电动力学复习总结第三章-稳恒磁场
第三章稳恒磁场一、填空题
1、已知半径为a圆柱形空间的磁矢势
22
1
(),
4z
A J a r e r a
μ
=-<
(柱坐标),该区域
的磁感应强度为（）.
2、稳恒磁场的能量可用矢势表示为（）.
3、分析稳恒磁场时,能够中引如磁标势的条件是（）.在经典物理
中矢势的环流L A dl ?
?
表示（）.
4、无界空间充满均匀介质,该区域分布有电流,密度为()
J x',空间矢势A的解析表达式（）
5、磁偶极子的矢势(1)
A等于（）；标势(1)m?等于（）.
6、磁偶极子在外磁场中受的力为（）,受的力矩（）.
7、电流体系()
J x'的磁矩等于（）.
8、无界空间充满磁导率为μ均匀介质,该区域分布有电流,密度为()
J x',空间矢
势A的解析表达式（）.
二、选择题
1、线性介质中磁场的能量密度为
A.H B ?21
B. J A
?2
1 C. H B ? D. J A ? 2、 稳恒磁场的泊松方程J A μ-=?2
成立的条件是
A ．介质分区均匀 B.任意介质
C.各向同性线性介质
D.介质分区均匀且0=??A
3、 引入磁场的矢势的依据是
A.0=??H ;
B.0=??H
; C.0=??B ; D. 0=??B 4、 电流J 处于电流
e
J 产生的外磁场中, 外磁场的矢势为
e
A ,则它们的相互作用
能为
A. e V
A Jdv ?? B.
1
2e V
A Jdv ?? C. e e V A J dv ?? D. V
A Jdv ?? 5、 对于一个稳恒磁场
B ，矢势A 有多种选择性是因为
A.A 的旋度的散度始终为零;
B.在定义A 时只确定了其旋度而没有定义A 散度;
C. A 的散度始终为零; 6、 磁偶极子的矢势A 和标势?m 分别等于
A. 330,44?πμπ??=
=
m R m R
A R R B. 033,44μ?ππ??==m R m R A R R C. 033,44m R m R A R R μ?ππ??=
= D. 33
0,44?ππμ??==m R m R
A R R
7、 用磁标势解决静磁场问题的前提是
A.该区域没有自由电流分布
B. 该区域是没有自由电流分布的单连通区域
C. 该区域每一点满足0=??B
D. 该区域每一点满足0B J μ??=.
三、 问答题
1、 在稳恒电流情况下，导电介质中电荷的分布有什么特点
2、 判定下述说法的正确性，并说明理由： （1） 不同的矢势，描述不同的磁场； （2） 不同的矢势，可以描述同一磁场； （3） 0B =的区域，A 也为零。
3、 在空间充满介质与无介质两种情况下，若电流分布相同，它们的磁场强度是
否相同 4、 由12W B Hdv ∞=
??，12v W A Jdv =??,有人认为静磁场的能量密度是12
B H ?，有人认为是1
2
A J ?，你怎么认为，为什么 。
5、 试比较静电场和静磁场。
6、 描述磁场B 的、满足A ??=0的矢势，是什么性质的矢量场它是否是唯一的
理由是什么
7、 我们知道，在J =0的区域，磁场强度满足0??H =，如果我们把它表示成
m ??H =-，此方程仍能成立。试述这样引入m ?所存在的问题。
8、 磁标势微分方程是否说明存在真正的磁荷
9、 对于直长导线的磁场，在什么样的区域可以引入磁标势 10、
试用磁荷观点与分子电流观点求一个磁化矢量为()x M 的永磁体在空间
激发的磁场，并证明所得结果是一致的。 答：①依磁荷观点：
整个空间中0,0,0J H B →
→
→
=??=??= 由0H →
??=引入m ?，即H 可表为m H ?=-?
00m B M μ?μ?=-?+，其中
()0
=???m ?……⑴
②依分子电流观点：
M J M =??，而依照题意有：0f J =，0D J =，即：0B M μ??=??
?
B
M ?μ=-?
00B M μμ??=-?且()0????=……⑵
比较⑴⑵知，所得结果是一致的。
11、 试说明：分布于有限区域的电流系，在R →∞时，其矢势A
21
R
，其磁感应强度B
3
1R 。 解：因有限区域的电流系可以分成许多闭合流管，∞→R 时，其失势场主要由闭合流管的磁偶极势和场决定
即： )
1(→A =2
301
~4R
A R R m →→
→
??πμ (1)
(1)
0331()~4R B A m B R R μπ→
→
→→
→=??=-???
12、 我们知道，对于闭合电流圈，在场点离其很远的情况下，其矢势和场由
其磁偶极势和场所决定。因此，在上述条件下，人们常说小闭合电流圈与一磁偶极子等效。试问，当场点离电流圈不是很远时，闭合电流能否与某种分布的磁偶极子等效
解：设电流线圈电流为I.当场点离电流圈不是很远时，闭合电流的场不能等效为一个磁偶极子的场，，但闭合电流的磁场可看作线圈所围的一个曲面上许多载电流I 的无限小线圈组合而成,如图,磁场就是许多无限小线圈的磁场矢量和. 如图3-12 13、
有一很长的柱面，表面有均匀分布的电流沿轴向流动，有人为了求柱面
内长度为l 的一段柱体之中的磁场能量，使用了如下的公式：
1
2L W dv =
??
A J 按此公式，由于柱内0=J ，因此磁场能0W =L 。试问这样做对否为什么
解：这样做显然是不对的，因为磁场能量应为1(2
w B H dv →→
=??普遍式），
dm IdS =
3-12图
12W A J dv =??仅对总能量有意义，→
→?J A 2
1并非能量密度。
14、 如何对小电流圈在远处的矢势作多极展开试证明展开式的第一项
0=(0)A ，第二项(1)A 可表为043R μπ?=
(1)m R A ，其中'
212
m x 1dl =??。 解：对小电流圈在远处的矢势，R 〉〉X →
'时，则
??+???+??-=∑→R x x x x R x R r j
i j j i i 1
''211'112.！ 又: 0
(')
A()'4j x x dv r
μπ
=
?
所以 0')'(4)(0)0(===→→
→→
→??l Id dv x J R
x A πμ '1
')'(40)
1(dv R
x x J I A
??-=→→→→?πμ 对于一个闭合流管，有：''4'1'43
00)
1(→
→
→
→
→
→?=??-=??l d R R x I l d R x I A
πμπμ
式中，3R
R
→
与积分变量无关，且'→x 为线圈上各点坐标，则''→→=x d l d
又由0'=???
??????? ?
?→→→?x R x d （全微分绕闭合回路的线积分为零）得
()''''0x R d l d l R x →→→→
→→
???+?= ???
??
11'''''''22x R d l x R d l d l R x x dl R →→→→→→→→→→→→???????????=?-?=?? ? ? ? ????????????????
所以3
030)
1(4''24R R m R l d x I R A →
→→
→
→
→?=???
?? ??=?πμπμ，其中'2→→→?=?l d x I m 。 15、
磁场矢势的展开中()
00=A ，这说明什么试与电多极距比较.
答: 电势多极展开:(0)(1)(2)()x ????=+++
01111
46Q p D R R R πε??
=
-??+????+
????
矢势多极展开: (1)(2)03
4m R
A A A R
μπ→→
?=++
=
+
可见,磁场和电场不同，展开式中不含磁单极项。这是磁单极不存在的必然结果. 16、
简述阿哈罗诺夫—玻姆效应的结果
答:在不存在磁场的区域, 矢势0A ≠,矢势A 可以对电子发生作用, 哈罗诺夫—玻姆效应表明矢势A 和φ具有可观测的物理效应。哈罗诺夫—玻姆效应是量子力学现象. 17、
试证明在似稳条件下，每个瞬时有：
（1）对无分支交流电路，电路各处的电流强度是相等的；
（2）对有分支的交流电路，在分支点处基尔霍夫第一定律仍然成立。 解：在似稳条件r
λ满足时，电磁场的波动性可以忽略，推迟效应可以忽略，
场与场源的关系近似地看作瞬时关系，位移电流0D D
J t
?=
≈?,所以场方程变为 ,,
H J B
E t
→
→
→??=???=-? 对H J →→??=两边取散度得:：0,:0J J d S →→→
??=?=?即
⑴无分支电路，任选两处A ，段电路可由S 1截面，S 侧表面，S 2截面围成一闭合曲面，则由似稳条件有120J d S J d S J d S →
→
→
→
→
→
?+?+?=???侧
21210I I S d J S d J =?=?+??→
→
→
→
??
由A ，B 任意性知：电路各处电流强度相同。
⑵多分支电路，设汇集于节点处的各支路横截面为S 1, S 2………. S n , 总表面为S 表同理 则有：
121
20n s
J dS J
d S J d S J d S J S →→→→→→→→
?=?+?+??+?+?=?????表n
即:0i I ∑±=
即分支点处基尔霍夫第一定律仍然成立。
四、 计算和证明
1、 试用A 表示一个沿z 方向的均匀恒定磁场0B ，写出A 的两种不同表示式，证
明二者之差为无旋场。
解：0B 是沿 z 方向的均匀恒定磁场，即 z B e B 00=，由矢势定义B A =??得
0//=??-??z A y A y z ；0//=??-??x A z A z x ；0//B y A x A x y =??-??
