高等数学偏导数第五节隐函数求导题库.
【090501】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由z x e t t xy
+=-?
2
d 所确定，试求
????z x z y
,。 【试题答案及评分标准】
解：原式两边分别对x y ,求偏导得
????z
x ye z
x
ye xy xy +==---1122()()。 （6分）
??z
y
xe xy =-()2 （10分）
【090502】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求????z x z
y
,（其中x y +≠0）。 【试题答案及评分标准】 解：原式两边对x 求导得
y
z x x z
x
z y ????+++=0 则
??z x z y y x
=-++
（6分）
同理可得：??z y z x
y x
=-++ （10分）
也可：
????z x F F z y y x z y F F z x y x
x y y x =-=-++=-=-++
【090503】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由sin()y z e x z
-+=-2所确定，试求
????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
解：原式sin()y z e x y
-+=-2两边求微分得
cos()(d d )(d d )y z y z e x z x z --+--= 0
d d cos()d cos()
z e x y z y
e y z x z x z
=+-+--- （6分）
则
??z x e e y z x z
x z
=+---cos()
（8分）
??z y y z e y z x z =-+--cos()cos()
（10分）
【090504】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设y y x z =(,)由方程e e e xyz x
y
z
++=3所确定，试求????y x y
z
,。 【试题答案及评分标准】
??y x e yz e xz x y =---33 （5分）
??y z e xy e xz
z y =---33 （10分）
【090505】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程x y z xy z ++-=2
3
2所确定，试求????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
??z x y z y z =---=--1321
32
22
（5分） ??z y y x z x y z =---=--232232
22 （10分）
【090506】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由22
20
z y t t z y x
+=+-?
cos d 所确定，试求
??z
x
。 【试题答案及评分标准】
解：2
12????z x
z y x z x =+--?? ???cos()
（4分）
则 ??z x z y x z y x =+-+--cos()cos()2
2
2
（10分）
【090507】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程e xy z z
-=2
3
1所确定，试求z z x y
(,,)
(,,)
,110110。
【试题答案及评分标准】
解：方程两边求微分得
e z y z x xyz y xy z z z d d d d ---=23322230
（6分）
将x =1，y z ==10,代入上式得
d z =0
（8分）
故z z x
y
(,,)
(,,)
,
11011000==
（10分）
【090508】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由x e z yz =+2所确定，试求d z 。 【试题答案及评分标准】
解：原式两边求微分得
d (d d )d x
e y z z y z z yz =++2
（6分）
d d d z x z
e y
z ye
yz yz
=-+2 （10分）
【090509】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由xy x z y z +++-=cos()sin()1所确定，求????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
??z x y x z x z y z =-+++-sin()sin()cos() （5分）
??z y x y z x z y z =+-++-cos()sin()cos()
（10分）
【090510】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】
【试题内容】设函数z z x y =(,)由x z y z y z 3
2
1+++++=sin()ln()所确定，求??z
x
。 【试题答案及评分标准】
??z x
x z y z y z =-+++
+3121
2
22
cos() （8分）
=
-++++++321
22x y z y z z y z y z ()
()cos() （10分）
【090511】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程x xy z z 2
2
22+-=所确定，求????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
2222x x x y y x z z z d (d d )d d ++-= 2122()d d (d d )z z x x x y y x +=++
（6分）
??z x x y
z =
++1
（8分） ??z y x z =+1
（10分）
【090512】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】
【试题内容】设函数z z x y =(,)由z x y e z
=++-1ln()所确定，求z z x y (,),(,)1010。 【试题答案及评分标准】
当x y ==10,时，z e z =-1，则z =0（2分）
z x y
e z z x z x
x =
+-=
1
101
2(,)
（6分）
z x y
e z z y z y
y =
+-=
1
101
2(,)
（10分） 【090513】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设u xyz =，其中z z x y =(,)由方程ze e z
x y
=+所确定，求
??u
x
。 【试题答案及评分标准】
????u x yz xy z
x =+
（4分）
e z x ze z x
e z z x y ????+=+ ??z x e e z x y z =++()
1
（8分）
??u x yz xye e z x y
z =+++()
1 （10分）
【090514】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程z e x y
z
=+所确定，求
??z x
。 【试题答案及评分标准】
ln z x y
z
=
+
z z x y ln =+
（3分） []??z
x z ln +=11 （8分） ??z x z
=
+1
1ln （10分）
【090515】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】
【试题内容】设z z x y =(,)由方程sin()ln()xz z x y x +-=+2
所确定，求z y (,)00。 【试题答案及评分标准】
由原方程得：当x y ==00,时，z =1
将x =0代入原方程得：ln z y =
（4分） z y z
y (,)01
1?
