当前位置：搜档网 › 集合与函数章节复习精选

集合与函数章节复习精选

集合与函数章节复习

一、集合：

（一）知识

1.集合（1）集合元素的3个性质——互异、确定、无序。

（2）集合的3种表示方法——列举、描述、图示。

（3）元素与集合间的关系————属于或不属于。

2.子集（1）定义：A B B A B x A x ??∈?∈或则对于任意,

（2) 性质: 若A B B C ??，，则A C ?

(3)有限集A 有n 个元素，A 的子集有2n 个

(4)两个集合相等的概念. B A A B B A =??，则且

3.空集空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.

4.集合的运算

（1.）定义：交集：{|A B x x A =∈且}x B ∈；

并集：{|A

B x x A =∈或}x B ∈；

补集：若B U ?,则{|U C B x x U =∈且}x B ?；

（2）性质：,A A A ?=??=,,A A A A A A ==；

,,.A A B A B A A B A B ??? A B A A B =??．A B A A B =??； ()()()U U U C A B C A C B =，()()()U U U C A B C A C B =

（二）方法与思想：

1.解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么，即元素分析意识；

2.能化简的要先化简，即化简的意识；

3.抓住集合中元素的性质，对互异性要注意检验，即检验的意识；

4、求交集、并集、补集，要充分发挥数轴、坐标系或文氏图的作用，即数形结合的意识；

5、含参数的问题，要有分类讨论的意识，分类讨论时要防止丢掉空集；

6、善于把集合语言与方程、不等式、函数、曲线进行语言 “互译”的能力。

（三）典型例题

1. 已知集合A=｛2，8，a ｝, B=｛2，a 2-3a+4｝,又A B ，求a 的值。(解：a= -1或4)

2. 已知{1,a,b}={a,a 2,ab},求实数a,b 的值. （答案：a=-1，b=0）

3. 设A={x|x 2-5x+q=0},B={x|x 2-px+15=0},A∩B={3}.则P =________, q =________.

A∪B=_________ （答案：P=8,q=6,A∪B={2,3,5}）

4. 设U=R,A={x|-1

（答案C U A={x|x≤-1或56} C U B={x|x<2或x ≥5} C A B={x|-1

或x=6} ）

5. 设U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，（C U A ）∩B={3，7}，（C U B ）∩A ={2，8}，(C U A)∩(C U B)

={1，5，6}，则集合A= ，B=

(答案：A={2,4,8,9} B={3,4,7,9} 建议利用Venn 图解决)

6. 已知集合A={1,2}，且A ∪B={1,2,3,4}，则满足条件的集合B 的个数有多少？（4个）

7.已知集合{}{}{}B C B A x x y y C A x x y y B a x x A =∈==∈+==≤≤-= 若，,|,32|,2|2,求a 的取值范围。（答案：321≤≤a ）

二、函数：

(一)定义域列出使函数有意义的不等式，求解即得函数的定义域。

1.求函数定义域的主要依据：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方式大于等于零，零指数幂的底数不等于零；

（3）由基本函数通过四则运算得的函数的定义域是各基本函数定义域的交集；

（4）分段函数的定义域是各段的并集.

2.类型与方法

（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；

（2）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义；

（3）复合函数问题

①若()f x 的定义域为[],a b ，[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出；

②若[]()f g x 的定义域为[],a b ，则()f x 的定义域为()x g 在[]b a ,上的值域．

注意：① ()与中的x x f ()[]x g f 中的()x g 地位相同；② 定义域所指永远是x 的范围.

