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三角函数最值论文

1 引言 (1)

2 三角函数最值问题的几种类型 (1)

3 求三角函数最值的几种解法 (2)

3.1 利用正弦、余弦函数的有界性 (2)

3.2 配方法 (4)

3.3 均值不等式 (6)

3.4 反函数法 (7)

3.5 导数法 (7)

3.6 判别式法 (8)

3.7 函数单调性 (10)

3.8 换元法 (11)

3.9 数形结合法 (13)

3.10 其它类型 (15)

4三角函数最值在实际问题中的应用 (18)

5 结论 (21)

6 参考文献 (21)

7致谢 (22)

浅析三角函数最值问题

理学院数学与应用数学082本李豪指导老师：张剑锋

摘要：本文对三角函数最值问题的几种类型进行整理分析，主要对三角函数最值问题的求解方法进行阐述.还探讨了三角函数最值问题在实际中的应用，并把数形结合、配方法等一些中要的数学思想方法渗透到三角函数最值问题中.

关键词：三角函数；最值问题；求解方法.

1.引言

三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域.另一种定义是在直角三角形中，但并不完全.现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系.它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割.由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数.三角函数在复数中有较为重要的应用.在物理学中，三角函数也是常用的工具.

三角函数最值问题是函数最值的一个重要组成部分，也是高考热点之一，其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题，或者是隐含在解答题中作为解决解答题所用的知识之一.它对三角函数的恒等变形能力及综合应用能力要求较高．同求解其他函数最值一样，解决这一类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为我们所熟知的函数（如二次函数）的最值问题.它不仅是三角函数知识的延续和再巩固，又是三角公式运用的具体表现.这类问题不仅与三角知识密切相关，而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式级一些解析几何知识结合密切.由于其题型变化多样、解法多样，有些解法又有较强的技巧.因此，对于学生而言要熟练掌握这些知识和方法的确有一点的难度.在数学奥林匹克竞赛中, 三角函数最值问题,也是重点考查的主要内容. 由于三角函数变换的多样性, 三角函数公式的互通性使三角函数问题更能考查学生的思维的灵活性, 所以也一直是竞赛考试的热点本文试对三角函数不同形式进行总结，谈谈如何求三角函数的最值.

2. 三角函数最值问题的几种类型

求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元, 化归为基本类的三角函

数或代数函数, 利用三角函数的有界性或常用求函数最值的方法去处理.

（1）sin y a x b =+或cos y a x b =+型，利用sin 1x ≤或cos 1x ≤来求解，此时要注意

字母a 的符号对最值的影响.

（2）sin +cos y a x b x =型，引入辅助角?，化为()22sin y a b x ?=

++利用

()sin 1x ?+≤即可求解

（3）22sin cos cos cos y a x b x c y a x b x c =++=++或型，可令sin t x =或cos t x =，

1t ≤化归为闭区间上二次函数的最值问题.

（4）sin cos cos sin a x b a x b

y y c x d c x d ++=

=++或型解出sin x 或cos x 利用sin 1cos 1x x ≤≤或去

解，或是分离常数的方法去解决. （5）sin cos cos sin a x b a x b

y y c x d c x d

++=

=++或可化为()()sin x g y ?+=去处理；或万能公式换元

后判别式法来解.当a=c 时还可以看作斜率来用数形结合法来处理.

（6）对于含有sin cos ,sin cos x x x x ±的函数最值问题.常用的方法是sin cos x x t ±=其中

2t ≤，将sin cos x x 转化为t 的关系式，从而归化为二次函数的最值问题.主要是化

为()sin y A x ω?=+的形式，或是某种三角函数的二次函数型.利用弦函数的有界性或是二次函数在给定区间上来求值域或最值.

（7）基本不等式型，将所求函数转化为利用基本不等式来求解的结构式.主要是运用均值定

理来求解最值，需要注意的是取“=”的条件能否满足.因此，转化时可能会需要进行合

理的拆、添项、凑常数等操作，有时还会用到22

sin cos 1θθ+=和tan cot 1θθ?=

3.求三角函数最值的几种解法

3.1 利用正弦、余弦函数的有界性

形如()sin ,,,sin a x b y a b c d R c x d +=

∈+的三角函数，

此类问题可化解为：sin b dy

x cy a

-=-的

形式，利用[]sin 1,1x ∈-解不等式，求y 的取值范围.另对于形如

()()sin cos y a x b x ωω=+的三角函数，可根据辅助角公式将其转化为一个角的一种三角

函数的形式，即()22sin y a b x ω?=

++（其中tan b

），然后根据正弦函数的取值范围便可求出原函数的最值. 例1.若函数()1cos 2sin cos 224sin 2x x x f x a x ππ+?

