第一章集合
§1.1集合
基础知识点:
⒈集合的定义:一般地,我们把研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,
也简称集。
2.表示方法:集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示,
而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
3.集合相等:构成两个集合的元素完全一样。
4.常用的数集及记法:
非负整数集(或自然数集),记作N;
正整数集,记作N*或N+;N排除0的集.
整数集,记作Z;有理数集,记作Q;实数集,记作R;
5.关于集合的元素的特征
⑴确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如:“地球上的四大洋”(太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋)。“中国古代四大
发明”(造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;
而“比较大的数”,“平面点P周围的点”一般不构成集合,因为组成它的元
素是不确定的.
⑵互异性:一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的。.
如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1, 2},而不是{1, 1, 2}
⑶无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
练1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:
⑴大于3小于11的偶数;⑵我国的小河流;
⑶非负奇数;⑷方程x2+1=0的解;
⑸艺校校2011级新生;⑹血压很高的人;
⑺著名的数学家;⑻平面直角坐标系所有第三象限的点
6.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种)
⑴若a是集合A中的元素,则称a属于集合A,记作a∈A;
⑵若a不是集合A的元素,则称a不属于集合A,记作a?A。
例如,(1)A表示“1~20以的所有质数”组成的集合,则有3∈A,4?A,等等。
(2)A={2,4,8,16},则4∈A,8∈A,32?A.
典型例题
例1.用“∈”或“?”符号填空:
⑴8 N ; ⑵0 N ; ⑶-3 Z ; ;
⑸设A 为所有亚洲国家组成的集合,则中国 A ,美国 A ,印度 A ,英国 A 。
例2.已知集合P 的元素为2
1,,3m m m --, 若2∈P 且-1?P ,数m 的值。
第二课时
基础知识点
⒈列举法:把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{
}”括起来表示集合的方法
叫列举法。如:{1,2,3,4,5},{x 2
,3x+2,5y 3
-x ,x 2
+y 2
},…;
说明:⑴书写时,元素与元素之间用逗号分开;
⑵一般不必考虑元素之间的顺序;
⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序;
⑷集合中的元素可以为数,点,代数式等;
⑸列举法可表示有限集,也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单;若集合中的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列举法表示。 ⑹对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号,象自然数集N用列举法表示为{}1,2,3,4,5,......
例1.用列举法表示下列集合:
(1) 小于5的正奇数组成的集合;
(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合; (3) 从51到100的所有整数的集合; (4) 小于10的所有自然数组成的集合; (5) 方程2
x x =的所有实数根组成的集合;
⑹ 由1~20以的所有质数组成的集合。
⒉描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,称为描述法。。
方法:在花括号先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)围,再画
一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
一般格式:{}()
x A p x ∈
如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x 2
+1},{x|直角三角形},…;
说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2
+3x+2}
是不同的两个集合,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集Z 。
辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。写法{实数集},{R}也是错误的。
