解：12,O O 分别为两三角形的重心
1111110
O A O B O C ∴++= ①2222220
O A O B O C ++= ②
121222111212221112122211A A O O O A O A B B O O O B O B C C O O O C O C =+-=+-=+- 以上三式相加并利用①、②两式可得：12121212121212
3O O A A B B C C A A B B C C =++≤++ 3m ∴≤8.过动点00(,)P x y 作抛物线22y x =的切线，切点为,M N
（1）求证：直线MN 的方程为：000x y y x -+=；
（2）若PM PN ⊥，求证：直线MN 过定点.
证明：（1）设,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，
易证：PM 的方程为：11y y x x ?=+①PN 的方程为：22y y x x ?=+②
00(,)P x y 为两直线交点，
0101y y x x ∴?=+且0202
y y x x ∴?=+说明：,M N 均满足方程：00
y y x x =+故直线MN 的方程为：000x y y x -+=.
（2）将000x y y x -+=代入22y x =中得：200220
y y y x -+=1202y y x ∴=又PM PN ⊥，故1212
1111y y y y ?=-?=-01
2x ∴=-代入直线MN 的方程为：0102x y y --
=,所以，直线MN 过定点1(,0)29点2,1(A 在椭圆122
2=+n
y x 上，过A 作直线AB 、AC 交椭圆于B 、C ，若AB 、AC 与x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形。
（1）求证：直线BC 的斜率为定值。
（2）求使三角形ABC 的面积最大时，直线BC 的方程。
解：（1）因为点A 在椭圆上，易得n=4。
设直线AB 的方程为)1(2-=-x k y ，由?????-=-=-+)
1(204222x k y y x ，得2242,22222++--=+--=k k y k k x B B ，由于AB 与AC 的倾斜角互补，所以2
2242,22222222+++-=+-+=k k k y k k k x C C ，.2=--=B
C B C BC x x y y k （3）设BC 的方程为
.
80,042242222<>?=-+++=b b bx x b x y ，得由，代入椭圆方程得28(2)8(42.3,)24(322222=-+≤-==-=?b b b b S b d BC A b BC ABC 的距离到等号
成立时BC 的方程为.
22±=x y 10、已知四棱锥P －ABCD 的底面是边长为4的正方形，PD ⊥底面ABCD ．设PD=6，M 、N 分别为PB 、AB 的中点．
（Ⅰ）求三棱锥P －DMN 的体积；
（Ⅱ）求二面角M －DN －C 的平面角的正切值．
解：设AC ，BD 交于O ，连MO ，PN
．
??
???==⊥.321PD MO 底面ABCD
MO （Ⅰ）∵N 为AB 中点，∴.42
1==??DAB DNB S S ∴DNB
M DNB p DMN p V V V ----=MO S PD S DNB DNB ?-?=
??11.4)36(431)(31=-??=-=?MO PD S DNB （Ⅱ）过O 作OK ⊥DN ，连KM ，则由三垂线定理知MK ⊥DN ．
故∠MKO 为二面角M －DN －C 的平面角．
连ON ，易求得221==
??DNB ODN S S ．又可求得5222=+=AN AD DN ，522==
?DN S OK ODN ．故2
53==∠OK MO MKO tg 为所求．11、已知二次函数)22(44)(22+-+-=a a ax x x f 在0≤x ≤1上的最小值为2，求a 的值．解：22)2
(4)(2+--
=a a x x f ．当0≤
2a ≤1即0≤a ≤2时，222)(=+-=a x f 最小．可得0=a ．当a ＜0即a ＜0时，222)0()(2=++==a a f x f 最小，可求得0=a 或2=a ，但这与a ＜0矛盾，故此时所求的a
不存在．
当2a ＞1，即a ＞2时，22244)1()(2=+-+-==a a a f x f 最小．可求得53-=a （舍）或53+=a ．
数学竞赛训练题(1)
数学竞赛训练题（1） 1、A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进行友谊比赛．不同学校间只比赛1场，比赛进行了若干天后，A校的队长发现另外4支球队B、C、D、E赛过的场数依次为4、3、 2、1．问：这时候A校的足球队已经赛了多少场？ 2、编号为1，2，3，4，5，6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1，2，3，4，5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等．请问：编号为6的同学赛了几盘？ 3、某足球联赛20支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．请问各队总分之和最多是____分,最少是____分. 4、甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场．请问一共有多少场比赛？ 5、6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．如果在比赛中出现了6场平局，那么所有人总分之和是多少分？ 6、红、黄、蓝三支乒乓球队进行比赛，每队派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．团体评比的情况是：团体第一的是黄队，总分16