-- ?????+ ???

的最大值为2，

试确定常数a 的值. 解：()()22

2cos 11sin cos cos sin sin 4cos 222244

x x x a a f x a x x x x ?=+=+=++，

其中角?满足21

sin 1a

?=+，由已知有2

1444a +

=.解之得15a =±. 例2.求函数2sin +1

sin 2x y x =-的最值

解：

2sin 1sin 2

x y x +=-

()sin 22sin 1y x x ∴?-=+

sin 2

y x y +∴=

- 又

1sin 1x -≤≤

112

y y +∴-≤

≤- 13,3y ??∴∈-????

故max min 1

,33

y y =

=- 例3.（2006，重庆）设函数()23cos sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0,a R ω>∈）,

且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6

.求ω的值解：()23cos sin cos f x x x x a ωωω=++

1cos 21

sin 222

x x a ωω+=

313cos 2sin 2222

x x a ωω=

+++ 3sin 232

x a πω??

=+++ ??

? 26

ω∴?

，=1ω∴.

3.2 配方法

对于形如()2sin sin 0y a x b x c a =++≠，或()2cos cos 0y a x b x c a =++≠，或

()tan y f x =的三角函数的最值问题.

例4.求函数2

2sin 2sin 4

y x x =-+

的最值. 解：所给函数配方为2

112sin 24y x ?

?=-+ ??

?，当1sin 2x =时，即26x k ππ=+时，得函

数的极值01=

y ；当sin 1x =-时，即22x k ππ=-，()k Z ∈，得端点函数值13

44y =；

当sin 1x =时，即22x k ππ=+，()k Z ∈，得端点函数值23

y =.比较结果，所求函数的

最大值1344y =，最小值为01

y =.

例5.已知：定义在](

,4-∞上的减函数()f x ，使得()27sin 12cos 4f m x f m x ?

?-≤+-+ ???

对一切实数x 均成立，求实数m 的范围. 解：由题意可得

7sin 12cos 4sin 4m x m x m x ?-≥+-+???-≤?

，即2

312sin sin 44sin m m x x m x ?-+≥-+-???≤+?

，对x R ∈恒成立，又2

311sin 2sin sin 422x x x ?

?-+-=--- ??

?，4sin 3x +≥，

11223m m m ?

-+≥-?∴??≤?

， 11223m m m ?

+≥+?∴??≤?

，解得12m =-

，或3

m ≤≤.即为所求实数m 的范围. 反思：（1）上例利用了再闭区间上求二次函数最值的方法，.但是在运用这个方法前，首先

要将式子转换只含有同角的三角函数，再把此三角函数视为二次函数的自变量.

（2）本题综合运用三角恒等变形、三角函数的单调性、不等式恒成立等知识，是一

个较好的三角函数综合题，注意解题过程中切莫遗漏1

m =-

. 例6.若函数2

51cos cos 0822y x a x a x π??

=-++

-≤≤ ???

的最大值为1，求a 的值. 解：

251

cos cos 82

y x a x a =-++-

251=cos 2482a a a x ?

?--++- ???

令cos t x =则

2482a a a y t ??=--++- ???

由02

x π

≤≤知01t ≤≤

（1）若

<，则0t =时 max 51182a y =-=得125a =.但它不适合02a <，故舍去；

（2）若012a ≤≤，则2

t =时

2max

1482

a a y =+-=得4a =-或32a =，

只有32a =

适合012

≤≤，故舍去4a =-；

（3）若

>则1t =时 max 133182a y =-=得2013a =，但它也不适合12

a >，故也舍去.

∴综上所述3

a =

3.3均值不等式

若待求三角函数的和或积为定值时，则可运用均值不等式定理.

例7.已知222sin sin sin 1αβγ++=（α、β、γ均为锐角），那么cos cos cos αβγ的最

大值等于

解：由222sin sin sin 1αβγ++=可得222cos cos cos 2αβγ++=，

由均值定理得222

3cos cos cos cos cos cos 3

αβγαβγ++≤

3= 故cos cos cos αβγ的最大值等于

. 分析：对于满足“一正、二定、三相等”的三角函数最值问题，可用均值定理求解.

