三角函数的发展历史

三角学的起源与发展

三角学之英文名称Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。

西方的发展

三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。

公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)

继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13卷，包括从0°到90°每隔半度的

弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。

约同时代的梅内劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》，内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。他的

工作使希腊三角学达到全盛时期。

(二)中国的发展

我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。据《周

髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。1631西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启(p20)合编的《大测》为代表。同年徐光启等人还编写了《测量全义》，其中有平面三角和球面三角的论述。1653年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以「三角」取代「大测」，确立了「三角」名称。1877年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨。

现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等，多发展于20世纪中。

贰、三角函数的演进

正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数统称为三角函数（Trigonometric function）。

尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉(p16)（1707-1783）在《无穷小分析引论》一书中首次给出的。在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的。如古希腊的托勒密定半径为60；印度 人阿耶波多（约476-550）定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精密地计算三角函数值曾定半径600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为107。因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长。

意大利数学家利提克斯（1514-1574）改变了前人的做法，即过去一般称AB 为 的正弦，把

正弦与圆牢牢地连结在一起（如下页图）， 而利提克斯却把它称为∠AOB 的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆O 成为从属地位了。

到欧拉(Euler)时，才令圆的半径为1，即置角于单位圆之中，从而使三角函数定义为相应的线段

与圆半径之比。 正弦、余弦

在△ABC 中，a 、b 、c 为角A 、B 、C 的对边，R 为△ABC 的外接圆半径，则有

称此定理为正弦定理。

正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔.威发(940-998)首先发现与証明的。中亚细亚人阿尔比鲁尼﹝973-1048﹞(p15)给三角形的正弦定理作出了一个証明。 也有说正弦定理的証明是13世纪的那希尔丁在《论完全四边形》中第一次把三角学作为独立的学科进行论述，首次清楚地论証了正弦定理。他还指出，由球面三角形的三个角，可以求得它的三个边，或由三边去求三个角。 这是区别球面三角与平面三角的重要标志。至此三角学开始脱离天文学，走上独立发展的道路。

托勒密（ Claudius Ptolemy ）的《天文学大成》第一卷 除了一些初级的天文学资料之外，还包括了上面讲的弦表：

它给出一个圆从 （2

1

）° 到180°每隔半度的所有圆心

D C

B 0 A

P

角所对的弦的长度。圆的半径被分为60等分，弦长以每一等分为单位，以六十进制制表达。这样，以符号 crd a 表示圆心角ａ所对的弦长， 例如 crd 36°= 37p 4'55"，意思是：36° 圆心

角的弦等于半径的

6037

（或37个小部分），加上一个小部分的604，再加上一个小部分

的

360055，从下图看出， 弦表等价于正弦函数表，因为

120

2O sin ααcrd AB OA AB ===

的直徑圓

公元6世纪初，印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限内间隔3°45'的正弦表，依照巴比伦人

和希腊人的习惯，将圆周分为360度，每度为60分，整个圆周为21600份，然后据 2πr=216000，

得出r=3438﹝近似值﹞，然后用勾股定理先算出30°、45°、90°的正弦之后，再用半角公式算出较小角的正弦值，从而获得每隔3°45'的正弦长表；其中用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。他在计算正弦值的时候，取圆心角所对弧的半弦长，比起希腊人取全弦长更近于现代正弦概

念。印度人还用到正矢和余弦，并给出一些三角函数的近似分 数式。 2.正切、余切

著名的叙利亚天文学、数学家阿尔一巴坦尼﹝850-929﹞于920年左右，制成了自0°到90°相隔1°的余切[cotangent]表。

公元727年，僧一行受唐玄宗之命撰成《大行历》。为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度 ，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表， 而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切﹝tangent ﹞函数 。而巴坦尼编制的是余切函数表， 而太阳高度﹝角﹞和太阳天顶距﹝角﹞互为余角，这样两人的发现实际上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。 14世纪中叶，中亚细亚的阿鲁伯﹝1393-1449﹞，原是成吉思汗的后裔，他组织了大规模的

天文观测和数学用表的计算。他的正弦表精确到小数9位。他还制造了30°到45°之间相隔为1'，45°到90°的相隔为5'的正切表。 在欧洲，英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁﹝1290？-1349﹞首先把正切、余切引入他的三角计算之中。

3.正割、余割

正割﹝secant ﹞及余割﹝cosecant ﹞这两个概念由阿布尔

─威发首先引入。 sec 这个略号是1626年荷兰数基拉德 ﹝1595-1630﹞在他的《三角学》中首先使用，后经欧拉采用

A

M

α α α

B

A

O

才得以通行。正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的。

欧洲的「文艺复兴时期」，﹝14世纪-16世纪﹞伟大的天文学家哥白尼﹝1473-1543﹞提倡地动学说，他的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密，认为推算更精确的三角函数值表刻不容缓。于是他定圆的半径为1015，以制作每隔10"的正弦、正切及正割值表。当时还没有对数，更没有计算机。全靠笔算，任务十分繁重。利提克斯和他的助手们以坚毅不拔的意志，勤奋工作达12年之久，遗憾的是，他生前没能完成这项工作，直到1596年，才由他的学生鄂图

﹝1550-1605﹞完成并公布于世，1613年海得堡的彼提克斯﹝1561-1613﹞又修订了利提克斯的三角函数表，重新再版。后来英国数学家纳皮尔发现了对数，这就大大地简化了三角计算，为进一步造出更精确的三角函数表创造了条件。

4.三角函数符号

毛罗利科早于1558年已采用三角函数符号，但当时并无

函数概念，于是只称作三角线（trigonometric lines）。他以sinus 1m arcus 表示正弦，以sinus 2m arcus 表示余弦。

而首个真正使用简化符号表示三角线的人是T.芬克。他于1583年创立以“tangent”（正切）及“secant”（正割）表示相应之概念，其后他分别以符号“sin.”,“tan. ”, “sec. ”,“sin. com”,“tan. com”,“sec. com”表示正弦，正切，正割，余弦，余切，余割，首三个符号与现代之符号相同。后来的符号多有变化，下列的表便显示了它们之发展变化。

使用者年代正弦余弦正切余切正割余割备注罗格蒙格斯1622 S.R. T. (Tang) T. c pl Sec https://www.sodocs.net/doc/9a13032140.html,pl 吉拉尔1626 tan sec.