分．请问：第二名和第三名的团体总分分别是多少？ 7、甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行围棋比赛，每两人都比赛一场，请问一共有多少场比赛？ 8、7支足球队进行单循环赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：得分最高的3支球队的分数之和最多是多少？ 9、甲、乙、丙、丁四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知甲、乙、丙三队的成绩分别是：甲队2胜1负，乙队1胜1平1负，丙队2胜1负．那么丁队的成绩是____胜____平____负．10、某小学三个班级进行乒乓球对抗赛，每班派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．团体评比的情况是：团体第一的是一班，总分16分．请问：第二名和第三名的团体总分分别是多少？ 11、8位同学进行围棋单循环对抗赛，即每两位同学之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．如果在比赛中出现了10场平局，那么各队总分之和是多少分？ 12、6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场．请问：一共有多少场比赛？ 13、6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2
2020初中数学竞赛辅导(初1)第12讲平行线问题
第十二讲平行线问题 平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑 马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对 边等等均是互相平行的线段． 正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识． 正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象．历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用． 现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及 性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用． 例1 如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b 于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90°
． 分析由于a∥b，∠1，∠2是两个同侧内角，因此∠1+∠2= 过C点作直线 l，使 l∥a(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移．
证过C点作直线l，使l∥a(图1－19)．因为a ∥b，所以b∥l，所以 ∠1+∠2=180°(同侧内角互补)． 因为AC平分∠1，BC平分∠2，所以
又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(内错角相等)，所以 ∠3+∠4=∠CAE+∠CBF 说明做完此题不妨想一想这个问题的“反问题” 是否成立，即“两条直线a，b被直线AB所截(如图1－20所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？”
数学竞赛训练题上册
数学竞赛训练题上册 The following text is amended on 12 November 2020.
函数与极限 ._______,)(lim . 1)0(,)1()(.12 02==-='=+'-+''=→a a x x x y y e y x y x y x y y x x 则若且满足设函数 . ________,1,))(()(.2===---=b x e x b x a x b e x f x 则为可去间断点处在处为无穷间断点在已知 3. 求x x x a a x 1111lim ??? ? ??--?+∞→，其中0,1a a >≠. 4、设当0x >时，方程211kx x +=有且仅有一个解，求k 的取值范围. 5．求11 2 1cos2lim 4n n t dt n t →?. 6、设()f x 在上连续[,]a b ，证明：1 2200lim ()d (0)2 h h f x x f h x π + →=+? 。 证明：()f x 在上连续[,]a b ，因而有界，所以0M ?>，当[,]x a b ∈时有 ()f x M ≤。 _________.) (lim ,4]cos 1)(1[ln 121lim 7.30 ==-+-→→x x f x x f x x x 则已知 8、设函数(,)f x y 可微，1)2 ,0(),,(),(,=-='π f y x f y x f x ，且满足 y n n e y f n y f cot ),0()1,0(lim =???? ?????? +∞ →，求(,)f x y 。 9．求曲线1(0)(1)x x x y x x += >+的斜渐近线方程。
全国大学生数学竞赛预赛试题
第一届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算__ ，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设是连续函数，且满足, 则____________. 3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则_____. 二、（5分）求极限，其中是给定的正整数. 三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性. 四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证： （1）；（2） . 五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该 抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、（15分）已知满足, 且, 求函 数项级数之和. 八、（10分）求时, 与等价的无穷大量.