三个方程组成的方程组有无数多解，如：
○
10==z y A A ，)(0x f y B A x +-= 即：x x f y B e A )]([0+-=； ○
20==z x A A ，)(0y g x B A y += 即：y y g x B e A )]([0+= 解○1与解○2之差为y x y g x B x f y B e e A )]([)]([00+-+-=?
则 0)//()/()/()(=??-??+??+?-?=???z x y y x x y y A x A z A z A e e e A
这说明两者之差是无旋场
2、 均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n ，电流强度I ，试用唯
一性定理求管内外磁感应强度B 。
解：根据题意，取螺线管的中轴线为 z 轴。本题给定了空间中的电流分布，故可由
??='430dV r r
J B πμ 求解磁场分布，又 J 只分布于导线上，所以
??=3
04r Id r l B πμ
1)螺线管内部：由于螺线管是无限长 理想螺线管，所以其内部磁场是 均匀强磁场，故只须求出其中轴 线上的磁感应强度，即可知道管
内磁场。由其无限长的特性，不 妨取场点为坐标原点建立柱坐标系。
z y x z a a e e e r ''sin 'cos ---=φφ， y x ad ad d e e l 'cos ''sin 'φφφφ+-=
)''sin 'cos ()'cos ''sin '(z y x y x z a a ad ad d e e e e e r l ---?+-=?φφφφφφ
z y x d a d az d az e e e '''sin '''cos '2φφφφφ+--= 取''~'dz z z +的一小段，此段上分布有电流'nIdz
?++--=∴2/3222
0)
'()
'''sin '''cos '('4z a d a d az d az nIdz z y x e e e B φφφφφπμ ???+∞
∞-+∞
∞
-=+=+=z z I n a z a z d nI nI z a dz a d e e 02/3202/3222200
]
)/'(1[)
/'(2)'('
'4μμφπ
μ
π
2)螺线管外部：由于螺线管无限长，不妨就在过原点而垂直于轴线的平面上
任取一点)0,,(φρP 为场点，其中a >ρ。
222')'sin sin ()'cos cos ('z a a r +-+-=-=φφρφφρx x
)'cos(2'222φφρρ--++=a z a
z y x z a a e e e x x r ')'sin sin ()'cos cos ('+-+-=-=φφρφφρ y x ad ad d e e l 'cos ''sin 'φφφφ+-=
z y x d a a d az d az d e e e r l ')]'cos([''sin '''cos '2φφφρφφφφ--+--=?
??????--+-+-=∴??????+∞∞-+∞∞-+∞∞-')'cos('''sin ''''cos ''432
203203200dz r a a d dz r az d dz r az d nI z y x φφρφφφφφπμπππe e e B 0=
3、 设有无限长的线电流I 沿z 轴流动，在z<0空间充满磁导率为μ的均匀介质，
z>0区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度B ，然后求出磁化电流分布。 解：设z>0区域磁感应强度和磁场强度为1B ，1H ；z<0区域为2B ，2H ，由对称
性可知1H 和2H 均沿θe 方向。由于H 的切向分量连续，所以
θe H H H ==21。由此得到021==n n B B ，满足边值关系，由唯一性定理可知，该结果为唯一正确的解。
以 z 轴上任意一点为圆心，以 r 为半径作一圆周，则圆周上各点的H 大小
相等。根据安培环路定理得：I rH =π2，即r I H π2/=，()θπe H H r I 2/21== ()θπμμe H B r I 2/0111==∴，(z >0)； ()θπμμe H B r I 2/222==，(z <0)。
在介质中 ()()θμμπμe H B M 1/2//0202-=-=r I 所以，介质界面上的磁化电流密度为：
()()()()r z r I r I e e e n M α1/2/1/2/00-=?-=?=μμπμμπθ
总的感应电流：()()()1/1/2/020
-=?-=
?=??μμ?μ
μππ
θθI rd r I d I e e l M ，
电流在 z<0 区域内，沿 z 轴流向介质分界面。
4、 设x<0半空间充满磁导率为μ的均匀介质，x>0空间为真空，今有线电流I
沿z 轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。
解：假设本题中的磁场分布仍呈轴对称，则可写作 φπμe B )2/'(r I =
它满足边界条件：0)(12=-?B B n 及0)(12==-?αH H n 。由此可得介质中：
φπμμμe B H )2/'(/2r I ==
由 M B H -=02/μ得： 在x <0 的介质中 φμμμμπμe M 0
2'-=
r I ，
则： 0
020002)('02'μμμμμφφμμμμπμπππ
-=+-=?=???I d d r r I d I M l M 再由 φφπμπμe e B )2/'(2/)(0r I r I I M =+= 可得)/(2'00μμμμμ+=，所以
r I πμμμμφ)/(00+=e B ，)/()(00μμμμ+-=I I M （沿 z 轴） 5、 某空间区域内有轴对称磁场。在柱坐标原点附近已知
)2/(220ρ--≈z C B B z ，其中0B 为常量。试求该处的ρB 。 提示：用0=??B ，并验证所得结果满足0=??H 。
解：由于B 具有对称性，设z z B B e e B +=ρρ， 其中 )2/(220ρ--=z C B B z
0=??B ，0)(1=??+??∴
z B z B ρρρρ，即：02)(1=-??
cz B ρρρ
ρ，
a cz B +=∴2ρρρ（常数）。
当0→ρ时，ρB 为有限，所以 0=a ；ρρcz B =，即：
z z c B cz e e B )]2/([220ρρρ--+= （1） 因为0=J ，0=D ，所以 0=??B ，即0)//(=??-??θρρρe B z B （2） 直接验证可知，（1）式能使（2）式成立，所以ρρcz B =，(c 为常数) 6、 两个半径为a 的同轴圆形线圈，位于L z ±=面上。每个线圈上载有同方向的电流I 。
（1）求轴线上的磁感应强度。
（2）求在中心区域产生最接近于均匀常常时的L 和a 的关系。 提示：用条件0/22=??z B z
解：1） 由毕—萨定律，L 处线圈在轴线上 z 处产生的磁感应强度为
z z B e B 11=，
2
/3222
2/322203
1])[(121])([4sin 4a L z Ia d L z a Ia r Id B z +-=-+=?=??
μθπμαπ
μ
r
l 同理，-L 处线圈在轴线上 z 处产生的磁感应强度为：
z z B e B 22=，2
/322202]
)[(1
21a L z Ia B z ++=μ。 所以，轴线上的磁感应强度：
??????++++-==2/3222/32220])[(1
]
)[(121a L z a L z Ia B z z μe B （1） 2）因为 0=??B ，所以 0)()(2=?-???=????B B B ；
又因为0=??B ，所以 02=?B ，0/22=??z B z 。代入（1）式并化简得： -+++++--+-----2/72222/5222/7222])[()(5])[(])[()(5a z L z L a z L a z L z L 0])[(2/522=++--a z L
将 z=0 带入上式得：2225a L L +=， 2/a L =∴
7、 半径为a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，试解矢势A
的微分方程。设导体的磁导率为0μ，导体外的磁导率为μ。
解：矢势所满足的方程为： ?????>=?<-=?)
(,0)(,202a r a r 外内A J
A μ
自然边界条件：0→r 时，内A 有限。
边值关系：a
r a r ===外内A A ；a r a r ==??=
??|1
|1
0外内A A μ
μ
选取柱坐标系，该问题具有轴对称性，且解与 z 无关。令
z r A e A )(内内=，z r A e A )(外外=，
代入微分方程得：
J r r A r r r 0))((1μ-=????内；0))
((1=????r
r A r r r 外 解得：2120ln 4
1
)(C r C Jr r A ++-=μ内；43ln )(C r C r A +=外
由自然边界条件得01=C ，
由 a r a r ==??=??|1|10外内A A μμ 得：232
Ja C μ
-=， 由 a r a r ===外内A A 并令其为零，得：20241Ja C μ=，a Ja C ln 2
24μ
=。
)(41220r a -=∴J A μ内；r
a
a ln 212J A μ=外
8、 假设存在磁单极子，其磁荷为m Q ，它的磁场强度为304/r Q m πμr H =。给出它的矢势的一个可能的表示式，并讨论它的奇异性。
解：r m m r Q r Q e r
H 2030144πμπμ== 由 r m r
Q e H B A 204πμ===?? 得：
??????
???=??-??=??
-??=??-??0]([10)](sin 1[
14])(sin [sin 12
θφθπφθθθθ
φθφr
r m A rA r
r rA r A r r Q A A r (1) 令 0==θA A r ,得: r
Q A m πθθθφ4sin )(sin =??