=
（8分）
z y (,)001=
（10分）
【090516】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程e y x yz xz
2+=ln cos()所确定，求z x (,)10。
【试题答案及评分标准】
当x y ==10,时，z =0
（2分） 22e z xz y
x
yz yz xz x x ()sin()++
=- （8分）
2100z x (,)=
z x (,)100=
（10分）
【090517】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设y y x =()由方程xy x y ++=ln()1所确定，求 x
y
d d 。 【试题答案及评分标准】
d d ()()y x y x y
x x y
y x y x x y =-+
++
+=-++++1
111
（10分）
【090518】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程x y z e z
++=所确定，求全微分d z 。 【试题答案及评分标准】
【090519】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】
【试题答案及评分标准】
d d d d x y z
e z z ++=
（8分） d d d z e x e y z z
=
-+-111
1
（10分）
【090520】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程xy z z sin =2所确定，求全微分d z 。 【试题答案及评分标准】
y z x x z y xy z z z sin d sin d cos d d ++=2 （7分）
d sin d sin d cos z y z x x z y
xy z
=
+-2
（10分）
【090521】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程z z xy 2
2
2+=ln 所确定，求????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
22
22z z z
z y x xy y d d d d +=+
21222()
d d d z z z y x xy y +=+
（6分）
??z x zy z =+2
221()
（8分）
??z y xyz z
=+12 （10分）
【090522】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程xz xyz -=ln()1所确定，求????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
x z z x xy z xz y yz x
xyz
d d d d d +-
++=0
d ()d d z x z x y y x z
=-+-
111
（8分）
??z x z x
=- （9分）
??z y z y zx =-()
1 （10分）
【090523】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程y z z
x
=ln 所确定，求 y x z z ,。 【试题答案及评分标准】
12z y y z
z z z x x d d d d -=-
d d d z z y z x x z y =++?? ???211
（8分）
z z x y z x =+2
()
（9分）
z z
y z
y =
+ （10分）
【090524】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设u u x y =(,)由方程x
u
yu =ln()所确定，求????u x u y ,。
【试题答案及评分标准】
x u y u u =+ln ln
1=
++??????u x y u x u u
x
ln ln 所以
??u x yu =+1
1ln()
（5分）
0=
+++u y u y y u y u u y
??????ln ln ??u y u y yu =-+[ln()]
1
（10分）
【090525】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z f x y =(,)是由方程z y x xe z y x
--+=--0所确定的二元函数，求d z 。
【试题答案及评分标准】
d d d d (d d d )z y x
e x xe z y x z y x z y x --++--=----0 （6分）
d ()d d z x
e xe x y z y x
z y x
=+-++----111
（10分）
【090526】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程zy xz 2
3
2-=所确定，求????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
y z yz y z x xz z 232230d d d d ---=
d d d z z x yz y
y xz =
+-322
23 （8分）
??z x z y xz
=-3
2
2
3 （9分）
??z y yz y xz =-2322
（10分）
【090527】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程e z x y z
+-=2
1所确定，求??z
x
。 【试题答案及评分标准】
e z x z x xy z
????+-=20 （8分） ??z x xy
e z
=
+21
（10分）
【090528】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】
【试题内容】设z z x y =(,)由方程x y z 2
22231++=所确定，求????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
22
3
0x x y y z z d d d ++
= d d d z x z x y
z y =--332
（8分） z x z x =-3
（9分） z y z y =-32
（10分）
【090529】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程x y z xyz ++=2所确定，求
????z x z
y
,。
【试题答案及评分标准】
d d d d d d x y z yz x xz y xy z ++=++2 d ()d ()d z yz x xz y
xy =
-+--121
（8分）
??z x yz xy =--11
（9分）
??z y yz xy =--21
（10分）
【090530】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程arctan z z x y +=2
3
所确定，求????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
11232
322
++=+z
z z xy x x y y d d d d d ()d ()d z xy z x x y z y z =++++21312322222
（6分）
??z x xy z z =++212322()
（8分）
??z y x y z z =++2122222
() （10分）
【090531】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程yz xz =arctan()所确定，求????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
y z z y xz x z z x d d ()
(d d )+=
++1
12
y y xz x xz z z
xz x z y +-+=+-()()d ()
d d 222
11 （6分）
??z x z y y xz x
=+-()2
（8分）
??z y z z xz y y xz x
=--+-()()2
2
（10分）
【090532】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设y y x =()由方程arctan()xy y -=20所确定，求d d y
x
。 【试题答案及评分标准】
y xy xy y +'
+-'=1202
()
（8分）
d d y x y
x y x
=+-2222 （10分）
【090533】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】
【试题内容】设u x y =+sin()，其中y y x =()由方程e y x x y
+=+sin 所确定，求x
u
d d 。 【试题答案及评分标准】
e y y x y '+'=+1cos
'=
++y x
e
y
11cos （4分） d d cos()()u
x
x y y =+?+'1
（8分）
d d cos()cos u x x y
e x
e y y
=++++21 （10分）
