近世代数习题解答张禾瑞四章

近世代数习题解答

第四章 整环里的因子分解

1素元、唯一分解

1. 证明：0不是任何元的真因子。

证 当0≠a 时

若b a 0=则0=a 故矛盾

当0=a 时，有00ε= （ε 是单位）

就是说0是它自己的相伴元

2. 我们看以下的整环I ，I 刚好包含所有可以写成

m m n (2是任意整数，0≥n 的整数） 形式的有理数，I 的哪些个元是单位，哪些个元是素元？

证 １）I 的单位

总可以把m 表为

p p m k (2=是０或奇数，k 非负整数）我们说

1±=p 时，即k m 2±=是单位，反之亦然

２）I 的素元

依然是k p p m k

,(2=的限制同上） 我们要求

ⅰ）0≠p

ⅱ）1±≠p

ⅲ）p k

2只有平凡因子 满足ⅰ）——ⅲ）的p 是奇素数

故p m k

2=而p 是奇素数是n

m 2是素元，反之亦然， ３．I 是刚好包含所有复数b a bi a ,(+整数）的整环，证明5不是I 的素元，5有没有唯一分解？

证 （1）I 的元ε是单位，当而且只当12=ε时，

事实上，若bi a +=ε是单位

则11-=εε

2'221εε= 即2'21εε= 但222b a +=ε是一正整数，同样2'ε

也是正整数， 因此，只有12

=ε 反之，若1222=+=b a ε，则0,1=±=b a

或1,0±==b a 这些显然均是单位

此外，再没有一对整数b a ,满足12

2=+b a ，所以I 的单位只有i ±±,1。 （２）适合条件52=α的I 的元α一定是素元。 事实上，若52=α则0≠α

又由α)1(也不是单位 若2225,λβαβλα=== 则12=β或52=β

ββ?=12是单位λαβλ?=?-12是α的相伴元

λλβ?=?=1522是单位βαλβ?=?-1是α的相伴元

不管哪种情形，α只有平凡因子，因而α是素元。

（３）I 的元5不是素元。

若βα=5则2225λβ= 这样，2β只可能是25,5,1 当52=β由)1(β是单位 当1522=?=λβ由)1(λ是单位

此即λβ,中有一是5的相伴元 现在看52=β的情形

5,222

=+=+=b a bi a ββ可能的情形是

???==21b a ???=-=

21b a ???

=1b a ???-=

-=2

1

b a ???=1b a ???-=1b a

???=-=12b a ???-=1b a

显然)2)(2(5i i -+= 由（２）知52=β的β是素元，故知５是素元之积

（４）５的单一分解

)21)(21(5i i -+=)21)(1)(21)(1(i i --+-=

)21)()(21)(()21)()(21)((i i i i i i i i --+=-+-=

i ±±,1均为单位

２唯一分解环

１．证明本节的推论

证 本节的推论是；

一个唯一分解环I 的n 个元n a a a ,,21 在I 里一定有最大公因子

， n a a a ,,21 的两个最大公因子只能查一个单位因子。

用数学归纳法证

当2=n 时，由本节定理３知结论正确。

假定对1-n 个元素来说结论正确。

看n 的情形

设 121,,-n a a a 有最大公因子为1-n d 。

1-n d ，n a 的最大公因子为d 即1-n d d 而a d n 1-i a d n i ?-=)1,,2,1( )1,,2,1(-=n i 又n a d

故d 是n n a a a a ,,1,2,1- 的公因子 假定i a d -n n i ,1,,2,1-=

1--?n d d 又n a d -d d -

?

这就是说，d 是n n a a a a ,,1,2,1- 的最大公因子

若'd 是n n a a a ,11- 的最大公因子 那么d d ' 且'd d 'ud d =?vd d ='uvd d =?

