天津市河西区2015-2016学年八年级上期末数学试卷含答案解析
2015-2016学年天津市河西区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在下面的表格里．
1．点（﹣1，﹣5）关于y轴的对称点为（）
A．（1，5）B．（﹣1，﹣5）C．（5，﹣1）D．（﹣1，5）
2．下列图形中，可以看做是轴对称图形的是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．下列等式不成立的是（）
A．（ab）2=a2b2B．a5÷a2=a3C．（a﹣b）2=（b﹣a）2D．（a+b）2=（﹣a+b）2
4．化简（）÷的结果为（）
A． B．C． D．
5．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（）
A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点
6．要使六边形木架不变形，至少要再钉上（）根木条．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．纳米是非常小的长度单位，1nm=10﹣9m，那么，1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体（不计物体之间的间隙）（）
A．1018B．10﹣9C．10﹣18D．109
8．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
9．绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（）
A．B．C．D．
10．如图，先将正方形纸片对着，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下得到△ADH，则下列选项正确的个数为（）①AE垂直平分HB；②∠HBN=15°；③DH=DC；④△ADH是一个等边三角形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请讲答案直接填在题中的横线上．11．计算21×3.14+79×3.14的结果为．
12．若分式的值为0，则x的值等于．
13．已知4x2+mx+9是完全平方式，则m=．
14．如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段．
15．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若S△ABC=10，DE=3cm，AB=4cm，则AC的长为．
16．如图是一个直角三角形，若以这个直角三角形的一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点在这个直角三角形的其他边上，那么这样的等腰三角形在图中能够作出的个数为．
三、解答题：本大题共7个小题，共52分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17．一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加39cm2，求这个正方形的边长．
18．计算：
（1）（a+b+c）2
（2）．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
20．如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径．
21．已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且CD=BE，
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）求出∠AFB的度数．
22．甲乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，求甲乙每小时各做多少个零件？
23．如图1，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，﹣4），
（1）如图，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，如图2，连接OH，求证：∠OHP=45°；
（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连结MD，过点D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
2015-2016学年天津市河西区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在下面的表格里．
1．点（﹣1，﹣5）关于y轴的对称点为（）
A．（1，5）B．（﹣1，﹣5）C．（5，﹣1）D．（﹣1，5）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【解答】解：点（﹣1，﹣5）关于y轴的对称点为（1，﹣5），
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
2．下列图形中，可以看做是轴对称图形的是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：第一、三个是轴对称图形，第二、四个不是轴对称图形，
轴对称图形共两个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．下列等式不成立的是（）
A．（ab）2=a2b2B．a5÷a2=a3C．（a﹣b）2=（b﹣a）2D．（a+b）2=（﹣a+b）2
【考点】完全平方公式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【分析】分别根据幂的乘方及积的乘方法则、同底数幂的除法法则及完全平方公式对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、（ab）2=a2b2，故本选项错误；
B、a5÷a2=a3，故本选项错误；
C、（a﹣b）2=（b﹣a）2，故本选项错误；
D、（a+b）2=a2+b2+2ab≠（﹣a+b）2=a2+b2﹣2ab故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查的是完全平方公式，熟知（a±b）2=a2±2ab+b2是解答此题的关键．4．化简（）÷的结果为（）
A． B．C． D．
【考点】分式的混合运算．
【分析】先通分，再进行分式的除法运算．
【解答】解：原式=（+）÷
=?