杰克1696 s. cos. t. cot. sec. cosec.

欧拉1753 sin. cos. tag(tg). cot. sec. cosec

谢格内1767 sin. cos. tan. cot. Ⅰ巴洛1814 sin cos. tan. cot. sec cosec Ⅰ施泰纳1827 tg Ⅱ皮尔斯1861 sin cos. tan. cotall sec cosec

奥莱沃尔1881 sin cos tan cot sec csc Ⅰ申弗利斯1886 tg ctg Ⅱ万特沃斯1897 sin cos tan cot sec csc Ⅰ

舍费尔斯 1921 sin cos tg ctg sec csc Ⅱ

注：Ⅰ－现代（欧洲）大陆派三角函数符 Ⅱ－现代英美派三角函数符号

我国现正采用Ⅰ类三角函数符号。

1729年，丹尼尔．伯努利是先以符号表示反三角函数，如以AS 表示反正弦。1736年欧拉以At 表示反正切，一年后又以Asin

c b

表示 于单位圆上正弦值相等于b

c 的弧。 1772年，C ．申费尔以arc. tang. 表示反正切；同年，拉格朗日采以α

+11

sin

.arc 表示反正弦函数。1776年，兰伯特则以arc. sin 表示同样意思。1794年，鲍利以Arc.sin 表示反正弦函数。其后这些记法逐渐得到普及，去掉符号中之小点，便成现今通用之符号，如arc sin x ，arc cos x 等。于三角函数前加arc 表示反三角函数，而有时则改以于三角函数前加大写字母开头Arc ，以表示反三角函数之主值。

另一较常用之反三角函数符号如sin -1x ，tan -1x 等，是赫谢尔于1813年开始采用的，把反三角函数符号与反函数符号统一起来，至今亦有应用。 三、三角函数的和差化积公式 下列公式

称为三角函数的和差化积公式。

法国著名数学家韦达﹝1540-1603﹞(p18)在他的著名的三角学著作《标准数学》中收集并整理了有关三角公式并给予补充，其中就有他给出的恒等式:

【后记】三角函数名称的由来和补充

想知道为何三角函数要叫做sin，cos 这些名字吗？经过了多方的查取资料，找到了下图：

上面这个图称为三角圆（半径＝1），是用图形的方式表达各函数。其中我们可以看到，sinθ为PM线段，也就是圆中一条弦（对2θ圆周角）的一半，所以称为「正弦」。而cosθ是OM线段，但OM＝NP，故我们也可以将cosθ视为 NOP（90°-θ）的正弦值，也就是θ的余角的正弦值，故称之为「余弦」。其余类推。

另外，除了课本中教的六种三角函数外，我们还查到了其他的三角函数，如上图中的versθ、coversθ和exsecθ。事实上，在历史上曾出现过的三角函数种类超过十种呢！但最后只剩下这六种常用的。其他的还有如半正矢（havθ）、古德曼函数和反古德曼函数等。

【补充：小历史】

大部分的三角函数一开始都是由于天文上的需要而造出来的。在三角函数传入中国时，正、余矢函数还未废弃，故徐光启将八种三角函数称为「八线」。后来因为矢类函数废弃不用，故八线之名渐被「三角」取代，但统一的名称还是到了民国以后才确立的。

泰勒斯﹝Tales of Miletus﹞

约公元前625-前547，古希腊

古希腊哲学家、自然科学家。生于小亚细亚西南海岸米利都，早年是商人，曾

游历巴比伦、埃及等地。泰勒斯是希腊最早的哲学学派──伊奥尼亚学派的创

始人，他几乎涉猎了当时人类的全部思想和活动领域，被尊为『希腊七贤』之

首。而他更是以数学上的发现而出名的第一人。他认为处处有生命和运动，并

以水为万物的本源。

泰勒斯在数学方面的划时代贡献是开始引入了命题证明的思想，它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论。这在数学史上是一次不寻常的飞跃，其重要意义在于：

保证命题的正确性，使理论立于不败之地；

揭露各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；

使数学命题具有充份的说服力，令人深信不疑。

数学自此从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，逐渐形成一门独立的、演译的科学。

证明命题是希腊几何学的基本精神，而泰勒斯是希腊几何学的先驱。在几何学中，下列的基本成果归功于他：

圆被任一直径所平分；

等腰三角形的两底角相等；

两条直线相交，对顶角相等；

已知三角形两角和夹边，三角形即已确定；

对半圆的圆周角是直角；

相似三角形对应边成比例等等。

泰勒斯在埃及时还曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，说明相似形已有初步认识。

在天文学中他曾精确地预测了公元前585年5月28

日发生的日食，还可能写过《航海天文学》一书，并已知按春分、夏至、秋分、冬至划分四季是不等长的。

阿尔-比鲁尼al-Biruni﹝973-1050﹞

比鲁尼生于今乌兹别克的一个城市，毕生从事科学研究和写作，共写了大约146部著作，但留传至今的只有22部。按已知其页数的著作估算，比鲁尼写出的手稿当有13000页之多，当中几乎涉及到当时所有科学领域，如天文学、历史学、地理学、数学、力学、医学、葯物学、气象学等。比鲁尼特别偏重于那些易受数学影响的学科，其大部份之著作均是天文学和占星术有关。他在数学的应用，尤其在数学的传播、东西方数学的交流方面，做出了突出的贡献。

欧拉（Euler L eonhard，1707－1783）

欧拉，瑞士数学家及自然科学家。在1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国的彼得堡去逝。欧拉出生于牧师家庭，自幼已受到父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。

欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学。在上大学时，他已受到约翰第一．伯努利的特别指导，专心研究数学，直至18岁，他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学，于19岁时（1726年）开始创作文章，并获得巴黎科学院奖金。