第二届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、（25分，每小题5分） （1）设其中求（2）求。 （3）设，求。 （4）设函数有二阶连续导数，，求。 （5）求直线与直线的距离。 二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且 且存在一点，使得,证明：方程在恰有两个实根。 三、（15分）设函数由参数方程所确定，其中具 有二阶导数，曲线与在出相切，求函数。 四、（15分）设证明：（1）当时，级数收敛； （2）当且时，级数发散。 五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均 匀椭球，其中（密度为1）绕旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。 六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。（1）设为正向闭曲线
小学一年级下学期数学竞赛练习题
小学一年级下学期数学竞赛练习题
竞赛练习题（一） 班级姓 名 1．一个小组的小朋友排成一列做游戏，小明从前往后数，他排第15个，从后往前数，他排第13个，共有（）个小朋友在做游戏。 2．18名女同学站成一排，每隔2名女同学插进3名男同学，共插进（）名男同学。 3．东东从布袋里拿出5个白皮球和5个花皮球后，白皮球剩下10个，花皮球剩下5个。布袋原来有（）个白皮球， （）个花皮球。 4．芳芳有1元4角钱，晶晶有8角钱。芳芳给晶晶（）钱，两人的钱数同样多。 5．用6根短绳连成一根长绳，一共要打（）个结。6．14个小朋友玩捉迷藏，已经捉住了4个小朋友，还藏着（）个小朋友。 7．十位数字和个位数字相加，和是12的两位数有（）个。8．小东数数，从9开始数起，数到99时，小东数了（）个数。 9．把1根绳子对折以后，再对折，这时每折长1米，这根绳子长（）米
10．小强家离学校3千米，小强每天上两次学，来回要走（）千米。 11．森林里的小动物开运动会赛跑。最后小兔用了4分钟，小狗用了5分钟，熊猫用了4分30秒，请问得第一名的是（）。12．班上的同学，年龄都是8岁或9岁，那么任意两个邻座同学年龄之和最大是（）岁，最小又是（）岁。13．1个西瓜的重量=3个菠萝的重量，1个菠萝的重量=3个梨的重量，1个西瓜的重量=（）个梨的重量。 14、六一节到了，三个小朋友互送贺卡，每人都要收到另外两个人的贺卡，一共要送（）张贺卡。 15、一个小朋友吃一个面包需要5分钟，现在有5个小朋友，按同样的速度，同时吃5个同样的面包，需要（）分钟。 16、两捆同样多的练习本，第一捆拿走15本，第二捆拿走9本，（）剩的多，多（）本。 17、两根同样长的绳子，分别剪去一段，第一根剩下17米，第二根剩下12米，( )剪去的长，长（）米。 18、15个小朋友分成两组做游戏，后来有3个小朋友从第一小组调到第二小组，现在共有（）个小朋友在做游戏。 19、小红参加旅游，和旅游团的每一个人合照一次相，她一共照了19次。这个旅游团共有（）个人。 20、公共汽车上原来有一些人，到站后有5人下车，又有8人上车，公共汽车上现在比原来多（）人。
初1数学竞赛教程含例题练习及答案⑾
初一数学竞赛讲座 第11讲染色和赋值 染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法。就其本质而言, 染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。而凡是能用染色方法来解的题, 一般地都可以用赋值方法来解, 只需将染成某一种颜色的对象换成赋于其某一数值就行了。赋值方法的适用范围要更广泛一些, 我们可将题目所研究的对象赋于适当的数值, 然后利用这些数值的大小、正负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证。 一、染色法 将问题中的对象适当进行染色, 有利于我们观察、分析对象之间的关系。像国际象棋的棋盘那样, 我们可以把被研究的对象染上不同的颜色, 许多隐藏的关系会变得明朗, 再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决, 这种解题方法称为染色法。常见的染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色。 例1用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片（如下图所示）, 能否覆盖一个8×8的棋盘？ 解：如下图, 将 8×8的棋盘染成黑白相间的形状。如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个8×8的棋盘, 那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个, 但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格, 而1和3都是奇数, 因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格, 从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数, 这与32是偶数矛盾, 因此, 用它们不能覆盖整个棋盘。 例2如左下图, 把正方体分割成27个相等的小正方体, 在中心的那个小正方体中有一只甲虫, 甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次, 那么甲虫能走遍所有的正方体吗？