?=∴θφθπθθ04sin sin d r Q A m , θ
θ
πφsin cos 14r Q A m -= (2)
显然 φA 满足(1) 式，所以磁单极子产生的矢势φθ
θ
πe A sin cos 14r Q m
-= 讨论： 当0→θ时，0→A ；
当2/πθ→时，r Q m πφ4/e A →；
当πθ→时，∞→A ，故A 的表达式在πθ=具有奇异性，此时A 不
合理。
9、 将一磁导率为μ，半径为0R 的球体，放入均匀磁场0H 内，求总磁感应强度B 和诱导磁矩m 。
解：根据题意，以球心为原点建立球坐标，取H 0的方向为z e ，此球体被外加磁
场磁化后，产生一个附加磁场，并与外加均匀场相互作用，最后达到平衡，呈现轴对称。
本题所满足的微分方程为：
?????>=?<=?)
(,0)
(,0022
012R R R R m m ?? （1） 自然边界条件：01=R m ?为有限；θ?cos 02R H R m -=∞=。
衔接条件：在0=R 处满足 21m m ??= 及 R R m m ??=??//201?μ?μ 由自然边界条件可确定方程组（1）的解为：
∑∞==0
1)(cos n n n
n m P R a θ?； ∑∞
=+-+-=0
)1(02)(cos cos n n n n m P R d R H θθ?
由两个衔接条件，有：∑∑∞
=+-∞=+-=0
)1(00
)(cos cos )(cos n n n n n n n
n P R d R H P R a θθθ
∑∑∞
=+-∞
=-+--=0
)2(0000
1
)(cos )1(cos )(cos n n n n n n n n P R d n H P nR
a θμθμθμ
比较)(cos θn P 的系数，解得：)2/(30001μμμ+-=H a ；
)2/()(03
0001μμμμ+-=R H d ； 0==n n d a ，)1(≠n
即：)2/(cos 30001μμθμ?+-=R H m ，（0R R <）
20300002)2/(cos )(cos R R H R H m μμθμμθ?+-+-=，（0R R >） )2/(300011μμμ?+=-?=∴H H m
])(3[2)(30
5
03000022R
R R m H R R H H H -?+-+=-?=μμμμ? ??
?
??<-?+-+=<+==)(,])(3[2)()(,)2/(30305030000002
000001R R R R R R R H R R H H H H H B μμμμμμμμμμμμ 在R )2/()(4)3/4(003 0030μμμμππ+-===∴?H M M m R R dV V 10、 有一个内外半径为1R 和2R 的空心球，位于均匀外磁场0H 内，球的磁导率为μ，求空腔内的场B ，讨论0μμ>>时的磁屏蔽作用。 解：根据题意，以球心为原点，取球坐标，选取H 0的方向为z e ，在外场H 0的作 用下，空心球被磁化，产生一个附加磁场，并与原场相互作用，最后达到平衡，B 的分布呈现轴对称。磁标势的微分方程为： 012=?m ? )(1R R < ；022=?m ? )(21R R R << ；032=?m ? )(2R R > 自然边界条件：0 1=R m ?为有限；θ?cos 03 R H R m -=∞ =。 衔接条件：1 2 1 1 R R m R R m ===?? ； 12110//R R m R R m R R ==??=???μ?μ； 2 3 2 2 R R m R R m ===??； 22230//R R m R R m R R ==??=???μ?μ 由轴对称性及两个自然边界条件，可写出三个泛定方程的解的形式为： ∑∞ ==0 1)(cos n n n n m P R a θ?； ∑∞ =+-+=0 )1(2)(cos ][(n n n n n n m P R c R b θ?； ∑∞ =+-+-=0 )1(03)(cos cos n n n n m P R d R H θθ? 因为泛定方程的解是把产生磁场的源H 0做频谱分解而得出的，分解所选取的基本函数系是其本征函数系)}(cos {θn P 。在本题中源的表示是： )(cos cos 100θθRP H R H -=- 所以上面的解中， 0====n n n n d c b a ，)1(≠n 解的形式简化为： θ?cos 11R a m =； θ?cos )(2112-+=R c R b m ； θθ?cos cos 2103-+-=R d R H m 代入衔接条件得：2111111-+=R c R b R a ， 2 212022121--+-=+R d R H R c R b ， )2(311110--=R c b a μμ， 32100032112)2(----=-R d H R c b μμμ。 解方程组得：3 2 0031203 2 001)2)(2()(26R R R H a μμμμμμμμ++--=， 3 2 0031203 2 0001)2)(2()(2)2(3R R R H b μμμμμμμμμ++--+=， 3 2 0031203 2 310001)2)(2()(2)(3R R R R H c μμμμμμμμμ++---=， 3 2 0031203 2 03231001)2)(2()(2))()(2(R R R H R R d μμμμμμμμμμ++----+=。 从而，空间各点磁标势均可确定。空腔内： z r m a a a e e e H B 101110101sin cos μθθ?μμθ-=-=?-== 当0μμ>>时，01≈a ，所以01≈B 。即空腔中无磁场，类似于静电场中的静电屏蔽。 11、 设理想铁磁体的磁化规律为00M H B μμ+=，其中0M 是恒定的与H 无关 的量。今将一个理想铁磁体做成的均匀磁化球（0M 为常值）浸入磁导率为'μ的无限介质中，求磁感应强度和磁化电流分布。 解：根据题意，取球心为原点，建立球坐标系，以M 0的方向为z e ，本题具有轴 对称的磁场分布，磁标势的微分方程为： 012=?m ? )(0R R < ； 022=?m ? )(0R R > 自然边界条件：0 1=R m ?为有限；02 =∞ =R m ?。 衔接条件： 0 2 1 R R m R R m ===?? ； θμ?μ?μcos /'/000201M R R R R m R R m =??-??==； 由轴对称性及两个自然边界条件，可写出拉普拉斯方程通解的形式为： ∑∞==0 1)(cos n n n n m P R a θ?； ∑∞ =+-=0 )1(2)(cos n n n n m P R b θ?； 代入衔接条件，比较)(cos θn P 各项的系数，得： 0==n n b a ，)1(≠n ；)'2/(001μμμ+=M a ；)'2/(3 001μμμ+=R M b )'2/(cos 001μμθμ?+=∴R M m ， )(0R R < 23 0002)'2/(cos R R M m μμθμ?+=，)(0R R > 由此 )'2/('20000101μμμμμμ+=+=M M H B ])(3['2''30 5 03 0022R R R m M R R M B -?+=?-=μμμμ?μ ?? ???>-?+<+=)(])(3['2')() '2/('2030 5 03 00000R R R R R R R M M R R M B μμμμμμμμ 又 )()(0012ααB B n +=-?M R μ，（其中0=α）将B 的表达式代入，得： )'2/(sin '300μμθμφ+-=M M e α 12、 将上题的永磁球置入均匀外磁场0H 中，结果如何 解：根据题意假设均匀外场0H 的方向与M 0的方向相同，定为坐标 z 轴方向。磁 标势的微分方程为： 012=?m ? )(0R R < ； 022=?m ? )(0R R > 自然边界条件：0 1=R m ?为有限；θ?cos 02 R H R m -=∞ =。 衔接条件： 0 2 1 R R m R R m ===?? ； θμ?μ?μcos //0002001M R R R R m R R m =??-??==； 解得满足自然边界条件的解是： θ?cos 11R a m =，)(0R R < θθ?cos cos 2102-+-=R d R H m ，)(0R R > 代入衔接条件，得：2010001-+-=R d R H R a 0013010002M a R d H μμμμ=++- 解得： )2/()3(000001μμμμ+-=H M a )2/(])([03 000001μμμμμ+-+=R H M d )2/(cos )3(000001μμθμμ?+-=∴R H M m ，)(0R R < ])2/[(cos ])([cos 203 0000002R R H M R H m μμθμμμθ?+-++-=，)(0R R > )2/()3(000011μμμ?