例8.（2005全国卷）当02x π

<<时，函数()21cos 28sin sin 2x x

f x x

++=的最小值是多少.

解：()21cos 28sin sin 2x x f x x ++==

222cos 8sin cos 4sin 2442sin cos sin cos x x x x

x x x x

+=+≥= 当且仅当

cos 4sin sin cos x x x x =即1arctan 2

x =时，()min 4f x =成立. 例9.当0,

2x π??∈ ??

?时，求2

sin cos y x x =的最值. 解：

0,2x π??∈ ??

?时

0y ∴≥，当2

x π

时，min 0y =.

又2

2221

sin cos 2sin cos cos 2

y x x x x x ==

??? 3

22212sin cos cos 124232327

x x x ??++??≤=?= ? ?????

239y ∴≤

，当且仅当2arctan 2

x =时等号成立. max 2

y ∴=

. 3.4反函数法

当函数的表达式中仅含有某一个三角函数名时可选择此法，用因变量y 表示出该函数，然后利用该函数的最值求对应的原函数的最值. 例10.（1）求函数3sin 1

sin 2

x y x -=

+的最值.

（2）求函数22

4sin sin 2

y x -=+的最值. 分析：（1）由题设条件知12sin 3y x y +=

-[]1,1∈-，由

1+213y

≤-得243y -≤≤ 所以max 2

y =

，min 4y =-. （2）又题设条件知2

420sin 11

x y -≤=

≤+，所以12y ≤≤，所以max 2y =，min 1y =. 例11.求函数2sin 3sin x

y x

+的最大值和最小值.

解：原式可化为23sin 1y x y

+.由于1sin 1x -≤≤，所以23111y

y --≤

≤+. 解得

1342y ≤≤，故min 14y =，max 3

y =. 3.5导数法

利用这种方法时，需要掌握与极值有关的知识，会运用导数来判断函数的极值点、最值点、单调性. 例12.已知0,

2x π?

∈ ??

，求函数()933

sin cos f x x x

=+的最小值. 解: 因为()f x 在0,

2x π??

∈ ??

上式连续函数，所以()f x 是可导的，求导得 ()22

93cos 3sin sin cos x x

f x x x

-'=

+，由()0f x '=得tan 3x =.

而0,

2x π??

∈ ??

，则3

x π

，即3

x π

是唯一的驻点.

又当03

x π

时()0f x '<，当

x π

时()0f x '>，所以当3

x π

时()f x 取得

极小值

()=24f x 极小

由于连续函数()f x 在开区间02π??

，内只有一个极值，因此极小值也是最小值，故

()min 24f x =

分析:此题属于分式函数型，前面介绍的方法用于此题比较繁琐，由于导数能判断函数的单

调性，因此我们想到利用导数这一工具来求解，极值和最值是不一样的概念，需要明确区分它们之间的关系.

例13.（2006年全国卷）ABC ?的三个内角A 、B 、

C ,求当A 为何值，cos 2cos 2

B C

A ++ 取得大值，并求出这个最大值. 解：因为cos

sin 22B C A +=.令()()cos 2sin 02

f A A A π=+<< 则()1sin 2cos 22A f A A '=-+?=cos 12sin 22A A ??

- ???

由()0f A '=得 =3

A π

当03

A π

时，()0f A '>; 当

A π

π<<时，()0f A '<

所以()f A 在03π?

?，上是增函数，在3ππ??

???

，上是减函数. 故()max 3

f A f π??==

???. 3.6判别式法

将函数式化为关于某个变量的方程，然后运用方程的判别式.

由于tan x 或cot x R ∈，与正切或余切函数有关的二次式，可变形为有关于tan x 或

cot x 的一元二次方程，利用判别式求出y 的取值范围，从而得到最值.

例14.求22sec tan sec tan x x

y x x

-=+的最值，并求取得最值时的x 的值.

解：

22tan tan 1tan tan 1

x x y x x -+=++

()()()21tan 1tan 10y x y x y ∴-+++-=. （1）当1y =时，tan 0x =，适合题意. （2）当1y ≠时，

tan x 为实数，()()22

=1410y y ∴?+--≥，

即()()3130y y --≤，133

y ∴≤≤且1y ≠.

由（1），（2）得

y ≤≤ 当3y =时，tan 1x =-，()3

x k k Z ππ=+∈；

当13y =时，tan 1x =，()4x k k Z π

π=+∈.