数学竞赛练习题答案
竞赛练习题（一）参考答案 班级姓名？ 1．一个小组的小朋友排成一列做游戏，小明从前往后数，他排第15个，从后往前数，他排第13个，共有（27）个小朋友在做游戏。 2．18名女同学站成一排，每隔2名女同学插进3名男同学，共插进（24）名男同学。3．东东从布袋里拿出5个白皮球和5个花皮球后，白皮球剩下10个，花皮球剩下5个。布袋原来有（15）个白皮球，（10）个花皮球。 4．芳芳有1元4角钱，晶晶有8角钱。芳芳给晶晶（3角）钱，两人的钱数同样多。5．用6根短绳连成一根长绳，一共要打（5）个结。 6．14个小朋友玩捉迷藏，已经捉住了4个小朋友，还藏着（9）个小朋友。 7．十位数字和个位数字相加，和是12的两位数有（4）个。 8．小东数数，从9开始数起，数到99时，小东数了（91）个数。 9．把1根绳子对折以后，再对折，这时每折长1米，这根绳子长（4）米 10．小强家离学校3千米，小强每天上两次学，来回要走（12）千米。 11．森林里的小动物开运动会赛跑。最后小兔用了4分钟，小狗用了5分钟，熊猫用了4分30秒，请问得第一名的是（小兔）。 12．班上的同学，年龄都是8岁或9岁，那么任意两个邻座同学年龄之和最大是（18）岁，最小又是（16）岁。 13．1个西瓜的重量=3个菠萝的重量，1个菠萝的重量=3个梨的重量，1个西瓜的重量=（9）个梨的重量。 14、六一节到了，三个小朋友互送贺卡，每人都要收到另外两个人的贺卡，一共要送（6）张贺卡。 15、一个小朋友吃一个面包需要5分钟，现在有5个小朋友，按同样的速度，同时吃5个同样的面包，需要（ 5 ）分钟。 16、两捆同样多的练习本，第一捆拿走15本，第二捆拿走9本，（第二捆）剩的多，多（6）本。 17、两根同样长的绳子，分别剪去一段，第一根剩下17米，第二根剩下12米，(第二根)剪去的长，长（ 5 ）米。 18、15个小朋友分成两组做游戏，后来有3个小朋友从第一小组调到第二小组，现在共有（15 ）个小朋友在做游戏。 19、小红参加旅游，和旅游团的每一个人合照一次相，她一共照了19次。这个旅游团共有（20 ）个人。 20、公共汽车上原来有一些人，到站后有5人下车，又有8人上车，公共汽车上现在比原来多（ 3 ）人。 21、老师拿来20本书，发给教室里的小朋友每人一本，还剩4本。教室里共有（16 ）个小朋友。 22、老师拿来20本书，发给教室里的小朋友每人一本，还缺4本。教室里共有（24 ）个小朋友。 23、一根木头锯成5段，要锯（4 ）次。如果每锯一次用2分钟，一共需要锯（8 ）分钟。 24、小白兔有15个萝卜，小黑兔有18个萝卜。兔妈妈又买来7个萝卜，给小白兔（5 ）个、小黑兔（ 2 ）个两只小兔的萝卜就同样多。 25、5、7、8、7、11、7、（16 ）、（7 ） 26、28、24、28、20、28、16、（28 ）、（12 ）
原创!!全面大学生数学竞赛试题
2011年数学竞赛练习题C_3解答 1. 设数列{}n x 满足： 11 sin (2)sin 11 n n x n n n <<+++， 则1 1lim 1n k n k x n →∞==+∑_______。 11 sin (2)sin 111 n n n x n x n n <<+∴→++解 ； Q 1 1 1 1lim lim lim lim 1111n n k k n k k k n n n n k x x n n x n n n n n ==→∞→∞→∞→∞ =∴=?=?=+++∑∑∑ 2.设曲线()y f x =与sin y x =在原点相切， 则极限lim n ________。 (0)0,(0)1n n f f '===已知有： 2. 设(1n n a b =+， 其中,n n a b 为正整数，lim n n n a b →∞=__ 2224 113 (1) 1)3)(13)3) )()3) ) n n n n n n n C C C C C C =+++ =+++++ 224 41133(1(1)() n n n n n C C C C =++-++ (1=+(1=n n n n n n a b a b a b -所以，若则解得：
lim =n n n n n a b →∞∴= 3. 设()f x 有连续导数且0 () lim 0x f x a x →=≠， 又20 ()()()x F x x t f t dt =-?， 当0x →时()F x '与n x 是同阶无穷小， 则n =________。 2020 ()()()()()x x x F x x t f t dt x f t dt tf t dt =-=-? ?? 20 ()2()()()x F x x f t dt x f x xf x '=+-? 0() lim 0x F x x →'=显然 20 2 02()()() lim x x x f t dt x f x xf x x →+-?考虑： 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim 0x x x f t dt f x x x →→=-+?0a =-≠ 2n ∴= 5. ()f x ∞设在[1,+)上可导，下列结论成立的是：________。 +lim ()0()x f x f x →∞ '=∞A.若，则在[1,+)上有界；
八(上)数学竞赛练习题(5)
