数学：23.1一元二次方程～23.2一元二次方程的解法同步练习(2)(华东师大版九年级上)

23.2一元二次方程的解法练习（2）

一、填空题（每空4分，共24分）

1. 已知2x =是一元二次方程220x m x ++=的一个解，则m 的值是（ ）

A ．-3

B ．3

C ．0

D ．0或3 2. 方程3(3)5(3)x x x -=-的根是( ) A. 35 B. 3 C.

35和3 D. 35和-3 3. 将方程0982=++x x 左边变成完全平方式后，方程是( )

A. 7)4(2=+x

B. 25)4(2=+x

C. 9)4(2-=+x

D. 7)4(2-=+x

4. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了110件，如果全组有x 名同学，那么根据题意列出的方程是( )

A. x(x+1)= 110

B. x(x-1)= 110

C. x(x+1)=110×2

D. x(x-1)= 110×2

5. 从一块正方形的木板上锯掉2米宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，则原来这块木板的面积是( )

A. 64平方米

B. 100平方米

C. 81平方米

D. 48平方米

6. 在一幅长80厘米，宽50厘米的矩形图画的四周镶一条金色的纸

边，制成一幅矩形挂图，如下图所示，如果要使整个挂图的面积是5400

平方厘米，设金色纸边的宽为x 厘米，那么满足的方程是( )

A ．x 2+130x-1400=0

B ． x 2-130x-1400=0

C ．x 2-65x-350=0

D ．x 2+65x-350=0

二、选择题（每题4分，共24分）

7. 把方程2(x -3)2=5化成一元二次方程的一般形式是 .

8. 方程250x x -=的根是 .

9. 如果－1是方程0422=-+bx x 的一个根，则方程的另一个根是 .

10. 用22cm 长的铁丝，折成一个面积为2

28cm 的矩形，这个矩形的长是 .

11. 请写出一个根为x =1，另一个根满足1x -<<1的一元二次方程： .

12. 已知()()5312222=-+++y x y x ，则22y x +的值等于 . 三、解答题（共52分）

13. （本题20分）按指定的方法解方程：

（1）02522=-+）（x （直接开平方法）； （2）0542

=-+x x （配方法）；

（3）x x 3232=+（因式分解法）； （4）01722

=+-x x （公式法）.

14. （本题8分）对于二次三项式2

-1036x x +，小明同学得到如下结论：无论x 取何值，

它的值都不可能是10.你是否同意他的说法？请你说明理由.

15. （本题12分）某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元／千克，月销售量为1000千克．经市场调查，若将该种水果价格调低至x 元／千克，则本月份销售量y （千克）与x （元／千克）之间满足一次函数关系y kx b =+．且当7x =时，2000y =；5x =时，4000y =．

（1）求y 与x 之间的函数关系式；

（2）已知该种水果上月份的成本价为5元／千克，本月份的成本价为4元／千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20％，同时又要让顾客得到实惠．．．．．．．

，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？［利润＝售价－成本价］

16. （本题12分）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=8 cm ，BC=4 cm ，一动点P 从C 出发沿着CB 方向以1 cm/s 的速度运动，另一动点Q 从A 出发沿着AC 方向以2cm/s 的速度运动，P 、Q 两点同时出发，运动时间为t(s).

（1）当t 为几秒时，△PCQ 的面积是△ABC 面积的14

？ （2）△PCQ 的面积能否为△ABC 面积的一半？若能，求出t 的值；若不能，说明理由. P Q

C B A

人教培优一元二次方程辅导专题训练附答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程 2 (1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式221 6 k k k -+-的值． 【答案】0. 【解析】 【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】 解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2 则12123940x x x x a a +-?? ??-≥? ＝＝＝ ， 由条件，知12 1212 11x x x x x x ++==3， 即 33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1， 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0， Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则221 06 k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，?=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则17 8 k ≤ ， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使221 6k k k -+-无意义. 综上，代数式221 6 k k k -+-的值为0 【点睛】 本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程， 2．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC= ，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，

人教数学一元二次方程的专项培优练习题及详细答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．阅读下列材料 计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则： 原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝ 在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+） （2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3 【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2 【解析】 【分析】 （1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算． （2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a． （3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解． 【详解】 （1）令+＝t，则： 原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝ （2）令a2﹣5a＝t，则： 原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令x2+4x＝t，则原方程转化为： （t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴t1＝0，t2＝﹣4 当x2+4x＝0时， x（x+4）＝0