用符号描述法表示集合时应注意: 1、弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式? 2、元素具有怎么的属性?当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑。 例2.用描述法表示下列集合:
(1) 由适合x 2
-x-2>0的所有解组成的集合;
(2)方程2
20x -=的所有实数根组成的集合
(3)由大于10小于20的所有整数组成的集合。
说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意, 一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。
练习:
1.由方程x 2
-2x -3=0的所有实数根组成的集合;
2.大于2且小于6的有理数;
3.已知集合A ={x|-3 +1,x ∈A},则集合B 用列举法表示是 3、文氏图 集合的表示除了上述两种方法以外,还有文氏图法,即 画一条封闭的曲线,用它的部来表示一个集合,如下图所示: 二、集合的分类 观察下列三个集合的元素个数 1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 2. {x ∈R ∣0 3. {x ∈R ∣x 2 +1=0} 由此可以得到 集合的分类:::()empty set ?????-? 有限集含有有限个元素的集合 无限集含有无限个元素的集合 空集不含有任何元素的集合 典型例题 【题型一】 元素与集合的关系 1、设集合A ={1,32+-a },B={1,a 2 },且A=B ,数a 的值。 2、已知集合A ={a+2,(a+1)2 }若1∈A,数a 的值。 【题型二】 元素的特征 A 表示任意一个集合A 3,9,27 表示{3,9,27} 1、已知集合M={x ∈N ∣x +16 ∈Z },求M 巩固练习: 一选择题: 1.给出下列四个关系式:①3∈R ;②π?Q ;③0∈N ;④0?φ其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.方程组 的解组成的集合是( ) A.{2,1} B.{-1,2} C.(2,1) D.{(2,1)} 3.把集合{-3≤x ≤3,x ∈N }用列举法表示,正确的是( ) A.{3,2,1} B.{3,2,1,0} C.{-2,-1,0,1,2} D.{-3,-2,-1,0,1,2,3} 4. 已知A ={x|3-3x>0},则下列各式正确的是( ) A .3∈A B .1∈A C .0∈A D .-1?A 二填空题: 5.已知集合A ={1,a 2},实数a 不能取的值的集合是________. 6.已知P ={x|2<x <a ,x ∈N },已知集合P 中恰有3个元素,则整数a =________. 7. 集合M={y ∈Z ∣y= x +38 ,x ∈Z },用列举法表示是M = 。 8. 已知集合A ={2a,a 2 -a },则a 的取值围是 。 三、解答题: 9.已知集合A ={x|ax 2 -3x -4=0,x ∈R }. (1)若A 中有两个元素,数a 的取值围; (2)若A 中至多有一个元素,数a 的取值围. ???=-=+13 y x y x 1.1.2 集合间的基本关系 基础知识点 比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系: (1){1,2,3}A =,{1,2,3,4,5}B =; (2){}C =北京一中高一一班全体女生,{}D =北京一中高一一班全体学生; 观察可得: ⒈子集:对于两个集合A ,B ,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们说这两 个集合有包含关系,称集合A 是集合B 的子集(subset )。 记作:()A B B A ??或 读作:A 包含于B ,或B 包含A 当集合A 不包含于集合B 时,记作A ?B(或B ?A) 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系: ⒉集合相等定义:如果A 是集合B 的子集,且集合B 是集合A 的子集,则集合A 与集合B 中的元素是一样的,因此集合A 与集合B 相等,即若A B B A ??且,则A B =。 如:A={x|x=2m+1,m ∈Z},B={x|x=2n-1,n ∈Z},此时有A=B 。 ⒊真子集定义:若集合A B ?,但存在元素,x B x A ∈?且,则称集合A 是集合B 的真子集。 记作:A B (或B A ) 读作:A 真包含于B (或B 真包含A ) 4.几个重要的结论: ⑴空集是任何集合的子集;对于任意一个集合A 都有φ?A 。 ⑵空集是任何非空集合的真子集; ⑶任何一个集合是它本身的子集; ⑷对于集合A ,B ,C ,如果A B ?,且B C ?,那么A C ?。 练习:填空: ⑴2 N ; {2} N ; φ A; ⑵已知集合A ={x|x 2 -3x +2=0},B ={1,2},C ={x|x<8,x ∈N},则 A B ; A C ; {2} C ; 2 C 说明: ⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系,集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系; ⑵在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。 