DE ＝BD ，∴AB 2 －AE 2 ＋ AD 2 －AE 2 ＝BD 即 13－AE 2 ＋ 12－AE 2 ＝19 ∴13－AE 2 ＝19－ 12－AE 2 两边平方得：13－AE 2＝19＋12－AE 2－2 19(12－AE 2 ) 整理得：19(12－AE 2 ) ＝9，解得AE ＝ 7 19 57 2．（四川模拟）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，D 为△ABC 外接圆⊙O 上 AC ︵的中点．（1）如图1，P 为 ABC ︵的中点，求证：PA ＋PC ＝3PD ；（2）如图2，P 为 ABC ︵上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（1）证明：连接AD ∵D 为AC ︵的中点，P 为 ABC ︵的中点 ∴PD 为⊙O 的直径，∴∠PAD ＝90° D D P 图1 图2

九年级数学二次函数测试题含答案精选5套

九年级数学二次函数单元试卷（一）时间90分钟满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（） A.y=(x －1)(x+2) B.y= 2 1(x+1)2 C. y=1－3x 2 D. y=2(x+3)2 －2x 2 2. 函数y=-x 2 -4x+3图象顶点坐标是（） A.（2，-1） B.（-2，1） C.（-2，-1） D.（2， 1） 3. 抛物线()122 1 2++=x y 的顶点坐标是（） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1） 4. y=(x －1)2 ＋2的对称轴是直线（） A ．x=－1 B ．x=1 C ．y=－1 D ．y=1 5．已知二次函数)2(2 -++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为（） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定 6. 二次函数y ＝x 2 的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（） A. y ＝x 2＋3 B. y ＝x 2－3 C. y ＝(x ＋3)2 D. y ＝(x －3)2 7．函数y=2x 2 -3x+4经过的象限是（） A.一、二、三象限 B.一、二象限 C.三、四象限 D.一、二、四象限 8．下列说法错误的是（） A ．二次函数y=3x 2 中，当x>0时，y 随x 的增大而增大 B ．二次函数y=－6x 2 中，当x=0时，y 有最大值0 C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大 D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2 (a ≠0)的顶点一定是坐标原点 9．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15 x 2 ＋3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（） A ．3.5m B ．4m C ．4.5m D ．4.6m 10．二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是（） A ．a ＞0． B ．b ＞0． C ．c ＜0． D ．abc ＞0． (第9题) (第10题) 3.05m x y

二次函数测试题及答案

1. 2. 3. 4. 5. 6. 、选择题: 二次函数抛物线y =(x-2)2 3的对称轴是( A.直线x = —3 B.直线x =3 二次函数y 二ax 2 在( ) A.第一象限 C.第三象限已知二次函数则一定有( 2 A. b —4ac 0 bx c 的图象如右图，则点 = ax 2 把抛物线y =x 2 ? bx B.第二象限 D.第四象限 C. M bx c ，且 a ::: 0，a -b c .0， 2 B. b -4ac =0 C. b 2 -4ac ：： 2 D. b —4ac < 0 c 向右平移3个单位，再向下平移 2个单位，所得图象的解析式是 2 y =x -3x 5，则有( A. b = 3 , c -1 C. b =3 , c =3 B. b = -9 , c = -15 D. b = —9 , c =21 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y 二ax 2 (a c)x c 与一次函数 k 已知反比例函数y 的图象如右图所示，则二 x y =ax c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是(

11. 已知抛物线y =ax2 bx c与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2 bx 0的根的情况是_______________________ 12. __________________________________________________________________ 已知抛物线 y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1，则a+c= _______________________________ 13. 请你写出函数y=（x+1）2与y=x2+1具有的一个共同性质：_____________________ . 14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线x =4 ；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 15. 已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：________________________. A.x 二-2 B. x =2 C. 8. 二欠函 1 数y :=(x -1)2'2的最小值是（) A.-2 B. 2 C. D. 1 9. - 二- 次函数y =ax2bx c的图象如图所 M=4 a 2b c N = a —b c , P = 4a-b ,则（ A.M0 , N 0, P 0 B.M<0 ,N 0, P 0 C.M0, N ：： 0, P 0 D.M0 , N 0, P ：：：0 、填空题: 7.抛物线y=x2 -2x 3的对称轴是直线（）x = —1 D. x =1 10.将二次函数y =x2 -2x 3配方成y =(x -h)2? k的形式，则y= ____________________

二次函数与圆结合的压轴题Word版

图6 x y F E H N M P D C B A O 二次函数和圆【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数k y x = (1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点．且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为 D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线3 2 y x =-+ 与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标；（2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标；（3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积.