解得：x 1＝0，x 2＝﹣4 当x 2+4x ＝﹣4时， x 2+4x +4＝0 （x +2）2＝0 解得：x 3＝x 4＝﹣2 【点睛】 本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算． 2．解下列方程： （1）x 2﹣3x=1． （2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-= = ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】 试题分析：（1）利用公式法求解即可； （2）利用直接开方法解即可； 试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0， ∵b 2﹣4ac=13＞0 ∴ ． ∴12313313,22 x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或， ∴12223,223y y =-+=-- 3．如图，在△ABC 中，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2cm/s 的速度向C 点移动．如果P 、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm 2？ 【答案】经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2． 【解析】 【分析】

一元二次方程及解法经典习题及解析

一元二次方程及解法经典习题及解析 知识技能： 一、填空题： 1．下列方程中是一元二次方程的序号是 ． 42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④ 5232=+x x ⑤ 412=+x x ⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。。。。⑧⑦ 2．已知，关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a 3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程． 4．解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， · 5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为： ． 6．(2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 ． 7．不解方程，判断一元二次方程022632 =+--x x x 的根的情况是 ． 8．(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ． 9．已知：当m 时，方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根． 10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 ． 二、选择题： 11．(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(42 2-+=++x a x x 成立，则a 的值为( ) A ．5 8．4 C ．3 D ．2 12．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后，a 、b 、c 的值分别为( ) 3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D 13．方程02=+x x 的解是( ) x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D

一元二次方程解法的综合运用

一元二次方程解法的综合运用 [内容] 教学目标 (一)巩固、掌握解一元二次方程的四种解法： (二)提高题目难度，培养计算能力和计算技巧，渗透换元思想； (三)培养观察能力，根据题目结构，选择恰当的解法. 教学重点的难点 重点：四种方法的综合运用，选择恰当的解法. 难点：选择恰当的解法.要有一定的计算能力和技巧. 教学过程设计 (一)复习 1.一元二次方程的一般形式是什么? 2.不完全的一元二次方程有哪几种? 3.解一元二次方程有哪四种方法? (二)新课 同一个题目可能会有多种解法，我们应该根据题目的结构选取恰当的解法.在解题过 程中应该根据算理，发挥计算技能，要有毅力计算到底，并在解题过程中随时检查可能出现 的错误. 例1 解方程：x(x-1)=3x(x+1) 分析：(启发学生一起想)先化为一般形式. 解：原方程化为(1-3)x 2-(1+3)x=0,提取公因式x,得x[(1-3)x-(1+3)]=0,x=0,(1-3)x-(1+3)=0. (二次根式运算的结果，应化为最简二次根式) 例2 解方程：(3x+2)2-8(3x+2)+15=0. 分析：(启发学生一起想)不宜把(3x+2)2和8(3x+2)展开整理为一元二次方程一般形式. 观察题目的结构可见，把3x+2换元为t ，则原方程就是t 的一元二次方程. 解：设3x+2=t,原方程变为t 2-8t+15=0,(t-3)(t-5)=0.所以t 1=3,t 2=5.即3x+2=3或3x+2= 5.故x 1=31 1 3,x 2=1. 注：本题也可直接写为[(3x+2)-3][(3x+2)-5]=0,即(3x-1)(3x-3)=0,故x 1=1 3,x 2=1. 例3 解方程：144x 2=61-208x. 解：原方程化为144x 2+208x-61=0,则 a=144,b=208,c=-61.b 2-4ac=2082-4×144(-61)=2082+4×144×61. (此题数据太大，不宜大乘大除，应注意计算技巧.分解因数，提取公因数，化为连乘积) b 2-4ac=(16×13) 2+22×42×9×61=82 (4×169＋9×61)=82×1225=(8×35) 2＞0,原方程有实根.

