初中数学二次函数(经典题型)
二次函数试题
一;选择题：
1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ）
A -1
B 2
C -1或2
D m 不存在
2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系
C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系
D 圆的周长与半径之间的关系
4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ）
A y=—（ x-2）2+2
B y=—（ x+2）2+2
C y=— （ x+2）2+2
D y=—（ x-2）2—
5、抛物线y=
2
1
x 2-6x+24的顶点坐标是（ ）
A
（—6，—6）
B （—6
，6）
C （6，6）
D （6，—6）
6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ A １ B ２ C ３ D ４
7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则
c b a + =c a b + =b
a c
+ 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2
1
8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ）
二填空题：
13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。
16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为—
———————————。
17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2
-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形）
1、已知：二次函数y=错误！未找到引用源。x 2
+bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣错误！未找到引用源。）． AMC （1）求此二次函数的解析式．
（2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积．
2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0，4)，顶点为（1，92）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D ，试在对称轴上找出点P ，使△CDP 为等腰三角
形，请直接写出满足条件的所有点P 的坐标．
（3）若点E 是线段AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），分别连接AC 、BC ，过点E
作EF ∥AC 交线段BC 于点F ，连接CE ，记△CEF 的面积为S ，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值及此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图，一次函数y ＝－4x －4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线y ＝4
3
x 2＋bx ＋
c 的图象经过A 、C 两点，且与x 轴交于点B ． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D ，求四边形ABDC 的面积；
（3）作直线MN 平行于x 轴，分别交线段AC 、BC 于点M 、N ．问在x 轴上是否存在点P ，使
得△PMN 是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（二次函数与四边形）4、已知抛物线2
17
2
22
y x mx m
=-+-．
(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x－1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
5、如图，抛物线y＝mx2－11mx＋24m (m＜0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且
∠BAC＝90°．
（1）填空：OB＝_ ▲，OC＝_ ▲；
（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；
（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x＝n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形N的面积取得最大值，并求出这个最大值．
6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，
∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点
的坐标分别是A （ 1 0-，），B （ 1 2-，），D （3，0）．连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ．若抛物线2y ax bx c
=++经过点D 、M 、N ． （1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P ，使得PA=PC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为E ，点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．
7、已知抛物线
223 (0)y ax ax a a =--<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的