故当()34x k k Z ππ=+∈时，max 3y =；当()4x k k Z ππ=+∈时，min 1

y =.

分析：从上例可以看出，求三角函数最值同求其他函数最值一样，一方面充分利用三角函数

自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们熟知的函数（如二次函数等）最值问题.

一元二次方程的判别式在解决代数问题、几何问题、方程问题中，都显示出其特有的优越性，而在解决三角函数的最值问题中，同样功不可没.

例15.求函数22tan 1

tan tan 1

x y x x -=++的最值.

解：将所给函数tan x 转化为关于tan x 的一元二次方程，得：

()()2

1tan tan 10y x y x y -+++=.由于tan x 是实数，所以此时一元二次方程当

1y ≠时总有实数解.

故判别式()()2

=4110y y y ?--+≥.解这个不等式，得： 44

y -

≤≤

所以min 43y =-

； max 4

y = 利用判别式法求三角函数最值的指导思想是将最值问题转化为判别方程是否有实数

根的问题.

例16.求函数2sin cos 1

cos 3sin 5

x x y x x ++=

-+的最值.

解：因为22tan 2sin 1tan 2x x x =

+，2

1tan 2cos 1tan 2

x x x

-=+，所以原函数可化为24tan 2

24tan 6tan 6

x y x x +=-+，去分母整理得，()24tan

64tan 62022x x y y y -++-=，（1）当0y =时，1

tan 22

x =符合题意，

（2）当0y ≠时，由0?≥得()()2

6416620y y y +--≥，解得

1041010410

1515

y -+≤≤

，综上所述，

1041010410

1515

y -+≤≤

. 故min 1041015y -=

，max 10410

y +=.

评注：此题属于分式函数型，前面介绍的方法用于此题较为繁琐，由求函数

ax bx c

y dx ex f

++=++的值域联想到判别式法.如果能将三角函数升次变换为某一种的一种三角函数的二次函数形式，那么就可以运用判别式法进行求解了.

3.7函数单调性

例17.求函数22sin cos 1sin x x

y x

-=+的最大值.

解：()2

2sin 12sin 2sin 12

sin 11sin 1sin sin 1

x x x y x x x x +-+-===+-

+++. 令()sin 102t x t =+<≤，易证函数2

y t t

=-在](0,2上为增函数，故当2t =，sin 1x =时，max 1y =

如果函数在闭区间[],a b 上连续，并在该区间内单调，则函数在区间端点取得最值. 例18.已知()0,x π∈，求函数2

sin sin y x x

=+的最小值. 解：所给函数是初等函数2

y u u

与三角函数sin u x =的复合函数，此题所求的最值问题可以转化为函数在2

y u u

在()0,1上的最值问题. 设1201u u <<<，则有： ()()()()122112121212

2220u u u u f u f u u u u u u u --????-=+

-+=> ? ??

???. 所以2y u u =+

在()0,1上为减函数，故当sin 1u x ==时，即2

x π

=时，min 3y =. 例19.求函数2sin 3sin 3

2sin x x y x

-+=-的最值.

解：令2sin t x =-，由sin 1x ≤可得[]1,3t ∈，从而有sin 2x t =-，将其代入原式有

()()2

23231

1t t y t t t

---+=

=--

由函数单调性定义易知，11y t t

=--在[]1,3上是增函数. max 17

3133

y ∴=+

-=，min 1111y =+-=. 注：函数(),b y ax a b R x +

=+∈的单调增区间为：,b a ??-∞- ? ??，),b a ?+∞??；单调减区间为：),0b a ?-??，0,b a ??

? ??

. 函数(),b

y ax a b R x

+=-

∈为奇函数，其单调区间是(),0-∞，()0+∞，.

3.8换元法

通过换元转化为熟悉的数学模型.

例20.求函数()()sin cos y x a x a =++的最值(

)

02a <≤.

解：()2

sin cos sin cos y x x a x x a =+++

令sin cos x t t +=，则2,2t ??∈-??

，

且有21sin cos 2t x x -=，故()22

1122

a y t a -=++.

02a <≤，

∴当t a =-时，2min 12

a y -=；

当2t =

时，2max 1

y a a =++.

例21.求函数()()()4030cos 4030sin f θθθ=--的最大值.