第二章一元二次方程培优奥赛讲义

九上第二章一元二次方程培优讲义一．填空题（共15小题） 1．已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为．2．附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为． 3．若m为实数，方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根，则x2﹣3x+m=0的根是． 4．已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根，那么的值是． 5．已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b，则这个等腰三角形的周长为． 6．若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，则200a+9b+c=． 7．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．8．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．9．已知：a2+b2=1，a+b=，且b＜0，那么a：b=． 10．方程（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2的解是．11．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．12．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是． 13．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为． 14．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有人被感染． 15．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x，则方程可列为．

专题复习：一元二次方程的五种常用解法(后附答案)【精品】

专题：一元二次方程的5种解法 方法1 形如x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1.用直接开平方法解下列方程: (1)9x2=25; (2)x2-√=0; (3)(2t-1)2=9; (4)(x-3)2-9=0. (5)2(x－1)2－18＝0. 用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤： (1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式； (2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式； (3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.

方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 2.用配方法解下列方程： (1)x 2-10x+9=0; (2)x 2+2x=2; (3)2x 2-4x+1=0. 3. 用配方法解下列方程： (1)3x 2 ＋6x －5＝0; (2)12 x 2 －6x －7＝0； (3)2x 2＋7x －4＝0. 用配方法解一元二次方程的“五步法” (1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1. (3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x ＋n)2＝p 的形式. (4)开方：若p ≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p ＜0，则原方程无解. (5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.

方法3 易化成一般形式（二次项系数不为1）时，用公式法求解4.用公式法解方程: (1)x2+3x+1=0; (2)2x2-5x-7=0; (3)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8; (4)y2-2√2y+2=0； (5)(x＋1)(2x－6)＝1； (6)x2＋5x＋18＝3(x＋4)．

初三数学培优——一元二次方程应用题

一元二次方程应用题 数字问题 1 两个数的和为8，积为9.75，求这两个数。 2两个连续偶数的积是168,则这两个偶数是__________. 3 .一个两位数，个位数字与十位数字之和为5，把个位数字与十位数字对调，所得的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。 增长（降低）率问题 1，（2009年江苏省）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程． 2.（莱芜）某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每 年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为____万元． 3，（2010年兰州）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是 A． 128 ) % 1( 1682= +a B．128 ) % 1( 1682= -a C． 128 ) % 2 1( 168= -a D．128 ) % 1( 1682= -a 4．（2009山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由 3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是． 5，(2010台州市)某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为____________ ． 6，某木器厂今年一月份生产课桌500张，因管理不善，2月份的产量减少了10%，从3月份起加强 了管理，产量逐月上升，4月份的产量达到了648张，求工厂3月份和4月份的平均增长率。 7，某城市按该市的“九五”国民经济发展规划要求，1997年的社会总产值要比1995年增长21%，求平均每年增长的百分率.

一元二次方程的解法综合练习题及答案

一元二次方程之概念 一、选择题 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5 x =0 A．1个B．2个C．3个D．4个 2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、?一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数 二、填空题 1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________． 3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________． 三、综合提高题 1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）x-（x+1）是一元二次方程？ 2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？ 一元二次方程之根 一、选择题 1．方程x（x-1）=2的两根为（）． A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）． A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=1 a C．x1=a，x2= 1 a D．x1=a2，x2=b2 3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0）（）． A．1 B．-1 C．0 D．2 二、填空题 1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________． 3．方程（x+1）2x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．

一元二次方程专题能力培优含答案

第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1.已知2 (3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A.m ≠3 B.m ≥3 C.m ≥-2 D. m ≥-2且m ≠3 2. 已知关于x 的方程2 1 (1)(2)10m m x m x +++--=，问： （1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？ 专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值 3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2 -1=0的常数项为0，求m 的值． 4.若一元二次方程2 (24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 . 专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 5.已知关于x 的方程x 2 +bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.2 6.若一元二次方程ax 2 +bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 . 7.已知实数a 是一元二次方程x 2 －2013x+1=0的解，求代数式22 1 20122013 a a a +--的值. 知识要点： 1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根. 温馨提示： 1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件. 2.一元二次方程的根是两个而不再是一个. 方法技巧： 1.ax k +bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论. 2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领

一元二次方程培优题(易错题和难题)

一元二次方程培优题 1.解方程3(25)2(25)x x x +=+ 2.已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰等腰三角形ABC 的两条 边长，求三角形ABC 的周长。 3.已知关于x 的方程2 (1)4120a x x a ---+=的一个根为3x =， （1）求a 的值及方程的另一个解 （2）如果一个三角形的三条边长都 是这个方程的根，求三角形ABC 的周长。 4.已知x 1, x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m +1)x +m 2+5=0的两实数根，等腰三角形ABC 的一边长为7，若x 1, x 2恰好是?ABC 另外两边的长，求这个三角形的周长。 5.已知a,b,c ,是三角形的三条边长，且关于x 的方程23())()04 b c x a c x a c +---=有两个相等的实数根，试判断三角形的形状。