3.典型例题

（1）求下列函数的定义域： ① f(x)=11+1x

),0()0,1()1,(+∞?-?--∞ ② f(x)=(x+1)0|x|-x

)0,1()1,(-?--∞ （2）若函数y=f(2x+3)的定义域是[-4,5],求y=f(x)以及y=f(2x-3)的定义域。

答: [-5,13] [-1,8]

（二）解析式

1.求函数解析式的题型与方法

（1）已知f[g(x)],求f(x)——换元法或配凑法

（2）已知函数的类型（往往是一次或二次函数）——待定系数法

（3）含f(x)与f(-x)；f(x)与f(x

1)——解方程组法 (4)已知一个区间的表达式，求另一个区间的——转移法

2.典型例题

（1）已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x)的解析式。

解析：待定系数法 f(x)=x 2-2x-1

(2) ①已知f(x+1)=x+2x,求f(x)的解析式. ②已知f(x+1x )=x 2

+1x 2+1x

,求f(x)的解析式。

解析: 换元法 ①f(x)=x 2-1(x≥1) ②f(x)=x 2-x+1(x≠1)

(3) 周长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆的框架，若矩形底边长为2x ，求此框

架围成图形的面积y 关于的函数表达式，并写出它的定义域.

答案：xl x ++-=2)22(y π )20(π

答案：?????<++≥+-=)

0(12)0(12)(22x x x x x x x f （三）值域与最值

1．方法步骤：一看定义域二看解析式三运用单调性四运用常见函数（尤其是二次函数）

2.掌握两个函数(0);(0)ax b b ac a y a b ac y x a x c x c x

+-=

=+-≠=+>++ 的图象和性质； 3.典型例题

（1）已知函数f(x)=2x-1

(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值. 解析：用定义证明)(x f 在[2,6]上单调递减，2)2()(,52)6()(min max ====f x f f x f （2）已知函数f(x)=x+1x

(x>0), ①证明当0

（3）求函数y=x 2-4x+6在x (1,5]上的最值。

（四）单调性

1．证明单调性：定义法有五步：取值、作差、变形、定号。

2．求单调区间：（注意先求定义域）

①y=f(x)+a 与y=f(x)单调性相同

②当A>0时,y=Af(x)与y=f(x)的单调性相同；A<0时相反。

③相反在同号区间上的单调性与)()

(1x f y x f y ==

④奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数相反。

3．作用：比较大小、解方程、解不等式、求最值、求值域。

4．典型例题

（1）当x (-2,+∞)时,f(x)=2x 2-mx+3为增函数,当x (-∞,-2)时为减函数,则

f(1)=_______

（2）讨论函数y=x 2-2ax+3在[-2,2]上的单调性.

（答案:当a<-2时增; 当a>-2时减; 当-2≤a≤2时，在[-2,a]上减、[a,2]上增）

（3）判断函数y=1x

--x 在(0,+∞)上的单调性,并求x [1,4]的值域.(答案:减函数，值

域[-

,0]) （五）奇偶性

1.判定奇偶性常用方法：

方法1：定义（注意先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x) 与f(x)的关系）方法2：图象：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称。

2.注意:（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=)(x f ;

（2）若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则(0)0f =（可用于求参数）；

（3）等价形式：作差：f(x)±f(-x)=0或作商：1)

()(±=-x f x f （f(x)≠0）;

（4）若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；

（5）分段函数的奇偶性分段看。

3.典型例题

（1）判断下列函数的奇偶性：

① f(x)=x 3-x 2x-1 ② ()()x

x x x f -+-=111 ③()2212-+-=x x x f ④() ｘ＜０

ｘ＞０?????++-=x x x x x f 22

(答案：①不具有奇偶性，②不具有奇偶性，③奇函数，④奇函数)

（2）f(x)的定义域关于原点对称，判断F(x)=12[ f(x)+ f(--x)]及G(x)=12

[ f(x)--f(--x)]的奇偶性。

（答案：F(x)偶，G(x)奇）

（3）已知f(x)是R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x 2--2x , 求f(x)的解析式？