解:()()()4030cos 4030sin f

θθθ=--

()1001612sin cos 9sin cos θθθθ=-++????

设sin cos t θθ+=，则2

2sin cos 1t θθ=-

θ≤≤

，12t ∴≤≤

()()g t f θ∴=()2

=5092423t t -+2

4=4503503t ??-+ ???

当1t =时，()g t 即()f θ有最大值()max 400f θ=，此时sin 20θ=，因02π

θ≤≤，

故0θ=或

π. 例22.若[]0,x π∈，试求函数sin 21cos sin x

y x x

++的值域.

分析：联想到sin x 与cos x 之间的关系：()2

sin cos 1sin 2x x x +=+、

()

sin cos 1sin 2x x x -=-及22sin cos 1x x +=等，可施行换元法来求解问题.

解：令sin cos m x x =+，则2

sin 21x m =-，于是21

11m y m m

=-+. 又sin cos 2sin 4m x x x π?

?=+=

+ ???

，且[]0,x π∈，故1,2m ??∈-??. 另一方面，显然1m ≠-，故(

1,2m ?∈-?

于是，所求函数的值域为](

2,21--.

反思：（1）三角问题代数化，利用代数函数求值域的方法求三角函数的值域

（2）换元后易忽视变量范围的等价性，本题中易忽视1m ≠-的情况，从而将所求函

数的值域误认为是-2,21??-?

，

. 3.9数形结合法

若三角函数的解析式具有比较明显的集合意义时，如距离、斜率等，可用数形结合的方法求解其最值. 例23.求sin 2cos x

y x

-的最大值和最小值.

解：将sin 2cos x

y x =

-变形为()0sin 2cos x x

---，它的集合意义为点A （2,0）与()c o s ,s in B x x -

连线的斜率，显然点B 的运动轨迹为单位圆：2

+1x y =.

由图1可知，当点B 运动到图中M 位置是，直线AM 的斜率最小，即y 取得最小值

min 3

y =-

；当点B 运动到图中N 位置时，直线AN 的斜率最大，即y 取得最大值max 33

y =

. 若函数形如sin cos x b y x d

+，它可看成是单位圆22

1x y +=的点()cos ,sin A x x 与圆外

点(),d b --连线的斜率AB k ，再运用斜率的几何意义求解.

若函数形如sin cos a x b

y c x d +=

+，同样可按上述步骤转化后再求解.

例24.求函数4sin 1

cos 2

x y x -=+的最值.

解：原函数可化为1sin 144cos 2

x y x -=

+，下面先求14y 的最值. 设点()cos ,sin A x x （点A 是单位圆221x y +=上的点），点12,4B ?

?- ???

，则直线AB

的斜率1

sin 144cos 2

x k y x -

==+.

如图所示，当直线AB 与圆相切时(1A ,2A 为切点)，k 分别取得最大值和最小值，

此时 121OA OA ==.

直线AB 的方程为()1

y k x -

=+. 由点到直线的距离公式，得28111616

k d k +=

=+，解得1512k =

，234

k =-. max 15412y ∴=，即max 5

3y =； min 13

y =-，即min 3y =-.

由于2

sin cos 1x x +=，所以从图形考虑，点()cos ,sin x x 在单位圆上，这样对一类

既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可以考虑用几何方法求得.

例25.求函数()sin 02cos x

y x x

π-=

<<-的最小值.

分析：将表达式改写成0sin 2cos x

y x

-=-，y 可看成连接两点()2,0A 与点()cos ,sin x x 的直线

的斜率.由于点()cos ,sin x x 的轨迹是单位圆的上半圆，所以求y 的最小值就是在这个

半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小. 设过点A 的切线与半圆相切与点B ，则0AB k y ≤<. 可求得53

tan

AB k π==-

. 所以y 的最小值为3

（此时3x π=）.

3.10其它类型

求函数的最值问题，还应注意充分利用具体函数的特殊性质，如三角函数的周期性、对称性、单调性等.

例26.求函数4

sin sin 2cos y x x x =++的最值. 解：首先证明

是该函数的周期. 4sin sin 2cos 2222f x x x x ππππ???????

?+=+++++ ? ? ? ????????

()4

cos sin 2sin x x x f x =++=

∴2

T π

是原函数的周期.

∴只需在02π??

????，上讨论()f x 的最值.

0,2x π??

∈????

时，()4sin sin 2cos f x x x x =++.

其次证明4

x π

是()f x 的一条对称轴.