6.若k >1,关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=的根的情况是( 写出计算过程 ) A.根和一个负根 B.有两个正根 C.有两个负根 D.没有实数根 解: 7.已知m 是一元二次方程2910x x -+=的解,求221871 m m m -++的值. 8.已知关于x 的一元 二次方程2 (3)10.x m x m ++++= （1）求证:无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根。 （2）若12,x x 是原方程的两根，且12x x -=m 的值，并求出此时方程的两根。 9.如果方程20x px q ++=的两个根是1x ，2x ，那么12x x p +=-，12x x q =，请根据以上结论，解决下列 问题： （1）已知关于x 的方程20(0)x mx n x ++=≠，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程 两根的倒数。 （2）已知a 、b 满足21550a a --=，21550b b --=，求a b b a +的值。 （3）已知a 、b 、c 满足0a b c ++=，16abc =，求正数c 最小值。

一元二次方程解法举例

https://www.sodocs.net/doc/973194975.html, ------------------华夏教育资源库 https://www.sodocs.net/doc/973194975.html, ------------------华夏教育资源库 一元二次方程解法举例 教学目标：1.巩固一元二次方程的四种解法 2.灵活选用一元二次方程的四种解法解方程 教学重点： 一元二次方程的四种解法的灵活运用 教学难点：能准确把握方程的特征，选用适当的解法. 教学准备：小黑板 教学过程： 复习引入：1. 一元二次方程02 =++c bx ax 的求根公式为 . 2.一元二次方程解法有哪几种？各有那些步骤？ 对于方程02=++c bx ax （a ≠0，042≥-ab b ） 若b=0，则宜用 法解，其根为 ； 若c=0，则宜用 法解，其根为 ； 若b ≠0，c ≠0，则要准确把握方程的特征，选用适当的解法. 讲授新课： 范例讲解 例1 选用适当的方法解方程： （1）()922=-x ；（直接开平方法） （2）222 =-t t ；（配方法） （3）()()052432922=--+x x ；（因式分解法） （4）4.013.001.02 -=-x x ；（化小数系数为整数系数后再因式分解） （5）x x 2 21232=-；（去分母后用公式法） （6）1417522-=mx x m （m ≠0）.（因式分解法） （7）()()x x x 211=-+；（先整理后，再确定适当的方法，配方法） （8）()()742322 +=+m m ；（先整理后，再确定适当的方法，公式法） （9）()()0812151222 =-+++x x .（因式分解法） 例2 （1）当x= 时，31432 +-x x 的值与22-x 的值相等.

一元二次方程培优专题讲义(最新整理)

数学培优专题讲义：一元二次方程 一.知识的拓广延伸及相关史料 1．一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:（1）配方法:如，经配方得 2670x x ++=，再直接用开平方法； 2(3)2x +=（2）公式法；（3）因式分解法。 这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程，只2670x x ++=要变形为 即可，或原方程 22(3)0x +-=经配方化为，再求解时， 2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。因式分解法还可推广到高次方程。 2．我国古代的一元二次方程 提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。 下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.” 这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题. 上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解. 3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。 本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。 （1）转化思想 我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。在本章，转化无所不在，无处不有， 可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面： ①未知转化为已知，这是解方程的基本思路: ②一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的: ③特殊转化为一般，一般转化为特殊。例如，通过用配方法解数字系数的一元二次方程归纳出用配方法解一般形式2670x x ++=的一元二次方程的方法，进而得出20ax bx c ++=一元二次方程的求根公式，而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程，推导出一元二次方程根与系数的关系。又如，通过设未知数，找出等量关系，列方程，把实际问题转化为解方程问题，等等。 掌握转化思想并举一反三，还可以解决很多其他方程问题，如高次方程转化为一元一次或一元二次方程，分式方程转化为整式方程，无理方程转化为有理方程，二元二次方程组转化为二元一次方程组，总之，本章学习的关键之一是学会如何”转化”. 练习: ;222 1 1.510a x x a a -+=+ 是方程的一根,求的值 2421032. a x a ?--=--是方程x 的一根,求a 的值 2 2 42 3101 x x x x x --=-+、若，求的值。 （2）类比思想 本章多次运用类比找出新旧知识的联系,在新旧知识间进行对比,以利于更快更好地掌握新知识. 如用配方法解一元二次方程时,可类比平方根的概念和意义,列一元二次方程解应用题,可类比列一元一次方程解应用题的思路和一般步骤. 类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于帮助我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知识、巩固旧知识，学习时应特别重视。