典型例题 1.写出集合{a,b,c }的所有子集,并指出其中哪些是真子集,哪些是非空的真子集。 2.已知集合M 满足{2,3}?M ?{1,2,3,4,5}求满足条件的集合M 。 3.已知集合A ={x |x 2 -2x-3=0},B={x |ax=1},若B A ,则实数a 的值构成的集合是( ) B A 表示:A B ? A.{-1,0, 31} B.{-1,0} C.{-1,31} D.{3 1 ,0} 4.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-且A B ?,数m 的取值围。 巩固练习 1、判断下列集合的关系. (1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q; (5) A={x| (x-1)2=0},B={y|y 2 -3y+2=0}; (6) A={1,3},B={x|x 2 -3x+2=0}; (7) A={-1,1},B={x|x 2 -1=0}; 2、设A={0,1},B={-1,0,1,2,3},问A 与B 什么关系? 3、已知集合}5|{<<=x a x A ,x x B |{=≥}2,且满足B A ?,数a 的取值围。 4、若集合{ }==-+=N x x x M ,062}{ 0))(2(=--a x x x ,且N M ?,数a 的值. 1.1.3 集合间的基本运算 基础知识点 C 与集合A ,B 之间的关系: (1){1,3,5}A =,{}{2,4,6}, 1,2,3,4,5,6B C ==; (2){}A x x =是有理数,{}{}, B x x C x x ==是无理数是实数; 1.并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为集合A 与集合B 的并集,即A 与B 的所有部分, 记作A ∪B , A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}。 Venn 图表示: 说明:定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。 讨论:A ∪B 与集合A 、B 有什么特殊的关系? A ∪A = , A ∪Ф= , A ∪ B B ∪A A ∪B =A ? , A ∪B =B ? . 巩固练习(口答): ①.A ={3,5,6,8},B ={4,5,7,8},则A ∪B = ; ②.设A ={锐角三角形},B ={钝角三角形},则A ∪B = ; ③.A ={x|x>3},B ={x|x<6},则A ∪B = 。 2.交集定义:一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,叫作集合A 、B 的交集(intersection set ), 记作:A ∩B 读作:A 交B 即:A ∩B ={x|x ∈A ,且x ∈B} Venn 图表示: 常见的五种交集的情况: 说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个 集合没有交集 讨论:A ∩B 与A 、B 、B ∩A 的关系? A ∩A = A ∩φ= A ∩ B B ∩A A ∩ B =A ? A ∩B =B ? 巩固练习(口答): ①.A ={3,5,6,8},B ={4,5,7,8},则A ∩B = ; ②.A ={等腰三角形},B ={直角三角形},则A ∩B = ; ③.A ={x|x>3},B ={x|x<6},则A ∩B = 。 3.一些特殊结论 ⑴若A B ?,则A ∩B=A ; ⑵若B A ?,则A ?B=A ; ⑶若A ,B 两集合中,B=φ,,则A ∩φ=φ, A ?φ=A 。 A B A(B) A B B A B A (阴影部分即为A 与B 的交集) 典型例题 【题型一】 并集与交集的运算 【例1】设A={x|-1 解:A ∪B={x|-1 【例2】设A={x|x>-2},B={x|x<3},求A ∩B 。 解:在数轴上作出A 、B 对应部分如图 A ∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2 【例3】已知集合A ={y |y=x 2-2x-3,x ∈R },B={y |y=-x 2 +2x +13,x ∈R }求A ∩B 、A ∪B 【题型二】 并集、交集的应用 例:.已知{3,4,m 2 -3m-1}∩{2m ,-3}={-3},则m = 。 巩固练习 1、 设A={x|x 是等腰三角形},B={x|x 是直角三角形},则A ∩B = 。 2、设A={x|x 是锐角三角形},B={x|x 是钝角三角形},则A ∪B = 。 3、设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},则A ∪B = 。 4、已知集合M ={x|x-2<0},N={x|x+2>0},则M ∩N 等于 。 5、设A ={不大于20的质数},B ={x|x =2n+1,n ∈N*},用列举法写出集合A ∩B = 。 6、若集合A ={1,3,x },B={1,x 2 },A ∪B ={1,3,x },则满足条件的实数x=_____________ 7、满足条件M ∪{1}={1,2,3}的集合M 的个数是 。 8.已知集合A ={x|-1≤x ≤2},B={x|2a <x <a+3},且满足A ∩B = ,则实数a 的取值围是 。 