八（上）数学竞赛练习题（5） 姓名 一、选择题 1、已知：a 、b 是正数，且a+b=2，则2214a b +++的最小值是（ ） A 、13 B 、5 C 、25+ D 、7 2、四个壮小伙子正好同五个胖姑娘力量平衡，两个胖姑娘和一个壮小伙子同两个瘦姑娘势均力敌。那么当左边是两个瘦姑娘和三个胖姑娘，右边是一个胖姑娘和四个壮小伙子时，会发生的结果是 ( ) A ．左边赢； B ．右边赢； C ．恰好平衡 D ．无法判断 3、有两堆数量相同的棋子．第一堆全为白色，第二堆全为黑色．现在从第一堆中取出若干个白棋子，将其放入第二堆中，充分混合后，从第二堆棋子中随机取出同样多的棋子（棋子中可能有黑有白）放到第一堆中，此时两堆棋子的数量又相同了，则下列说法正确的是（ ） （A ）此时第一堆中黑棋子的数量大于第二堆中白棋子的数量 （B ）此时第一堆中黑棋子的数量等于第二堆中白棋子的数量 （C ）此时第一堆中黑棋子的数量小于第二堆中白棋子的数量 （D ）此时第一堆中黑棋子的数量与第二堆中白棋子的数量，两者大小关系无法确定 4、盒中原有8个小球，一位魔术师从中任意取几个小球，把每一个小球都变成了8个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了8个小球后放回盒中，如此进行到某一时刻魔术师停止取变球时，盒中球的总数可能是（ ） （A ）2003个 （B ）2004个 （B ）2005个 （D ）2006个 5、某个游泳池有2个进水口和一个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图1所示，出水口的出水量与时间的关系如图2所示，某天早上5点到10点，该游泳池的蓄水量与时间的关系如图3所示． 图1 图2 图3 在下面的论断中：①5点到6点，打开进水口，关闭出水口；②6点到8点，同时关闭两个进水口和一个出水口；③8点到9点，关闭两个进水口，打开出水口；④10点到11点，同
初1数学竞赛教程含例题练习及答案⑺
初一数学竞赛讲座 第7讲立体图形 空间形体的想象能力是小学生的一种重要的数学能力, 而立体图形的学习对培养这种能力十分有效。我们虽然在课本上已经学习了一些简单的立体图形, 如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体, 但有关立体图形的概念还需要深化, 空间想象 能力还需要提高。 将空间的位置关系转化成平面的位置关系来处理, 是解决立体图形问题的一种常用思路。 一、立体图形的表面积和体积计算 例1一个圆柱形的玻璃杯中盛有水, 水面高 2.5cm, 玻璃杯内侧的底面积是72cm2, 在这个杯中放进棱长6cm的正方体铁块后, 水面没有淹没铁块, 这时水面高多少厘米？ 解：水的体积为72×2.5=180（cm3）, 放入铁块后可以将水看做是底面积为72-6×6=32（cm2）的柱体, 所以它的高为180÷32=5（cm）。 上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1cm的正 方体, 问：此图的表面积是多少？ 分析：正方体有6个面, 而每个面中间有一个正方形 的孔, 在计算时要减去小正方形的面积。各面又挖去一个 小正方体, 这时要考虑两头小正方体是否接通, 这与表面 积有关系。由于大正方体的棱长为4cm, 而小正方体的棱 长为1cm, 所以没有接通。每个小正方体孔共有5个面, 在计算表面积时都要考虑。 解：大正方体每个面的面积为4×4-1×1=15（cm2）, 6个面的面积和为15×6=90（cm2）。 小正方体的每个面的面积为1×1=1（cm2）, 5个面的面积和为1×5=5（cm2）, 6个小正方体孔的表面积之和为5×6=30（cm2）, 因此所求的表面积为90＋30=120（cm2）。 想一想, 当挖去的小正方体的棱长是2cm时, 表面积是多少？请同学们把它计算出来。 例3正方体的每一条棱长是一个一位数, 表面的每个正方形面积是一个两位数, 整个表面积是一个三位数。而且若将正方形面积的两位数中两个数码调过来则恰好是三位数的十位与个位上的数码。求这个正方体的体积。 解：根据“正方体的每一条棱长是一个一位数, 表面的每个正方形面积是一个两位数, 整个表面积是一个三位数”的条件, 可知正方体的棱长有5, 6, 7, 8, 9这五种可能性。 根据“将正方形面积的 两位数中两个数码调过来恰 好是三位数的十位上与个位 上的数码”, 可知这个正方 体的棱长是7。如右表：
高中数学竞赛训练题—填空题
高中数学竞赛训练题—填空题 1. 若不等式1-log a )10(x a -＜0有解，则实数a 的范围是 . 2．设()f x 是定义在Ｒ上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-；又当01x ≤≤时， 1()2 f x x = ，则方程21 )(-=x f 的解集为 。 3.设200221,,,a a a Λ均为正实数，且 2 1 212121200221=++++++a a a Λ，则200221a a a ???Λ的最小值为____________________. 4. ,x R ∈ 函数()2sin 3cos 23 x x f x =+的最小正周期为 . 5. 设P 是圆2 2 36x y +=上一动点，A 点坐标为()20,0。当P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹方程为 . 6.. 设z 是虚数，1 w z z =+ ，且12w -<<，则z 的实部取值范围为 . 7. 设4 4 2 )1()1()(x x x x k x f --+-=。如果对任何]1,0[∈x ，都有0)(≥x f ，则k 的最小值为 . 8．＝ 。 9．设lg lg lg 111()121418x x x f x = +++++，则 1 ()()_________f x f x +=。 10．设集合{}1215S =L ，，，，{}123A a a a =，，是S 的子集，且()123a a a ，，满足： 123115a a a ≤≤<<，326a a -≤，那么满足条件的集合A 的个数为 ． 11．已知数列}{n a 满足,01=a ),2,1(1211Λ=+++=+n a a a n n n ，则n a =___ . 12．已知坐标平面上三点()()) 0,3,,A B C ，P 是坐标平面上的点，且 PA PB PC =+，则P 点的轨迹方程为 ． 13.已知0 2sin 2sin 5=α，则) 1tan() 1tan(00-+αα的值是______________. 14.乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_____________. 15.不等式 92) 211(42 2 +<+-x x x 的解集为_______________________.
