高中数学解题思维提升专题08数列大题部分训练手册
专题08 数列大题部分
【训练目标】
1、 理解并会运用数列的函数特性；
2、 掌握等差数列,等比数列的通项公式,求和公式及性质；
3、 掌握根据递推公式求通项公式的方法；
4、 掌握常用的求和方法；
5、 掌握数列中简单的放缩法证明不等式。 【温馨小提示】
高考中一般有一道小题,一道大题,小题侧重于考等差数列与等比数列的性质,熟练的灵活的使用数列的性质会大大减少计算量；大题则侧重于考查根据递推公式求通项公式,求和的方法。总之,此类题目难度中等,属于必拿分题。 【名校试题荟萃】
1、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设数列{}n a 的前n 项和,
且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记数列1
{
}n
a 的前n 项和n T ,求使得成立的n 的最小值.
【答案】（1）2n
n a = （2）10
（2）由（1）可得112n
n a ??= ???
,所以
,
由
,即21000n
>,因为
,所以10n ≥,于是使得
成立的n 的最小值为10.
2、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设等差数列{}n a 的公差为d ,点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（*n N ∈）
。
（1）若12a =-,点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上,求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =,函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为1
2ln 2-,求数列
{
}n n
a b
的前n 项和n T .
【答案】（1） （2）
（2）由
函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为
所以切线在x 轴上的截距为21
ln 2
a -,从而,故22a =
从而n a n =,2n n b =,
2n n
n a n
b =
所以
故。
3、（辽宁省辽河油田第二高级中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题）设n S 为数列{}n a 的前项和,已知10a ≠,,n *∈N ．
（1）求1a ,2a ；
（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求数列{}n na 的前n 项和．
【答案】（1）1,2 （2）
1
2-=n n a （3）
（3）由（2）知1
2-=n n n na ,记其前n 项和为n T ,
于是① ②
①-②得
从而
．
4、（湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校2019届高三12月联考数学（理）试题）已知数列}{n a 的前n 项 和n S 满足
,且11=a 。
（1）求数列的通项公式n a ； （2）记
,n T 为}{n b 的前n 项和,求使n
T n 2
≥
成立的n 的最小值. 【答案】（1）1
2-=n a n （2）5
（2）由（1）知,
∴
,
由n
T n 2≥
有242+≥n n ,有6)2(2
≥-n ,所以5≥n , ∴n 的最小值为5.
5、（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三12月月考数学（理）试题）已知数列{}n a 满足12a =,且
, *
n N ∈.
（1）设2n
n n
a b =
,证明：数列{}n b 为等差数列,并求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】 （1）
（2）
【解析】
（1）把2n n n a b =代入到,得,
同除1
2
n +,得11n n b b +=+,∴{}n b 为等差数列,首项1
112
a b =
=,公差为1,∴.
（2）由,再利用错位相减法计算得： .。
6、（安徽省肥东县高级中学2019届高三11月调研考试数学（理）试题）已知数列{}n a 满足：
11a =,
.
（1）设n
n a b n
=
,求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】
（1）
（2）
（2）由（Ⅰ）可知
,设数列12n n -??
?
???
的前n 项和n T
则①
②
。
7、（广东省中山一中、仲元中学等七校2019届高三第二次联考（11月）数学（理）试题）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列,满足15a =,且2930,,a a a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2） 若数列{}n b 满足（n *
∈N ）,且13b =,求数列1n b ??
????
的前n 项和n T .
【答案】 （1）23n a n =+ （2）
对13b =上式也成立,所以
,即,
所以.
8、（江西省玉山县一中2019届高三上学期期中考试数学（理）试卷）数列{n a }中,81=a ,24=a ,且满足
,)(*
N n ∈
（1）设
,求n S ；
（2）设
,)(*
N n ∈,
,)(*
N n ∈,是否存在最大的正整数m ,使得对任
意*
N n ∈均有32
m
T n >成立？若存在求出m 的值；若不存在,请说明理由。 【答案】
（1）
（2）7
从而
故数列T n 是单调递增数列,又因是数列中的最小项,
要使
恒成立,故只需
成立即可,
由此解得m ＜8,由于m ∈Z *
, 故适合条件的m 的最大值为7．
9、（辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第三次模拟数学（文）试题）已知数列{}n a 满足
N *．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设以2为公比的等比数列{}n b 满足N *）,求数列
的前n 项和n S ． 【答案】
（1）2
43n a n =-
（2）
【解析】（1）由题知数列
{
}
3n a +是以2为首项,2为公差的等差数
列,
.