集合的基本运算㈡ 基础知识点 全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、 B={全班没有参加足球队的同学},则U 、A 、B 有何关系? 集合B 是集合U 中除去集合A 之后余下来的集合。 (一). 全集、补集概念及性质: ⒈全集的定义:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么 就称这个集合为全集,记作U ,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 ⒉补集的定义:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合,叫作集 合A 相对于全集U 的补集, 记作:U C A ,读作:A 在U 中的补集,即{} ,U C A x x U x A =∈?且 Venn 图表示:(阴影部分即为A 在全集U 中的补集) 说明:补集的概念必须要有全集的限制 讨论:集合A 与U C A 之间有什么关系?→借助Venn 图分析 , ,()U U U U A C A A C A U C C A A ?=??== , U U C U C U =??= 巩固练习(口答): ①.U={2,3,4},A={4,3},B=φ,则U C A = ,U C B = ; ②.设U ={x|x<8,且x ∈N},A ={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则U C A = ; ③.设U ={三角形},A ={锐角三角形},则U C A = 。 典型例题 【例1】.设全集{} {}{},1233456U x A B ===x 是小于9的正整数,,,,,,, 求U C A ,U C B . 【例2】设全集{}{}{} 4,23,33U x x A x x B x x =≤=-<<=-<≤集合,求U C A , A B ?,,(),()(),()(),()U U U U U U A B C A B C A C B C A C B C A B ?????。 (结论:()()(),()()()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ?=??=?) 【例3】设全集U 为R ,{ } {} 2 2120, 50A x x px B x x x q =++==-+=,若 {}{}()2,()4U U C A B A C B ?=?=,求A B ?。(答案:{}2,3,4) C A,并且【例4】设全集U={x|-1≤x≤3},A={x|-1<x<3},B={x|x2-2x-3=0},求 U C A和集合B的关系。 判断 U 巩固练习 1.若S={2,3,4},A={4,3},则C S A=__________________; 2.若S={三角形},B={锐角三角形},则C S B=__________________-; 3.若S={1,2,4,8},A=?,则C S A=___________; 4.若U={1,3,a2+2a+1},A={1,3},C U A={5},则a= ; 5.已知全集U=R,集合A={x|0 6.已知集合M?{4,7,8},且M中至多有一个偶数,则这样的集合为__________________ 提高容: 7.A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且A B ={3,7},求B. 8.已知M={1},N={1,2},设A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y∈M},求A ∩B,A∪B. 高一数学必修1集合单元综合练习(Ⅰ) 一、填空题(本大题包括14小题;每小题5分,满分70分) 1、U ={1,2,3,4,5},若A ∩B ={2},(C U A )∩B ={4},(C U A )∩(C U B )={1,5},则下列结论正确的是 . ①、3A 且3B ;②、3A 且3B ; ③、3 A 且3 B ;④、3 A 且3 B 。 2、设集合M ={x |-1≤x <2},N ={x |x -k ≤0},若M ∩N ≠,则k 的取值围是 3、已知全集I ={x |x R },集合A ={x |x ≤1或x ≥3},集合B={x |k <x <k +1,k R }, 且(C I A )∩B = ,则实数k 的取值围是 4、已知全集U Z =,2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==,则U A C B 为 5、设a b ∈R ,,集合{}10b a b a b a ??+=? ??? ,,,,,则b a -= 6、设集合M =},2 14 |{},,4 12 |{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=,则M N 。(选填 、、、?、 =、N M ?、N M ?) 7、设集合{} R x x x A ∈≥-=,914, ? ?? ???∈≥+=R x x x x B ,03, 则A ∩B = 8、设P 和Q 是两个集合,定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈?,且,如果{}2|log 1P x x =<,{}|21Q x x =-<,那么P Q -等于 9、已知集合{}|1A x x a =-≤,{} 2540B x x x =-+≥.