1727年，在丹尼尔．伯努利的推荐下，到俄国的彼得堡科学院从事研究工作。并在1731年接替丹尼尔第一．伯努利，成为物理学教授。

1735 年，他因工作过度以致右眼失明。在1741年，他受到普鲁士腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职。他在柏林期间，大大的扩展了研究的内容，如行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与他的数学研究互相推动着。与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其他数学领域均有开创性的发现。

1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在 1771年，一场重病使他的左眼亦完全失明。但他以其惊人的记忆力和心算技巧继续从事科学创作。他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的最后一刻。

欧拉是数学史上最多产的数学家，我们现在习以为常的数学符号很多都是欧拉所发明介绍的，例如：函数符号f(x)、圆周率π、自然对数的底e、求和符号Σ、log x、sin x、cos x以及虚数单位i 等。乔治西蒙曾称他为数学界的莎士比亚。

韦达Francois Viè te（1540-1603）

法国数学家。亦译维埃特。因其著作均用拉丁文发表，故名字当用拉丁文拼法，译为韦达（Vi

ta）。1540年生于普瓦图地区丰特奈－勒孔特，1603年12 月13日卒于巴黎。早年在普瓦捷大学学习法律，1560 年毕业后成为律师，后任过巴黎行政法院审查官，皇家私人律师和最高法院律师。1595-1598年对西班牙战争期间破译截获的西班牙密码，卓有成效。他业余研究数学，并自筹资金印刷和发行自己的著作。

主要著作有：《应用三角形的数学定律》（1579 ），给出精确到5位和10位小数的6种三角函数表及造表方法，发现正切定律、和差化积等三角公式，给出球面三角形的完整公式及记忆法则：《截角术》（ 1615年出版），给出sinnx和cosnx的展开式；《分析术入门》（1591），创设大量代数符号，引入未知量的运算，是最早的符号代数专著；《论方程的识别与订正》（1615年出版），改进了三、四次方程的解法，给出三次方程不可约情形的三角解法，记载了著名的韦达定理（方程根与系数的关系式）；《各种数学解答》（1593）中给出圆周率π值的第一个解析表达式，还得到π的10位精确值等等。

徐光启﹝公元1562-1633年﹞

徐光启，字子先，号玄扈，生于上海，于1604年考中进士，相继任礼部右侍郎、尚书、

翰林院学士、东阁学士等，最后官至文渊阁大学士，他毕生致力于介绍西方科学，同时注意总结中国的固有科学遗产，编成巨著《农政全书》，成为我国近代科学的启蒙大师。

徐光启除与利玛窦合译《几何原本》前六卷外，还有《测量全义》﹝公元1631年﹞，这是西方三角学及测量术传入我国之始。公元1629年﹝崇祯二年﹞，徐光启首次应用西方天文学和数学正确推算日蚀。同年七月，礼部决定开设历局，由徐光启组建，于是，一些西方传教士如龙华尼﹝意大利人﹞、郑玉函﹝瑞士人﹞、汤若望﹝德国人﹞、罗雅谷﹝意大利人﹞先后参与了中国的历法改革工作。从公元1629至1643年，明亡止，共完成了《崇祯历书》137卷，主要介绍当时欧洲天文学家第谷﹝Tycho. Brahe﹞的地心学说，数学方面则以平面几何与球面三角据多。

三角学的起源及发展

壹、三角學的起源與發展

三角學之英文名稱Trigonometry ，約定名於西元1600年，實際導源於希臘文trigono (三角)和metrein (測量)，其原義為三角形測量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關係為基礎，達到測量上的應用為目的的一門學科。早期的三角學是天文學的一部份，後來研究範圍逐漸擴大，變成以三角函數為主要對象的學科。現在，三角學的研究範圍已不僅限於三角形，且為數理分析之基礎，研究實用科學所必需之工具。 (一)西方的發展 三角學﹝Trigonometry﹞創始於西元前約150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角學知識，主要用於測量。例如建築金字塔、整理尼羅河泛濫後的耕地、通商航海和觀測天象等。公元前600年左右古希臘學者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理測出金字塔的高，成為西方三角測量的肇始。公元前2世紀後希臘天文學家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）為了天文觀測的需要，作了一個和現在三角函數表相仿的「弦表」，即在固定的圓內，不同圓心角所對弦長的表，他成為西方三角學的最早奠基者，這個成就使他贏得了「三角學之父」的稱謂。 公元2世紀，希臘天文學家數學家托勒密(Ptolemy)(85-165) 繼承希帕霍斯的成就，加以整理發揮，著成《天文學大成》13卷，包括從0°到90°每隔半度的弦表及若干等價於三角函數性質的關係式，被認為是西方第一本系統論述三角學理論的 著作。約同時代的梅內勞斯（Menelaus）寫了一本專門論述球三角學的著作《球面學》，內 容包球面三角形的基本概念和許多平面三角形定理在球面上的推廣，以及球面三角形許多獨特 性質。他的工作使希臘三角學達到全盛時期。 (二)中國的發展

数学函数的发展史

总课题:数学的发展史 子课题:函数的发展史 一、组长:李 组员:刘田仁姬孙二、指导老师：张

三、班级：高一12班 四、成员简介: 李：性格开朗、刻苦认真担任组长 刘：喜欢英语、大方担任搜集 仁：喜欢信息、刻苦认真担任写作 姬:开朗大方、热情担任搜集 孙：爱好动漫、画画性格外向担任整理 田:开朗大方刻苦认真担任整理 五、选题的原因: 开阔视野，增长见识。提高我们的数学修养‘可以使我们更好的融合在一起,加强团结,了解数学。 六:研究计划： 共六人：姬刘担任搜集 李仁担任写作 孙田整理资料 七：研究成果： 历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响,可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十分 有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度,而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展,数学学习的巨大作用. （一)1.早期函数概念——几何观念下的函数 十七世纪伽俐略(G.Galileｏ,意，１５64－1６42)在《两门新科学》一书中,几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念,用文字和比例的语言表达函数的关系。16７3年前后笛卡尔(Desｃａrｔeｓ,法,1596-1６５0）在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系,但因当时尚未意识到要提炼函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究.由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究,所以函数概念至少在那时已经萌芽．自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题,人们在思索:既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上？行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有,研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度,以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题,既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源.