+--=-?=H M H m )2/(2)2/(3002 00000011μμμμμμμμμ+++=+=M H M H B ，)(0R R < 35022//)(3R R m m R R m H H -?+=-?=?， 其中 )2/(])([03 0000μμμμμ+-+=R H M m ]//)(3[3500202R R m R R m H H B -?+==μμ，)(0R R > 13、 有一个均匀带电的薄导体壳其半径为0R ，总电荷为Q ，今使球壳绕自身 某一直径以角速度ω转动，求球内外的磁场B 。 提示：本题通过解A 或m ?的方程都可以解决，也可以比较本题与§5例2的电流分布得到结果。 解：根据题意，取球体自转轴为 z 轴，建立球坐标系。磁标势的微分方程为： 012=?m ? )(0R R < ； 022=?m ? )(0R R > 自然边界条件：0 1 =R m ?为有限；02 =∞ =R m ?。 衔接条件： 00124/sin /)//(R Q R R R m m πθωθ?θ?-=??-??= ； 02001//R R m R R m R R ==??=???μ?μ； 其中 04/sin R Q πθωσ= 是球壳表面自由面电流密度。 解得满足自然边界条件的解是： θ?cos 11R a m =，)(0R R < θ?cos 212-=R b m ，)(0R R > 代入衔接条件，得：0201014/R Q R b R a πω-=--； 023011=+-R b a 解得： 016/R Q a πω-=， πω12/201R Q b = 016/cos R R Q m πθω?-=∴，)(0R R < 220212/cos R R Q m πθω?=，)(0R R > 0116/R Q m π?ωH =-?=∴ 001016/R Q πμμωH B ==，)(0R R < π?4/]//)(3[3522R R m m R R m H -?=-?=， 其中 3/20ωm QR = πμμ4/]//)(3[350202R R m R R m H B -?==，)(0R R > 14、 电荷按体均匀分布的刚性小球，其总电荷为Q ，半径为0R ，它以角速度 ω绕自身某一直径转动，求（1）它的磁矩；（2）它的磁矩与自转角动量之比（设质量M 0是均匀分布的）。 解：1）磁矩dV ??=)(21x J x m 又 r R e R x ==，)()3/4()(3 R ωv x J ?= =R Q πρ φθθπωφθθπφd dRd R R Q d dRd R R Q r 2 430 230sin )(4321sin )(4321???=??=e e R ωR m 又 )sin cos (cos sin y x z r e e e e e e φφθθθφ--+=-=? ??? --+= ∴0 240 20 30 sin )sin cos (cos [sin 83R y x z dR R d d R Q θφφθθθφπω π π e e e m ωe 5sin 832 003 402030 0QR dR R d d R Q R z ==???θθφπωππ 2)自转动量矩： ??????=?=?==dV R M dm d d )(4330 R ωR v R P R L L π ???=φθθωπd dRd R R R M r z r sin )(432230 0e e e ??-=φθθθωπφd dRd R R M z sin )sin (43430 0e e ?-=φθθθωπθd dRd R R M sin )(sin 43430 0e ???--+=002 402030 0sin )sin cos (cos [sin 43R y x z dR R d d R M θφφθθθφπωππe e e ωω52sin 432 0003 402030 00R M dR R d d R M R ==???θθφπππ 02//M Q =∴L m 15、 有一块磁矩为m 的小永磁体，位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面 附近的真空中，求作用在小永磁体上的力F 。 解：根据题意，因为无穷大平面的μ很大，则在平面上所有的H 均和平面垂直， 类比于静电场，构造磁矩m 关于平面的镜像'm ,则外场为： m e ?μ?-=0B 而 2 34cos 4r m r m πθ π?=?=R m )sin cos 2(4)sin cos 2(43 0330θθθθπμθ θπμe e e e B +=---=∴r r e r m r r m m 受力为： z a r e a m e B m F )cos 1(643)(24 202απμα θ+-=??=== 衡水学院 理工科专业 《大学物理B 》 稳恒磁场 习题解答 一、填空题（每空1分） 1、电流密度矢量的定义式为：dI j n dS ⊥ =v v ，单位是：安培每平方米（A/m 2） 。 2、真空中有一载有稳恒电流I 的细线圈，则通过包围该线圈的封闭曲面S 的磁通量? = 0 ．若通过S 面上某面元d S v 的元磁通为d ?，而线圈中的电流增加为2I 时,通过同一面元的元磁通为d ?＇，则d ?∶d ?＇= 1:2 。 3、一弯曲的载流导线在同一平面内，形状如图1(O 点是半径为R 1和R 2的两个半圆弧的共同圆心，电流自无穷远来到无穷远去)，则O 点磁感强度的大小是2 02 01 00444R I R I R I B πμμμ- + = 。 4、一磁场的磁感强度为k c j b i a B ? ???++= (SI)，则通过一半径为R ，开口向z 轴正方向的半球壳表面的磁通量的大 小为πR 2c Wb 。 5、如图2所示通有电流I 的两根长直导线旁绕有三种环路；在每种情况下，等于： 对环路a ：d B l ??v v ?=____μ0I __； 对环路b ：d B l ??v v ?=___0____； 对环路c ：d B l ??v v ? =__2μ0I __。 6、两个带电粒子，以相同的速度垂直磁感线飞入匀强磁场，它们的质量之比是1∶4，电荷之比是1∶2，它们所受的磁场力之比是___1∶2__，运动轨迹半径之比是_____1∶2_____。 二、单项选择题（每小题2分） （ B ）1、均匀磁场的磁感强度B v 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为 A. 2?r 2B B.??r 2B C. 0 D. 无法确定的量 （ C ）2、有一个圆形回路1及一个正方形回路2，圆直径和正方形的边长相等，二者中通有大小相等的电流，它们在各自中心产生的磁感强度的大小之比B 1 / B 2为 A. B. C. D. （ D ）3、如图3所示，电流从a 点分两路通过对称的圆环形分路，汇合于b 点．若ca 、bd 都沿环的径向，则在环形分路的环心处的磁感强度 A. 方向垂直环形分路所在平面且指向纸内 B. 方向垂直环形分路所在平面且指向纸外 人教版高中物理选修3-1部分知识点 内部资料 第三章《磁场》 一、磁现象和磁场 1）磁体分为天然磁石和人造磁体。磁体吸引铁质物体的性质叫做磁性。磁体磁性最强的区域叫做磁极。同名磁极相互排斥；异名磁极相互吸引。 2）电流的磁效应 奥斯特发现，电流能使磁针偏转，因此，电流就等效成磁体。 3）磁场 ①磁场与电场一样，都是看不见摸不着，客观存在的物质。电流和磁体的周围都存在磁场。 ②磁体与磁体之间、磁体与电流之间，以及电流与电流之间的相互作用，是通过磁场发生的。 ③地球的磁场 地球的地理两极与地磁两极并不重合，其间有一个夹角，这就是地磁偏角。地理南极附近是地磁北极；地理北极附近是地磁南极。 二、磁感应强度B 1）物理意义：磁感应强度B 为矢量，它是描述磁场强弱的物理量。 2）方向：小磁针静止时N 极所指的方向或者小磁针N 极的受力方向规定为该点的磁感应强度的方向。 3）大小：IL F B ，单位：特斯拉（T ） 条件：磁场B 的方向与电流I 的方向垂直。 其中：IL 为电流元，F 为电流元受到的磁场力。 三、几种常见的磁场 1）磁感线 为了形象地描述磁场，曲线上每一点的切线方向都是该点的磁感应强度B 的方向。 2）安培定则（右手螺旋定则） ①第一种描述：对于直线电流，右手握住导线，1、拇指指向电流的方向；2、弯曲的四指指向磁感线的方向。直线电流的磁感线都是以电流为轴的同心圆，越远离电流磁场越弱。 ②第二种描述：对于环形电流，1、弯曲的四指指向环形电流的方向；2、拇指指向环内部的磁感线方向。环形电流内部的磁场恰好与外部的磁场反向。 3）安培分子电流假说 分子电流使每个物质微粒都成为微小的磁体，它的两侧相当于两个磁极。安培分子电流假说揭示了磁的电本质。一条铁棒未被磁化的时候，内部分子电流的取向是杂乱无章的；当分子电流的取向一致时，铁棒被磁化。磁体受到高温或猛烈撞击时会失去磁性。 4）磁通量Φ ①定义式：BS =φ，单位：韦伯（Wb ） 其中：S 为在磁场中的有效面积。 ②磁通量是标量，但有正负，正负不表示大小。 四、安培力 （1）大小：θsin BIL F = 其中：θ为磁场B 与电流I 的方向夹角。当B 与I 垂直时，0 90=θ，安培力最大F=BIL ；当B 与I 平行时，00=θ，安培力最小F=0。 （2）方向：左手定则 ①磁感线垂直穿过手心；②四指指向电流的方向；③拇指所指的方向就是安培力的方向。 注意：安培力不但垂直于磁场B 的方向，而且垂直于电流I 的方向。 五、洛伦兹力 （1）大小：θsin qvB f = 其中：θ为磁场B 与运动电荷的速度v 的方向夹角。当B 与v 垂直时，090=θ，安培力最大f=qvB ；当B 与v 平行时，00=θ，安培力最小f=0。 （2）方向：左手定则 ①磁感线垂直穿过手心；②四指指向正电荷运动的方向；③拇指所指的方向就是洛伦兹力的方向。 注意：洛伦兹力不但垂直于磁场B 的方向，而且垂直于运动电荷速度v 的方向。因此，洛伦兹力不做功。 六、带电粒子在电磁场中的运动 1、带电粒子的种类 ①带电粒子，如电子、质子、α粒子、粒子等，一般情况下，不考虑重力。 ②带电微粒，如液滴、尘埃、小球等，一般情况下，必须考虑重力。 2、带电粒子在场中的运动 （1）带电粒子在匀强磁场中的运动 ①当v 平行于磁场B 进入时，粒子做匀速直线运动。 ②当v 垂直于磁场B 进入时，粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。 r v m qvB 2 = 所以，粒子的轨道半径qB mv r = ，粒子运动的角速度m qB r v ==ω，粒子运动的周期 第三单元 自然界的水 课题1 水的组成 一、水的组成 1、水的组成： （1）电解水的实验 A.装置―――水电解器 B.电源种类---直流电 C.加入硫酸或氢氧化钠的目的----增强水的导电性 D.化学反应：文字表达式：：水（H 2O ）氢气（H 2） + 氧气（O 2） 化学方程式：2H 2O 通电 2H 2↑+ O 2↑ 产生位置 负极 正极 体积比 2 ： 1 质量比 1 ： 8 E.检验：O 2---出气口置一根带火星的木条----木条复燃 H 2---出气口置一根燃着的木条------气体燃烧，发出淡蓝色的火焰 （2）结论： ①水是由氢、氧元素组成的。 ②化学变化中，分子可分而原子不可分。 2、水的性质 物理性质：无色无味的液体、40C 时密度最大，为1g/cm 3 化学性质：通电分解 文字表达式：水（H 2O ）氢气（H 2） + 氧气（O 2） 化学方程式： 2H 2O 通电 2H 2↑+O 2↑ 3、氢气 1、物理性质：密度最小的气体（向下排空气法）（氢气与其它气体的显著区别之处）；难溶 于水（排水法）、无色无臭的气体 证明氢气密度比空气小的方法：用氢气吹肥皂泡，若肥皂泡上升，则密度比空气小 2、化学性质： 可燃性（用途：高能燃料；氢氧焰焊接，切割金属） 文字表达式：氢气（H 2） + 氧气（O 2）水（H 2O ） 化学方程式：2H 2 + O 2 点燃 2H 2 O 点燃前，要验纯 现象：发出淡蓝色火焰，放出热量，有水珠产生 注意：混有一定量的空气或氧气的氢气遇明火会发生爆炸，因此点燃前必须验纯。 二、物质的分类 1、概念 单质：由同种元素组成的纯净物 例：氢气、氧气、红磷等 化合物：由不同种元素组成的纯净物 例：水、高锰酸钾等 氧化物：由两种元素组成，且含有氧元素的纯净物 例：二氧化硫、氧化铁等 注意:单质、化合物前提必须是纯净物，即划分单质、化合物的标准是根据纯净物的元素种类来划分的。若只含一种元素的纯净物就属于单质；若含有几种元素的纯净物就属于化合物 2、物质分类的步骤 ①根据物质种类分为纯净物与混合物②写出纯净物的化学符号③根据元素种类将纯净物分点燃 通电 通电 电解水口诀： 第三章相互作用 一．力 1.定义：力是物体之间的相互作用。力的作用效果有两个，一是使物体发生形变，二是改变物体的运动状态。在国际单位制中，力的单位是牛顿，简称牛，符号是N。力的大小用弹簧测力计测量。 2. 力的本质 (1)力的物质性：力是物体对物体的作用，力不能离开物体而独立存在。每个力的产生必然同事联系两个物体——施力物体和受力物体。 (2)力的相互性：物体之间力的作用是相互的，施力物体同时也是受力物体。力总是成对出现的，分别作用在两个物体上，作用效果不能抵消。 (3)力的矢量性：力既有大小又有方向。 (4)力作用的独立性：几个力作用在同一物体上，每个力对物体的作用效果均不会因其它力的存在而受到影响。 3．力的三要素包括力的大小、方向、作用点。 4. 力的图示：力可以用一条有向线段表示，线段的长度表示力的大小，它的指向表示力的方向，箭头或箭尾表示力的作用点，线段所在的直线叫做力的作用线。 5.力的分类 按性质命名的力，例如：重力、弹力、摩擦力、分子力、电磁力。按效果命名的力，例如：拉力、压力、支持力、动力、阻力。二．重力 1.定义：由于地球的吸引而使物体受到的力。它的施力物体是地球。 2.重力的大小G=mg，方向竖直向下。作用点叫物体的重心。重心的位置与物体的质量分布和形状有关。质量均匀分布，形状规则的物体的重心在其几何中心处。薄板类物体的重心可用悬挂法确定。 注意：重力是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转所需的向心力，在两极处重力等于万有引力．由于重力远大于向心力，一般情况下近似认为重力等于万有引力。 四种基本相互作用：万有引力、电磁相互作用、强相互作用和弱相互作用。这四种基本相互作用是不需要物体相互接触就能产生作用的，称为非接触力。 三．弹力 1.接触力：接触力按照性质可以分为弹力和摩擦力，他们在本质上都是由电磁力引起的。 2.形变：物体在力的作用下形状或者体积会发生改变，这种变化叫做 形变。有些物体在撤去力之后形变可以恢复，称为弹性形变。3.发生形变的物体，由于要恢复原状，会对跟它接触的且使其发生形 变的物体产生力的作用，这种力叫弹力。弹力产生的条件是与物体直接接触并且发生形变。但物体的形变不能超过弹性限度。弹力的方向和产生弹力的那个形变方向相反。 4.胡克定律弹簧发生形变时，弹力的大小F与弹簧的伸长量（或缩短 量）成正比，即F=Kx，其中K称作弹簧的劲度系数，单位是N/m,劲度系数由弹簧本身的结构决定。 四．摩擦力 ? 本章共有四个概念、两个公式、两个定则。 五个概念：磁场、磁感线、磁感强度、匀强磁场 两个公式：安培力 F=BIl (Il⊥B) 洛伦兹力 f =qvB (v⊥B) 两个定则: 安培定则——判断电流的磁场方向 左手定则——判断磁场力的方向 1.磁场 ⑴永磁体周围有磁场。 ⑵电流周围有磁场（奥斯特实验）。 分子电流假说: 物质微粒内部存在着环形分子电流。 磁现象的电本质：磁体的磁场和电流的磁场都是由电荷的运动产生的。 ⑶在变化的电场周围空间产生磁场(麦克斯韦) 2.磁场的基本性质 磁场对放入其中的磁极和电流有磁场力的作用 3.磁感应强度 ： (定义式) 适用条件： l 很小(检验电流元)，且 l⊥B 。磁感应强度是矢量。 单位是特斯拉，符号 1T=1N/(A m) 方向：规定为小磁针在该点静止时N极的指向 4. 磁感线 ⑴用来形象地描述磁场中各点的磁场方向和强弱的曲线。磁感线上每一点的切线方向就是该点的磁场方向，也就是在该点小磁针静止时N极的指向。磁感线的疏密表示磁场的强弱。磁感线都是闭合曲线。(2)要熟记常见的几种磁场的磁感线： (3)安培定则（右手螺旋定则）： 对直导线，四指指磁感线环绕方向； 对环行电流，大拇指指中心轴线上的磁感线方向；对长直螺线管大拇指指螺线管内部的磁感线方向。 (4)地磁场：地球的磁场与条形磁体的磁场相似。 主要特点是：地磁场B的水平分量(Bx)总是从地球南极指向北极，而竖直分量(By)则南北相反，在南半球垂直地面向上，在北半球垂直地面向下；在赤道表面上，距离地球表面相等的各点磁感应强度相等，且水平向北. ?如图所示，a、b是直线电流的磁场，c、d是环形电流的磁场，e、f是螺线管电流的磁场，试在各图中补画出电流方向或磁感线方向． 3、如图所示，一束带电粒子沿着水平方向平行地飞过磁针上方时，磁针的S极向纸内偏转，则这束带电粒子可能是 （ BC ） A.向右飞行的正离子束 B.向左飞行的正离子束 max F B Il = S N 第8章 稳恒磁场 习题及答案 6. 如图所示，AB 、CD 为长直导线，C B 为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其半径为R 。若通以电流I ，求O 点的磁感应强度。 解：O 点磁场由AB 、C B 、CD 三部分电流产生，应用磁场叠加原理。 AB 在O 点产生的磁感应强度为 01 B C B 在O 点产生的磁感应强度大小为 R I B 402 R I R I 123400 ，方向垂直纸面向里 CD 在O 点产生的磁感应强度大小为 )cos (cos 4210 03 r I B )180cos 150(cos 60cos 400 R I )2 31(20 R I ，方向垂直纸面向里 故 )6 231(203210 R I B B B B ，方向垂直纸面向里 7. 