若A B =?,则实数a 的取值围是 10、设集合S ={A 0,A 1,A 2,A 3},在S 上定义运算⊕为:A 1⊕A =A b ,其中k 为I +j 被4除的余数,I ,j =0,1,2,3.满足关系式=(x ⊕x )⊕A 2=A 0的x (x ∈S )的个数为 11、集合(){}(){},||2|,0,,|,A x y y x x B x y y x b A B = ≥-≥=≤-+?≠?,b 的取值围 是 . 12、定义集合运算:{ } ,,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合 A B * 的所有元素之和为 13、设集合∈<≤=x x x A 且30{N }的真子集... 的个数是 14、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的 有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有____ 人。 二、解答题(本大题包括5小题;满分90分)解答时要有答题过程! 15、(13分)已知全集U={} 22,3,23a a +-,若A={},2b ,{}5U C A =,数的a ,b 值。 16、(14分)若集合S ={}23,a ,{}|03,T x x a x Z =<+<∈且S ∩T ={}1,P =S ∪T ,求集合 P 的所有子集 17、(16分)已知集合A ={} 37x x ≤≤,B ={x |2 18、(18分)已知集合A 的元素全为实数,且满足:若a A ∈,则 11a A a +∈-。 (1)若3a =-,求出A 中其它所有元素; (2)0是不是集合A 中的元素?请你设计一个实数a A ∈,再求出A 中的所有元素? (3)根据(1)(2),你能得出什么结论 19、(14 分)集合 {}22|190A x x ax a =-+-=,{}2|560B x x x =-+=, {}2|280C x x x =+-= 满足,A B φ≠,,A C φ=数a 的值。 高一数学必修1集合单元综合练习(Ⅱ) 一、填空题(本大题包括14小题;每小题5分,满分70分) 1、集合{a ,b ,c }的真子集共有 个 2、以下六个关系式:{}00∈,{}0??,Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? , {}2 |20,x x x Z -=∈ 是空集中,错误的个数是 3、若}4,3,2,2{-=A ,},|{2 A t t x x B ∈==,用列举法表示B 4、集合A={x| x 2 +x -6=0}, B ={x | ax +1=0}, 若B ?A ,则a =__________ 5、设全集U ={ } 2 2,3,23a a +-,A ={}2,b ,C U A ={} 5,则a = ,b = 。 6、集合{}33|>-<=x x x A 或,{}41|><=x x x B 或,A B ?=____________. 7、已知集合A ={x |2 0x x m ++=}, 若A∩R =?,则实数m 的取值围是 8、50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得 正确得有31人,两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人. 9、某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人. 10、设集合U ={(x ,y )|y =3x -1},A ={(x ,y )| 1 2 --x y =3},则C U A = . 11、集合M ={y ∣y = x 2 +1,x ∈ R },N ={y ∣ y =5- x 2 ,x ∈ R },则M ∪N = . 12、集合M ={a | a -56 ∈N ,且a ∈Z },用列举法表示集合M ={ } 13、已知集合}023|{2 =+-=x ax x A 至多有一个元素,则a 的取值围 ;若至少有一个元素,则a 的取值围 。 14、已知集合}023|{2 =+-=x ax x A 至多有一个元 素,若至少有一个元素,则a 的取值围 。 二、解答题(本大题包括5小题;满分90分)解答时要有答题过程! 15、(15分)已知集合A ={} 2320,.x ax x a R -+=∈ (1)若A 是空集,求a 的取值围; (2)若A 中只有一个元素,求a 的值,并把这个元素写出来; (3)若A 中至多只有一个元素,求a 的取值围。 16、(13分)已知全集U=R ,集合A ={} ,022=++px x x {} ,052=+-=q x x x B {}2=?B A C U 若,试用列举法表示集合A 。 17、(14分)设2 2 2 {40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈,如果 A B B =,数a 的取值围。 18、(16分)已知集合}023|{2 =+-=x x x A ,}0)5()1(2|{2 2 =-+++=a x a x x B , (1)若}2{=B A ,数a 的值;(2)若A B A = ,数a 的取值围; 19、(14分)已知集合}02|{2 ≤-+=x x x A ,B ={x|2 }0|{2>++=c bx x x C ,且满足φ=??C B A )(,R C B A =??)(,求b 、c 的值。