2015年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析资料
2015年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析资料
2015年湖北省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2015?湖北）i 为虚数单位，i 607的共轭复数为（ ） A ．
i B ．
﹣i C ．
1 D ．
﹣1 2．（5分）（2015?湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．
134石 B ．
169石 C ．
338石 D ．
1365石 3．（5分）（2015?湖北）已知（1+x ）n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A 212
B 211
C 210
D 29
． ． ． ．
4．（5分）（2015?湖北）设X ～N （μ1，σ12），Y ～N （μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A ． P （Y ≥μ2）≥P （Y ≥μ1）
B ． P （X ≤σ2）≤P （X ≤σ1）
C ． 对任意正数t ，P
（X ≤t ）≥P （Y ≤t ） D ． 对任意正数t ，P
（X ≥t ）≥P （Y ≥t ） 5．（5分）（2015?湖北）设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3．若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：（a 12+a 22+…+a n
﹣1
2
）（a 22+a 32+…+a n 2）=（a 1a 2+a 2a 3+…+a n ﹣
1a n ）2，则
（ ）
A ．
p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．
p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
B ．
当a ＞b 时，e 1＞e 2；当a ＜b 时，e 1＜e 2 C ．
对任意的a ，b ，e 1＜e 2 D ．
当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2 9．（5分）（2015?湖北）已知集合A={（x ，y ）|x 2+y 2≤1，x ，y ∈Z}，B={（x ，y ）||x|≤2，|y|≤2，x ，y ∈Z}，定义集合A ⊕B={（x 1+x 2，y 1+y 2）|（x 1，y 1）∈A ，（x 2，y 2）∈B}，则A ⊕B 中元素的个数为（ ） A ．
77 B ．
49 C ．
45 D ．
30 10．（5分）（2015?湖北）设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]=1，[t 2]=2，…，[t n ]=n 同时成立，则正整数n 的最大值是（ ） A ．
3 B ．
4 C ．
5 D ．
6 二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题
卡对应题号的位置上．答错位
置，书写不清，模棱两可均不得
分．
11．（5分）（2015?湖北）已知向
量⊥，||=3，则?=．
12．（5分）（2015?湖北）函数f
（x）=4cos 2cos（﹣x）﹣2sinx
﹣|ln（x+1）|的零点个数为．
13．（5分）（2015?湖北）如图，
一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m．
14．（5分）（2015?湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B （B在A的上方），且|AB|=2．
（1）圆C的标准方程为；
（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：
①=；②﹣=2；③+=2．
其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）
选修4-1：几何证明选讲
15．（5分）（2015?湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=．
选修4-4：坐标系与参数方程
16．（2015?湖北）在直角坐标系xOy中，以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立
极坐标系．已知直线l的极坐标
方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，
曲线C的参数方程为（t
为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（11分）（2015?湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
ωx+φ0 π2π
x
Asin
0 5 ﹣5 0
（ωx+φ）
（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．
18．（12分）（2015?湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式
（2）当d＞1时，记c n =，求数列{c n}的前n项和T n．
19．（12分）（2015?湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．
20．（12分）（2015?湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5
小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
W 12 15 18
P 0.3 0.5 0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．
（1）求Z的分布列和均值；
（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
21．（14分）（2015?湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且
DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画
出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
22．（14分）（2015?湖北）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；
（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n 项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n．
答案：
1、解：i607=i604+3=i3=﹣i，
它的共轭复数为：i．
故选：A．
2、解：由题意，这批米内夹谷约为
1534×≈169石，
故选：B．
3、解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8
项的二项式系数相等，
可得，可得n=3+7=10．
（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29．
故选：D．
4、解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，
所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P （Y≤t）．
故选：C．
5、解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3．
运用柯西不等式，可得：
（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥
（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，
若a1，a2，…，a n成等比数列，即有
==…=，
则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=
（a 1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，
即由p推得q，
但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列．
故p是q的充分不必要条件．
故选：A．
6、解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，
符号函数sgnx=，f（x）是R上的增
函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），
不妨令f（x）=x，a=2，
则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，
sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，
sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；
对于D，令f（x）=x+1，a=2，
则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x﹣1，
sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；
sgn[g（x）]=sgn（﹣x﹣1）=，
﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所
以D不正确；
故选：B．
7、解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部
分）：
P 1：D（0，），F（，0），A（0，
1），B（1，1），C（1，0），
则阴影部分的面积S1=1×1﹣
=1﹣=，
S 2=1×1﹣2×=1﹣
=，
S 3=1×+
dx=+lnx|
=﹣ln=+ln2，
∴S2＜S3＜S1，
即P2＜P3＜P1，
故选：B．
8、解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；
双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，
e2=，
∴=﹣=，
∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，
故选：D．
9、解：∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，
0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}
∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，
∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，
﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），
（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素
故选：C．
10、解：∵[t]=1，∴t∈[1，2），又∵[t2]=2，∴t2∈[2，3），∴t∈[，），
又t2∈[2，3），∴t4∈[4，9），∴[t4]=4，
∴正整数n的最大值4
故选：B．
11、解：由⊥，得?=0，即?（）=0，
∵||=3，
∴．故答案为：9．
12、解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．
f（x）=4cos 2cos （﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|
=2sinx﹣|ln（x+1）|
=sin2x﹣|ln（x+1）|，
分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2．
所以函数的零点有2个．
故答案为：2．
13、解：设此山高h（m），则BC=h，
在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．
根据正弦定理得=，
解得h=100（m）
故答案为：100．
14、解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，
∵|AB|=2，∴|BE|=1，
则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，
∴圆心C（1，），
则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y ﹣）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y ﹣）2=2．
（2）∵圆心C（1，），∴E（0，），
又∵|AB|=2，且E为AB中点，
∴A（0，﹣1），B（0，+1），
∵M、N在圆O：x2+y2=1上，
∴可设M（cosα，sinα），
N（cosβ，sinβ），
∴
|NA|=
=
=
=
=，|NB|=
=
=
=，
∴===，同理可得=，
∴=，①成立，
﹣=﹣（）=2，②正确．+=+（）=，③正确．故答案为：①②③．
15、解：由切割线定理可知：PA2=PB?PC，又BC=3PB，
可得PA=2PB，
在△PAB与△PAC中，
∠P=∠P，∠PAB=∠PCA
（同弧上的圆周角与弦切角相等），
可得△PAB∽△PAC，
∴==．
故答案为：．
16、解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，由C 的参数方程为（t为参数），两式