07大学生物理竞赛试卷
最新第二十一届大学生物理竞赛试卷
北京物理学会编印
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说明：所有题全体考生都必做，满分为120分。评奖时，将考生分为物理类组、非物理类A 组、非物理类B 组和物理少学时组，分别评奖。
一．填空题（每题两空，每空2分，共48分）
1．一火箭在环绕地球的椭圆轨道上运动，为使它进入逃逸轨道需要增加能量，为此发动机进行了短暂的点火，把火箭的速度改变了v
，只有当这次点火在轨道 点，且沿
着 方向时，所需v 为最小。 2．一个质量为m 的小球从一个半径为r ，质量为M 的光滑半圆柱顶点下滑，半圆柱底面和水平面光滑接触，写出小球在下滑过程中未离开圆柱面这段时间内相对地
面的xy o 坐标系的运动轨迹方程 。如果半圆柱固定，小球m 离开半圆柱面时相对y 轴的偏转角 。
3.常温下，氧气可处理成理想气体，氧气分子可视为刚性双原子分子。 6g 1的氧气在0T 温度下体积为0V . （1）若等温膨胀到02V ，则吸收热量为_______________________________；(2)若先绝热降温，再等压膨胀到（1）中所达到的终态，则吸收热量为 ___________________。
4． 我们可以用热机和热泵（逆循环热机）构成一个供暖系统：燃烧燃料为锅炉供热，令热机工作于锅炉与暖气水之间；用热机输出的功作为热泵的动力，热泵从室外天然水池取热，向暖气水供热. 设向锅炉供热量为0Q ，锅炉、暖气水、天然水池温度分别为C 227o
、C 57o
和C 7o
，则热机输出的功和暖气水所获的热量的理想值为________________________和 ______________________. （热机和热泵均是可逆卡诺机，不计各种实际损失）。
5．在半径为1R 、电荷密度为 的均匀带电球体中，有一个半径为2R 的球形空腔，球形空腔中心相对球体中心的位置矢量为0r
，如图所示。（1）则球形空腔内电场强度的分布为 E
______________________________； (2) 在图中用电场线图示电场强度的分布情况。
6．空气介质平行板电容器的极板面积为S ，开始时两极板的距离为d ，两极板与电压为0V 的电池相连接。现用外力把两极板的距离拉开为d 2。求在外力把两极板距离拉开的过程中，电容器能量增加量为_______________________，外力所做功为_______________________。
7．（1）用A 10电流为蓄电池充电，充电快结束时测得蓄电池端电压为V 20.2；这个蓄电池用A 6电流放电时，端电压为V 88.1；此蓄电池的电动势为__ ______________。 （2）黑箱有四个接线端，允许电池接在任意两个接线端之间；
若电压为V 的电池接在黑箱的AB 端，则接在黑箱CD 端的电压表指示为V ；若电池接在黑箱的CD 端，则接在黑箱AB 端的电压表指示为V ，黑箱内为无源简单电路，试在图上画出黑箱内可能的电路图.。
8．真空中电路ABCD 如图，AB 为与x 轴平行的直线，BC 为半径为R 的圆弧（41圆周），CD 为沿y 轴的直线，D A , 为无限远点，电流强度为I . 则原点O 处磁感应强度