【090534】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数y y x =()由方程y x e y x
2
20sin ln -+=所确定，求
d d y
x
x =0
。
【试题答案及评分标准】
22022yy x y x e y y
x '+-+
'
=sin cos （6分）
当x =0时，y e = e y e
2200-+
'=()
（8分）
'=-y e e ()023
（10分）
【090535】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由方程e xy z yz
+=tan()所确定，求
??z
x
。 【试题答案及评分标准】
令：F x y z e xy z yz
(,,)tan()=+-
F y xy x =sec ()2 （4分）
1-=y e F yz z
（8分）
??z x y xy ye
yz
=-sec ()
21 （10分）
【090536】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由方程22x x z y z ++=+cos()所确定，求????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
22d sin()(d d )d d x x z x z y z -++=+ d [sin()]d d sin()
z x z x y
x z =
-+-++22
（6分）
??z x x z x z =-+++22sin()sin()
（8分）
??z y x z =-++12sin()
（10分）
【090537】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由方程z y x z sin cos()-+=1所确定，求????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
0)d )(d sin(d cos d sin =++++z x z x y y z z y
[]sin sin()d sin()d cos d y x z z x z x z y y ++=-+- （6分）
??z x x z y x z =-+++sin()sin sin()
（8分）
??z y z y y x z =-++cos sin sin()
（10分）
【090538】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由方程sin sin sin 2
2
2
1y x z ++=所确定，求????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
2220cos sin d sin cos d sin cos d y y y x x x z z z ++=
d sin d sin d sin z x x y y
z
=
+222
（8分）
??z x x
z
=
sin sin 22 （9分） ??z y y z
=sin sin 22
（10分）
【090539】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由方程x ze z y 2
2
0--=sin 所确定，求
????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
22022
x x e z yze y z z y y d d d cos d ---= d d d cos z x x yze y
e
z
y y =
-+222
2
（8分）
??z x x e z
y =+22cos
（9分）
??z y yze e z
y
y =-+22
2
cos （10分）
【090540】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由方程x y e y xz
2
-=sin 所确定，求
????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
22xy x x y e z x x z y y xz d d (d d )cos d +-+=
[]
d ()d (cos )d z xe
xy ze x x y y xz
xz =
-+-122
（8分） ??z x xy ze xe xz
xz =-2 （9分）
??z y x y xe xz
=-2cos （10分）
【090541】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由方程e xy z z
-=sin 0所确定，求????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
e z y z x x z y xy z z z d sin d sin d cos d ---=0
()d cos sin d sin d z e xy z y z x x z y z =
-+1
（8分）
z y z
e xy z x z =
-sin cos
（9分）
z x z
e xy z
y z
=
-sin cos （10分）
【090542】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由方程x y y z z x sin sin sin ++=1所确定，求????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
sin cos cos sin y y z
z x z x z
x
x +++=????0 （4分）
x y z z y y z z
y
x cos sin cos sin ++
+=????0 （8分）
??z x y z x
y z x =-++sin cos cos sin ??z y z x y y z x
=-++sin cos cos sin
（10分）
【090543】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】
【试题内容】设函数z z x y =(,)由方程xe e x z z
y
+=cos 2
所确定，求全微分d z 。 【试题答案及评分标准】
e x xe z e x y e x x z z z z y y d d cos d sin d d ++-=2 （6分） ()d (sin )d cos d xe z z e x e x e x y z y z y -=--2
（8分）
d sin d cos d z
e x e xe z x e x xe z
y y z z y z =----22
（10分）
【090544】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】
【试题内容】设函数z z x y =(,)由方程z x y y z sin()+=+所确定，求全微分d z 。 【试题答案及评分标准】
sin()d cos()(d d )d d x y z z x y x y y z ++++=+ （8分）
[]d sin()
cos()d (cos())d z x y z x y x z x y y =
-++++-1
11（10分）
【试题内容】设函数z z x y =(,)由方程sin()x z x y z +=-+2
21所确定，求??z
x
。 【试题答案及评分标准】
cos()()x z z xy z x x +?+=-122 （6分）
??z x xy x z x z =-+++22cos()cos()
（10分）
【090546】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】函数z z x y =(,)由方程sin sin()z xe z xy y
+=+2所确定，求
z z x y (,),(,)0000。
【试题答案及评分标准】
当x y ==00,时，z =0
（2分） z z e z y xy z x y x x cos cos()(,)+=+=2001
（6分）
z z xe z x xy z y y y y cos cos()(,)+=+=2000
（10分）
【090547】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】函数y y x =()由方程sin()xy e x y y
-+=2
1所确定，求 d d y
x
。 【试题答案及评分标准】
d d cos()cos()y x y xy xy
x xy e x
y =-+-+22 （10分）
【090548】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z x y xy
=++()12
2
，试求????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
ln ln()z xy x y =++122
112122
222
z z x y x y x y x y
??=+++++ln() （4分）
??z x x y y x y x y x y xy =+++++++??????()ln()11212222
222 （6分）
??z y x y x x y xy x y xy =+++++++??