（4）f(x)=ax 7+bx 5+cx 3+dx+5，其中a,b,c,d,为常数，若f(--7)=--7,求f(7)的值。答案：17

（六）函数的图象

1．作函数图象一般有

方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线。

注意：要利用单调性、周期性、奇偶性、对称性简化作图。

方法二：变换法———熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转。

（1）平移 )()(h x f y x f y ±=???→?=左加右减；k x f y x f y ±=???→?=)()(上加下减

（2）对称 )()(x f y x f y y -=????→←=轴对称关于；)()(x f y x f y x -=????→←=轴对称关于

)()(x f y x f y --=????→←=关于原点对称

（3）翻折

①图示：)(x f y =→)(x f y = ②图示：)(x f y =→)(x f y =

2．作用：

（1）研究函

数性质：值

域、单调性、最值；

（2）比较大小，解不等式、解方程。

3.典型例题

（1）作函数()x x x f 42-=图象，由图象写函数的单调区间，求其在[1,3]上的值域。

（2）m 为怎样的实数时，方程m x x =+-542有四个互不相等的实数根？

（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）

高考复习函数知识点总结

高考复习函数知识点总结一．函数概念的理解以及函数的三要素（1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则（函数关系式）也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 [,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b < ．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ① 分式的分母不为0； ② 偶次根式下被开方数大于0； ③ 0y x = ，则有0x ≠ ； ④ 对数函数的真数大于0，底数大于0切不等于1 注意：①解析式为整式的函数定义域为R ； ②若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则

其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集； ③对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知() f x的定义域为[,] a g x b ≤≤解出． f g x的定义域应由不等式() a b，其复合函数[()] （4）求函数的值域或最值常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数() =可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 y f x 2 ++=，则在()0 a y x b y x c y ()()()0 a y≠时，由于,x y为实数，故必须有 2()4()()0 ?=-?≥，从而确定函数的值域或最值． b y a y c y ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．（5）函数解析式 ①换元法；（用于求复合函数的解析式） ②配凑法；（用于求复合函数的解析式）

人教版高一数学必修一第一章集合与函数概念知识点

高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

必修一第一章集合与函数概念同步练习(含答案)

第一章集合与函数概念同步练习 1.1.1 集合的含义与表示一. 选择题： 1.下列对象不能组成集合的是（） A.小于100的自然数 B.大熊猫自然保护区 C.立方体内若干点的全体 D.抛物线2x y =上所有的点 2.下列关系正确的是（） A.N 与+Z 里的元素都一样 B.},,{},,{c a b c b a 与为两个不同的集合 C.由方程0)1(2=-x x 的根构成的集合为}1,1,0{ D.数集Q 为无限集 3.下列说法不正确的是（） A.*0N ∈ B.Z ?1.0 C.N ∈0 D.Q ∈2 4.方程???-=-=+3 212y x y x 的解集是（） A.}1,1{- B.)1,1(- C.)}1,1{(- D.1,1- 二.填空题： 5.不大于6的自然数组成的集合用列举法表示______________. 6.试用适当的方式表示被3除余2的自然数的集合____________. 7.已知集合}7,3,2,0{=M ，由M 中任取两个元素相乘得到的积组成的集合为 ________. 8.已知集合}012{2=++∈=x ax R x M 只含有一个元素，则实数=a ______,若M 为空集,可a 的取值范围为_________. 三.解答题： 9.代数式}{)8(2x x x ∈-- ，求实数x 的值。 10.设集合A=},,2),{(N y x x y y x ∈+-=，试用列举法表示该集合。 11.已知}33,2{12+++∈x x x 试求实数x 的值。

1.1.2 集合的含义与表示一. 选择题： 1.集合Φ与}0{的关系，下列表达正确的是（） A.φ=}0{ B.φ?}0{ C.}0{∈φ D.φ}0{? 2.已知集合A=}3,2,1{，则下列可以作为A 的子集的是（） A.}4,1{ B.}3,2{ C.}4,2{ D.}4,3,1{ 3.集合},,{c b a 的非空真子集个数是（） A.5 B.6 C.7 D.8 4.已知集合M={正方形}，N={菱形}，则（） A.N M = B.N M ∈ C.M ≠?N D.N ≠?M 二.填空题 5.用适当的符号填空 ① },2_____{0Z n n x x ∈= ② }_____{ 1质数 ③ },,_____{}{c b a a ④ }0))((_____{},{=--b x a x x b a ⑤},12______{},14{++∈+=∈+=N k k x x N k k x x 6.写出集合}1{2=x x 的所有子集_______________________ 7.设集合}{},63{a x x B x x A <=≤<-=，且满足A ≠?,B 则实数a 的取值范围是_________ 三.解答题 8.已知集合B 满足}2,1{≠?B ?}5,4,3,2,1{，试写出所有这样的集合 9.已知}5{>=x x A ，}3{x x B <=，试判断A 与B 的关系 10.已知A=}3,4,1{},2,1{a B a =+，且B A ?，求a 的值