B
____________________，并在图中清楚明确地标示出B .
9．一束线偏振光经过一个1/2波片，然后再经过一个1/4波片。两个波片的光轴平行，偏振光原先的偏振方向与光轴的夹角为8
，经过1/2波片后变为线偏振光，
偏振方向与光轴的夹角为 , 再经过1/4 波片后变为 光。
10．两个在同一直线上沿相反方向以速度V 飞行的飞船A （向左飞向），B(向右)，飞船A 中的观察者看到相对其静止的中子的寿命为 ，那末飞船B 中的观察者看到的此中子的寿命为 ；A 船看到B 船的速度为 。 11．人一般能看到的光，其波长从红光 A 到紫光
A ， 它们相应的光量子能量为 至 电子伏特。 12.如果加热氦气，使氦原子的热运动平均动能达到两个原子相碰时可将其中的一个氦原子 从基态激发到第一激发态（高于基态19.8电子伏特）。试估计此时氦原子的温度
是 K
。太阳表面温度约6000K
，太阳表面的氦原子一般处在 态。
二．计算题（每题12分，共72分）
13．一个质量为m 的卫星围绕着质量为M ，半径R 的大星体作半径为R 2的圆运动。从远处飞来一个质量为m 2，速度为R
GM
v
的小流星。恰好沿着卫星的运动方向追上卫星并和卫星发生激烈的碰撞，结成一个新的星体，作用时间非常短暂。假定碰撞前后位置的变化可以不计，新星的速度仍沿原来方向。
（1）用计算表明新的星体的运动轨道类型，算出轨道的偏心率e ；
（2）如果小流星沿着卫星速度的反方向发生如上的碰撞，算出此时新星体的轨道偏心率e ，给出新星体能否与大星体M 碰撞的判断。
14．受迫振动的稳定状态由下式给出
2
202
22220arctan
,4)(),cos(
h
A t A x 其中H h m
，而cos()H t 为胁迫力，2 =m
, 其中dx dt 是阻尼力。有一偏车轮的汽车上有两个弹簧测力计，其中一条的固有振动角频率为039.2727 s -1，另外一条的固有振动角频率为
0'78.5454 s -1，在汽车运行的过程中，司机看到两条弹簧的振动幅度之比为7。设 为小量，
计算中可以略去，已知汽车轮子的直径为1米，求汽车的运行速度。
15．在用白光进行的杨氏双缝实验中，在屏幕中心一侧的7000
A 波长光的亮条与另外一侧的同样颜色的一条亮线之间的距离为1.4 cm ，(1)求在屏幕中心同一侧的4000
A 与6000
A 光的一级亮条之间的距离。(2)如果在其中一个狭缝的附近放一个对所有波长都有效的半波片，请给出7000
A ，6000
A ，4000
A 的零级极大离屏幕中心点的距离。
16．在圆环上任取小段圆弧，如果它的两端受其余部分的作用力均是拉力，则称环内有张力，如果均是推力，则称环内有挤压力。这两种力同记为T ，0 T 代表张力，0 T 代表挤压力。将半径 R 、质量 m 、电荷量q 的匀质带电刚性细圆环静放在光滑绝缘水平桌面上，圆环外无磁场，圆周和圆内有竖直向上的均匀磁场。设t=0时磁感应强度B=0，而后B 随时间线性增大，比例系数为k 。由于电磁感应，圆环将环绕圆心旋转，设圆环电阻足够大，环内不会形成传导电流。试问 t>0 时刻圆环因旋转而在环内产生的是张力还是挤压力，进而计算此力的大小。
17．1摩尔单原子理想气体，从初态),(00V p 经过一个准静态压缩过程到达终态)4
1,8(00V p 。 （1） 计算此气体的熵增量S ；
（2） 假设全过程的每一小过程中，气体对外作功dW 与吸热量dQ 之比dQ
dW
为常量
，试求 。
18．将劲度系数为k 、自由长度为L 、质量为m 的均匀柱形弹性体竖直朝下，上端固定，下端用手托住。
（1） 设开始时弹性体处于静止的平衡状态，其长度恰为L ，试求此时手的向上托力0F ； （2） 而后将手缓慢向下移动，最终与弹性体下端分离，试求期间手的托力所作功W 。
第二十一届大学生物理竞赛试卷
参考答案及评分标准
北京物理学会编印 2004.12.12
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一．填空题（每题两空，每空2分，共48分） 参考答案和评分标准
1.近地点、火箭运动；
2. 12
222
r y m M Mr x 、32cos 1 ； 3. 2ln 5.00RT 、])21(1[2752
0 RT ； 4. 0034.05017Q Q ，009.1125238
Q Q ；或0.66Q 0、
，2.9 Q 0 5. 00
3r E
，与 0r 平行的一组电场线； 6.d
SV 42
00
，d
SV 42
00
；
7.（1）2.00V 、(2) 如一.7（2）题答案图；
8．
)2
(40j i R I
、如一.8题答案图； 9．8
、椭圆偏振光； 10.