????()ln()11212222
222 （10分）
【试题内容】设z x y x y y x
=
>>(ln )(,)ln 11，试求
??z x
。 【试题答案及评分标准】
ln lnln ln ln z y x x y =-
(2分）
1z z x y x x y
x
??=-
ln ln
（8分）
??z x x y
y
x x y x y
x =-?? ??
?(ln )ln ln ln
（10分）
【090550】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】函数z z x y =(,)由x y x z
=++22
2
1
所确定，试求??z x 。 【试题答案及评分标准】
[]
z x y x ln ln()ln()=
+-+1
2
2122 （3分） ??z x x z x x x x x ln ()+=-+=-+221122 （8分）
??z x z x x x x x
=-+++[()]()ln 22211
（10分）
【090551】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z y x x y
=++?? ?
?
?2
13
1/，试求
????z x z y
,。 【试题答案及评分标准】
ln||[ln||ln()]
[()
]
z y x y
x z
x z y x x y x =+-+=+-+131
11312122?? ??z x y x x x y y x x y y x x y =+-+++++?? ??
?()()()()/2
2213
12311 （5分）
??z
y z y x x y
=+++131
122[ln()]
??z y y z x y y x x y =+++??????++?? ??
?1311122213
ln()/ （10分）
【090552】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由方程22xz xyz xyz =-ln()所确定，求d (,)
z 11。
【试题答案及评分标准】
由原方程知：x y ==11,时，z =1
22(d d )(d d d )x z z x xy z xz y yz x +=++
-
++xy z xz y yz x
xyz
d d d
（7分）
将x y z ===111,,代入得
d (,)z 11=-+d d x y
（10分）
【090553】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】函数 ()z z x y =, 由方程()z x y xz y
+=+1
所确定，求()z y 01,。
【试题答案及评分标准】
当x y ==01,时，z =1
(2)
在原方程中令x =0得
z y y
=1
(6)
()z y y y y y y
0112
,ln =-?? ?
?? ()z y 011,=
(10)
【090554】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由方程xy xz e yz
+=所确定，求全微分d z 。 【试题答案及评分标准】
令F x y z xy xz e yz
(,,)=+- 则F y z x =+
F x ze y yz =-
F x ye z yz =-
(6分)
????z x y z
x ye z y x ze x ye
yz
yz
yz
=-+-=--- (8分)
[]
d ()d ()d z x y
e y z x x ze y yz
yz
=-
-++-1
(10分)
【090555】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】函数z z x y =(,)由方程e e z
x
z y
+=4所确定，求
????z x z y
,。 【试题答案及评分标准】
??z x z x e x e y
e yze yxe x e z
x
z x z y
z x z x z y =--+=+2211 (5分)
??z y z y
e x e y
e xze
y e xye z
y z x z y
z y
z
x z y =--+=+2211 (10分)
【090556】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】函数z z x y =(,)由y x z
y
=所确定，试求????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
z y y x ln ln = ????z x y y x z x y
x y
ln ln == (4分)
??z y y z
y x ln ln += ??z y y x z y y
=-ln ln
(10分)
【090557】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】函数z z x y =(,)由方程z x y z
=+()所确定，求????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
ln ln()z z x y =+ （2分）
z z z x y z x y
x x =+++ln()
z z x y z x y x =+-+2
1()[ln()]
（6分）
同理可得：
z z x y z x y z x y z y =+-+=+-22
11()[ln()]()(ln )
（10分）
【090558】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】函数z z x y =(,)由方程xyz e x y z
=++所确定，求
????z x z
y
, 【试题答案及评分标准】
yz x xz y xy z e x y z x y z d d d (d d d )++=++++
()()()
xy e
z e
yz x e xz y x y z
x y z
x y z -=-+-++++++d d d (6分)
??z x e yz
xy e x y z x y z
=--++++
(8分)
??z y e xz
xy e x y z x y z
=
--++++ (10分)
【090559】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】函数z z x y =(,)由方程e x y x z
z +=+()122所确定，求
??z
x
。 【试题答案及评分标准】
x z z x y +=+ln()122
令F x y z x z z x y (,,)ln()=+-+12
2
F xzy x y x y xzy x y
x =-+=+-+121121222222
22
(4分)
F x y z =-+1122ln()
(8分) (
)
??z x
x y xzy x y x y
e =+-++?? ??