数学竞赛初练习题
最新高中数学奥数竞赛初练习题 第I 卷（选择题） 1．若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值是（ ） A ．122-+．122+ ．1 D ．2 2．已知非零向量,a b r r 满足2a b =r r ，若函数3211().132f x x a x a bx =+++r r r 在R 上存在极值，则a r 和b r 夹角的取值范围为（ ） A. 0,6π?????? B. ,3ππ?? ??? C. 2,33ππ?? ??? D. ,3ππ?????? 3．设抛物线y x 122=的焦点为F ，经过点P （2，1）的直线l 与抛物线相交于,A B 两 点，点P 恰为AB 的中点，则|AF |+|BF |=（ ） A.8 B.10 C.14 D.16 4．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(2,8) C ．(1,0)和(1,4)-- D ．(2,8)和(1,4)-- 5．如图，焦点在x 轴上的椭圆22 213 x y a +=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ?的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4F Q =，则该椭圆的离心率为（ ） A ．14 B ．12 C ．74 D ．134 6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)x f x e x =+，给出下列
①当0x >时，()(1)x f x e x =-； ②函数()f x 有2 个零点； ③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞U ； ④12,x x R ?∈，都有12()()2f x f x -<． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 7．过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ． 8．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()() 12120f x f x x x -<-，且函数 ()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时， 2t s s t -+的取值范围是（ ） A ．13,2? ?--???? B ．13,2??--???? C ．15,2??--???? D ．15,2??--???? 9．已知12,F F 分别为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于,A B 两点,若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 D 10 ．已知函数0()ln(1),0 x f x x x ≥=?--
高中数学竞赛集训训练题
高中数学竞赛集训训练题 1．b a ,是两个不相等的正数，且满足2 2 3 3 b a b a -=-，求所有可能的整数 c ,使得ab c 9=. 2．已知不等式 24 131...312111a n n n n > ++++++++对一切正整数a 均成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论。 3．设{}n a 为14a =的单调递增数列，且满足22 111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++，求{n a } 的通项公式。 4．（1）设,0,0>>y x 求证： ;4 32y x y x x -≥+ （2）设,0,0,0>>>z y x 求证： .2 333zx yz xy x z z z y y y x x ++≥+++++ 5. 设数列ΛΛΛ,1 ,,12, 1,,13,22,31,12,21,11k k k -， 问：（1）这个数列第2010项的值是多少； （2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少. 6. 设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每
个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。 7．已知数列{}n a 满足1a a =（0,1a a ≠≠且），前n 项和为n S ，且(1)1n n a S a a = --， 记lg ||n n n b a a =（n *∈N ），当a =时，问是否存在正整数m ，使得对于任意正整数n ，都有m n b b ≥？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由． 8. 在ABC ?中，已9,sin cos sin AB AC B A C ==u u u r u u u r g ，又ABC ?的面积等于6. （Ⅰ）求ABC ?的三边之长； （Ⅱ）设P 是ABC ?（含边界）内一点，P 到三边AB 、BC 、AB 的距离为1d 、2d 和3d ，求 123d d d ++的取值范围. 9．在数列{}n a 中，1a ，2a 是给定的非零整数，21n n n a a a ++=-． （1）若152a =，161a =-，求2008a ； （2）证明：从{}n a 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列． 10. 已知椭圆)1(12 22>=+a y a x ，Rt ABC ?以A （0，1）为直角顶点，边AB 、BC 与椭圆 交于两点B 、C 。若△ABC 面积的最大值为27 8 ，求a 的值。
大学生数学竞赛辅导材料