一元二次方程的解法(综合)

环球教育学科教师辅导讲义 学员姓名：xxx年级：初三课时数：3 班主任：xxx 辅导科目：数学学科教师：王兴华 课题一元二次方程的解法 授课时间及时段2014-06-19 授课类型T T C 教学目标 1.学习掌握通公式法和因式分解法解一元二次方程 2.灵活选择合适的方法解一元二次方程 一、回顾 ?1.一元二次方程的含义：_____________________________________________________________. ?2.一元二次方程的一般形式：_____________________________________________________. ?3.一元二次方程的解法： ①直接开平方法 *适用形式： *答题基本步骤： ②配方法 *含义： *答题基本步骤： *可以解决的题型： *处理一元二次方程和二次三项式有什么不同： 友情提醒：请在不熟的知识点上用着重符号标出，课后及时巩固训练哦！！ XXX，很高兴在环球之家又见面了，孔子曰：温故而知新，可以为师矣！我们一起回 顾上次所学习的知识吧！

二、引入与讲解 ?1.求根公式法： ①用公式法解一元二次方程的前提是: *必须是一般形式的一元二次方程: )0(02 ≠=++a c bx ax . *042 ≥-ac b ②解一元二次方程的基本步骤： Step1:化为一元二次方程的一般形式； Step2:确定c b a ,,和ac b 42 -的值； Step3:代入求根公式 1.用公式法解一元二次方程。 （1）x x x 3)1)(1(=-+ （2）03322 =+-x x 练一练： （1）6)6(=+x x （2）01222=+-x x )0(02≠=++a c bx ax 还记得如何用配方法推导出一元二次方程 的解吗？（请你快速的推导一遍） XXX ，你知道为什么要确定 ac b 42-的值吗？ a ac b b x 242-±-=小博士提醒：求根公式一定要熟练记忆和运用。

一元二次方程提高培优题

一元二次方程提高题 一、选择题 1. 已知a是方程x2+x-仁0的一个根，则- 的值为( ) a - 1 a - a A .-严 B . 1 C . - 1 D . 1 7 2. 一元二次方程x(x2) 2 x的根是( ) A.x=1 B.x=0 C.x=1 和x=2 D.x=-1 和x=2 3 .为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( ) 2 2 A. 289 (1 - x) =256 B . 256 (1 - x) =289 C. 289 (1 - 2x) =256 D . 256 (1 - 2x) =289 4.岑溪市重点打造的天龙顶山地公园在2013年12月27日试业了.在此之 前，公园派出小曾等人到某旅游景区考察，了解到该景区三月份共接待游客 20万人次，五月份共接待游客50万人次?小曾想知道景区每月游客的平均 增长率x的值，应该用下列哪一个方程来求出？( ) 2 2 2 A. 20 (1+x) =50 B . 20 (1 - x) =50 C . 50 (1+x) =20 D . 50 ( 1 -x) 2=20 5?某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一 张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( ) A. x(x 1) 2070 B . x(x 1) 2070 C. 2x(x 1) 2070 D . x(x 1 2070 x 6.若关于x的方程x2- 4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是 A . m<- 4 B . m>- 4 C . m< 4 D . m> 4 7.已知实数a, b分别满足a2 6a 4 0, b2 6b 4 0,且a工b，则b - a b 的值是【】 A. 7 B . —7 C . 11 D . —11 &已知关于x的方程kx2 1 k x 1 0，下列说法正确的是 A. 当k 0时，方程无解 B. 当k 1时，方程有一个实数解 C. 当k 1时，方程有两个相等的实数解 D. 当k 0时，方程总有两个不相等的实数解 9.若x2 Mxy 4y2是一个完全平方式，那么M的值是( ) A. 2 B. ± 2 C. 4 D. ± 4 二、填空题 10 .已知方程x2+ ( 1 - _上；)x -」.=0的两个根X1和X2，贝U X/+X22= ______ 2 1 1 11.已知m和n是方程2x —5x —3 = 0的两个根，^ U —+—=___________. m n 2 2 12 .若将方程x 6x 7，化为x m 16，则m = __________________ . 13 .已知(x2+ y2) (x2—1+ y2)—12=0，则x2+ y2的值是___________ ? 14 .某种药品原价为60元/盒，经过连续两次降价后售价为48.6元/盒.设平 均每次降价的百分率为x，则根据题意，可列方程为_________ . 15 .若Va 4+ b 1 0 ,且一元二次方程kx2 ax b 0有实数根，则k 的取值范围是________ ? 三、计算题 2 16 .解方程：(x+3) - x (x+3) =0 . 按要求解方程：