【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．（1）求直线CB的解析式；（2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；（3）试判断点C是否在抛物线上？（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 △AOC相似？直接写出两组这样的点．【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例题5】（南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、

二次函数单元测试卷(含答案)

二次函数单元测试卷一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-（x-m ）2 + m 2 +1有最大值4，则实数m 值为（） A.-4 7 B. 3或-3 C.2或-3 D. 2或3或- 4 7 2. 函数 2 2y mx x m =+-（m 是常数）の图像与x 轴の交点个数为（） A. 0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3. 关于二次函数 2 y ax bx c =++の图像有下列命题：①当0c =时，函数の图像经过原点；②当0c >，且函数の图像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等の实根；③函数图像最高点の纵坐标是 2 44ac b a -；④当0b =时，函数の图像关于y 轴对称．其中正确命题の个数是（） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 关于x の二次函数 2 2(81)8y mx m x m =+++の图像与x 轴有交点，则m の范围是（） A ． 1 16m <- B ． 116m - ≥且0m ≠ C ． 1 16m =- D ． 1 16m >- 且0m ≠ 5. 下列二次函数中有一个函数の图像与x 轴有两个不同の交点，这个函数是（） A ．2 y x = B ．24y x =+ C ．2325y x x =-+ D ．2 351y x x =+- 6. 若二次函数2 y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（） A ．a c + B ．a c - C ．c - D ．c 7. 下列二次函数中有一个函数の图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（） A ．1x y 2 —= B ．24y x =+ C ．1x 2x y 2+=— D ．2 351y x x =+- 8. 抛物线2 321y x x =-+-の图象与坐标轴交点の个数是（） A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有且只有两个交点 D ．有且只有三个交点 9. 函数2 y ax bx c =++の图象如图所示，那么关于x の一元二次方程2 30ax bx c ++-=の根の情况是（） A ．有两个不相等の实数根 B ．有两个异号の实数根

二次函数测试卷(含答案)

二次函数单元测试卷、选择题（每小题 3分，共30 分） 4ac - b 2 4a ；④当b = 0时，函数的图像关于 y 轴对称.其中正确命题的个数是（ A. 1 个 B. a — c F 列二次函数中有一个函数的图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ 2 抛物线y - -3x - 2x -1的图象与坐标轴交点的个数是（ B .只有一个交点 C .有且只有两个交点 D .有且只有三个交点 1.当-2 < x = 1,二次函数 y=- (x-m ) 2 2 + m +1 有最大值4，则实数 m 值为（ 7 A.- 4 B. ,3 或-..3 C.2 或-..3 D. 2 或3或-- 4 2.函数y = mx ? x - 2m （ m 是常数）的图像与 X 轴的交点个数为（ A. 0 个 1个或2个 3.关于二次函数 2 y = ax bx c 的图像有下列命题：①当c = 0时, 函数的图像经过原点；②当 c 0，且函数的图像开口向下时，方程 2 ax bx 必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是 2 9.函数y 二ax bx c 的图象如图所示，那么关于 x 的一元二次方程 A .有两个不相等的实数根 B.有两个异号的实数根 4. 关于X 的二次函数 2 y =2mx （8 m 1）x 8m 的图像与x 轴有交点，则 m 的范围是（ 1 m - 一 16 1 1 m > m 二一一 B . 16 且 m=0 C . 16 D . 1 m 空一 16且 m^O 5. F 列二次函数中有个函数的图像与 x 轴有两个不同的交点，这个函数是 C. 2 y 二 3x -2x 5 D. y 二 3x 2 5x 「1 6. 若二次函数 2 =ax c ，当x 取 X 1、 x 2 （Xi = X2 ）时，函数值相等, 则当 x 取X 1 X 2时，函数值为 _c 7. 2 .y =x — 1 2 B . y =x 4 C. y =X 2 — 2X 1 2 D. y = 3x 5x -1 8. A .没有交点

二次函数经典测试题及答案解析

二次函数经典测试题及答案解析一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意．【详解】根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意．故选B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】【分析】先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函

数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解；【详解】解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D 【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ，设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+，易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确．当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．