浙江省首届高等数学竞赛试题（2002.12.7） 一． 计算题(每小题5分，共30分) 1 ．求极限lim x →。 2．求积分 |1|D xy dxdy -??，11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。 3．设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数,,,a b c h 。 4．设()f x 连续，且当1x >-时，20()[()1]2(1)x x xe f x f t dt x +=+? ，求()f x 。 5．设21 1arctan 2n n k S k ==∑，求lim n n S →∞。 6．求积分1 2121(1)x x x e dx x ++ -?。 2003年浙江省大学生高等数学竞赛试题（2003.12.6） 一．计算题 7．求20 50sin()lim x x xt dt x →?。 8．设31()sin x G x t t dt =?，求21()G x dx ?。 9．求2401x dx x ∞+?。 10． 求∑=∞→++n k n k n k n 12lim 。 浙江省大学生第三届高等数学竞赛试题 1．计算：( )()2 00cos 2lim tan 1x t x x e tdt x x x →----?。 2．计算：20cos 2004 x dx x x π ππ+-+?。
3．求函数()22,415f x y x y y =++在 (){}22,41x y x y Ω=+≤上的最大、小值。 4．计算：()3max ,D xy x d σ?? ，其中(){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤。 5. 设()1tan 1x f x arc x -=+，求)0()(n f 。 天津市竞赛题 1.证明??+≤?+020220 21cos 1sin dx x x dx x x ππ. 2. 设函数)(x f 在闭区间]2,2[-上具有二阶导数,,1)(≤x f 且 ,4)]0([)]0([22='+f f 证明：存在一点),2,2(-∈ξ使得0)()(=''+ξξf f . 3. （1）证明：当x 充分小时,不等式422tan 0x x x ≤-≤成立. （2）设,1tan 12 k n x n k n +=∑=求.lim n x x ∞ → 4. 计算??????+-??? ??+-∞→61231e 2lim n n n n n n 。5. 设()x x x f +-=11arctan ，求()()05f 。 6. 对k 的不同取值，分别讨论方程01323=+-kx x 在区间()+∞,0内根的个数。 7. 设a ，b 均为常数且2->a ，0≠a ，问a ，b 为何值时，有 ()()??-=?? ????-+++∞ +10212d 1ln d 122x x x a x x a bx x 。 8.设121-≥a ， ,,,n ,a a n n 321121=+=+，证明：n n a ∞ →lim 存在并求其值。 9.设()x f 是区间[]2+a,a 上的函数，且()1≤x f ，()1≤''x f ，证明：()2≤'x f ，[]2+∈a,a x 。 北京市竞赛试题(2008、2007、2006) .______,111,1.11 =-+++-→-m x x x m x m 则的等价无穷小是时设当 .________)1(,) ()2)(1()()2)(1()(.2='+++---=f n x x x n x x x x f 则设
初1数学竞赛教程含例题练习及答案⑵ (2)
初一数学竞赛讲座 第2讲数论的方法技巧（下） 四、反证法 反证法即首先对命题的结论作出相反的假设, 并从此假设出发, 经过正确的推理, 导出矛盾的结果, 这就否定了作为推理出发点的假设, 从而肯定了原结论是正确的。 反证法的过程可简述为以下三个步骤： 1．反设：假设所要证明的结论不成立, 而其反面成立； 2．归谬：由“反设”出发, 通过正确的推理, 导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾； 3．结论：因为推理正确, 产生矛盾的原因在于“反设”的谬误, 既然结论的反面不成立, 从而肯定了结论成立。 运用反证法的关键在于导致矛盾。在数论中, 不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。 解：如果存在这样的三位数, 那么就有 100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。上式可化简为 80a=b+c, 而这显然是不可能的, 因为a≥1, b≤9, c≤9。这表明所找的数是不存在的。 说明：在证明不存在性的问题时, 常用反证法：先假设存在, 即至少有一个元素, 它符合命题中所述的一切要求, 然后从这个存在的元素出发, 进行推理, 直到产生矛盾。 例 2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒, 再将得到的数与原来的数相加。试说明, 得到的和中至少有一个数字是偶数。 解：假设得到的和中没有一个数字是偶数, 即全是奇数。在如下式所示的加法算式中, 末一列数字的和d+a为奇数, 从而第一列也是如此, 因此 第二列数字的和b+c≤9。将已知数的前两位数字a, b与末两位数 字c, d去掉, 所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒, 得到的数 与它相加, 和的数字都是奇数”这一性质。照此进行, 每次去掉首 末各两位数字, 最后得到一位数, 它与自身相加是偶数, 矛盾。故和的数字中必有偶数。 说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。但对其他位数的数不一定成立。如12+21, 506+605等。 例3 有一个魔术钱币机, 当塞入1枚1分硬币时, 退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时, 退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时, 退出3枚1分硬币。小红由1枚1分硬币和1枚5分硬币开始, 反复将硬币塞入机器, 能否在某一时刻, 小红手中1分的硬币刚好比1角的硬币少10枚？ 解：开始只有1枚1分硬币, 没有1角的, 所以开始时1角的和1分的总枚数为 0+1=1, 这是奇数。每使用一次该机器, 1分与1角的总枚数记为Q。下面考查Q的奇偶性。
高中数学竞赛训练题 (3)