若 0=d 则o d ='

0≠d 则1=uv 即u 是单位ε

故d d ε=

２． 假定在一个唯一分解环里n n db a db a db a ===,,,2211

证明 当而且只当d 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子的时候，n b b b ,,,21 互素

证 ""?假定d 是n a a ,,1 的一个最大公因子

若 n b b b ,,21不互素

则有 n n c d b c d b '1'1,,== 而'd 不是单位

那么),,1(,'

n i c dd a i i == 这就是说'

dd 是n a a ,1的公因子 所以d dd '即 '''d dd d = 故1'''=d d 'd 是单位 矛盾

''''?假定n b b ,,1 互素

令'd 是n a a ,1的最大公因子

则有'd d 即d d '

i i c d a '=i c dd 1=),,2,1(n i =

i i c d b 1=1d ?是n b b ,,1 的公因子

于是1d 是单位

d d ε='

那么d 是n a a ,,1 的最大公因子

3． 假定I 是一个整环，)(a 和)(b 是I 的两个主理想

证明 )()(b a =当而且只当b 是I 的相伴元的时候

证 ''''?假定)()(b a =

a c

b cb a ',==a c

c a '=1'=cc

',c c 是单位

所以b 是a 的相伴元

''''?假定a b ε= （ε 单位）),(a b ∈)()(a b ?

)()(,1a a b a ?=-ε

故 （)()b a =

３主理想

１．假定I 是一个主理想环，并且d b a =),(

证明 d 是a 和b 的一个最大公因子，因此a 和b 的何最大公因子'd

都可写成以下形式：tb sa d +='),(I t s ∈

证 由于)(),(d b a =

有d a a d a 1),(=∈d b b d b 1),(=∈

d 是a b ,的公因子 仍由)(),(d b a =

知),(b a d ∈

故有 b t a s d ''+=

设1d 是b a , 的 任一公因子

由)(A 知d d 1即d 是b a ,的最大公因子

又d d ε=' （ε单位 ）

),(,)()()(''''I t s tb sa b t a s b t a s ∈+=+=+=εεε

２．一个主理想环的每一个最XX 想都是由一个元素所生成的。

证 设)(p 是主理想环I 的最XX 想，

并设0)(≠p 若p 是单位，则1)(=p

若p 不是素元

则bc p =， c b ,是p 的真因子

)()(b p ?

)(p 最XX 想 I b =∴)(

b b ?∈)(1是单位，矛盾。

３．我们看两个主理想环I 和0I 是I 的子环，假定a 和b 是0I 的两个元，

d 是这两个元在I 里的一个最大公因子。

证明：d 也是这两个元在I 里的一个最大公因子。

证 0I 是主理想环的子环，所以在0I 里)(),('d b a =

由本节习题１知

d 是b a ,的最大公因子，而且最大公因子d 有以下形式：

),(0I t s tb sa d ∈+=

d I I ,0?也是b a ,在I 里的公因子。

设 1d 是b a ,在I 里任意公因子

则1111,d b b d a a ==

那么)(11111tb sa d tb sa d +=+=

d d 1

故d 是b a ,在I 里的最大公因子。

4欧氏环

1. 证明:一个域一定是一个欧氏环.

证设F 是域,则F 一定是整环 0,≠∈x F x

n n x ,:→φ是某一个固定0≥的整数,这符合条件（ⅰ）

ⅱ）0,≠∈a F a 对F 的任何元b 都有0)(1

+=-b a a b 这里0=r

2. 我们看有理数域F 上的一元多项式环][x F 理想等于怎样的一个主理想?