陕西省高中数学人教新课标A版必修1第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值

陕西省高中数学人教新课标A版必修1 第一章集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大（小）值姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共15题；共30分) 1. （2分） (2019高一上·宁乡期中) 若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则二次函数的图像只可能是（） A . B . C . D . 2. （2分）已知y=f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，与g（x）图象关于x=1对称，当x∈[2，3]时，g （x）=2a（x﹣2）﹣3（x﹣2）2 ， a为常数，若f（x）的最大值为12，则a=（） A . 3 B . 6 C . 6或 D .

3. （2分） (2019高一上·兰州期中) 已知函数（是常数，且）在区间上有最大值3，最小值，则的值是（） A . B . C . D . 4. （2分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的是（） A . y=﹣3|x| B . y= C . y=log3x2 D . y=x﹣x2 5. （2分）已知f(x)是定义在上的非负可导函数,且满足.对任意正数a,b,若a

C . D . 7. （2分）已知函数f（x）=在R上单调递增，则实数a的取值范围是（） A . 0＜a≤3 B . a≥2 C . 2≤a≤3 D . 0＜a≤2或a≥3 8. （2分）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，则（） A . B . C . D . 9. （2分） (2016高一上·杭州期中) 下列函数中，值域为（0，+∞）的是（） A . y= B . C . D . y=x2+x+1 10. （2分） (2019高一上·杭州期中) 下列函数中,既是偶函数,又在上单调递增的是（） A .

高中数学第一章集合与函数概念知识点

高中数学第一章集合与函数概念知识点〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，N*或N + R表示实数集. （3）集合与元素间的关系 ?，两者必居其一. ∈，或者a M 对象a与集合M的关系是a M （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等

（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法 0) 〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念

①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域

集合与函数知识点归纳

集合与函数板块公式 1.集合的运算: (1)交集:A x x B A ∈=|{ 且}B x ∈,即集合B A ,的所有公共元素构成的集合. (2)并集:A x x B A ∈=|{ 或}B x ∈,即集合B A ,的所有元素构成的集合. (3)补集:?U ∈=x x A |{U 且}A x ?,即除A 中元素需补充的所有元素的集合. 2.集合中的关系: (1)元素与集合的关系:属于或不属于关系.(∈或?) (2)集合与集合关系:A 是B 的子集记为B A ?.(开口朝范围大的集合) (3)含有n 个元素的子集有n 2个,真子集有12-n 个,非空真子集有22-n 个. 3.集合表示法:列举法、描述法、区间法、特殊字母(Venn 图象法、数轴表示) 4.常用函数定义域的求法(结果用集合的表示方法表示) (1))(x f y =,0)(≥x f (2))(log x f y a =,0)(>x f (3))()(x g x f y = ,0)(≠x g (4))(tan x f y =,∈+≠k k x f (,2 )(π π)Z 5.函数的单调性 (1)定义法: ①增函数:任意D x x ∈21,且21x x <,都有)()(21x f x f < ②减函数:任意D x x ∈21,且21x x <,都有)()(21x f x f > (2)定义法变形: ①)(x f 增函数? 0)]()()[(0) ()(2121212 1>--?>--x f x f x x x f x f x x ②)(x f 减函数? 0)]()()[(0) ()(2121212 1<--?<--x f x f x x x f x f x x (3)图象法: ①增函数图象上升; ②减函数图象下降 (4)导数法: ①增函数(增区间):令0)('>x f 解得x 的范围为增区间 ②减函数(减区间):令0)('a 为增函数; ②0