高中数学竞赛训练题 一、选择题（仅有一个选择支正确） 1．已知全集}{}{N n n x x B N n n x x A N U ∈==∈===,4,,2,,则（ ） （A ） B A U = (B) )(B A C U U = (C) B C A U U = (D) B C A C U U U = 2．已知b a ,是正实数,则不等式组???>+>+ab xy b a y x 是不等式组? ??>>b y a x 成立的（ ） （A ）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D)既不充分又不必要条件 3．等差数列{}n a 中,,336),9(30,1849=>==-n n S n a S 则n 的值是（ ） （A ）8 (B) 9 (C) 16 (D) 21 4．已知复数2 121 -+ =z z w 为纯虚数,则z 的值为（ ） （A ） 1 (B) 21 (C) 31 (D) 不能确定 5．边长为5的菱形,若它的一条对角线的长不大于6,则这个菱形对角线长度之和的最大值是（ ） （A ） 16 (B) 210 (C) 14 (D) 65 6．平面上的整点（横、纵坐标都是整数）到直线5 435+=x y 的距离中的最小值是（ ）（A ） 17034 (B) 8534 (C) 170343 (D) 30 1 7．若232,2,2++x y x x 成等比数列,则点),(y x 在平面直角坐标系内的轨迹是（ ） （A ） 一段圆弧 (B) 一段椭圆弧 (C) 双曲线的一部分 (D) 抛物线的一部分 8．若ABC ?的三边c b a ,,满足：,0322,0222 =+-+=---c b a c b a a 则它的最大内角的度数是（ ） （A ） 0150 (B) 0120 (C) 090 (D) 060
2013年全国大学生数学竞赛练习题(一)
2013年全国大学生数学竞赛练习题（一） 1.(第一届全国大学生数学竞赛初赛题)求极限2lim ()0 e x x nx e e e x n x +++→ 2.(第二届初赛题)设22(1)(1)...(1),n n x a a a =+++其中1a <,求lim n n x →∞ . 3.(第一届决赛题)设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x = 点可导,(1)0,(1)2f f '==,求220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 4.(第二届决赛题)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数, 且()(0),0,(0)f f f '''均不为0,证明:存在唯一一组实数123,,k k k ，使得 ()()()()1232 0230lim 0h k f h k f h k f h f h →++-=。 5.设()f x 在0x =的某邻域内有二阶导数， 且1 0()lim 13x x f x x x →? ?++=???? ,试求(0)f ,(0)f ',(0)f '' 6. (1)若函数()f x 在x 附近有连续的二阶导数， 且()0f x ''≠，则?θ由中值定理，,使得：0 ()=()(),lim ;h f x h f x hf x h →'+++θθ求 (2)若函数()f x 在x 附近有连续的非零n+1阶导数, 则0n ?θ≠,使得:()()=()()+(),!n n n h f x h f x hf x f x h n θ'+++ +0lim n h θ→求。 7.()lim[lim cos (!)]n m n f x m x π→∞→∞=求函数( x R ∈)的表达式 8. (刘丛志题) 当0x →时，估计无穷小量()f x =x 的阶. 9.求()lim (1)(0)k k n n n k →∞+-> 10.(刘丛志题)设 ()lim 20131n n n n αββ=→∞--,求,αβ的值。 11. (刘丛志题)求lim sin n ? ?→∞ 12.证明:limsin n n →∞? 13.0110,0,(),lim 2n n n n n a a a a a a a +→∞>>= +设求 14.设(1n n a b =+,其中,n n a b 为正整数,求lim n n n a b →∞. 15.(1)证明:(斯托尔兹定理) 12n +++lim lim n n n a a a a a a n →∞→∞=若=，则L (2)设11(0,1),(1)n n n x x x x +∈=-,试利用斯托尔兹定理证明lim 1n n nx →∞= (3)(第三届初赛题)若存在正整数p ,使得lim )n p n n a a λ+→∞-=（,试利用斯托尔兹定理证明lim n n a n p λ→∞=
小学六年级数学竞赛练习题及答案
小学六年级数学竞赛练习题及答案 第一组：填空题。（每题5分;第3题10分） 1、下面算式中的两个（）内应填什么数;才能使这道整数除法题的余数为最大。 （）÷25＝104……（） 2、两根同样长的绳子;一根剪去它的1 2;另一根剪去1 2 米。这时剩下的两段绳子仍是同样长。 这两根绳子原来长。 3、下面乘法算式中的“来参加数学邀请赛”八个字;各代表一个不同的数字。其中“赛”代表 9;“来”代表;“参”代表;“加”代表;“数”代表;“学”代表;“邀” 代表;“请”代表。 4、王阿姨用新机器织布。第一天织布253.5米;以后提高了织布技术;每天都比前一天多织布 15.5米。第7天她织布米;7天共织布米。 5、下图是由边长a的6个等边三角形拼成的正六边形。n个这样的正六边形的周长是。 6、甲、乙、丙三个组;甲组6人;乙组5人;丙组4人;现每组各选1人一起参加会议;一共有 种选法;如果三组共同推选一个代表;有种选法。 7、下图中;∠1、∠2、∠3、∠4的和是。 第三组：计算题。（每题5分） 999×87.5＋87.5 19xx99＋19xx9＋19xx＋199＋19
732066×55555×（4－3.2÷0.8） 3.49＋4.47＋3.51+2.38＋4.53＋2.62 第四组：应用题。（每题10分） 1、某厂运来一堆煤;如果每天烧煤1500千克;比计划提前一天烧完;如果每天烧1000千克;将比 计划多烧一天。如果要求按计划规定烧完;每天应烧煤多少千克？ 2、筑路队原计划每天筑路720米;实际每天比原计划多筑路80米;这样在规定完成全路修筑任 务的前3天;就只剩下1160米未筑。这条路全长多少米？ 3、下图是两个正方形;边长分别为5厘米和3厘米。阴影部分的面积是。 4、下面这张发票被墨汁污损了三处（用黑圆点代表被污损部分）;请你算出育英中学买了多 少块小黑板？