公共关系的起源与发展

第二章公共关系的起源与发展 教学目的和要求： 通过本章的学习，了解公共关系的产生与发展的历史过程，把握国内外公共关系的现状，剖析公共关系形成和发展的社会历史条件，认识公共关系的社会历史必然性，更好瞻望公共关系的未来发展。 学习方法：以识记为主，领会公共关系作为一门职业和学科在世界范围内产生发展的历史轨迹，把握公共关系发生与发展的三个历史阶段，尤其需要通过阅读，了解公共关系在中国的传播和发展，以及公共关系在中国的未来走势。 第一节公共关系的起源 公共关系作为一种职业和学科，最早产生于美国。但公共关系作为一种客观的社会现象。作为人类一种朴素的思想意识观念，作为人类一种不自觉的社会活动却早已问世

了。 一、古代时期-----公共关系思想的萌芽 1.考古学家发现，远在公元前1800年伊拉克原一种农业公告，很有点像现代社会某些农业组织公共关系部的宣传资料。 2.在古希腊，社会对于沟通技术非常重视.有些深谙沟通学问的第一流演说家常常被推为首领。 古罗马独裁者儒略·凯撒的纪实著作(高卢战记)被公共关系同业工会主席李利·比诺称为“第一流的公共关系著作”。 希腊人认为，较强的修辞能力是参与政治过程的基本条件之一，因为政治家与公众之间的桥梁是靠修辞来架筑的。 古希腊哲学家亚里士多德经典著作《修辞学》被西方公共关系学界认为是最早问世的公共关系学的理论书籍。 3．在我国古代的政治活动、外交活动和军事活动中，亦有许多类似于公共关系活动的成功范例。

1)古代的游说活动 2)古代帝王对民意的重视 3)古代商业经济领域的诚信原则“和” 4)古代军事领域“知彼知己，百战不殆” 这仅仅是“类似”而已，公共关系其源头并不在古代，而在近代的美国。美国19世纪中叶风行的报刊宣传活动，可以说是公共关系的发端时期，其代表人物是巴纳姆（Phines T.Barnum）。 二、巴纳姆时期------现代公共关系的发端19世纪中叶在美风行的报刊宣传活动，被认为是现代公共关系业的“前身”。 “报刊宣传活动”，是指一个组织为了自身的目的和利益，雇佣报刊宣传员在报刊上进行宣传活动，以制造舆论，扩大影响。 当时最有代表性的就是巴纳姆。巴纳姆的信条是“凡宣传皆好事”。 当时，这种把新闻媒介视为异己，或利用

中国改革的历史方位

从1978年至今，中国的经济改革已在各种阵痛中行进了整整20年，目前正经历着“边际效益递减”的痛苦历程。而推根溯源，改革“边际效益递减”的原因主要是因为所有发生在经济领域的问题，其根源却深植于非经济领域，根本不是单纯的经济改革所能奏效。这一切意味着继续改革需要解决几个认识上的问题﹕第一，为什幺需要对改革进行批判性的审视和检验而这种检验与审视为什幺又必须超越意识形态的限制﹖第二，一个国家的改革单纯局限于经济领域是否明智﹖第三，改革中的公正问题居于何种地位，是否需要对改革作出价值判断﹖ 对改革必须进行批判性审视 人类历史上的任何一场改革，都是对旧秩序的一种颠倒和社会利益的重新配置，势必要遭到各种各样的反对。为什幺我国在80年代会出现那种以意识形态标准来划分改革与反改革阵营的情况﹖原因在于人们刚 从“文革”的阴影中走出来，非常担心左的回潮，担心走回头路，所以才会出现这种局面﹕谁对改革持有批评意见，谁就会被看作是反改革派。这种划分过于简单，改革中出现问题，应该允许有识之士通过各种渠道尤其是公开的传媒指出来，采取“驼鸟政策”回避问题无且于问题的解决。 笔者认为，对改革的批判应从四个方面进行，一是改革目标的批判，二是对改革过程的批判，三是对改革方略的批判，四是对改革手段的批判。考察发展中国家就会发现一个奇怪的矛盾﹕所有的不发达国家在政策上都赞成更大的平等，它们在计划工作中通常突出地将提高人民生活水平当作一个实际的目标。事实上没有一个国家的政府会宣布政府的目标是通过让极少数的特权阶层更富有来创造更大的不平等，它们都自称坚持平等理想并正在制度层面上落实这一理想。但实际情况却表明﹕赞成更大平等的郑重宣言与明显的更大不平等的趋势之间存在着自相矛盾的问题。对于这个矛盾的解释必须与不发达国家的权力分配联系起来，比如当代中国正是在改革过程中，严重变形的权力之手介入国家资源分配，才导致在短短十多年内，迅速走完从平均主义到贫富差距过大这一段漫长的路。这一点说明，我们必须要对前20年的改革手段进行批判性的审视和检验，否则就无法解决层层累积的社会问题。 要言之，对改革过程偏差的批判的着力点应该回到改革过程发生的原点来。这个原点就是﹕由计划经济体制转向市场经济体制过程中，权力大规模地介入国家资源配置。这里仅举两例﹕在当前的社会转型期，我国有两项计划经济体制的遗产不可不处理，一是国家资源的管理配置，二是庞大的国有资产。我国现在的“仿真市场经济体制”与真正的市场经济体制有一个最主要的差别，那就是资源配置不是由市场这