22
21V
V c
11. 7000 A 、4000
A ；1.7eV 、3.1eV （解：
eV eV J m s m s J c
h
h E 1.3106.11)(1095.4)(104)/(100.3).(10
6.619
19
7834
＝紫
eV E 7.1＝红
12．K T
510 ；基态 解：;8.1923eV kT K T
523
1910)
1038.1(3)106.1(8.192 13．参考答案和评分标准
（1）碰撞剧烈，动量守恒，卫星圆运动的速度R
GM
v 21
一．7（2）题答案图 一．8题答案图
mv R GM
m R GM m
322 （v 为新星速度） （1分） R
GM
v 23122
（1分）
新星的能量 R
m GM R m GM R m GM v m E 4.52)3(2)3(189242)3()3(212
（1分） 根据0 E ，轨迹为椭圆 （1分）
又根据能量 E 和椭圆半长轴a 的关系
R a a m GM E 4.52)3( （1分）
由于形成新星的起始位置、速度是水平方向，该点是椭圆的近地点，
R r 2＝近 ，63.0
a
r a e 近
（1分） （2）动量守恒
'322mv R GM m R GM m
，R
GM
v 23122' （1分） 新星的能量
R
m GM R m GM R m GM v m E 2.12)3(2)3(189242)3()3(212
（1分） 根据0 E ，轨道为椭圆，E 与半长轴的关系
R a a m GM E 2.12)3( （1分）
此时新星起始点位置为远地点，R r 2＝远，偏心率 4.0
a
a
r e －远 （1分） 判断能否与大星体相碰，看R r 近
现在R R R r a r 24.22＝＝远近 一定相碰。 （2分）
14．参考答案和评分标准（此答案假定1A 的频率是0 ，2A 的频率是0' ）
2
20
12220()7(')
A A ， （4分）
由题目给出的条件得到汽车的胁迫力的角频率为 ＝27.77 s -1 （4分）
而车轮转动的频率为
2
f =4.42Hz （2分） 这样汽车的速度为 s m fr r v /885.132 ≈50 km/h （2分）
15．参考答案及评分标准
（1） 白光干涉只能有一级极大，一级最大的位置为 （能够说出只有一级极大给2分）
D x d
由题意得到2x=1.4cm,由此得出
410D
d
， （2分） 同一侧两条不同颜色的一级极大之间的距离
47
12()102000210A D x d
。 （2分）
(2) 此时零级极大的位置由
2D
x d
（2分） 给出。
由此可以分别求出 7000， 6000， 4000离中心的位置为
7
7
7
3.510A,7000A,
3.010A,6000A,2.010A,
4000A,
, (3分) 在中心的上方（给1分）。
16．参考答案与评分标准
涡旋电场在圆环处的场强方向如图1所示，大小为
R k
dt dB R E 2
2
（2分） 圆环因电场力获得的切向加速度大小为
R m
kq
m qE a 2 ＝
切 （1分） t>0时刻，圆环运动速度大小为
Rt m
kq
t a v 2
切 （1分） 取圆心角为 d 对应的小圆弧，所受洛仑兹力指向圆心，如图2所示，大小为
d qvB
vB dq dF 2)
＝（洛 （2分） 所需向心力的大小为
d R
mv R v dm dF 2)2
2 ＝（心 （2分）
设T
的方向如图所示，则有
Td dF d T dF dF ＋＋＝洛洛心 2sin
2，解得 )(2qB R
mv v T （2分） 将kt B m
kqRt
v ,2代入，可得 2222228,8t m R q k T t m R q k T
（2分） 因此T 的方向与图2所示相反，为挤压力，大小为
2
228t m
R q k 。 17． 参考答案与评分标准
（1） 根据理想气体熵增公式 1
2,12,ln ln
V V
C p p C S m p m v （2分） 结合已知参量： 01020102,,,4
,,8,23
,25,1V V V V p p p p R C R C m V m p 可以算得：2ln 2
1
41ln 258ln 23R R R S
（2分） （2）由 RdT pdV dU dW dQ 2
3
（2分）
pdV dW dQ
得 02
3
)1
1(
RdT pdV
（2分） 与 RdT Vdp pdV 联立，消去dT 后
可得
32
5,0 n p dp V dV n
其中 （2分） 积分后，有 n
n
V p V p 1122 （1分）
将020102014
1
8V V V V p p p p 、、、代入后，得 4,2
3
n （1分）
18． 参考答案与评分标准
（1） 假如悬挂的弹性体不受重力和手的托力，则柱形弹性体处处无形变，将悬挂点记为0 x ，
弹性体沿长度方向各部位均可用坐标)0(L x x 标记。
真实情况下，弹性体在重力作用下要发生形变，即使手提供向上的托力，弹性体各处形变仍是不可消除的。某时刻假设托力记为F ，弹性体处于静止的平衡状态。取弹性体原x 到L x 段，其上端
拉力应为 F mg L
x
L T
（2分） 0 T 时为拉力，0 T 时实为推力（挤压力）
。弹性体原x 到dx x 段的劲度系数为 k dx
L k dx （2分）
两端受拉力几乎同为T ,伸长量 dx F mg L
x L Lk k T d dx )(1
0 d 时为伸长量，0 d 时实为压缩量。弹性体的总伸长量便是 k
F
k mg d y L
20 （2分）
开始时0 y ，即得 mg F 2
1
0 (1分)
(2)将手缓慢向下移动过程中，弹性体总伸长量从0 y 到0 F 对应的 k
mg
y e 2
（1分） 在0 y y e 过程中，拉力F 可表述成 ky mg F 2
1
（1分） 过程中托力作功为 k
g m Fdy W ee
y 2
20
81
（3分）