第一讲一元二次方程培优专题含答案

第一讲一元二次方程培优专题（含答案） 一．选择题（共14小题） 1．（2016?包头）若关于x的方程x2+（m+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（） A．﹣B．C．﹣或D．1 2．（2016?乐山）若t为实数，关于x的方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实数根为a、b，则代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是（） A．﹣15 B．﹣16 C．15 D．16 3．（2016?河北）a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．无实数根D．有一根为0 4．（2016?黄冈校级自主招生）设x1，x2是方程x2+x﹣4=0的两个实数根，则x13﹣5x22+10=（） A．﹣29 B．﹣19 C．﹣15 D．﹣9 5．（2016?岱岳区一模）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数：“i“，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2?i=（﹣1）?i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1．从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1=i4n?i=（i4）n?i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（） A．0 B．1 C．﹣1 D．i

6．（2015?株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a?c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（） A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 7．（2015?南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m ﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（） A．0个B．1个C．2个D．3个 8．（2013?呼和浩特）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m的值是（） A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1 9．（2013?船山区校级自主招生）若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b 10．（2013?涟水县校级一模）已知方程x2﹣4x+2=0的两根是x1，x2，则代数式 的值是（） A．2011 B．2012 C．2013 D．2014 11．（2012?富顺县校级模拟）已知方程a3﹣5a2+3a=0三个根分别为a1，a2，a3，则计算a1（a2+a3）+a2（a1+a3）+a3（a1+a2）的值（） A．﹣5 B．6 C．﹣6 D．3

一元二次方程培优试卷

一元二次方程培优检测卷 一、选择题（每题2分，共20分） 1．对于任意实数k ，关于x 的方程x 2－2(k +1)x －k 2+2k －1=0的根的情况为 ( ) A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法确定 2．如果一元二次方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根互为相反数，那么有 ( ) A ．m ＝0 B ．m ＝－1 C ．m ＝1 D ．以上结论都不对 3．方程x 2＋3x －1＝0的两个根的符号为 ( ) A ．同号 B ．异号 C ．两根都为正 D ．不能确定 4．把边长为1的正方形木板截去四个角，做成正八边形的台面，设台面边长为x ，可列出方程 ( ) A ．（1－x)2＝x 2 B ． 14 （1－x)2＝x 2 C ．(1－x)2＝2x 2 D ．以上结论都不正确 5．已知方程x 2＋bx ＋a ＝0的一个根是－a ，则下列代数式的值恒为常数的是 ( ) A ．b B ．a C ．a ＋b D ．a －b 6．设a 2＋1＝3a ，b 2＋1＝3b 且a ≠b ，则代数式11a b +的值为 ( ) A ．5 B ．3 C ．9 D ．11 7．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1k >- B ．1k <且0k ≠ C ． 1k ≥-且0k ≠ D ． 1k >-且0k ≠ 8．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A ．2310x x -+= B ．210x += C ．2210x x -+= D ．2230x x ++= 9．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ） A ． 50（1+x 2）=196 B ． 50+50（1+x 2）=196 C ． 50+50（1+x ）+50（1+x 2）=196 D ． 50+50（1+x ）+50（1+2x ）=196 10．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-. 若我们规定一个新数“i ”,使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ）。并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有()()()22123242,1,1,11i i i i i i i i i i ==-==-=-==-=,