新人教版第六章实数知识点归纳

实数知识点总结 一、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义 (1）如果一个正数x的平方等于a，即,那么这个正数ｘ叫做a的算术平方根。 （２)如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。如果,那么x叫做a的平方根。 (3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做ａ的立方根(或a 的三次方根)。如果,那么x叫做a 的立方根。 2、运算名称 (1）求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号 （1）正数a的算术平方根,记作“a”。 （2)ａ(a≥0)的平方根的符号表达为。 (３）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。 4、运算公式 4、开方规律小结 ，ａ的算术平方根a；正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那(1)若a≥０，则a的平方根是a 个叫它的算术平方根;０的平方根和算术平方根都是０;负数没有平方根。实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,0的立方根是0。（2)若ａ<0，则ａ没有平方根和算术平方根;若a为任意实数,则a的立方根是。 （3）正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。 二、小数点移动规律 平方根（如果被开方数的小数点,向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位)立方根（开立方的小数点移动规律:被开方数的小数点向右或向左每移动三位，则立方根的小数点就向右或向左移动一位） 三、实数的概念及分类 1、实数的分类

数学史话之三角学发展简史

数学史话之三角学发展 简史 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022

数学史话之——三角学发展简史 三角学简称三角，包括平面三角和球面三角。 传统的三角学以研究平面三角形和球面三角形的边角关系为基础，达到测量上的应用目的，我国中学数学课程现已包含平面三角和球面几何。 三角学起源于对三角形边角关系的定量考察，这始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，因此在相当长的一个时期里，三角学隶属于天文学，而在它的形成过程中利用了当时已经积累得相当丰富的算术、几何（包括球面几何）和天文知识。 鉴于此种原因，作为独立的数学分支前，它的贡献者主要是一些天文学家，如印度的阿耶婆多、阿拉伯的尔。坦尼（Al-Batbani）、纳速拉丁等人。 13世纪起，含于天文学中的三角知识传入欧洲，并在欧洲出现新的发展。 1464年数学家雷基奥蒙坦着《论各种三角形》，独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐述；1595年，德国的皮蒂斯楚斯（Pitiscus，1561~1613年）着《三角学，解三角形的简明处理》，首次将拉丁文“trigonon（三角形）”和“metron（测量）”组合成trigonametriae，即“三角形”。 14~16世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制，平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导，主要的方法则是几何的。 17世纪，函数概念的引入为三角函数成为三角学的基本概念奠定了基础。

1748年，欧拉在他的《无穷分析引论》中对三角函数和三角函数线作出明确区分，使全部的三角公式能从三角函数的定义中逻辑地得到，从而使三角函数与几何脱钩。 1807年，法国数学家傅立叶在研究热传导问题时，提出把函数看作三角函数的无穷级数之和，三角函数就成为调和分析的基石，于是三角学成为分析学的一部分。 1631年，三角学传入中国。同年，德国传教士邓玉函、汤若望和明朝学者徐光启编译成《大测》一书。“大测者，观三角形之法也。”可见“大测”与当时的“三角学”的意义是一样的。不过，“大测”的名称并不通行，三角在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”。“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线，如1894年上海美华书馆出版的《八线备旨四卷》和1906年方克猷撰写的《八线法衍》等书都已记载。 “三角”这一名称最早见之于1653年薛凤祚和穆尼阁合着的《三角算法》。“三角”一词指“三角学”或“三角法”或“三角术”。 事实上，直到1956年中国科学院编译出版委员会编订《数学名词》时，仍将这三者同义。现在“三角术”和“三角法”已不常用。 三角学的现代发展已经结束，随着现代数学的综合性趋势加强，其中的一些内容已分属于数学的其他学科，如三角函数可归于分析学，三角测量可归于几何学，三角函数式的恒等变形可归于代数学。 从这个意义上说，作为独立的数学分科的三角学已渐渐消失，但作为刻画周期性现象的三角函数，仍然发挥着巨大的作用。

函数概念的历史发展(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 函数概念的历史发展 函数概念是中学中最重要的概念之一，它既是数学研究的对象，又是解决数学问题的基本思想方法。早在16、17世纪，生产和科学技术的发展要求数学不仅研究静止不动的量，而且要研究运动过程中各个量之间的依赖关系，从而促进数学由常量上学时期进入到变量数学时期。函数也就成为研究变量数学必不可少的概念。 函数（function ）一词，始用于1692年，见著于微积分创始人之一莱布尼兹G.W.Leibnic,1646—1717）的著作。而f(x)则由欧拉（Euler ）于1724年首次使用。我国于1859年引进函数的概念，它首次是在清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚历山大合译的《代微积拾级》中出现。函数在初高等数学中，在物理、化学和其他自然科学中，在经济领域和社会科学中，均有广泛的应用，起着基础的作用。 函数的概念随着数学的发展而发展，函数的定义在发展过程中不断地精确、完善、抽象，函数的概念也不断得到严谨化、精确化的表达。 牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是函 数概念的雏形。最初，函数是表示代数上的幂（23,,,x x x …），1673 年，莱布尼兹把任何一个随着曲线上的点变动的几何量，如切线、法线，以及点的横坐标都成为函数。 一、解析的函数概念 在18世纪占主导地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式． 1698年，瑞士著名数学家约翰·贝努利定义：由变量x 和常量用任何方式构成的量都可以称为x 的函数．这里任何方式包括代数式子和超越式子． 1748年，约翰的学生，杰出数学家欧拉在它著名的《无穷小分析引沦》中把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方

三角函数的二倍角公式.docx

三角函数的二倍角公式 一、指导思想与理论依据 数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科。因此，在教学中，不仅要使学生〃知其然〃而且要使学生〃知其所以然"。所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。因此本节课我以建构主义的"创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解决方法"为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。在教学手段上,则采用多媒体辅助教学，将抽象问题形象化, 使教学目标体现的更加完美。 二、教材分析 三角函数的二倍角公式是普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修四，第三章第一节的内容，其主要内容是三角函数二倍角公式。同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求为此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位。 三、学情分析 本节课的授课对象是本校高一八班全体同学，本班学生水平处于中等偏下，但本班学生具有善于动手的良好学习习惯,所以采用发现的教学方法应该能轻松的完成本节课的教学内容。 四、教学目标 1、基础知识目标：理解公式的发现过程，掌握正弦、余弦、正切的二倍角公式； 2、能力训练目标：能正确运用公式； 3、创新素质目标：通过对公式的推导和运用，提高三角恒等变形的能力和渗透化归、