证我们说][)1,1(3

52x F x x x =+++

1,1352+++x x x 互素

1)1(1)1(3523=++++-∴x x x x

即)1,1(13

52+++∈x x x 因而)()1()1,1(3

52x F x x x ==+++

3. 证明由所有复数b a bi a ,(+是整数)所作成的环是一个欧氏环

取(a a =)(φ)

证bi a +=αb a ,整数

令2

22)(b a +==ααφ

设0≠α 则0222≠+=b a α 任取di c +=βd c ,整数

其中22'22'

,b a bc ad b b a bd ac a +-=++= 故'',b a 是有理数取,yi x +=λ y x ,是有理数,且满足条件

21,21''≤-≤-y b x a 令 λαβλλη-=-=' 则ηαλαβ+=

因为,,,αλβ的实部与虚部系数均为整数,所以ηα的实部与

虚部系数亦均为整数

1)21()21()()(222'2'2'2

?+≤-+-=-=y b x a λλη 2

222ααηηα?= 设r =ηαr +=λαβ22α?r

即)()(αφφ?r

注意:取yi x +=λ使2

1'

≤-x a 21'≤

-y b 的整数y x ,是可以做到的 例如x b a bd ac x a -++=-22' 只要取??????++=22b a bd ac x 或122+??????++b a bd ac 即可使21'≤-x a 5多项式环的因子分解

1. 假定!是一个唯一分解环,Q 是I 的商域,证明,

][x l 的一个多项式若是在][x Q 里可约,它在][x l 里已经可约.

证 若)(x f 在][x l 里不可约,令)()(0x df x f =

)(0x f 是本原多项式

显然,)(0x f 在][x l 里也不可约,由引理3)(0x f 在][x Q 里不可约,

这与)(x f 在][x Q 里可约的假设矛盾.

2. 假定][x l 是整环I 上的一元多项式环.!属于)(x f 但不属于I ,并且)(x f 的最高系 数是I 的一个单位,证明)(x f 在][x I 里有分解.

证 )(x f 的最高系数是I 的单位,所以)(x f 的系数的最大公因子是单位,也就是说

)(x f 是本原多项式.

)()(x I x f ∈ 而)(x f I ∈

即)(x f 次数0?

根据本节引理4证明的前一部分)(x f 在)(x I 里有分解。

6因子分解与多项式的根

1. 假定R 是模16的剩余类环,][x R 的多项式2

x 在R 里有多少个根? 证2

x 在R 里的所有根是 ]12[],8[],4[],0[

这里因为][m 是2

x 的根,则需m 4

2. 假定F 是模3的剩余类环,我们看][x F 的多项式x x x f -=3

)(证明,0)(=a f 不管a 是F 的哪一个元.

证)2)(1()1)(1()(3++=-+=-=x x x x x x x x x f

不管a 是F 的,1,0或!2均使0)(=a f

3. 证明本节的导数计算规则

证0111)(a x a x a x a x a x f m

m n n n n +++++=--

01)(b x b x b x g m m +++=

ⅰ)')]()([x g x f +

'00111

1)]()()([b a x b a x b a x a x a m m m m m n n +++++++++=++

++++=+-m

m n n x a m x na 11)1(

)()(111

b a x b a m m m m ++++-

1

11

)1(-+-++++=m m m m n n x ma x a m x na

)()(''11

1x g x f b x mb a m m +=+++++-

111')([)]()([-+--+++=m n m n m n m

n m n x b a b a x b a x g x f

'000110])(b a x b a b a ++++

=11

)(1()(--+-+++m n m n m n b a m n x b a m n

+)()01102

1b a b a x b a m n m n +++-+-

))1(()()()()(12

11''a x a n x na x f x g x g x f n n n n ++-+=+---

)(01b b x b x m

m +++

))((01

111a x a x a b x mb n n n n m m ++++++---

)()(0110b a b a abx m n ++++= 故有

（ⅱ）[)()()()()]()('''x f x g x g x f x g x f +=

现在证明)()(])(['1'x f x tf x f t t -=

用数学归纳法证

2=t 时,利用（ⅱ）使)()(x g x f =有)()(2])(['2x f x f x f =

假设k t =时)(])([x kf x f t =

看1+=k t 的情形

''1])()([])([k k x f x f x f =+

''])()[()()(k k x f x f x f x f +

)]()()[()()('1'x f x kf x f x f x f k k -+=

=)()()1('x f x f k k +

故有(ⅲ) )()(])(['1'x f x tf x f t t -=