?
1211222
2222
ln
(10分)
【090560】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】函数z z x y =(,)由方程z x yz x
=2
所确定，求 x z 。 【试题答案及评分标准】
令F x y z z x yz x
(,,)=-2
F z z xyz x x =-ln 2 (4分) F xz x y z x =--12
(8分)
z z z xyz
xz x y
x x x =-
---ln 212
(10分)
【090561】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】函数z z x y =(,)由方程z x y x
1=+arctan 所确定，求
??z x
。 【试题答案及评分标准】
令F x y z z x y x
(,,)arctan =--1
F z x z x x
=-?? ?
?
?-1211ln
(4分)
1
1
1-=x z z x
F
(8分)
11
211121ln 11ln 1--+=-??? ??--=??x x x x
xz x z z z x
z x z x z (10分)
【090562】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】函数z z x y =(,)由方程sin()x z e y z
-+=-3所确定，求
????z x z
y
,。 【试题答案及评分标准】
10-?
? ???--=-????z x x z z x
e y z cos() -
-+-=-????z y x z z
y e y z cos()()10 （6分）
从而
??z x x z x z e y z
=--+-cos()
cos() ??z y e x z e y z
y z
=-+--cos()
（10分）
【090563】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】
【试题内容】设z x
y x
=,求
????z x z
y
,，其中x y >>00,。 【试题答案及评分标准】
ln ln z y x x =
1z z x y y x y x
x
x ??=+ln ln ??z x x y y x y x y x
x x =+??
????ln ln (6分)
11z z
y
xy x x ??=-ln ??z
y
x xy x y x x =?-1ln (10分)
【090564】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】
【试题内容】设x y ,是由022
2
=+-r y x 及xy s -=0确定的 s r ,的函数，求
r
x
??和??x s
。 【试题答案及评分标准】
解：?
?
?=-+=+-0d d d 0
d 2d 2d 2s x y y x r y y x x
2
2d d d y
x r
x s y x +-=
(6分)
2
2y x x r x +-=?? (8分)
??x s y x y
=+22
(10分)
【090565】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设),(s r x x =和),(s r y y =由方程组?
??=+=+11ys xr rs xy 所确定，求r x
??。
【试题答案及评分标准】
隐函数的求导方法总结
河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(=οοy x F ，0),(≠οοy x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(οοx f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x
高等数学-隐函数的求导法则
第五节 隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有 d d x y F y x F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入 (,)0F x y =，得恒等式 (,())0F x f x ≡， 等式两边对x 求导得 d 0d F F y x y x ??+=??， 由于0y F ≠ 于是得 d d x y F y x F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数: 22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x ?? =-+-? ?? 2 2 ()x x y y x x x y y y y x x y y y F F F F F F F F F F F F --=- - - 22 32x x y x y x y y y x y F F F F F F F F -+=- ． 例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个
单值可导的隐函数()y f x =，并求22 d d ,00 d d y y x x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠． 因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =． d 0d y x x =0x y F x F =-= e 10,0 cos x y x y y x -=-=-==-， 22d 0d y x x = d e () 0,0,1 d cos x y x y y x y x -=-'===-- 02 01 (e )(cos )(e )(sin 1) (cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----?-=- -3=-． 隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有 x z F z x F ?=-?，y z F z y F ?=-?． 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入 (,,)0F x y z =， 得(,,(,))0F x y f x y ≡，
隐函数的求导方法总结
百度文库- 让每个人平等地提升自我 河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x
高等数学偏导数第五节隐函数求导题库.