4sin sin 2cos 4424f x x x x ππππ???????

?+=+++++ ? ? ? ????????

4cos sin 2sin 4244x x x f x ππππ????????

=-+-+-=-

? ? ? ?????????

∴直线4

x π

是()f x 的一条对称轴.

∴只需在0,4π??

????

上求()f x 的最值.

而当0,

4x π??∈????

，sin cos 2sin 4y x x x π??=+=+ ???与4

sin 2y x =都是单调递增函数， ∴()4sin cos sin 2f x x x x =++在0,4π??

????上单调递增.

()min 01y f ==，max 124y f π??

==+ ???

例27.设()44sin sin cos cos f x x x x x =-+，则()f x 的值域是＿＿. 分析：通过降幂可以有化为一个角的一种三角函数来解.

解：

()()2

22222

2sin cos 2sin cos sin cos 111191sin 2sin 2sin 222228

f x x x x x x

x x x =+--??=--=-++

???

令sin 2t t =，

因为1sin 21x -≤≤，所以[]1,1t ∈-，

原函数变为()()2

119228

f x

g t t ??==-++ ???.

当1sin 22t x ==-

时，函数()f x 有最大值98

；当sin 21t x ==时，函数()f x 有最小值0. 值域为90,8

??????

. 点评：本文通过降幂化为一个角的一种三角函数后, 通过换元转化为二次函数在给定区间

的最值问题, 体现了化归思想在竞赛中的应用.

例28.若方程

3tan 21cos 2a x x +=

-在0,2π??????

上仅有一个解，则参数a 的取值范围是

（）

.20A a -≤≤ .20B a -≤< .20C a -<< .D 以上都不对

分析：本题是求参数取值范围问题, 看似与三角函数的值域无关, 但是可以转化为三角函

数的值域来求. 也就是通过分离变量的方法, 即一边是变量, 一边是参数的方法来

求得参数的取值范围.参数的取值范围就是函数的值域.

解：方程可以化为1sin 2,624

a x x ππ

+??

=≠ ?

?，当02

x π

≤≤时，有

726

x π

≤+

≤

. 显然当111sin 22622a x π+?

≤+=< ??

?时方程仅有一解，从而20a -≤<. 另外，当31

sin 2+=622

x π??

≥ ??

?时有2226363x x ππππ+=+=或解得：4

x x π

及.

因为4

x π

≠

，所以方程也仅有一实数解12

x π

，此时有

a +=

即31a =-. 所以参数a 的取值范围是2031a a -≤<=-或答案： D

点评：这个题也可以用数形结合方法来求，同时也可以试试结合三角函数图象来求. 例29．函数()cos cos2y x x x R =+∈的最小值为

分析: 用二倍角公式可以转化为x 的三角函数问题，2

cos 22cos 1x x =-，也是化为一个

角的三角函数.

解令[]cos 0,1t x =∈，则2

21y t t =+-.

当212t ≤≤时，2

21921248

y t t t ??=+-=+- ???

得222y ≤≤.当202t ≤≤时，2

21921248

y t t t ??=-++=-++ ???得2928y ≤≤.

又y 可取到

22，故可填2

. 点评：绝对值问题处理的方法一般是分类讨论去掉绝对值符号. 本题去掉绝对值符号后转

化为一个角的一种三角函数来处理. 本题体现了分类讨论思想在竞赛中的应用.

例30．设()2

4sin sin cos 242x f x x x π??

=?++

???

，若()2f x m -<成立的充分条件是

x π

≤≤

，则实数m 的取值范围是＿＿. 解：()()21cos 24sin cos 22

2sin 1sin 12sin 12sin x f x x x x x x x

π??-+ ?

??=?+=++-=- 当

x π

≤≤

时，()2f x m -<恒成立，即()()22f x m f x -<<+恒成立.

故有()()max min 22f x m f x -<<+????????，()()max min 33f x f x == 所以14m <<

总之，求三角函数最值的题型多种多样，解法不一，我们应根据不同类型的题目，充分利用三角函数、二次函数和不等式的性质，并结合有关函数图象找到最佳的解题方法.

4.三角函数最值在实际问题中的应用

“学以致用”是新课标的“灵魂”，利用三角知识解决现实生活中的实际问题，理应成为我们学习三角函数内容的一个重点.合理地选取自变量是求解应用题的一个关键步骤，以“角”为自变量建立函数关系式是三角函数应用题求解的一种基本方法.下面列举几个利用三函数最值求解实际问题的例子，以供参考.