=，
故选C．
【点评】本题考查了分式的混合运算，以及通分，掌握运算法则是解题的关键．
5．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（）
A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】应用题．
【分析】根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．
【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故选A．
【点评】此题考查了三角形的外心的概念和性质．熟知三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，是解题的关键．
6．要使六边形木架不变形，至少要再钉上（）根木条．
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】三角形的稳定性；多边形．
【分析】过同一顶点作对角线把木架分割成三角形，解答即可．
【解答】解：如图所示，至少要钉上3根木条．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性以及多边形，正确利用图形得出是解题关键．
7．纳米是非常小的长度单位，1nm=10﹣9m，那么，1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体（不计物体之间的间隙）（）
A．1018B．10﹣9C．10﹣18D．109
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】根据1纳米=10﹣9米，求出1立方米=1027立方纳米，再根据1立方毫米=10﹣9立方米，列出算式，进行计算即可．
【解答】解：∵1纳米=10﹣9米，
∴1立方纳米=10﹣27立方米，
∴1立方米=1027立方纳米，
∵1立方毫米=10﹣9立方米，
∴1立方毫米=1027×10﹣9=1018立方纳米．
故1立方毫米的空间可以放1018个1立方纳米的物体．
故选：A．
【点评】此题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法法则和用科学记数表示的一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n是本题的关键，注意单位之间的换算．
8．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
【考点】平方差公式的几何背景．
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b 的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
9．绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（）
A．B．C．D．
【考点】列代数式（分式）．
【分析】首先求得原来每天的用水量为吨，现在每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可．
【解答】解：﹣=（吨）．
故选：D．
【点评】此题考查列代数式，掌握基本的数量关系：水的总量÷天数=每一天的用水量是解决问题的关键．
10．如图，先将正方形纸片对着，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下得到△ADH，则下列选项正确的个数为（）①AE垂直平分HB；②∠HBN=15°；③DH=DC；④△ADH是一个等边三角形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】①由翻折的性质可知；点H与点B关于AE对称，故此AE⊥BH，④由翻折的性质AH=AB，MN垂直平分AD，于是得到DH=AH=AB=AD，故此△ADH为等边三角形，③由DH=AD可知DH=DC，②由△ADH为等边三角形可知∠HAB=30°，在△ABH中可求得∠ABH=75°，故此可求得∠HBN=15°．
【解答】解：由翻折的性质可知：AE垂直平分HB，MN垂直平分AD．
故①正确．
∵MN垂直平分AD，
∴DH=AH．
由翻折的性质可知：AH=AB．
∴AH=AD=DH．
∴△ADH是一个等边三角形．
故④正确．
∵HD=AD，
∴HD=DC．
故③正确
∵△ADH是一个等边三角形，
∴∠DAH=60°．
∴∠HAB=30°．
∵AB=AH，
∴∠ABH=×=75°．
∴∠HBN=15°．
故②正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得三角形ADH是一个等边三角形是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请讲答案直接填在题中的横线上．11．计算21×3.14+79×3.14的结果为314．
【考点】因式分解-提公因式法．
【分析】先提公因式3.14，再计算即可．
【解答】解：原式=3.14×（21+79）
=100×3.14
=314．
故答案为314．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，因式分解的方法还有公式法，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
12．若分式的值为0，则x的值等于﹣1．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】先根据分式的值为0的条件，求出x的值即可．
【解答】解：由分式的值为零的条件得x2﹣x﹣2=0，x2﹣4x+4≠0，
由x2﹣x﹣2=0，得（x+1）（x﹣2）=0，
∴x=﹣1或x=2，
由x2﹣4x+4≠0，得x≠2，
综上，得x=﹣1，即x的值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
13．已知4x2+mx+9是完全平方式，则m=±12．
【考点】完全平方式．
【分析】这里首末两项是2x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3积的2倍．
【解答】解：∵4x2+mx+9是完全平方式，
∴4x2+mx+9=（2x±3）2=4x2±12x+9，
∴m=±12，
m=±12．
故答案为：±12．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
14．如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段AC=BD（答案不唯一）．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】开放型．
【分析】利用“角角边”证明△ABC和△BAD全等，再根据全等三角形对应边相等解答即可．【解答】解：∵在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS），
∴AC=BD，AD=BC．
故答案为：AC=BD（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，是基础题，关键在于公共边AB的应用，开放型题目，答案不唯一．
15．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若S△ABC=10，DE=3cm，AB=4cm，
则AC的长为cm．
【考点】角平分线的性质．
【分析】作DF⊥AC于F，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等得到DF=DE=3cm，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=3cm，
∵DE=3cm，AB=4cm，
∴S△ABD=6，又S△ABC=10，
∴S△ADC=4，又DF=3cm，
∴AC=cm．
故答案为：cm．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
16．如图是一个直角三角形，若以这个直角三角形的一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点在这个直角三角形的其他边上，那么这样的等腰三角形在图中能够作出的个数为6．