【090501】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由z x e t t xy +=-? 2 d 所确定，试求 ????z x z y ,。 【试题答案及评分标准】 解：原式两边分别对x y ,求偏导得 ????z x ye z x ye xy xy +==---1122()()。 （6分） ??z y xe xy =-()2 （10分） 【090502】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求????z x z y ,（其中x y +≠0）。 【试题答案及评分标准】 解：原式两边对x 求导得 y z x x z x z y ????+++=0 则 ??z x z y y x =-++ （6分） 同理可得：??z y z x y x =-++ （10分） 也可： ????z x F F z y y x z y F F z x y x x y y x =-=-++=-=-++ 【090503】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由sin()y z e x z -+=-2所确定，试求 ????z x z y ,。 【试题答案及评分标准】 解：原式sin()y z e x y -+=-2两边求微分得 cos()(d d )(d d )y z y z e x z x z --+--= 0 d d cos()d cos() z e x y z y e y z x z x z =+-+--- （6分） 则
-隐函数求导公式
第5节：隐函数的求导公式 教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。 教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。 教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。 教学方法：讲授为主，互动为辅 教学课时：2 教学内容： 一、一个方程的情形 在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程 ),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式. 隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数， 且0),(00=y x F ，, 0),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有 y x F F dx dy -= （2） 公式（2）就是隐函数的求导公式 这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式 0))(,(≡x f x F , 其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 ,0=??+??dx dy y F x F 由于y F 连续，且0),(00≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个邻域，在这个邻域内0≠y F ，于是得
.y x F F dx dy -= 如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得 dx dy F F y F F x dx y d y x y x ???? ??-??+???? ??-??=22 .232222y x yy y x xy y xx y x y x yy y xy y x yz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=???? ??-----= 例1 验证方程0122=-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。 解 设=),(y x F 122-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此由定理1可知，方程0122=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =。 下面求这函数的一阶和二阶导数 y x F F dx dy -==y x -， 00==x dx dy ; 22dx y d =,1)(332222y y x y y y x x y y y x y -=+-=---='-- 10 22-==x dx y d 。 隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程 F (z y x ,,)=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。
高数导数练习题
第二章导数与微分练习题 一、填空题 1. 设)cos(cos 2sin x y x =，则='y _________________. 2. 设函数)(x y y =由方程0)sin(222=-++xy e y x x 所确定，则 =dx dy __________. 3. 设 2sin x e y = ，则=dy ____________________. 4．设函数()x y y =由方程0=+-y x e e xy 所确定，则()0y '= (),0y ''= 5 ．若函数2sec y t t =?+设 ，则=dy 。 6．曲线?????=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ，2214 t d y dx == 。 7. 设(0)0,'(0)4,f f == 则0()lim x f x x → =_______________. 8. ()(1)(2)(3)(4)(100)f x x x x x x x =-----，则=')1(f ________. 9. 设)]([22x f x f y +=, 其中)(u f 为可导函数, 则 =dx dy _____________. 二、选择题 1. 若???≥+<+=1 ,1,3)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则（ ） A. 2,2==b a B. 2,2=-=b a C. 2,2-==b a D. 2,2-=-=b a 2. 设0'()2f x =，则000()()lim h f x h f x h h →+--＝( ). A.不存在 B. 2 C. 0 D 、 4 3. 设)0()(32>=x x x f , 则=')4(f ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4. 设()f x 是可导函数，且0(1)(1)lim 12x f f x x →--=-，则曲线(x)f y =在点(1,(1))f 处的切线斜率为（ ） A.1 B.0 C.-1 D.-2 5. 设20()(),0x f x x g x x =≤? ＞，其中()g x 是有界函数，则()f x 在x =0处（ ） A.极限不存在 B.可导 C.连续不可导 D.极限存在，但不连续
(完整版)第五节隐函数求导法则
第五节 隐函数求导法则 教学目的：会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 教学重点：隐函数的偏导数 教学难点：隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 教学时数：2 教学内容： 一、一个方程的情形 1、 隐函数存在定理1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数, 0000(,)0,(,)0y F x y F x y '=≠, 则方程(,)0F x y =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定 一个连续且具有连续导数的函数()y f x =, 它满足条件()00y f x =, 并有 y x F F dx dy -=. 证明: 将()y f x =代入(,)0,F x y =得恒等式()(,)0,F x f x ≡ 等式两边对x 求导得 0=???+??dx dy y F x F , 由于y F '连续, 且00(,)0y F x y '≠, 所以存在00(,)x y 的一个邻域, 在这个邻域同0y F '≠, 于是得 y x F F dx dy -=. 例1： 验证方程22 10x y +-=在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当 0x =时1y =的隐函数(),y f x =并求这函数的一阶与二阶导数在0x =的值. 解： 设22 (,)1F x y x y =+-, 则2x F x '=、2y F y '=、 F (0,1)0=, F (0,1)20.y '=≠因此由定理1可知, 方程2 2 10x y +-=在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当 0x =时1y =的隐函数()y f x =.