如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A ，B 两点，并在很远处与电源相连。已知圆环的粗细均匀，求环中心O 的磁感应强度。 解：圆心O 点磁场由直电流 A 和 B 及两段圆弧上电流1I 与2I 所产生，但 A 和 B 在O 点 产生的磁场为零。且 21221R R I I 电阻电阻 1I 产生的磁感应强度大小为 ）（ 241 01R I B ，方向垂直纸面向外 2I 产生的磁感应强度大小为 R I B 4202 ，方向垂直纸面向里 所以， 1) 2(21 21 I I B B 环中心O 的磁感应强度为 0210 B B B 8. 如图所示，一无限长载流平板宽度为a ，沿长度方向通过均匀电流I ，求与平板共面且距平板一边为b 的任意点P 的磁感应强度。 解：将载流平板看成许多无限长的载流直导线，应用叠加原理求解。 以P 点为坐标原点，垂直载流平板向左为x 轴正方向建立坐标系。在载流平板上取dx a I dI ，dI 在P 点产生的磁感应强度大小为 第三章相互作用 专题一:力的概念、重力和弹力 1．力的本质 (1)力的物质性：力是物体对物体的作用。提到力必然涉及到两个物体:施力物体和受力物体，力不能离开物体而独立存在,(不离开不是一定要接触)有力时物体不一定接触。 (2)力的相互性：力是成对出现的，作用力和反作用力同时存在。作用力和反作用力总是等大、反向、共线，分别作用在两个物体上，作用效果不能抵消. (3)力的矢量性：力有大小、方向，对于同一直线上力的矢量运算，同向相加，反向相减。 (4)力作用的独立性：几个力作用在同一物体上，每个力对物体的作用效果均不会因其它力的存在而受到影响。 2．力的作用效果 $ 力对物体作用有两种效果：一是使物体发生形变，二是改变物体的运动状态。这两种效果可各自独立产生，可同时产生。 3．力的三要素：大小、方向、作用点 完整表述一个力时，三要素缺一不可。当力 F1、F2的大小、方向均相同时，我们说F1=F2。 力的大小可用弹簧秤测量，也可通过定理、定律计算，力的单位是牛顿，符号是N。 4．力的图示和力的示意图 力的图示：用一条有向线段表示力的方法叫力的图示，用带有标度的线段长短表示大小，用箭头指向表示方向，作用点用线段的起点表示。 5.重力 （1）．重力的产生： - 重力是由于地球的吸收而产生的,重力的施力物体是地球。 （2）．重力的大小： ○由G=mg计算，g为重力加速度，通常g取米／秒方。 ○由弹簧秤测量：物体静止时弹簧秤的示数为重力大小。 （3）．重力的方向： 重力的方向总是竖直向下的，不一定指向地心。 （4）．重力的作用点——重心 ○物体的各部分都受重力作用，效果上,认为各部分受到的重力作用都集中于一点，叫做物体的重心。(假设的点) $ ○重心跟物体的质量分布、物体的形状有关，重心不一定在物体上。质量分布均匀、形状规则的物体其重心在物体的几何中心上。 （5）．重力和万有引力 重力是地球对物体万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力提供物体随地球自转的向心力，同一物体在地球上不同纬度处的向心力大小不同，但由此引起的重力变化不大，一般情况可近似认为重力等于万有引力，即：mg=GMm/R2。除两极和赤道外，重力的方向并不指向地心。 重力的大小及方向与物体的运动状态无关，在加速运动的系统中，例如：发生超重和失 电磁场与电磁波总结 第1章 场论初步 一、矢量代数 A ? B =AB cos A B ?=AB e AB sin A ?( B C ) = B ?(C A ) = C ?(A B ) A (B C ) = B (A ?C ) – C ?(A ?B ) 二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系 矢量线元 x y z =++l e e e d x y z 矢量面元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz 单位矢量的关系 ?=e e e x y z ?=e e e y z x ?=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系 矢量线元 =++l e e e z d d d dz ρ?ρρ?l 矢量面元 =+e e z dS d dz d d ρρ?ρρ? 体积元 dV = d d d z 单位矢量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e z z z ρ??ρρ? 3. 球坐标系 矢量线元 d l = e r d r + e r d e r sin d 矢量面元 d S = e r r 2sin d d 体积元 dv = r 2sin d r d d 单位矢量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e r r r θ? θ??θ cos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ?? ?????? ??? ?=-?????????????????? ????? sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A ???? ?????? ? ?=-????????????-?????? θ?θ?θ? θθ?θ?θ? ? 选修3-1知识点 第三章磁场 3.1磁现象和磁场 一、磁现象，最初发现的磁体是被称为“天然磁石”的矿物，其中含有主要成分为Fe3O4。注意：天然磁石和人造磁铁都是永磁体。 ①磁性：能够吸引铁质物体的性质。 ②磁极：磁体上磁性最强的部分叫磁极。小磁针静止时指南的磁极叫做南极，又叫S极；指北的磁极叫做北极，又叫N极。 二、电流的磁效应 1、奥斯特通电直导线实验。 ①导线：要南北方向放置 ②磁针要平行的放置于导线的下方或者上方。 2、实验现象，当给导线通时，与导线平行放 置的小磁针发生转动。 3、实验结论，电可以生磁，即电流的磁效应。 三、磁场 1、定义：磁体和电流周围空间存在的一种特殊物质，客观存在。 2、基本性质：磁场对放入其中的磁体或通电导体会产生磁力作用。 四、地球的磁场 1、地球是一个巨大的磁体。（类似条形磁体） 2、地球周围空间存在的磁场叫地磁场。 3、磁偏角：地磁的北极在地理的南极附近，地磁的南极在地理的北极附近，但两者并不完全重合，它们之间的夹角称为磁偏角。 3.2磁感应强度 一、磁感应强度，为描述磁场强弱的物理量，用符号“B”表示。 二、磁感应强度的方向 1、物理学中把小磁针在磁场中静止时 N 极所指的方向规定为该点的磁感应强度的方向，简称为磁场的方向。 2、因为 N 极不能单独存在。小磁针静止时是所受的合力为零，因而不能用测量 N 极受力的大小来确定磁感应强度的大小。 三、磁感应强度的大小 1、电流元：很短的一段通电导线中的电流 I 与导线长度 L 的乘积IL。（也可以叫点电流） 2、通电指导线在磁场中受力大小为BIL F （1）式中B 是比例系数，它与导线长度和电流大小都没有关系。 B是反映磁场性质的物理量，是由磁场自身决定的，与是否引入电流元、引入的电流元是否受力及受力大小无关。（客观存在） （2）不同磁场中，B 一般不同。 3、磁感应强度的表达式： （1）定义：在导线与磁场垂直的情况下，所受的磁场力 F 跟电流 I 磁场知识点总结 一、磁场 磁体是通过磁场对铁一类物质发生作用的，磁场和电场一样，是物质存在的另一种形式，是客观存在。小磁针的指南指北表明地球是一个大磁体。磁体周围空间存在磁场；电流周围空间也存在磁场。 电流周围空间存在磁场，电流是大量运动电荷形成的，所以运动电荷周围空间也有磁场。静止电荷周围空间没有磁场。 磁场存在于磁体、电流、运动电荷周围的空间。磁场是物质存在的一种形式。磁场对磁体、电流都有磁力作用。 与用检验电荷检验电场存在一样，可以用小磁针来检验磁场的存在。如图所示为证明通电导线周围有磁场存在——奥斯特实验，以及磁场对电流有力的作用实验。 1．地磁场 地球本身是一个磁体，附近存在的磁场叫地磁场，地磁的南极在地球北极附近，地磁的北极在地球的南极附近。 2．地磁体周围的磁场分布 与条形磁铁周围的磁场分布情况相似。 3．指南针 放在地球周围的指南针静止时能够指南北，就是受到了地磁场作用的结果。 4．磁偏角 地球的地理两极与地磁两极并不重合，磁针并非准确地指南或指北，其间有一个交角，叫地磁偏角，简称磁偏角。 说明： ①地球上不同点的磁偏角的数值是不同的。 ②磁偏角随地球磁极缓慢移动而缓慢变化。 ③地磁轴和地球自转轴的夹角约为11°。 二、磁场的方向 在电场中，电场方向是人们规定的，同理，人们也规定了磁场的方向。 规定： 在磁场中的任意一点小磁针北极受力的方向就是那一点的磁场方向。 