10、（江西省南康中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且
12-=n n a S .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记,求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】 （1）12n -
（2）2121
n n -+
【解析】 （1）当时,
,得当
时,有
,
所以即
,满足
时,
, 所以
是公比为2,首项为1的等比数列,故通项公式为
．
11、已知数列{a n }各项均不相同,a 1＝1,定义
,其中n ,k ∈N*．
（1）若n b n =）1
（,求5a ； （2）若b n ＋1（k ）＝2b n （k ）对2,1=k 均成立,数列{a n }的前n 项和为S n ． （i ）求数列{a n }的通项公式；
（ii ）若k ,t ∈N *
,且S 1,S k －S 1,S t －S k 成等比数列,求k 和t 的值． 【答案】 （1）95-=a
（2）（i ）1
2-=n n a ；（ii ）k ＝2,t ＝3
【解析】 （1）因为,所以,
所以95-=a .
（2）（i ）因为b n ＋1（k ）＝2b n （k ）,得,
令k ＝1,
,……………①
k ＝2,
,……………② 由①得,……………③
②+③得
,……………④
①+④得n n a a 21=+,
又011≠=a ,所以数列
{}
n a 是以1为首项,2为公比的等比数列,所以
12-=n n a ．
12、（江苏省盐城市2019届高三上学期期中考试）已知正项数列}{n a 的首项11a =,前n 项和n S 满足
.
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列}{n b 是公比为4的等比数列,且也是等比数列,若数列+n n a b λ
??
????
单调递
增,求实数λ的取值范围；
（3）若数列}{n b 、}{n c 都是等比数列,且满足n n n a b c -=,试证明：数列}{n c 中只存在三项. 【答案】
（1）n a n = （2）
23
λ>-
（3）见解析
【解析】 （1）
,故当2≥n 时
,两式作差得：
,
由}{n a 为正项数列知,
,即}{n a 为等差数列,故n a n = 。
（2）由题意,
,化简得 3
11-=b ,所以
,所以
,
由题意知
恒成立,即3>13n λ-恒成立,
所以133λ-<,解得23
λ>-
；
13、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题）
已知数列}{n a ,满足11=a ,2
3
2=
a ,,
（1）证明：
为等比数列并求}{n a 的通项公式；
（2）n S 为数列}{n a 的前n 项和,是否存在*
∈N t r ,,)(t r <使得t r S S S ,,1成等差数列,若存在求出t r ,,
不存在,请说明理由。 【答案】
（1） （2）不存在
（2）
,
11=∴S ,
,
.等式的左边是一个偶数,右边是一个奇数,所以不存在这样的
t r ,,使得t r S S S ,,1成等差数列.
14、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题）设数列{}n a 满足：
（1）.求数列{}n a 的通项公式；
（2）.设,求数列{}n b 的前n 项和n S .
【答案】 （1）n n a 3
1
=∴
（2）见解析
（2）
①当n为奇数时,
.
②当n为偶数时,
.
15、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学（文）试卷）已知数列
中,,.
（1）求的通项公式；
（2）数列满足,数列的前项和为,若不等式对一切恒成立,求的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）.
所以数列是以3为公比,以为首项的等比数列,
从而；
（2）,
.
,两式相减得
,
∴.∴,
若为偶数,则,∴,
若为奇数,则,∴,∴,
∴.
16、（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考（一）数学（理）试题）已知是等比数列,满足,且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设,数列的前项和为,求正整数的值,使得对任意均有.
【答案】（1）（2）5.
①－②得：
,
所以,
则.
由
得：当时,；当时,…；
所以对任意,且均有故k=5.