高等数学--隐函数的求导法则
高等数学--隐函数的 求导法则 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第五节 隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 隐函数存在定理1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有 d d x y F y x F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入 (,)0F x y =，得恒等式 (,())0F x f x ≡， 等式两边对x 求导得 d 0d F F y x y x ??+=??， 由于0y F ≠ 于是得 d d x y F y x F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数: 22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x ?? =-+-? ?? 2 2()x x y y x x x y y y y x x y y y F F F F F F F F F F F F --=- - - 22 3 2x x y x y x y y y x y F F F F F F F F -+=- ．
例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单 值可导的隐函数()y f x =，并求22 d d ,00 d d y y x x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠． 因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =． d 0d y x x =0x y F x F =-= e 10,0 cos x y x y y x -=-=-==-， 22 d 0d y x x = d e ()0,0,1 d cos x y x y y x y x -=-'===-- 02 01 (e )(cos )(e )(sin 1) (cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----?-=- -3=-． 隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点 00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 (,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有 x z F z x F ?=-?，y z F z y F ?=-?．
隐函数的求导方法总结
河北地质大学课程设计（论文） 题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 .......................................................................... 错误!未指定书签。 一．隐函数的概念 .................................................. 错误!未指定书签。 二．隐函数求偏导 .................................................. 错误!未指定书签。 1.隐函数存在定理1 ................................................ 错误!未指定书签。 2.隐函数存在定理2 ................................................ 错误!未指定书签。 3.隐函数存在定理3 ................................................ 错误!未指定书签。 三.隐函数求偏导的方法 .......................................... 错误!未指定书签。 1.公式法 ................................................................... 错误!未指定书签。 2.直接法 ................................................................... 错误!未指定书签。 3.全微分法 ............................................................... 错误!未指定书签。 参考文献 .................................................................. 错误!未指定书签。 摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数偏导数方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一
高等数学偏导数第五节隐函数求导题库.
【090501 】【计算题】【中等 0.5】【隐函数的求导公式】 【隐函数的求导】
【试题内容】设函数 z z(x, y)由 z x
e xy
t2
dt 所确定，试求
【试题答案及评分标准】
解：原式两边分别对 x, y 求偏导得
(6 分)
2
xe (xy)
(10 分)
【090502】【计算题】【中等 0.5】【隐函数的求导公式】 【隐函数的求导】
【试题内容】设函数 z z(x, y)由 yz zx xy 3 所确定，试求 Y,_Z (其中 x y 0)。 xy
【试题答案及评分标准】
解：原式两边对 x 求导得
z y— z x x—
z y0
x
则—
x
zy yx
(6 分)
z
同理可得：
y
也可：
zx yx
(10 7)')
z Fx x Fy
z _y yx
z Fy
zx
y Fx
yx
■ 【090503】【计 题】
算
0.5】【隐函数的求导公式】 【隐函数的求导】
【试题内容】设函数 z z(x,y)由 sin(y z) ex z
2 所确定，试求足二。
xy
【试题答案及评分标准】
解：原式 sin( y z) ex y 2 两边求微分得
cos(y z)(d y dz)
xz
e (d x d z) = 0
ex z d x cos(y z)d y dz
ex z cos(y z)
(6 分)
xz
ze x ex z cos（y z）
（8 分）
z cos（ y z） y ex z cos（y z）
（10 分）
【090504】【计算题】【中等 0.5】【隐函数的求导公式】 【隐函数的求导】
【试题内容】设 y y(x,z)由方程 ex ey ez 3xyz 所确定，试求 业，业。 z
【试题答案及评分标准】
x
y e 3yz
x
y
e
3xz
（5 分）
y
z
e
3xy
z ey 3xz
（10 分）
【090505】【计算题】【中等 0.5】【隐函数的求导公式】
【试题内容】设 z z(x, y) 由方程
2
3
y z xy
2z 所确定，试求
【试题答案及评分标
准】
z
1y
x 3z2 2
y1 3z2 2
(5 力)
z
2y x x 2y
2
2
（10 分）
y
3z2 2 3z2 2
【090506】【计算 【中等 0.5】【隐函数的求导公
题】
式】
【试题内容】设 z z(x, y)由 2z
y x cost2 d t 所确定，试求
【试题答案及评分标准】
解: 2— cos（z y x）2 x
（4 分）
cos（z y x）2 cos（z y x）2
（10 分）
【090507】【计算题】【中等 0.5】 【隐函数的求导公式】 【隐函数的求导】
【试题内容】设 z z(x, y)
由方程 ez
2 3 一 …、 一-
xy z 1 所确定，试求 zx
， （1,1,0） （zy I,I,0）°
【试题答案及评分标准】
解：方程两边求微分得
ez d z y2z3 d x
2xyz 3d, y
22.