23.2.5一元二次方程的解法(五)应用题1 学案

23.2.5《一元二次方程的解法》学案（5） 学习目标： 1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。 2、提高学生分析问题、解决问题的能力。 3、培养学生数学应用的意识。 学习重难点： 认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，列出方程是本节课的重点，也是难点。 学习过程： 一、课前预习： 1、叙述列一元一次方程解应用题的步骤。 2、一元二次方程有哪些解法 3、用多种方法解方程22 -=++ (31)69 x x x 二、课上探究： 自主探究： 绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 解：设宽为x米，可列出方程 解出方程： 合作交流： 列一元二次方程解应用题的步骤： 。 （鼓励用自己的语言总结出解题步骤。） 自主学习： 例1．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。 分析：设截去正方形的边长x厘米，底面（图中虚线线部分）长等于 厘米，宽等于厘米，S底面= 。 请同学们自己列出方程并解这个方程，讨论它的解是否符合题意。

精讲点拨： 注意：检验方程的解是否符合题意。 自主学习： 例2：学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402 m， 小道的宽应是多少？ 解： 精讲点拨： 要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决。求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答 自主探究： 思考：是否还有其它的办法解决问题? 合作交流： 通过本节课的学习你有什么收获？在二次根式的化简时注意什么问题？ 当堂检测： A组 1、用一块长80cm、宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为xcm的小正方形，然后做成底面积为1500cm的无盖长方体盒子。为求出x，根据题意，列方程并整理得（） A、x2-70x+825=0 B、x2+70x-825=0 C、x2-70x-825=0 D、x2+70x+825=0 2、要用一条长为24cm的铁丝围成一个斜边长为10cm的直角三角形，则两条直角边的长分别为（） A、4cm，8cm B、6cm，8cm C、4cm，10cm D、7cm，7cm

一元二次方程的解法复习教案

一元二次方程及其解法《一元二次方程的解法》练习课（2课时） 一、教学目标： 1、掌握一元二次方程的四种解法，会根据方程的不同特点，灵活选用适当的方法求解方程。 2、方程求解过程中注重方式、方法的引导，特殊到一般、字母表示数、整体代入等数学思想方法的渗透。 3、培养学生概括、归纳总结能力。 二、重点、难点： 1 重点：会根据不同的方程特点选用恰当的方法，使解题过程简单合理。 2 难点：通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想。 三、教学过程： （一）情景引入：三位同学在作业中对方程（2x-1）2=3(2x-1)采用的不同解法如下： 第一位同学：第三位同学： 解：移项：（2x-1）2-3(2x-1) =0 解：整理： (2x-1) [(2x-1)-3]=0 即 2x-1=0或(2x-1)-3=0 X= 或 x=2 第二位同学： = 解：方程两边除以(2x-1)： (2x-1)=3 X=2 针对三位同学的解法谈谈你自己的看法： （1）他们的解法都正确吗？ （2）哪一位同学的解法较简便呢？

（二）复习提问：我们学了一元二次方程的哪些解法？---- 练习一：按括号中的要求解下列一元二次方程： （1）4(1+x)2=9（直接开平方法）；（2）x2+4x+2=0（配方法）； （3）3x2+2x-1=0（公式法）；（4）(2x+1)2= -3 (2x+1) （因式分解法） 概括四种解法的特点及步骤： 1.直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法，这是最基础的方法，与此前解一元一次方程类似。（在降次时注意正负两个值） 2.配方法：配方法就是把方程配成一个完全平方式，再用直接开平法求解，配方时，方程左右两边同时【加上一次项系数一半的平方】。（方法：先移项，再化二次项系数为一，然后配方，最后利用直接开平法求解。） 3.公式法：用公式法解一元二次方程时首先要将方程化成一般形式，也就是ax2+bx+c=0的形式，然后才能做。在用公式法解一元二次方程中，先算b2-4ac的值。 4.因式分解法：因式分解法就是利用所学过的分解因式的知识来求解。 一般步骤：①将方程右边化为零；②将方程左边分解为两个一次因式乘积；③令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程 练习二：选用适当的方法解下列方程 （1）2(1-x)2-6=0 （3）3(1-x)2=2-2x （2）（2x－1）＋3（2x－1）＋2＝0；（4）(x+2)(x+3)=6 交流讨论：1 与同桌或邻桌同学比较，看谁的解法更简单。 2 你如何根据方程的特征选择解法？ 已知代数式x2 - 6x+10 , (1)试说明无论x取何实数时,代数式的值都大于0. (2)求代数式的最小值. （四）课堂练习：