顶点．（1）求A 、B 的坐标；
（2）过点D 作DH 丄y 轴于点H ，若DH=HC ，求a 的值和直线CD 的解析式；
（3）在第（2）小题的条件下，直线CD 与x 轴交于点E ，过线段OB 的中点N 作NF 丄x 轴，并交直线CD 于点F ，则直线NF 上是否存在点M ，使得点M 到直线CD 的距离等于点M 到原点O 的距离？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
（二次函数与圆）
8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过M （1，0）和N （3，0）两点，且与y 轴交于D （0，3），直线l 是抛物线的对称轴．1）求该抛物线的解析式．
2）若过点A （﹣1，0）的直线AB 与抛物线的对称轴和x 轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式． 3）点P 在抛物线的对称轴上，⊙P 与直线AB 和x 轴都相切，求点P 的坐标．
9、如图，y 关于x 的二次函数y=﹣
（x+m ）（x ﹣3m ）图象的顶点为M ，
图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于D 点．以AB 为直径作圆，圆心
为C ．定点E 的坐标为（﹣3，0），连接ED ．（m ＞0） （1）写出A 、B 、D 三点的坐标；
（2）当m 为何值时M 点在直线ED 上？判定此时直线与圆的位置关系； （3）当m 变化时，用m 表示△AED 的面积S ，并在给出的直角坐标系中画出S 关于m 的函数图象的示意图。
10、已知抛物线2
y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，且与x 轴交于A 、B 两点．与y 轴交于点C ．其中AI(1，
0)，C(0，3-)． （1）（3分）求抛物线的解析式；
（2）若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ）． ①（4分）如图l ．当△PBC 面积与△ABC 面积相等时．求点P 的坐标；
②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA 时，求直线CP 的解析式。
答案：
1、解：（1）由已知条件得错误！未找到引用源。，（2分） 解得b=﹣错误！未找到引用源。，c=﹣错误！未找到引用源。，∴此二次函数
的解析式为y=错误！未找到引用源。x 2
﹣错误！未找到引用源。x ﹣错误！未找到引用源。；（1分）
（2）∵错误！未找到引用源。x 2
﹣错误！未找到引用源。x ﹣错误！未找到引
用源。=0，∴x 1=﹣1，x 2=3， ∴B（﹣1，0），C （3，0），∴BC=4，（1分）
∵E 点在x 轴下方，且△EBC 面积最大，∴E 点是抛物线的顶点，其坐标为（1，﹣3），（1分） ∴△EBC 的面积=错误！未找到引用源。×4×3=6．（1分）
2、（1）∵抛物线的顶点为（1，92） ∴设抛物线的函数关系式为y ＝a ( x －1) 2＋9
2
∵抛物线与y 轴交于点C (0，4)， ∴a (0－1) 2＋92＝4 解得a ＝－1
2
∴所求抛物线的函数关系式为y ＝－12( x －1) 2＋9
2
（2）解：P 1 (1，17)，P 2 (1，－17)， P 3 (1，8)，P 4 (1，17
8
)，
（3）解：令－12( x －1) 2＋9
2
＝0，解得x 1＝－2，x 1＝4
∴抛物线y ＝－12( x －1) 2＋9
2
与x 轴的交点为A (－2，0) C (4，0)
过点F 作FM ⊥OB 于点M ，
∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴MF OC ＝EB AB 又 ∵OC ＝4，AB ＝6，∴MF ＝EB AB ×OC ＝2
3
EB
设E 点坐标为 (x ，0)，则EB ＝4－x ，MF ＝23 (4－x ) ∴S ＝S △BCE －S △BEF ＝12 EB ·OC －12 EB ·MF ＝1
2
EB (OC
－MF )＝12 (4－x )[4－23 (4－x )]＝－13x 2＋23x ＋83＝－1
3( x －1) 2＋3
∵a ＝－1
3
＜0，∴S 有最大值 当x ＝1时，S 最大值＝3 此时点E 的坐标为 (1，0)
3、（1）∵一次函数y ＝－4x －4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，
∴A (－1，0) C (0，－4) 把A (－1，0) C (0，－4)代入y ＝4
3
x 2＋bx ＋c 得
∴?????43－b ＋c ＝0c ＝－4 解得?????b ＝－83c ＝－4
∴y ＝43x 2－8
3
x －4 （2）∵y ＝43x 2－83x －4＝43( x －1) 2－163 ∴顶点为D （1，－16
3）
设直线DC 交x 轴于点E 由D （1，－16
3）C (0，－4) 易求直线CD 的解析式为y ＝－4
3x －4
易求E （－3，0），B （3，0） S △EDB ＝12×6×16
3
＝16
S △ECA ＝12
×2×4＝4 S 四边形ABDC ＝S △EDB －S △ECA ＝12 （3）抛物线的对称轴为x ＝－1 做BC 的垂直平分线交抛物线于E ，交对称轴于点D 3 易求AB
的解析式为y ＝－3x ＋ 3
∵D 3E 是BC 的垂直平分线 ∴D 3E ∥AB 设D 3E 的解析式为y ＝－3x ＋b
∵D 3E 交x 轴于（－1，0）代入解析式得b ＝－3, ∴y ＝－3x － 3
把x ＝－1代入得y ＝0 ∴D 3 (－1，0), 过B 做BH ∥x 轴，则BH ＝111
在Rt △D 1HB 中，由勾股定理得D 1H ＝11 ∴D 1（－1，11＋3）同理可求其它点的坐标。 可求交点坐标D 1（－1，11＋3）, D 2（－1，22）, D 3 (－1，0), D 4 (－1, 11－3)D 5（－1，－22） 4、(1)?=()2
174222m m ??--?
?- ???