数形结合的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力； 4、个性品质目标：通过公式的学习和应用，感受事物之间的普通联系规律,运用化 归等数学思想方法,揭示事物的本质属性，培养学生的唯物史观。 五、教学重点和难点 1、教学重点：理解并掌握公式； 2、教学难点：正确运用公式，求三角函数值，化简三角函数式。 六、教法学法以及预期效果分析 "授人以鱼不如授之以鱼"，作为一名老师，我们不仅要传授给学生数学知识，更重要 的是传授给学生数学思想方法，如何实现这一目的，要求我们每一位教者苦心钻研、认真探究. 下面我从教法、学法、预期效果等三个方面做如下分析。 （一）、教法 数学教学是数学思维活动的教学，而不仅仅是数学活动的结果，数学学习的目的不仅仅是为了获得数学知识，更主要作用是为了训练人的思维技能,提高人的思维品质。在本节课的教学过程中，本人以学生为主题，以发现为主线，尽力渗透类比、化归、数形结合等数学思想方法，采用提出问题、启发引导、共同探究、综合应用等教学模式，还给学生"时间"、 "空间"，由易到难，由特殊到一般，尽力营造轻松的学习环境，让学生体味学习的快乐和成功的喜悦 （二）、学法 〃现代的文盲不是不识字的人,而是没有掌握学习方法的人"，很多课堂教学常常以高起点、大容量、快推进的做法，以便教给学生更多的知识点，却忽略了学生接受知识需要时间消化，进而泯灭了学生学习的兴趣与热情.如何能让学生最大程度的消化知识，提高学习热情

新人教版第六章实数知识点总结及练习

第六章实数 知识网络： 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类 （1）开方开不尽的数，如32 ,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现） 判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0 π 不是无理数。 3、有理数与无理数的区别 （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 考点二、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义 （1）如果一个正数x的平方等于a ，即，那么这个正数x叫做a的算术平方 根。 （2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟） 。如果，那么x叫做a的平方根。 （3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。如果，那么x叫做a的立方根。 2、运算名称 （1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号 （1）正数a的算术平方根，记作“a”。 （2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。 （3）一个数a 的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。 4、运算公式 4、开方规律小结 （1）若a≥0，则a 的平方根是a

它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。 实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 （2）若a <0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是 。 （3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。 考点三、实数的性质 有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。 1、相反数 （1）实数a 的相反数是-a ；实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零） （2）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a +b =0，a =-b ，反之亦成立。 2、绝对值 （1）要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。|a |≥0。 （2）若|a |=a ，则a ≥0；若|a |=-a ，则a ≤0，零的绝对值是它本身。 （3） ?? ?<-≥)0()0(a a a a 3、倒数 （1）如果a 与b 互为倒数，则有ab =1，反之亦成立。实数a 的倒数是1/a （a ≠0） （2）倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点四、实数的三个非负性及性质 1、在实数范围内，正数和零统称为非负数。 2、非负数有三种形式 （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( )。 3、非负数具有以下性质 （1）非负数有最小值零； （2）非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 考点五、实数大小的比较 实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同： （1）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； （2）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； （3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。 （4）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0～20之间整数的平方和0～10之间整数的立方． 考点六、实数的运算 （1）在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算 （2）有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立 （3）实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。 （4）在实数的运算中，当遇到无理数时，并且需要求结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。 二、典例剖析，综合拓展 知识点1：算术平方根 1. 1691的算术平方根为（ ） （A ）131 （B ）－131 （C ）±131 （D ）（169 1）2 算术平方根的定义：

数学函数的发展历史

数学函数的发展历史 2011届汕头一中高二(10)班 翁晓璇关键词:函数,概念,发展,意义 背景: 数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用，有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用.我们刚学过的函数就是这样的重要概念．而函数的发展历史是怎样的呢?为了更多地了解数学函数,我选择了这个研究性课题. 意义: 在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域．纵览宇宙，运算天体，探索热的传导，揭示电磁秘密，这些都和函数概念息息相关．正是在这些实践过程中，人们对函数的概念不断深化．回顾一下函数的发展史对加深理解课堂知识、激发学习兴趣将是有益的． 正文:最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨．最初莱布尼茨用摵龟一词表示幂，如x，x2，x3都叫函数．以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标． 1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量．”意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数．贝努所强调的是函数要用公式来表示． 后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上，只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准． 1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为“如果某些变量：“以某一种方式依赖于另一些变量．即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数．”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了．由于函数不一定要用式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数．他认为：“函数是随意画出的一条曲线。” 当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度．他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数’． 1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数，在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。 1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的

公共关系发展的历史

一、阐述公共关系发展的历史。（论述、1页） 公共关系是人类社会进步发展的必然产物，它作为一种客观存在的社会关系和社会现象是有着悠久历史的。 古代西方的类公关。外国古代利用各种艺术形式、宣传工具、演讲和人际交往等手段去影响公众的观点和行为，可以追溯到人类文明的初期。古代埃及、巴比伦、波斯、古希腊、古罗马，统治者就一方面利用武力、一方面用舆论手段来控制社会，处理与民众的关系。这可以算是早期公共关系的萌芽。 主要代表是古希腊和古罗马。注重具体方法技术研究，如演讲，修辞，逻辑，旨在说服他人。亚里斯多德的修辞学强调怎样用语音来影响听众的艺术。 中国是文明古国，悠久的历史文化中蕴藏着深刻而丰富的公共关系思想与活动，可追溯到有文字记载的远古时代。 春秋战国，诸子百家争鸣。孔子、孟子、老子、鬼谷子、韩非子、董仲舒王安石等安邦治国方案及政治活动中体现了古代公共关系思想。如老子提倡“鸡犬之声相闻，民至老死不相往来”的小国寡民思想；墨子主张“兼爱”、“非攻”的与人为善的交往原则；兵家认为“攻城为下，攻心为上”的原则；法家以“性恶论”应用法、术、权、势来管制民众；纵横家则提倡“远近交攻，纵横捭阖”的思想；儒家孔子提出“仁政”忠恕之道、信义为重，孟子提出“君轻民重”、君王应体恤民情。古代公共关系重视民心所向，调节施政措施；守信用，重信誉；重视人际关系，强调人和的重要作用。 纵观中西方古代的公共关系，都带有浓厚的功利性；盲目的，被动的进行原始状态的公共关系，本能的自发行为，没有明确的公共关系意识；与其他活动交织在一起没有分化出来；主要发生在政治领域，不涉及经济。 有许多相似之处，也有诸多不同，但在社会的长期不断发展中，都为现代的公共关系积淀了一定的经验。19世纪中期，公共关系开始由原始向现代、由朦胧向清晰、由零星向系统、由感性向理性的历史性转变。到了20世纪，现代意义上的公共关系开始在美国出现。 现代公共关系的发展大体经历了菲尼斯·巴纳姆时期、艾维·李时期、爱德华·博内斯时期以及斯科特·卡特李普和弗兰克·杰弗金斯时期，基本走向成熟。从20世纪30年代开始向全世界延伸，公共关系发展职业化、行业化，理论规范化、国际化，主体多元化，全方位发展。1955年国际公共关系协会在英国伦敦成立，总部在日内瓦。80年代进入中国大陆，这些年全国逐渐开始公关教育，为中国培养了大批公关人才。随着中国与世界的交往日益密切，国家对公共关系变得更加重视。尤其是社会与信息高速发展，国家更需要掌握公关主动权。

数学的发展历史

数学的发展历史 数学是一门伟大的科学，数学作为一门科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，它是经过上千年的演化发展才逐渐兴盛起来。同时数学也反映着每个时代的特征，美国数学史家克莱因曾经说过:"一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显"。"数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说"。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。而数学的历史更从另一个侧面反映了数学的发展。但有一点值得注意的是，人是这一方面的创造者，因此人本身的作用起着举足轻重的作用，首先表现为是否爱数学，是否愿为数学贡献毕生的精力。正是这主导着数学。 数学史是研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史和数学研究的各个分支，和社会史与文化史的各个方面都有着密切的联系，这表明数学史具有多学科交叉与综合性强的性质。 数学出现于包含著数量、结构、空间及变化等困难问题内。一开始，出现于贸易、土地测量及之后的天文学；今日，所有的科学都存在着值得数学家研究的问题，且数学本身亦存在了许多的问题。而这一切都源于数学的历史。 数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做测量等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构方面的研究。数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中。 数学发展具有阶段性，因此根据一定的原则把数学史分成若干时期。目前通常将数学发展划分为以下五个时期： 1．数学萌芽期（公元前600年以前）； 2．初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）； 3．变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）； 4．近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）； 5．现代数学时期（20世纪40年代以来）

6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质(含答案)

【课堂例题】 例1.试画出正弦函数在区间[0,2]π上的图像. 例2.试画出余弦函数在区间[0,2]π上的图像. 课堂练习 1.作函数sin y x =-与sin 1y x =+在区间[0,2]π上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系. 3.作函数cos ,[,]y x x ππ=∈-的大致图像. 4.利用3.解不等式：cos sin ,[,]x x x ππ≥∈-

【知识再现】 正弦函数：y = ，x ∈ ； 余弦函数：y = ，x ∈ . 正弦函数和余弦函数在[0,2]π上的大致图像: 【基础训练】 1.(1)若MP 和OM 分别是角 76 π 的正弦线和余弦线，则( ) A.0MP OM <<；B.0OM MP >>； C.0OM MP <<；D.0MP OM >>. (2)正弦函数与余弦函数在区间[,]ππ-内的公共点的个数是( ) A.1； B.2； C.3； D.4. 2.我们学过的诱导公式中， (1)说明余弦函数cos ,y x x R =∈的图像关于y 轴对称的是 ； (2)说明正弦函数sin ,y x x R =∈的图像关于直线2 x π = 对称的是 . 3.(1)函数cos 3,y x x R =+∈的值域是 ； (2)函数24sin 2,(0,)y x x π=-∈的值域是 . 4.函数cos ,[0,2]y x x π=∈和1y =的图像围成的封闭的平面图形的面积为 . 5.利用“五点法”,画出下列函数的大致图像：(步骤：列表、描点、联线) (1)1sin ,[,]y x x ππ=+∈-; (2)cos ,[0,2]y x x π=-∈. O y x

三角函数的发展历史

三角学的起源与发展 三角学之英文名称Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。 西方的发展 三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。 公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165) 继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13卷，包括从0°到90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。约同时代的梅内劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》，内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。他的工作使希腊三角学达到全盛时期。 (二)中国的发展 我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。1631西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启(p20)合编的《大测》为代表。同年徐光启等人还编写了《测量全义》，其中有平面三角和球面三角的论述。1653年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以「三角」取代「大测」，确立了「三角」名称。1877年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨。 现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等，多发展于20世纪中。 贰、三角函数的演进 正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数统称为三角函数（Trigonometric function）。

我国公共关系事业的发展历程

中国公共关系历史、现状、未来 我国公共关系事业的发展历程 针对公共关系于20世纪80年代初传入我国内地至今的发展状况，有人用这样的一首诗来形容它：“一团茅草乱蓬蓬，蓦地烧天蓦地空。争似满炉煨骨垛，慢腾腾地暖烘烘”。这首诗前两句写茅草燃烧时的火焰非常大，但一下子就熄灭了。后两句写树根燃烧时虽然不旺盛却耐久。该诗的意思是说，在公共关系在刚传入我国大陆时，确实出现了一哄而上，比较乱而又比较短暂的发展现象，后来公共关系研究者和实践者经过逐步调整使公共关系逐渐走向了一条比较平稳扎实的发展道路。具体来讲，从公共关系在我国的发展来看主要经历了以下几个阶段： （1）20世纪80年代初至20世纪80年代中期的初创阶段 公共关系作为一种新的经营管理方法和技术传入中国，公共关系在中国的传播趋势是：从地理位置上看是自南向北，自东向西扩展的；从地形来看是从沿海、平原向高原，山区扩展的；从经济发展状况来看是从

发达地区向落后地区扩展的；从行业部门来看是从服务业、企业向政府、文教、军队扩展的。 20世纪80年代中期形成了第一股公关热，其特点是：一见钟情，一帆风顺、一夜成名。人们对它一见钟情，在沿海特区、酒店等服务性行业一帆风顺地发展起来，继广州中国大酒店，白天鹅宾馆，北京长城饭店率先开展公共关系活动之后，1984年在国营企业中出现了第一个设立公共关系部的厂家——广州白云山制药厂，1984年月12月26日，《经济日报》报道和介绍了广州白云山制药厂开展公共关系工作的成功经验，并发表社论呼吁社会各方面重视和研究社会主义的公共关系，这为公共关系在我国的广泛传播，以及公共关系被人们正确地认识、理解和接受，产生了重要的推动作用。经由新闻界、学术界及社会各界的广泛传播，尤其是电视剧《公关小姐》的播出，几乎使公关一夜成名。 （2）20世纪80年代中期至90年代中期的普及阶段 可概括为内冷外热、内忧外患、内通外联。内冷外热是指新闻界、学术界的热炒使公关成为人们津津乐道的话题和趋之若鹜的职业，而此时的公关业内部处在

三角函数的发展历史(同名24038)

三角函数的发展历史(同名24038)

三角学的起源与发展 三角学之英文名称Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。 西方的发展 三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。 公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165) 继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13卷，包括从0°到90°每隔半度的 弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。 约同时代的梅内劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》，内容包球面 三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。他 的工作使希腊三角学达到全盛时期。 (二)中国的发展 我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。据《周 髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重 差术」。1631西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启(p20)合编 的《大测》为代表。同年徐光启等人还编写了《测量全义》，其中有平面三角和球面三角的论述。1653年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以「三角」取代「大测」，确立了「三角」名称。1877年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨。 现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等，多发展于20世 纪中。 贰、三角函数的演进 正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数统称为三角函数（Trigonometric function）。

数学的发展

数学的发展 1086～1093年，中国宋朝的沈括在《梦溪笔谈》中提出“隙积术”和“会圆术”，开始高阶等差级数的研究。 十一世纪，阿拉伯的阿尔·卡尔希第一次解出了二次方程的根。 十一世纪，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方程的书《代数学》。 十一世纪，埃及的阿尔·海赛姆解决了“海赛姆”问题，即要在圆的平面上两点作两条线相交于圆周上一点，并与在该点的法线成等角。 十一世纪中叶，中国宋朝的贾宪在《黄帝九章算术细草》中，创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，并列出了二项式定理系数表，这是现代“组合数学”的早期发现。后人所称的“杨辉三角”即指此法。 十二世纪，印度的拜斯迦罗著《立刺瓦提》一书，这是东方算术和计算方面的重要著作。 1202年，意大利的裴波那契发表《计算之书》，把印度—阿拉伯记数法介绍到西方。 1220年，意大利的裴波那契发表《几何学实习》一书，介绍了许多阿拉伯资料中没有的示例。 1247年，中国宋朝的秦九韶著《数书九章》共十八卷，推广了“增乘开方法”。书中提出的联立一次同余式的解法，比西方早五百七十余年。 1248年，中国宋朝的李治著《测圆海镜》十二卷，这是第一部系统论述“天元术”的著作。 1261年，中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》，用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。 1274年，中国宋朝的杨辉发表《乘除通变本末》，叙述“九归”捷法，介绍了筹算乘除的各种运算法。 1280年，元朝《授时历》用招差法编制日月的方位表(中国王恂、郭守敬等)。 十四世纪中叶前，中国开始应用珠算盘。 1303年，中国元朝的朱世杰著《四元玉鉴》三卷，把“天元术”推广为“四元术”。 1464年，德国的约·米勒在《论各种三角形》(1533年出版)中，系统地总结了三角学。 1494年，意大利的帕奇欧里发表《算术集成》，反映了当时所知道的关于算术、代数和三角学的知识。 1545年，意大利的卡尔达诺、费尔诺在《大法》中发表了求三次方程一般代数解的公式。 1550～1572年，意大利的邦别利出版《代数学》，其中引入了虚数，完全解决了三次方程的代数解问题。 1591年左右，德国的韦达在《美妙的代数》中首次使用字母表示数字系数的一般符号，推进了代数问题的一般讨论。 1596～1613年，德国的奥脱、皮提斯库斯完成了六个三角函数的每间隔10秒的十五位小数表。 1614年，英国的耐普尔制定了对数。 1615年，德国的开卜勒发表《酒桶的立体几何学》，研究了圆锥曲线旋转体的体积。 1635年，意大利的卡瓦列利发表《不可分连续量的几何学》，书中避免无穷小量，用不可分量制定了一种简单形式的微积分。 1637年，法国的笛卡尔出版《几何学》，提出了解析几何，把变量引进数学，成为“数学中的转折点”。 1638年，法国的费尔玛开始用微分法求极大、极小问题。 1638年，意大利的伽里略发表《关于两种新科学的数学证明的论说》，研究距离、速度和加速度之间的关系，提出了无穷集合的概念，这本书被认为是伽里略重要的科学成就。 1639年，法国的迪沙格发表了《企图研究圆锥和平面的相交所发生的事的草案》，这是近世射影几何学的早期工作。 1641年，法国的帕斯卡发现关于圆锥内接六边形的“帕斯卡定理”。 1649年，法国的帕斯卡制成帕斯卡计算器，它是近代计算机的先驱。 1654年，法国的帕斯卡、费尔玛研究了概率论的基础。 1655年，英国的瓦里斯出版《无穷算术》一书，第一次把代数学扩展到分析学。 1657年，荷兰的惠更斯发表了关于概率论的早期论文《论机会游戏的演算》。 1658年，法国的帕斯卡出版《摆线通论》，对“摆线”进行了充分的研究。 1665～1676年，牛顿(1665～1666年)先于莱布尼茨(1673～1676年)制定了微积分，莱布尼茨(1684～