例31 已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间（024t ≤≤，单位：小时）的函数，经过长期的观察，该函数的图像可以近似地看成()sin y A t b ω?=++.下表是测得的某日各时的浪高数据：

t （时） 0

3 6 9 12 15 18 21 2

4 y （米） 1.5

1.0

0.5

1.0

1.5

1.0

0.5

0.99

1.5

依规定，当浪高不低于1米时浴场才开放，试安排白天内开放浴场的具体时间段. 解：根据题意，易知()1.50.5/20.5A =-=，=12T ，

()1.50.5/21b =+=.

则2126ππω=

=，0.5sin 16y t π???

=?++ ???

把0t =代入，得

0+=

??，即=

π? 所以0.5sin 16

2y t π

π??=?++

???.

由0.5sin 16

2y t π

π??=?++

???()1024T ≥≤≤,解得03t ≤≤或915t ≤≤.

所以在白天9时-15时开放浴场.

例32如图，某城市现有自市中心O 通往正西方向与东北方向的两条主要公路，为了解决该

市交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路，分别在通往正西方向和正东北方向的公路上选取A 、B 两点，使环城公路在A 、B 间为直线段，要求A B 环城路与市中心O 的距离为10公里，且使A B 间的距离AB 最小.请你确定A 、B 两点的最佳

位置，（不要求作近似计算）

解：本题是与三角形有关的问题，因此需分清三角形中的边角关系，然后利用三角函数的

定义来求解.

设()

090,tan 1BOC θθθ∠=<<>且，则

()010tan 13510tan AB AC BC θθ=+=-+

()()2

2tan 12tan 121tan =1010

tan 1tan 1

θθθ

θθ-+-++=-- ()()()

2=10tan 12102222012tan θθ??

-++≥+=+????

，当且仅当2tan 1tan 1

θθ-=

-，即tan 12θ=+时，()

min 2012AB =+，此时，

10422OA OB ==+.

由上可知，把两站A 、B 设在距市中心O 为104+22公里处，AB 最短，最短距离为()

201+2公里.

2020年高考数学三角函数专题解题技巧

三角函数专题复习在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。二、典例剖析例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=．（Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值；（Ⅱ）求cos2θ的值．【解析】（Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-

高考数学三角函数知识点总结及练习

三角函数总结及统练一. 教学内容：三角函数总结及统练（一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系平方关系：商数关系：倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2

正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质函数 x y sin = x y cos = x y tan =

三角函数公式与双曲函数

公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα

诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。“奇、偶”指的是整数n的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。一全正；二正弦；三两切；四余弦这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“＋”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”。编辑本段其他三角函数知识同角三角函数的基本关系式倒数关系 tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系 sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。倒数关系对角线上两个函数互为倒数；商数关系六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。平方关系在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。两角和差公式

高考数学三角函数公式

高考数学三角函数公式同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα

双曲函数与三角函数

双曲函数王希对之前在双曲函数的来历是什么，与三角函数有什么关系？ - 数学问题的回答不太满意，故在此重新撰文。尽我所能全面具体详细地介绍双曲函数相关的方方面面，希望它能成为最好的讲解双曲函数的文章。除了第七部分，高中生都应该可以看懂，因此我不希望大家回复「不明觉厉」，而是看懂它并回复「受益匪浅」。我希望想了解双曲函数的知友看了我的文章都能有所收获。一、发展历史双曲函数的起源是悬链线，首先提出悬链线形状问题的人是达芬奇。他绘制《抱银貂的女人》时曾仔细思索女人脖子上的黑色项链的形状，遗憾的是他没有得到答案就去世了。时隔170年之久，著名的雅各布·伯努利在一篇论文中又提出了这个问题，并且试图去证明这是一条抛物线。事实上，在他之前的伽利略和吉拉尔都猜测链条的曲线是抛物线。一年之后，雅各布的证明毫无进展（废话，证明错的东西怎么会有进展）。而他的弟弟约翰·伯努利却解出了正确答案，同一时期的莱布尼茨也正确的给出了悬链线的方程。他们的方法都是利用微积分，根据物理规律给出悬链线的二次微分方程然后再求解。 18世纪，约翰·兰伯特开始研究这个函数，首次将双曲函数引入三角学；19世纪中后期，奥古斯都·德·摩根将圆三角学扩展到了双曲线，威廉·克利福德则使用双曲角参数化单位双曲线。至此，双曲函数在数学上已经占有了举足轻重的地位。 19世纪有一门学科开始了全面发展——复变函数。伴随着欧拉公式的诞生，双曲函数与三角函数这两类看起来截然不同的函数获得了前所未有的统一。二、函数定义在讲双曲函数的定义之前，我们先看一看三角函数的定义。如图所示：