确定磁场方向的方法是： 将一不受外力的小磁针放入磁场中需测定的位置，当小磁针在该位置静止时，小磁针N 极的指向即为该点的磁场方向。 磁体磁场： 可以利用同名磁极相斥，异名磁极相吸的方法来判定磁场方向。 电流磁场： 利用安培定则（也叫右手螺旋定则）判定磁场方向。 三、磁感线 在磁场中画出有方向的曲线表示磁感线，在这些曲线上，每一点的切线方向都跟该点的磁场方向相同。 （1）磁感线上每一点切线方向跟该点磁场方向相同。 （2）磁感线特点 （1）磁感线的疏密反映磁场的强弱，磁感线越密的地方表示磁场越强，磁感线越疏的地方表示磁场越弱。 （2）磁感线上每一点的切线方向就是该点的磁场方向。 （3）磁场中的任何一条磁感线都是闭合曲线，在磁体外部由N极到S极，在磁体内部由S极到N极。 以下各图分别为条形磁体、蹄形磁体、直线电流、环行电流的磁场 说明： ①磁感线是为了形象地描述磁场而在磁场中假想出来的一组有方向的曲线，并不是客观存在于磁场中的真实曲线。 ②磁感线与电场线类似，在空间不能相交，不能相切，也不能中断。 四、几种常见磁场 1通电直导线周围的磁场 （1）安培定则：右手握住导线，让伸直的拇指所指的方向与电流方向一致，弯曲的四指所指的方向就是磁感线环绕的方向，这个规律也叫右手螺旋定则。 第三章 水溶液中的离子平衡 一、弱电解质的电离 1、定义：电解质： 在水溶液中或熔化状态下能导电的化合物,叫电解质 。 非电解质 ： 在水溶液中或熔化状态下都不能导电的化合物 。 强电解质 ： 在水溶液里全部电离成离子的电解质 。 弱电解质： 在水溶液里只有一部分分子电离成离子的电解质 。 2、电解质与非电解质本质区别： 电解质——离子化合物或共价化合物 非电解质——共价化合物 注意：①电解质、非电解质都是化合物 ②SO 2、NH 3、CO 2等属于非电解质 ③强电解质不等于易溶于水的化合物（如BaSO 4不溶于水，但溶于水的BaSO 4全部电离，故BaSO 4为强电解质）——电解质的强弱与导电性、溶解性无关。 3、弱电解质的电离平衡：在一定的条件下，当弱电解质分子电离成 离子的速率 和离子结合成 分子的速率相等 时，电离过程就达到了平衡状态，这叫弱电解质的电离平衡。 4、影响电离平衡的因素： A 、温度：电离一般吸热，升温有利于电离。 B 、浓度：浓度越大，电离程度 越小 ；溶液稀释时，电离平衡向着电离的方向移动。 C 、同离子效应：在弱电解质溶液里加入与弱电解质具有相同离子的电解质，会 减弱 电离。 D 、其他外加试剂：加入能与弱电解质的电离产生的某种离子反应的物质时，有利于电离。 5、电离方程式的书写： 用可逆符号 弱酸的电离要分布写（第一步为主） 6、电离常数：在一定条件下，弱电解质在达到电离平衡时，溶液中电离所生成的各种离子浓度的乘积，跟溶液中未电离的分子浓度的比是一个常数。叫做电离平衡常数，（一般用Ka 表示酸，Kb 表示碱。 ） 物质 单质 电解质 非电解质： 非金属氧化物，大部分有机物 。如SO 3、CO 2、C 6H 12O 6、CCl 4、CH 2=CH 2 强电解质： 强酸，强碱，大多数盐 。如HCl 、NaOH 、NaCl 、BaSO 4 弱电解质： 弱酸，弱碱，极少数盐，水 。如HClO 、NH 3·H 2O 、Cu(OH)2、 混和物 纯净物 物理重要知识点整理——磁场 一．基本概念： 1．磁场：磁场是存在于磁体、电流和运动电荷周围的一种物质。 磁场的方向：规定磁场中任意一点小磁针N 极受力的方向（或者小磁针静止时N 极的指向）就是那一点的磁场方向。 2．磁感线：磁感线不是真实存在的，是人为画上去的。曲线的疏密能代表磁场的强弱，磁感线越密的地方磁场越强，磁感线从N 极进来，S 极进去，磁感线都是闭合曲线且磁感线不相交。 .几种典型磁场的磁感线 （1）条形磁铁 （2）通电直导线 a.安培定则：用右手握住导线，让伸直的大拇指所指的方向跟电流方向一致，弯曲的四指所指的方向就是磁感线环绕的方向。 b.其磁感线是内密外疏的同心圆。 （3）环形电流磁场 a.安培定则：让右手弯曲的四指和环形电流的方向一致，伸直的大拇指的方向就是环形导线中心轴线的磁感线方向。 b.所有磁感线都通过内部，内密外疏 （4）通电螺线管 a.安培定则： 让右手弯曲的四指所指的方向跟电流的方向一致，伸直的大拇指的方向就是螺线管内部磁场的磁感线方向。 b. 通电螺线管的磁场相当于条形磁铁的磁场。 例1下列说法正确的是( ) A ．通过某平面的磁感线条数为零，则此平面处的磁感应强度一定为零 B ．空间各点磁感应强度的方向就是该点磁场方向 C ．两平行放置的异名磁极间的磁场为匀强磁场 D ．磁感应强度为零，则通过该处的某面积的磁感线条数不一定为零 【解析】 磁感应强度反映磁场的强弱和方向，它的方向就是该处磁场的方向，故B 正确．通过某平面的磁感线条数为零，可能是因为平面与磁感线平行，而磁感应强度可能不为零，故A 错误．只有近距离的两异名磁极间才是匀强磁场，故C 错误．若某处磁感应强度为零，说明该处无磁场，通过该处的某面积的磁感线条数一定为零，故D 错．【答案】 B 3．磁通量：磁感应强度B 与面积S 的乘积，叫做穿过这个面的磁通量。 物理意义：表示穿过一个面的磁感线条数。 定义：BS =Φ θcos BS =Φ（θ为B 与S 间的夹角） 例1关于磁通量，下列说法正确的是( ) A ．磁通量不仅有大小而且有方向，是矢量 B ．在匀强磁场中，a 线圈面积比b 线圈面积大，则穿过a 线圈的磁通量一定比穿过b 线圈的大 九、稳恒磁场 磁感应强度 9-1 如图9-1所示，一条无穷长载流20 A 的直导线在P 点被折成1200的钝角，设d ＝2cm ， 求P 点的磁感应强度。 9-2半径为R 的圆弧形导线与一直导线组成回路，回路中通有电流I ，如图9-2所示，求弧心 O 点的磁感应强度（图中 ? 为已知量）。 9-3 两根长直导线沿半径方向引到铁环上A 、B 两点，并与很远的电源相连。如图9-3所示， 求环中心的磁感应强度。 图 9-1 磁矩 9-4一半径为R的薄圆盘，其中半径为r的阴影部分均匀带正电，面电荷密度为+s，其余部分均匀带负电，面电荷密度为-s（见图9-4）。设此盘以角速度为ω绕其轴线匀速转动时，圆盘中心O处的磁感应强度为零，问R和r有什么关系？并求该系统的磁矩。 图9-4 9-5氢原子处在正常态（基态）时，它的电子可看作是在半径为a＝0.53×10－8cm的轨道（称为玻尔轨道）上作匀速圆周运动，若电子在轨道中心处产生的磁感应强度大小为12.5T，求（1）电子运动的速度大小？（2）该系统的磁矩。（电子的电荷电量e＝1.6×10－19C）。 磁通量 9-6已知一均匀磁场的磁感应强度B＝2T，方向沿x轴正方向，如图9-6所示，已知ab＝cd ＝40cm，bc＝ad＝ef＝30cm，be＝cf＝30cm。求：（1）通过图中abcd面的磁通量；（2）通过图中befc面的磁通量；(3)通过图中aefd面的磁通量。 图9-6 9-7两平行长直导线相距d＝40cm，每根导线载有等量同向电流I，如图9-7所示。求：（1）两导线所在平面内，与左导线相距x（x在两导线之间）的一点P处的磁感应强度。(2)若I＝20A，通过图中斜线所示面积的磁通量（r1＝r3＝10cm，l＝25cm)。 图9-7 第三单元 物质构成的奥秘 第一节 分子和原子 一、 分子和原子的异同 分子 原子 定义 分子是保持物质化学性质的最小粒子。 原子是化学变化中的最小粒子。 性质 质量小、体积小；不断运动；有间隔；同种粒子的化学性质相同。 联系 分子是由原子构成的。分子、原子都是构成物质的微粒。 区别 在化学变化中，分子可以再分，而原子不可以再分。 备注 1. 所有金属、稀有气体、金刚石（石墨）和硅是由原子构成的，其他大多数物质是由分子构成的。 2. 在受热的情况下，粒子能量增大，运动速率加快。 3. 物体的热胀冷缩现象，原因是构成物质的粒子的间隔受热时增大，遇冷时缩小。 4. 气体容易压缩是因为构成气体的粒子的间隔较大。 5. 不同液体混合后总体积小于原体积的和，说明粒子间是有间隔的。 6. 一种物质如果由分子构成，那么保持它化学性质的最小粒子是分子；如果它由原子构成，那么保持它化学性质的最小粒子是原子。 二、 验证分子运动的探究实验 【实验操作】如右图，取适量的酚酞溶液，分别倒入A 、B 两个小烧杯中，另取一个小烧杯C ，加入约5mL 浓氨水。用一个大烧杯罩住A 、C 两个小烧杯，烧杯B 置于大烧杯外。观察现象。 【实验现象】烧杯A 中的酚酞溶液由上至下逐渐变红。 【实验结论】分子是不断运动的。 【注意事项】浓氨水显碱性，能使酚酞溶液变红。浓氨水具有挥发性，能挥发出氨气。 三、 从微观角度解释问题 1. 用分子观点解释由分子构成的物质的物理变化和化学变化 物理变化：没有新分子生成的变化。（水蒸发时水分子的间隔变大，但水分子本身没有变化，故为物理变化） 化学变化：分子本身发生变化，有新分子生成的变化。（电解水时水分子变成了新物质的分子，故为化学变化） 2. 纯净物和混合物（由分子构成的物质）的区别：纯净物由同种分子构成，混合物由不同 种分子构成。 3. 分子和原子的联系：分子是由原子构成的，同种原子结合成单质分子，不同种原子结合 成化合物分子。 4. 分子和原子的本质区别：在化学变化中，分子可以再分，而原子不能再分。 5. 化学变化的实质：在化学变化过程中，分子裂变成原子，原子重新组合，形成新物质的 分子。 第二节 原子的结构 1. 原子的构成 磁场 一、基本概念 1．磁场的产生 ⑴磁极周围有磁场。⑵电流周围有磁场（奥斯特）。 安培提出分子电流假说（又叫磁性起源假说），认为磁极的磁场和电流的磁场都是由电荷的运动产生的。 ⑶变化的电场在周围空间产生磁场（麦克斯韦）。 2．磁场的基本性质 磁场对放入其中的磁极和电流有磁场力的作用（对磁极一定有力的作用；对电流可能有力的作用，当电流和磁感线平行时不受磁场力作用）。 3．磁感应强度 IL F B （条件是L ⊥B ；在匀强磁场中或ΔL 很小。） 磁感应强度是矢量。单位是特斯拉，符号为T ，1T=1N/(A m)=1kg/(A s 2) 4．磁感线 ⑴用来形象地描述磁场中各点的磁场方向和强弱的曲线。磁感线上每一点的切线方向就是该点的磁场方向，也就是在该点小磁针N 极受磁场力的方向。磁感线的疏密表示磁场的强弱。 ⑵磁感线是封闭曲线（和静电场的电场线不同）。 ⑶要熟记常见的几种磁场的磁感线： 地磁场的特点：两极的磁感线垂直于地面；赤道上方的磁感线平行于地面；除两极外，磁感线的水平分量总是指向北方；南半球的磁感线的竖直分量向上，北半球的磁感线的竖直分量向下。 + N S 地球磁场 条形磁铁 蹄形磁铁 通电环行导线周围磁场 通电长直螺线管内部磁场 通电直导线周围磁场 ⑷电流的磁场方向由安培定则（右手螺旋定则）确定：对直导线，四指指磁感线方向；对环行电流，大拇指指中心轴线上的磁感线方向；对长直螺线管大拇指指螺线管内部的磁感线方向。 二、安培力 （磁场对电流的作用力） 1．安培力方向的判定 ⑴用左手定则。 ⑵用“同向电流相吸，反向电流相斥”（适用于两电流互相平行时）。 ⑶可以把条形磁铁等效为长直通电螺线管（不要把长直通电螺线管等效为条形磁铁）。 例1．条形磁铁放在粗糙水平面上，其中点的正上方有一导线，在导线中通有图示方向的电流后，磁铁对水平面的压力将会______（增大、减小还是不变）。水平面对磁铁的摩擦力大小为______。 解：本题有多种分析方法。⑴画出通电导线中电流的磁场中通过两极的那条磁感线（如图中下方的虚线所示），可看出两极受的磁场力的合力竖直向上。磁铁对水平面的压力减小，但不受摩 擦力。⑵画出条形磁铁的磁感线中通过通电导线的那一条（如图中上方的虚线所示），可看出导线受到的安培力竖直向下，因此条形磁铁受的反作用力竖直向上。⑶把条形磁铁等效为通电螺线管，上方的电流是向里的，与通电导线中的电流是同向电流，所以互相吸引。 例2．电视机显象管的偏转线圈示意图如右，即时电流方向如图所示。该时刻由里向外射出的电子流将向哪个方向偏转 解：画出偏转线圈内侧的电流，是左半线圈靠电子流的一侧为向里，右半线圈 靠电子流的一侧为向外。电子流的等效电流方向是向里的，根据“同向电流互相吸引，反向电流互相排斥”，可判定电子流向左偏转。 F 2 第三章磁场 第1 节磁现象和磁场 、磁现象磁性：能吸引铁质物体的性质叫磁性。 磁体：具有磁性的物体叫磁体磁极：磁体中磁性最强的区域叫磁极。 、磁极间的相互作用规律：同名磁极相互排斥，异名磁极相互吸引. （与电荷类比） 三、磁场 1.磁体的周围有磁场 2.奥斯特实验的启示：——电流能够产生磁场，运动电荷周围空间有磁场 导线南北放置 3.安培的研究：磁体能产生磁场，磁场对磁体有力的作用；电流能产生磁场，那么磁场对电流也 应该有力的作用 性质：①磁场对处于场中的磁体有力的作用。 ②磁场对处于场中的电流有力的作用。 第2 节磁感应强度 F 跟电流I 和导线长度L 的乘积IL 、定义：当通电导线与磁场方向垂直时，通电导线所受的安培力 的比值叫做磁感应强度． 对磁感应强度的理解 1．描述磁场的强弱 2．公式B＝F/IL 是磁感应强度的定义式，是用比值定义的，磁感应强度B的大小只决定于 磁场本身的性质，与F、I、L 均无关． 3．单位：特，符号T 1T=1N/AM 4.定义式B＝FIL 成立的条件是：通电导线必须垂直 于磁场方向放置．因为磁场中某点通电导线受力的大小，除 了与磁场强弱有关外，还与导线的方向有关．导线放入磁场 中的方向不同，所受磁场力也不相同．通电导线受力为零的 地方，磁感应强度B 的大小不一定为零，这可能是电流方 向与B 的方向在一条直线上的原因造成的． 5．磁感应强度的定义式也适用于非匀强磁场，这时L 应很短，IL 称作“电流元”，相当于静电场中的试探电 荷． 6．通电导线受力的方向不是磁场磁感应强度的方 向． 7. 磁感应强度与电场强度的区别磁感应强度B 是描述 磁场的性质的物理量，电场强度E 是描述电场的性质的物 理量，它们都是矢量，现把它们的区别列表如下： 磁感应强度是矢量，其方向为该处的磁场方向遵循平行四边形定则。如果空间同时存在两个或两个以上的磁场时，某点的磁感应强度B 是各磁感应强度的矢量和． 高中数学必修二第三章知识点总结 一、直线与方程 １．直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° ２．直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180 ,90∈α时，0 高中物理磁场知识点汇总 一、磁场 磁体是通过磁场对铁一类物质发生作用的，磁场和电场一样，是物质存在的另一种形式，是客观存在。小磁针的指南指北表明地球是一个大磁体。磁体周围空间存在磁场；电流周围空间也存在磁场。电流周围空间存在磁场，电流是大量运动电荷形成的，所以运动电荷周围空间也有磁场。静止电荷周围空间没有磁场。磁场存在于磁体、电流、运动电荷周围的空间。磁场是物质存在的一种形式。磁场对磁体、电流都有磁力作用。与用检验电荷检验电场存在一样，可以用小磁针来检验磁场的存在。如图所示为证明通电导线周围有磁场存在? ?奥斯特实验，以及磁场对电流有力的作用实验。 1．地磁场地球本身是一个磁体，附近存在的磁场叫地磁场，地磁的南极在地球北极附近，地磁的北极在地球的南极附近。 2．地磁体周围的磁场分布与条形磁铁周围的磁场分布情况相似。 3．指南针放在地球周围的指南针静止时能够指南北，就是受到了地磁场作用的结果。 4．磁偏角地球的地理两极与地磁两极并不重合，磁针并非准确地指南或指北，其间有一个交角，叫地磁偏角，简称磁偏角。说明：①地球上不同点的磁偏角的数值是不同的。 ②磁偏角随地球磁极缓慢移动而缓慢变化。③地磁轴和地球自转轴的夹角约为11°。 二、磁场的方向 在电场中，电场方向是人们规定的，同理，人们也规定了磁场的方向。规定：在磁场中的任意一点小磁针北极受力的方向就是那一点的磁场方向。确定磁场方向的方法是：将一不受外力的小磁针放入磁场中需测定的位置，当小磁针在该位置静止时，小磁针 N 极的指向即为该点的磁场方向。磁体磁场：可以利用同名磁极相斥，异名磁极相吸的方法来判定磁场方向。 电流磁场：利用安培定则（也叫右手螺旋定则）判定磁场方向。 三、磁感线 大学物理稳恒磁场解读 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第十一章稳恒磁场 磁场由运动电荷产生。 磁场与电场性质有对称性，学习中应注意对比。 §11－1 基本磁现象 磁性，磁力，磁现象； 磁极，磁极指向性，N极，S极，同极相斥，异极相吸。 磁极不可分与磁单极。 一、电流的磁效应 1819年，丹麦科学家奥斯特发现电流的磁效应； 1820年，法国科学家安培发现磁场对电流的作用。 二、物质磁性的电本质 磁性来自于运动电荷，磁场是电流的场。 注：1932年，英国物理学家狄拉克预言存在“磁单极”，至今科学家一直在努力寻找其存在的证据。 §11－2 磁场磁感强度 一、磁场 磁力通过磁场传递，磁场是又一个以场的形式存在的物质。 二、磁感强度 磁感强度B的定义： （1）规定小磁针在磁场中N极的指向为该点磁感强度B的方向。若正电荷沿此方向运动，其所受磁力为零。 （2）正运动电荷沿与磁感强度B垂直的方向运动时，其所受最大磁力F max与电荷电量q和运动速度大小v的乘积的比值，规定为磁场中某点磁感强度的大小。即： 磁感强度B是描写磁场性质的基本物理量。若空间各点B的大小和方向均相等，则该磁场为均匀磁场；若空间各点B的大小和方向均不随时间改变，称该磁场为稳恒磁场。 磁感强度B的单位：特斯拉（T）。 §11－3 毕奥－萨伐尔定律 一、毕－萨定律 电流元: 电流在空间的磁场可看成是组成电流的所有电流元在空间产生 元磁感强度的矢量和。 式中μ0：真空磁导率，μ0＝4π×10－7 NA 2 dB的大小： d B的方向：d B总是垂直于Id l与r组成的平面，并服从右手定则。 一段有限长电流的磁场： 二、应用 1。一段载流直导线的磁场 说明： （1）导线“无限长”：大学物理稳恒磁场习题及答案 (1)
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