3xy z d z 0
（6
分）
将 x 1 , y 1,z 0 代入上式得
dz0
故
z
0,
x (1,1,0)
z
0
y (1,1,0)
【090508】【计算题】【中等 0.5】【隐函数的求导公式】
【试题内容】设 z z(x, y)由 x eyz z1 2所确定，试求 dz。
(8 分) (1。分) 【隐函数的求导】
【试题答案及评分标准】 解：原式两边求微分得
d x eyz(ydz zd y) 2zd z (6 分) d x zeyz d y
dz 2z yeyz
(10 分)
【090509】【计算题】【中等 0.5】【隐函数的求导公式】 【隐函数的求导】
【试题内容】设函数 z z(x, y)由 xy cos(x z)
sin( y z) 1 所确定，求
【试题答案及评分标准】
z y sin(x z) x sin( x
隐函数的导数
1． 函数求导、参数方程求导 函数()x f y =表示两个变量y 与x 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式
表达。前面我们遇到的函数，例如x y sin =，21ln x x y -+=等，这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与之对应。例如，当0=x 时，1=y ；当1-=x 时，32=y ，等等。这样的函数称为隐函数。 一般地，如果在方程()0=y x F ，中，当x 取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0=y x F ，在该区间内确定了一个隐函数。 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程013=-+y x 解出 31x y -=，就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。 但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。下面通过具体例子来说明这种方法。 例1 求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数y 的导数 dx dy 。 解：我们把方程两边分别对x 求导数，注意y 是x 的函数。方程左边对x 求导得 () dx dy x y dx dy e e xy e dx d y y ++=-+， 方程右边对求导得 ()00=' 。 由于等式两边对x 的导数相等，所以 0=++dx dy x y dx dy e y ， 从而 () 0≠++-=y y e x e x y dx dy 。 在这个结果中，分式中的y 是由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数。 隐函数求导方法小结： （1）方程两端同时对x 求导数，注意把y 当作复合函数求导的中间变量来看待，例如 ()y y y x '='1ln 。 （2）从求导后的方程中解出y '来。 （3）隐函数求导允许其结果中含有y 。但求一点的导数时不但要把x 值代进去，还要把对应的y 值代进去。 例2 e e xy y =+，确定了y 是x 的函数，求()0y '。
隐函数求导的简单方法
·1· 数学中不等式的证明方法 王贵保 一、利用拉格朗日中值定理 1．拉格朗日中值定理：设)(x f 满足：（1）在闭区间[a , b ]上连续；（2）在开区间（a , b ）内可导，则有一点∈ξ（a , b ），使得 )()()(ξf a b a f b f '=-- 2．从上式可以看出，如果能确定了)(ξf '介于某两个数m 与M 之间，则有如下形式的不等式： m ≤a b a f b f --)()(≤M 因此，欲证形如a b a f b f --)()(或构造成为a b a f b f --)()(形式的不等式，可用该方法。 例1：证明，当x ＞0时，有1-x e ＞x . 证明：由原不等式，因为x ＞0，可改写为x e x 1-＞1的形式，或改写为00--x e e x ＞1的形式，这里t e t f =)(，区间为[0, x ]，于是可用拉格朗日中值定理证明。 令t e t f =)(，∈t [0, x ]，则)(t f 满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在∈ξ[0, x ]有 0--x e e x ＝ξe ＞1 所以，有不等式1-x e ＞x . 例2：证明不等式x +11＜x x ln )1ln(-+＜x 1 （x ＞0） 证明：x x ln )1ln(-+＝x x x x -+-+)1(ln )1ln(这里x b +=1，x a =，于是可对t t f ln )(=在［x , 1+x ］上应用拉格朗日中值定理. 令t t f ln )(= ]1,[x x t +∈ （x ＞0），则)(t f 在［x , 1+x ］上满足中值定理的条件，于是有]1,[x x +∈ξ，即x ＜ξ＜x +1，使得
隐函数的求导方法总结
河北地质大学 课程设计（论文） 题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一个隐函数。例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2 x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2 x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2 x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x 故 1=x dx dy =) 1,(!y x =1
隐函数的求导方法汇总
隐函数的求导方法汇总
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (6) 一．隐函数的概念 (6) 二．隐函数求偏导 (6) 1.隐函数存在定理1 (6) 2.隐函数存在定理2 (7) 3.隐函数存在定理3 (8) 三. 隐函数求偏导的方法 (9) 1.公式法 (9) 2.直接法 (10) 3.全微分法 (10) 参考文献 (12)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(=οοy x F ，0),(≠οοy x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(οοx f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数 dx dy 在x=1处的值。