【考点】作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定．
【分析】1、以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD即可；2、以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于D，连接CD即可；3、作AB的垂直平分线，交AC于D，连接BD即可；4、以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于D，连接CD即可；5、作BC 的垂直平分线交AB于D，连接CD即可；6、作AC的垂直平分线，交AB于D，连接CD 即可．
【解答】解：如图所示：
故答案为：6．
【点评】本题主要考查的是作图﹣应用与设计作图，判断出等腰三角形的腰长是解题的关键．
三、解答题：本大题共7个小题，共52分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17．一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加39cm2，求这个正方形的边长．
【考点】一元二次方程的应用；平方差公式的几何背景．
【专题】几何图形问题．
【分析】可根据：边长增加后的正方形的面积=原正方形的面积+39．来列出方程，求出正方形的边长．
【解答】解：设边长为x，则（x+3）2=x2+39，
解得x=5cm．
答：正方形的边长是5cm．
【点评】对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程，求出解．
18．计算：
（1）（a+b+c）2
（2）．
【考点】完全平方公式；分式的加减法．
【分析】（1）把原式化为[（a+b）+c]2的形式，再根据平方差公式进行计算即可；
（2）先通分，再把分子相加减即可．
【解答】解：（1）原式=[（a+b）+c]2
=（a+b）2+c2+2c（a+b）
=a2+b2+2ab+c2+2ac+2cb；
（2）原式=﹣
=
=
=．
【点评】本题考查的是完全平方公式，熟知（a±b）2=a2±2ab+b2是解答此题的关键．19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】设∠A=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．
【解答】解：设∠A=x．
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=x；
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCD=2x，
∴∠DBC=x；
∵x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
∴∠A=36°，∠ABC=∠ACB=72°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键．
20．如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径．
【考点】作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题．
【分析】根据“两点之间线段最短”，和轴对称最短路径问题解答．
【解答】解：（1）两点之间，线段最短，连接PQ；
（2）作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP．
最短路线P﹣﹣Q﹣﹣M﹣﹣P．
【点评】本题考查了作图﹣﹣应用与设计作图，熟悉轴对称最短路径问题是解题的关键．
21．已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且CD=BE，
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）求出∠AFB的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠C=∠ABE=60°，根据SAS推出△ABE≌△BCD；
（2）根据△ABE≌△BCD，推出∠BAE=∠CBD，根据三角形的外角性质求出∠AFB即可．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC（等边三角形三边都相等），
∠C=∠ABE=60°，（等边三角形每个内角是60°）．
在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS）．
（2）∵△ABE≌△BCD（已证），
∴∠BAE=∠CBD（全等三角形的对应角相等），
∵∠AFD=∠ABF+∠BAE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）
∴∠AFD=∠ABF+∠CBD=∠ABC=60°，
∴∠AFB=180°﹣60°=120°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是求出△ABE≌△BCD，注意：全等三角形的对应角相等．
22．甲乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，求甲乙每小时各做多少个零件？
【考点】二元一次方程组的应用；分式方程的应用．
【专题】应用题．
【分析】本题的等量关系为：甲每小时做的零件数量﹣乙每小时做的零件数量=6；甲做90个所用的时间=乙做60个所用的时间．由此可得出方程组求解．
【解答】解：设甲每小时做x个零件，乙每小时做y个零件．
由题意得：
解得：，
经检验x=18，y=12是原方程组的解．
答：甲每小时做18个，乙每小时做12个零件．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，找出合适的等量关系：甲每小时做的零件数量﹣乙每小时做的零件数量=6；甲做90个所用的时间=乙做60个所用的时间．列出方程组，再求解．
23．如图1，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，﹣4），
（1）如图，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，如图2，连接OH，求证：∠OHP=45°；
（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连结MD，过点D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【考点】角的计算；坐标与图形性质；三角形的面积．
【分析】（1）利用坐标的特点，得出△OAP≌△OB，得出OP=OC=1，得出结论；
（2）过O分别做OM⊥CB于M点，ON⊥HA于N点，证出△COM≌△PON，得出OM=ON，HO平分∠CHA，求得结论；
（3）连接OD，则OD⊥AB，证得△ODM≌△ADN，利用三角形的面积进一步解决问题．【解答】解（1）∵a=4，b=﹣4，则OA=OB=4．
∵AH⊥BC于H，
∴∠OAP+∠OPA=∠BPH+∠OBC=90°，
∴∠OAP=∠OBC
在△OAP与△OBC中，
，
∴△OAP≌△OBC（ASA）
∴OP=OC=1，则P（0，﹣1）．
（2）过O分别做OM⊥CB于M点，ON⊥HA于N点，
在四边形OMHN中，∠MON=360°﹣3×90°=90°，
∴∠COM=∠PON=90°﹣∠MOP．
在△COM与△PON中，
，
∴△COM≌△PON（AAS）
∴OM=ON
HO平分∠CHA，
∴∠OHP=∠CHA=45°；
（3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变．S△BDM﹣S△ADN=4．
连接OD，则OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，∠OAD=45°
∴OD=AD，
∴∠MDO=∠NDA=90°﹣∠MDA
在△ODM与△ADN中，
，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM=S△ADN，
S△BDM﹣S△ADN=S△BDM﹣S△ODM=S△BOD=S△AOB=×AO?BO=××4×4=4．
【点评】此题考查点的坐标特点，三角形全等的判定与性质，三角形的面积等知识点；属于一个综合性题目．
2016年2月28日