=247m m -+=2443m m -++=()2
23m -+，∵不管m 为何实数，总有()
2
2m -≥0，∴?=()2
23m -+＞0，∴无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点．
(2)∵ 抛物线的对称轴为直线x =3，∴3m =， 抛物线的解析式为215322y x x =
-+=()2
1322
x --，顶点C 坐标为（3，－2）
， 解方程组21,
15322
y x y x x =-??
?=-+??，解得1110x y =??
=?或2276x y =??=?，所以A 的坐标为（1，0）、B 的坐标为（7，6），∵3x =时y =x －1=3－1=2，∴D 的坐标为（3，2）
，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为E ，则E 的坐标为（3，0），所以AE =BE =3，DE =CE =2，
① 假设抛物线上存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形，则AP 、CD 互
相垂直平分且相等，于是P 与点B 重合，但AP=6，CD=4，AP ≠CD ，故抛物线上不存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形．
② (Ⅰ)设直线CD 向右平移n 个单位（n ＞0）可使得C 、D 、M 、N 为顶
点的四边形是平行四边形，则直线CD 的解析式为x =3n +，直线CD 与直线y =x －1交于点M （3n +，2n +），又∵D 的坐标为（3，2），C 坐标为（3，－2），∴D 通过向下平移4个单位得到C ．
∵C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN 是平行四边形或四边形CDNM 是平行四边形．
（ⅰ）当四边形CDMN 是平行四边形，∴M 向下平移4个单位得N ，∴N 坐标为（3n +，2n -）， 又N 在抛物线215322y x x =
-+上，∴()()2
15233322
n n n -=+-++， 解得10n =（不合题意，舍去），22n =，
（ⅱ）当四边形CDNM 是平行四边形，∴M 向上平移4个单位得N ，∴N 坐标为（3n +，6n +）， 又N 在抛物线215322y x x =
-+上，∴()()2
15633322
n n
n +=+-++，
解得11n =，21n =
(Ⅱ) 设直线CD 向左平移n 个单位（n ＞0）可使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，则直线
CD 的解析式为x =3n -，直线CD 与直线y =x －1交于点M （3n -，2n -），又∵D 的坐标为（3，2），C 坐标为（3，－2），∴D 通过向下平移4个单位得到C ．
∵C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN 是平行四边形或四边形CDNM 是平行四边形．
（ⅰ）当四边形CDMN 是平行四边形，∴M 向下平移4个单位得N ，∴N 坐标为（3n -，2n --）， 又N 在抛物线215322y x x =
-+上，∴()()2
15233322
n n n --=---+， 解得10n =（不合题意，舍去），22n =-（不合题意，舍去），
（ⅱ）当四边形CDNM 是平行四边形，∴M 向上平移4个单位得N ，∴N 坐标为（3n -，6n -）， 又N 在抛物线215322y x x =
-+上，∴()()2
15633322
n n
n -=---+，
解得11n =-21n
=-，
综上所述，直线CD 向右平移2
或（1+1-C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．
5、解：（1）OB ＝3，OC ＝8
（2）连接OD ，交OC 于点E
∵四边形OACD 是菱形 ∴AD ⊥OC ，OE ＝EC ＝1
2
×8＝4
∴BE ＝4－3＝1 又∵∠BAC ＝90°，
∴△ACE ∽△BAE ∴AE BE ＝CE
AE
∴AE 2＝BE ·CE ＝1×4
∴AE ＝2 ∴点A 的坐标为 (4，2) 把点A 的坐标 (4，2)代入抛物线y ＝mx 2－11mx ＋24m ，
得m ＝－12 ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋11
2
x －12
（3）∵直线x ＝n 与抛物线交于点M
∴点M 的坐标为 (n ，－12n 2＋11
2
n －12)
由（2）知，点D 的坐标为（4，－2）， 则C 、D 两点的坐标求直线CD 的解析式为y ＝1
2
x －4 ∴点N 的坐标为 (n ，12n －4) ∴MN ＝（－12n 2＋112n －12）－（12n －4）＝－1
2
n ＋5n －8
∴S 四边形AMCN ＝S △AMN ＋S △CMN ＝12MN ·CE ＝12（－1
2
n 2＋5n －8）×4＝－(n －5)2＋9
∴当n ＝5时，S 四边形AMCN ＝9
6、解：（1）∵BC ∥AD ，B （-1，2），M 是BC 与x 轴的交点，∴M （0，2），
∵DM ∥ON ，D （3，0），∴N （-3，2），则9302930a b c c a b c ++=??=??-+=?，解得19
132
a b c ?
=-???=-??
=???
，∴211293y x x =--+；
（2）连接AC 交y 轴与G ，∵M 是BC 的中点，∴AO=BM=MC ，AB=BC=2，∴AG=GC ，即G （0，1）， ∵∠ABC=90°，∴BG ⊥AC ，即BG 是AC 的垂直平分线，要使PA=PC ，即点P 在AC 的垂直平分线上，故P 在直线BG 上，∴点P 为直线BG 与抛物线的交点， 设直线BG 的解析式为y kx b =+，则21
k b b -+=??
=?，解得1
1k b =-??=?，∴1y x =-+，
∴2
111
293y x y x x =-+??
?=--+??
，解得1132x y ?=+??=--??
，2
232x y ?=-??=-+??
∴点P
（3 2+--，P （ 2-+，），
（3）∵22111392(93924
y x x x =--+=-++，
∴对称轴3
2x =-， 令211
2093
x x -
-+=，解得13x =，26x =，∴E （6-，0）
， 故E 、D 关于直线3
2
x =-对称，∴QE=QD
，∴|QE-QC|=|QD-QC|，
要使|QE-QC|最大，则延长DC 与3
2
x =-相交于点Q ，即点Q 为
直线DC 与直线3
2
x =-的交点，
由于M 为BC 的中点，∴C （1，2），设直线CD 的解析式为y=kx+b ， 则302
k b k b +=??
+=?，解得1
3k b =-??=?，∴3y x =-+，
当32x =-
时，39322
y =+=，故当Q 在（39
22-，）的位置时，|QE-QC|最大，
过点C 作CF ⊥x 轴，垂足为F ，则==．
7、解：（1）由y=0得，ax 2-2ax-3a=0，
∵a≠0，∴x 2-2x-3=0， 解得x 1=-1，x 2=3， ∴点A 的坐标（-1，0），点B 的坐标（3，0）；
（2）由y=ax 2-2ax-3a ，令x=0，得y=-3a ， ∴C （0，-3a ），
又∵y=ax 2-2ax-3a=a （x-1）2
-4a ， 得D （1，-4a ），
∴DH=1，CH=-4a-（-3a ）=-a ， ∴-a=1，∴a=-1， ∴C （0，3），D （1，4），
设直线CD 的解析式为y=kx+b ，把C 、D 两点的坐标代入得， ，解得
，
∴直线CD 的解析式为y=x+3；
（3）存在．
由（2）得，E （-3，0），N （- ，0） ∴F （ ， ），EN= ，
作MQ ⊥CD 于Q ，设存在满足条件的点M （ ，m ），则FM= -m ，
EF=
=
，MQ=OM=
由题意得：Rt △FQM ∽Rt △FNE ，∴ =
，整理得4m 2+36m-63=0，∴m 2+9m= ，
m 2+9m+
=
+
（m+ ）2=
m+ =± ∴m 1= ，m 2=-
，
∴点M 的坐标为M 1（ ， ），M 2（ ，-
）．
8、解：（1）∵抛物线y=ax 2
+bx+c （a≠0）的图象经过M （1，0）和N （3，0）两点，且与y 轴交于D （0，3），
∴假设二次函数解析式为：y=a （x ﹣1）（x ﹣3）， 将D （0，3），代入y=a （x ﹣1）（x ﹣3），得：3=3a ， ∴a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x ﹣1）（x ﹣3）=x 2
﹣4x+3；
（2）∵过点A （﹣1，0）的直线AB 与抛物线的对称轴和x 轴围成的三角形面积为6，∴错误！未找到引用源。AC×BC=6，
∵抛物线y=ax 2
+bx+c （a≠0）的图象经过M （1，0）和N （3，0）两点，∴二次函数对称轴为x=2，
∴AC=3，∴BC=4，∴B 点坐标为：（2，4），一次函数解析式为；y=kx+b ， ∴错误！未找到引用源。，解得：错误！未找到引用源。，y=错误！未找到引用源。x+错误！未找到引用源。；
（3）∵当点P 在抛物线的对称轴上，⊙P 与直线AB 和x 轴都相切，
∴MO ⊥AB ，AM=AC ，PM=PC ，
∵AC=1+2=3，BC=4， ∴AB=5，AM=3， ∴BM=2，
∵∠MBP=∠ABC ，∠BMP=∠ACB ，
∴△ABC ∽△CBM ，∴错误！未找到引用源。， ∴错误！未找到引用源。，∴PC=1.5，P 点坐标为：（2，1.5）． 9、解：（1）A （﹣m ，0），B （3m ，0），D （0，
m ）．
（2）设直线ED 的解析式为y=kx+b ，将E （﹣3，0），D （0，m ）代入得：
解得，k=，b=m ． ∴直线ED 的解析式为y=mx+m ．
将y=﹣（x+m ）（x ﹣3m ）化为顶点式：y=﹣（x+m ）2
+
m ．
∴顶点M 的坐标为（m ，m ）．代入y=mx+m 得：m 2
=m
∵m ＞0，∴m=1．所以，当m=1时，M 点在直线DE 上．连接CD ，C 为AB 中点，C 点坐标为C （m ，0）． ∵OD=
，OC=1，∴CD=2，D 点在圆上
又OE=3，DE 2
=OD 2
+OE 2
=12，EC 2
=16，CD 2
=4，∴CD 2
+DE 2
=EC 2
．∴∠FDC=90°∴直线ED 与⊙C 相切． （3）当0＜m ＜3时，S △AED =AE ．?OD=
m （3﹣m ） S=﹣
m 2
+
m ．
当m ＞3时，S △AED =AE ．?OD=m （m ﹣3）． 即S=m
2_
m ．
10、解：（1）由题意，得032
2a b c c b
a
?
?++=?=-???-=?，解得143a b c =-??=??=-?∴抛物线的解析式为2
43y x x =-+-。
（2）①令2
430x x -+-=，解得1213x x ==， ∴B （3, 0）
当点P 在x 轴上方时，如图1，过点A 作直线BC 易求直线BC 的解析式为3y x =-，∴设直线AP 的解析式为y x n =+∵直线AP 过点A （1,0），代入求得1n =-。∴直线AP 的解析式为y =
解方程组2
143
y
x y x x =
-??=-+-
?，得121212
01x x y y ==????==??， ∴点1(21)P ， 当点P 在x 轴下方时，如图1 设直线1AP 交y 轴于点(01)E -，
， 把直线BC 向下平移
2个单位，交抛物线于点23P P 、， 得直线23P P 的解析式为5y x =-，
解方程组2
5
43
y x y x x =-??=-+-?， 1212x x y y ?????????????? ∴233737((
)22
22
P P --，，，
综上所述，点P 的坐标为：1(21)P ，
，233737((2222
P P --+，，， ②∵(30)(03)B C -，，，∴OB=OC ，∴∠OCB=∠OBC=45° 设直线CP 的解析式为3y kx =- 如图2，延长CP 交x 轴于点Q ，设∠OCA=α，则∠ACB=45°-α
∵∠PCB=∠BCA ∴∠PCB=45°-α
∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°-α）=α ∴∠OCA=∠OQC
又∵∠AOC=∠COQ=90° ∴Rt △AOC ∽Rt △COQ ∴
OA OC OC OQ =，∴13
3OQ
=，∴OQ=9，∴(90)Q ， ∵直线CP 过点(90)Q ，，∴930k -= ∴13
k =
∴直线CP 的解析式为1
33
y x =-。