在实域内，三角函数的值是通过单位圆和角终边上三角函数线的长度定义的。当然这个「长度」是有正负的。同理，双曲函数的值也是通过双曲线和角终边上的双曲函数线的长度定义的。如图：具体的定义为，，。三、函数性质和对应的三角函数性质十分类似，但又有一定的区别。

(完整版)高中数学三角函数历年高考题汇编(附答案)

三角函数历年高考题汇编一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（）

高三数学三角函数经典练习题及答案精析

1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（） A C 3 ，则sin cos αα=（） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （）（A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（）

A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x =

于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π；增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．．

高考数学-三角函数大题综合训练

三角函数大题综合训练 1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．（1）求角C的值；（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．（Ⅰ）求△ACD的面积；（Ⅱ）若BC=2，求AB的长． 6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin （A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．

高考数学三角函数试题及解析

三角函数与解三角形一．选择题 1．（2014?广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（） A．B．C．﹣D．﹣ 2．（2014?广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D． 3．（2014?河南）若tanα＞0，则（） A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0 4．（2014?河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（） A．①②③B．①③④C．②④ D．①③ 5．（2014?四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度 C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度 6．（2014?陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（） A．B．πC．2πD．4π 7．（2014?辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增 C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增 8．（2014?江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（） A．﹣B．C．1 D． 9．（2014?福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（） A．y=f（x）是奇函数 B．y=f（x）的周期为π C．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称 10．（2014?安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（） A．B．C．D．二．填空题 11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为_________ ．

三角函数与双曲函数基本公式对照表

圆函数（三角函数） 1.基本性质： sin tan cos x x x = ,cos cot sin x x x = 1sec cos x x = ,1 csc sin x x = tan cot 1x x = sin csc 1x x = sec cos 1x x = 22sin cos 1x x += 《 221tan sec x x +=,221cot csc x x += 2.奇偶性： sin()sin x x -=- cos()cos x x -= tan()tan x x -=- 3.两角和差公式 sin()sin cos cos sin x y x y x y ±=± cos()cos cos sin sin x y x y x y ±= [ tan tan tan()1tan tan x y x y x y ±±= 4.二倍角公式 sin 22sin cos x x x = 2222cos 2cos sin 2cos 112sin x x x x x =-=-=-22tan tan 21tan x x x = - 双曲函数 1.基本性质： sh th ch x x x = ,ch cth sh x x x = 1sech ch x x =,1csch sh x x = - th cth 1x x = sh csch 1x x = sech ch 1x x = 22ch sh 1x x -= 221th sech x x -=,221cth csch x x -=- 2.奇偶性： sh()sh x x -=- ch()ch x x -= ~ th()th x x -=- 3.两角和差公式 sh()sh ch ch sh x y x y x y ±=± ch()ch ch sh sh x y x y x y ±=± th th th()1th th x y x y x y ±±= ± 4.二倍角公式 sh 22sh ch x x x = 2222ch 2ch +sh 2ch 112sh x x x x x ==-=+ [

高中数学三角函数各地历年高考真题汇编(附答案)

三角函数历年高考题汇编一.选择题 1、（2009）函数22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π 的偶函数 2、（2008）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为 2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（） 4.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)4 2sin(1π + +=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ．2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为

A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（）二.填空题 1.（2009宁夏海南卷文）已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则 712 f π ?? = ??? 。 2.（2009年上海卷）函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ . 3.（2009辽宁卷文）已知函数()sin()(0)f x x ω?ω=+>的图象如图所示,则ω ＝

高考数学三角函数典型例题

| 三角函数典型例题 1 ．设锐角ABC ?的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小; (Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围. 【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1 sin 2 B = , 由ABC ?为锐角三角形得π6B = . (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π??+=+π- - ?6? ? cos sin 6A A π?? =++ ??? & 1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ?? ?. 2 ．在ABC ?中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ． (Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ?的最大值是5,求k 的值. 【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ． - 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) ∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵0