椭圆题型方法总结
【椭圆题型方法总结】
▲知识要点→
一、椭圆的定义
到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。 即：{}
1212P PF PF |2a, (2a |F F |)+=>
二、椭圆的方程。
（1）标准方程：12222=+b y a x （0a b >>）或122
22=+b
x a y （0a b >>）（其中，222+c a b =）
（2）一般方程： 2
2
1(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠或2
2
(,,)Ax By C A B C +=同号
【易错点】：对于椭圆定义的把握要明确以下几点： （1）没有“平面内”这个条件，则是椭球而不是椭圆； （2）到两定点F 1、F 2的距离之和为常数，常数必须要大于|F 1F 2|. 【易忽视点】：对于确定哪种形式的标准方程则要看焦点的位置，若焦点在x 轴上则x 2的分母大，若焦点在y 轴上则y 2的分母大.
【常用的思想方法】：○1方程的思想，解决椭圆问题的实质是确定a,b,c 的关系（方程），求a,b,c 的方法是列方程组求解；○
2数形结合的思想，充分运用几何图形所蕴藏的性质，注意观察分析。
▲题型方法讲解→
（一）椭圆的定义及标准方程
例1、已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23
＋y 2
＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另
外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12
【析】通过观察分析，充分巧妙利用定义（“12PF PF |2a +=”）是解决问题的关键
例2、如图，把椭圆2212516
x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的
上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，
则1
234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= . 【析】通过观察分析，利用对称性并结合定义处理。
例3、如果22
2=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）
A ．()+∞,0
B ．()2,0
C ．()+∞,1
D ．()1,0 【析】一般方程→标准化；焦点在y 轴上则y 2
的分母大
例4、已知方程22
138x y k k
+=--表示椭圆，求k 的取值范围。
【析】观察分析椭圆方程的特征：x 2
和y 2
的分母均为正，且不相等（若相等即为圆的方程）。
例5、已知k ＜4，则曲线14
922=+y x 和
1492
2=-+-k y k x 有相同的（ ） A. 长轴和短轴 B. 焦点 C. 离心率 D. 焦距
【析】通过观察分析，充分把握平方关系“2
2
2
c a b =-” 是解题的关键。
例6、根据下列条件分别求椭圆的标准方程：
（1） 中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为1
2
，长轴长为8；
（2） 椭圆经过(M -和N （1
【析】求椭圆标准方程常用待定系数法，若不知道焦点位置，通常设方程为
221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，解题的关键是建立方程组。
【变式思考】
1. △ABC 两个顶点坐标是A （－4，0）、B （4，0），周长是18，则顶点C 的轨迹方程 .
2、已知M 为椭圆
22
1259
x y +=上一点，1F 为椭圆的一个焦点，且12MF =,N 为1MF 中点，则ON 的长为 .
3、已知椭圆
22
1102
x y m m +=--，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m = . 4、（2008浙江理12）已知21F F 、为椭圆19
252
2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于
A 、
B 两点.若1222=+B F A F ，则AB =______________.
5、（2009陕西卷文）“0m n >>”是“方程2
2
1mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的______________.
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6、（2009北京文、理）椭圆22
192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 .
7、（2009广东卷理）巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为
2
，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ．
8、椭圆有一个光学性质：光线由一个焦点射出经椭圆壁反射后必然经过另一个焦点。现有
一个椭圆形的台球桌，椭圆方程为122
22=+b
y a x （0a b >>），一个球由该椭圆的一个焦点
处击出，经桌壁反弹后又回到起点，则球所走的路程为（ ） A ．4a B.2()a c -
C. 2()a c +
D.以上结果皆有可能
9、已知椭圆12222=+b
y a x （0a b >>）的离心率为12，且经过3
(1,)2P
（1）求椭圆的方程
（2）设F 是椭圆的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系
并说明理由。
10、（2010课标全国）已知21F F 、为椭圆 122
22=+b
y a x （0a b >>）的左右焦点，设过1
F 斜率为1的直线l 与E 相较于A 、B 两点。且22,,AF AB BF 成等差数列 (1)求椭圆的离心率。
(2)设点(0,1)P -满足PA PB =，求椭圆的方程。 11、（2010安徽理数）19、（本小题满分13分）
已知椭圆E 经过点()2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点
12,F F 在x 轴上，离心率12
e =
。 (Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；
(Ⅲ)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两
点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。
（二）椭圆的几何性质的考查
（1）椭圆的几何性质的灵活运用
例1、在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ?顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆
192522=+y x 上，则sin sin sin A C B
+= . 【析】根据标准方程确定a,b,c 的值，并结合正弦定理“
2sin sin sin a b c
R A B C
===” 的性质“::sin :sin :sin a b c A B C =”即可。
例2、椭圆2
214
x y +=的两个焦点为12,F F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一
个交点为P ，则2PF 等于（ ）
A ．
27
2
2()a c + D.4 【析】掌握椭圆通径长2
2b a
=并结合椭圆定义即可解决
★★★★（2）离心率的求法
椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法：
○
1求a ，求c ，再求比. ○
2数形结合，充分利用图形蕴藏的数量关系，含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程， 解方程即可.
例1、如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为
A ．
51 B ．5
2
C ．55
D ．552
例2、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆
于点P ，若△
F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
C. 21 例3、设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭
圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为（ ）
A. 3－1
B.2－3
C.22
D.2
3
【变式思考】
1、（2010广东文数）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的
离心率是（ ） A.
54 B.53 C. 52 D. 5
1
2、（2009江西卷理）过椭圆22
221x y a b
+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于
点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=
，则椭圆的离心率为（ ）
A
B
C ．12
D ．1
3
3、已知21F F 、为椭圆 122
22=+b
y a x （0a b >>）的左右焦点，以12F F 为边作正三角形。
若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，则椭圆的离心率为（ ）
A
1 B
．
2 C ．12 D ．1
3
4、(2008湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞 向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 变点第二次变轨进入仍以月球球心
F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进
入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜2
2
c a . 其中正确式子的序号是
（ ）
A. ①③
B. ②③
C. ①④
D. ②④
5、（2008江苏）在平面直角坐标系中，椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的焦距为2，以O 为
圆心，a 为半径的圆，过点???
?
??0,2c a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．
（3） 焦点三角形面积公式：122
tan
2
F PF S
b θ
?=
例1、 已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，P 为椭圆上任一点，12F PF θ∠=，
求证:122tan .2
F PF S b θ
=△
例2、设12,F F 是椭圆22
1916
x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且01260F PF ∠=，
求△12F PF 的面积。
例3、已知椭圆12
2
2
=+y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在椭圆上且120,MF MF ?= 则点M 到x 轴的距离为（ ）
A ．
4
3
B ．
5
3
C D 例4、（2009年上海卷理）已知1F 、2F 是椭圆1:22
22=+b
y a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，
P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ?的面积为9，则b =____________.
例5、若点P 在椭圆12
22
=+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且 9021=∠PF F ，则21PF F ?的面积是（ ）
A. 2
B. 1
C.
23 D. 2
1 例6、如图，F 1，F 2分别为椭圆122
2
2=+b y a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3
的正三角形，则b 2的值是 .
(4)有关b c ,大小讨论的问题
例1、椭圆22
1259
x y +=的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，则使得12PF PF ⊥的点P 的
个数为（ ）
A. 0
B.1
C. 2
D. 4
例2、椭圆14
92
2=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P
横坐标的取值范围是 。
例3、已知1F 、2F 是椭圆1:22
22=+b
y a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，
且21PF PF ⊥.求椭圆离心率的取值范围。
例4、设P 是椭圆122
2
2=+b y a x （a ＞b ＞0）上的一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，且∠F 1PF 2=90°，
求证：椭圆的率心率e ≥.22
例5、（2008江西文、理科7）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足1MF ·2MF ＝0的点M
总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
（ ）
A ．(0，1)
B ．(0，
2
1
] C ．(0，
2
2)
D ．[
2
2
，1)
（三）点、线与椭圆的位置关系
（1）位置关系的讨论问题
▲点00(,)P x y 与椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的位置关系：
○122
0000221(,)x y P x y a b
+=?在椭圆上。 ○222
0000221(,)x y P x y a b +>?在椭圆外。 ○322
0000221(,)x y P x y a b
+
例1、当m 为何值时，直线y x m =+与椭圆22
1169
x y +=相交？相切？相离？
例2、已知以F 1（2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，
则椭圆的长轴长为 （ ） A.23
B.62
C.72
D.24
例3、直线)(01R k kx y ∈=--与椭圆1522=+b
y x 恒有公共点，
则b 的取值范围是（ ）
A ．（0，1）
B ．（0，5）
C ．),5()5,1[+∞
D ．),1(+∞
例4、设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
e 2
=，右焦点为(0)F c ，，方程
20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）
Ａ．必在圆2
2
2x y +=内 Ｂ．必在圆22
2x y +=上 Ｃ．必在圆2
2
2x y +=外
Ｄ．以上三种情形都有可能
（2）弦长公式：12AB x =-=例1、已知斜率为1的直线l 过椭圆12
32
2=+y x 的右焦点F 2，交椭圆于A 、B 两点，
求：（1）弦长|AB|；（2）△ABF 1的面积。
例2、21,F F 是椭圆17
92
2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则
Δ12AF F 的面积为（ ） A ．7 B ．47 C ．2
7
D ．257
例3、过椭圆14
52
2=+y x 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于B A ,两点, O 为坐标
原点, 则△OAB 的面积为 .
例4、AB 是过椭圆14522=+y x 的一个焦点F 的弦，若AB 的倾斜角为3π，求弦AB 的长
例5、（2008北京文科19）已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆2
2
34x y +=上，C 在直线l ：y =x +2
上，且AB ∥l ．当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积；
例6、椭圆
221ax by +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，若AB 且AB 的中点C
与椭圆中心连线的斜率为2
，求实数,a b 的值。
例7、若直线y =x +t 与椭圆14
2
2=+y x 相交于A 、B 两点，当t 变化时，求|AB|的最大值．
（3）与椭圆有关的中点弦问题
例1、已知椭圆1222=+y x ，求过点??
?
??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．
【分析一】：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为??? ?
?
-=-
2121x k y 代入椭圆方程，并整理得 ()()
02
3
21222122
2
2
=+-+--+k k x k k
x k ．
由韦达定理得2
2212122k
k
k x x +-=+． ∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得2
1
-=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ．
【分析二】：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：
212
1x x y y --．
解法二：设过??
? ??2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得
?
????????=+=+=+=+④
1.
③1②12
①1221212
2222
121y y x x y x y x ，，， ①－②得
02
2
2212
221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得
212121-=--x x y y ，即直线的斜率为2
1
-．
所求直线方程为0342=-+y x ．
【说明】：有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．
【变式思考】
1、椭圆144942
2
=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在
直线的方程为
（ ）
A ．01223=-+y x
B ．01232=-+y x
C ．014494=-+y x
D ． 014449=-+y x
2、过椭圆22
1164
x y +=内一点(21)M ，引一条弦使弦被M 点平分，
求这条弦所在直线的方程．
3、过点()1,1-P 作直线与椭圆12
42
2=+y x 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为P 点，
求AB 所在的直线的方程和线段AB 的长度．
4、倾斜角为π
4
的直线交椭圆2214x y +=于A B ，两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程．
5、已知直线y = -x +1与椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直
线l :x -2y =0上. （1）求此椭圆的离心率；
（2）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆x 2+ y 2=4上，求此椭圆的方程.
（4）与椭圆有关的最值与取值范围问题
例1、椭圆14
162
2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是
（ ）
A ．3
B ．11
C ．22
D ．10
例2、 求椭圆13
22
=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．
例3、直线y x m =+和椭圆2
214
x y +=相交于A 、B 两点，当m 变化时；
（1） 求AB 的最大值
（2） 求OAB ?面积的最大值（O 是坐标原点）
例4、设P 是椭圆2
214
x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 ；
例5、（2010福建文）11．若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP
的最大值为
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
例6、已知椭圆22
132
x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P. （Ⅰ）设P 点的坐标为00(,)x y ，
证明：22
00132
x y +<；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值。
【变式思考】
1、椭圆22
143
x y +=的点P 到直线270x y -+=的距离最大时，点P 的坐标是( )
Ａ．2? ??
，
Ｂ．2-?
Ｃ．312?
?- ???
，
Ｄ．312?
?-
???
， 2、在椭圆2
2
88x y +=上求一点P ，使P 到直线l ：40x y -+=的距离最小.
108,12121
A A F F F =3、已知椭圆长轴＝，焦距求过的直线被椭圆截得弦长的最小值。
4、已知F 为椭圆13
92
2=+y x 的一个焦点，21,A A 为椭圆长轴的两个端点，P 为椭圆上任
意一点，分别以21,A A FP 为直径作圆，（1）则两圆的位置关系是_____________；
（2）两圆圆心距的取值范围是_________________
5、如图、椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点.
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l 绕点F 任意转动，值有
222
OA OB AB +<,求a 的取值范围.
x
y
O
y x m =+
椭圆典型题型归纳(供参考)
椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 练习： 1.6=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的 另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6.设圆22 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例1.方程22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 2221()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程； 例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>
椭圆的常见题型及解法(一).
椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导 设P （，）是椭圆上的任意一点， 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆 ，求证，。证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知1 1 PF e d ，又，所 以， 而 。
∴，。 2.公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4， 0）的距离成等差数列，则 12 x x + . 解：在已知椭圆中，右准线方程为 25 4x = ，设A 、B 、C 到右准线的距离为 ， 则、、。 ∵ ， ， ，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 例2.12,F F 是椭圆22 14x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求 的最大值和最 小值。 解：设 ，则10202,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4，最小值为1. 变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。 解：由已知 可得 ，所以直线AB 的方程 为 ，代入椭圆方程 得 设 ，则 ，从而 变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为
(完整版)椭圆常见题型总结
椭圆常见题型总结 1、椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决； 椭圆 22 2 21(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PF F ?中，12F PF α=∠，则当P 为短轴端点时α最大，且 ① 122PF PF a +=； ②22 2 12122cos 4c PF PF PF PF α=+-； ③12 121 sin 2PF F S PF PF α?= =2tan 2 b α?（b 短轴长） 2、直线与椭圆的位置关系：直线y kx b =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>交于 1122(,),(,)A x y B x y 两点，则12AB x =-=3、椭圆的中点弦：设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不同两点， 00(,)M x y 是线段AB 的中点，可运用点差法可得直线AB 斜率，且20 20 AB b x k a y =-； 4、椭圆的离心率 范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。 求椭圆离心率时注意运用：c a e = ，222c b a += 5、椭圆的焦半径 若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任一点，焦点 为1(,0)c F -，2(,0)c F ，则焦半径10PF a ex =+，10PF a ex =-； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定2 a ，2 b 值，结合焦点位置直接写出椭圆方程； ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出2 a ，2 b ，从而求出标准方程； ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为221Ax By +=；
椭圆知识点归纳总结和经典例题
椭圆的基本知识 1．椭圆的定义：把平面与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12 2=+b a （a ＞ b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0) 不必考虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线 向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解: (相 关点法)设点M (x , y ),点P (x 0, y 0), 则x ＝x 0, y ＝ 2 0y 得x 0＝x ， y 0＝2y. ∵x 02 ＋y 02 ＝4, 得 x 2 ＋(2y )2 ＝4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.围. x 2≤a 2，y 2≤b 2 ，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里． 5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b )、B 2(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .a 叫做椭圆的 长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2 ， 即c 2＝a 2－b 2 ． 7.椭圆的几何性质：
椭圆常考题型汇总及练习进步
椭圆常考题型汇总及练习 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数 ()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ()c 2. 椭圆的几何性质:以 ()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用 于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e =，()10,0<<∴>>e c a Θ （2）22F OB Rt ?, 2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且 22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -= 越小， 椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而2 2c a b -=越大，椭圆越接近圆。
椭圆常见题型总结
椭圆常见题型总结 1椭圆中的焦点三角形： 通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决; 0)上一点P(x 0, y 0)和焦点F i ( c,0) ， F 2(C ,0)为顶点的 ① PF [ PF 2 2a ； 人任孑)，B(X 2, y 2)两点，贝U AB| J i|x 1 x 2| J ik 2J (x 1 X 2)24x 1x 2 2 2 3、椭圆的中点弦： 设A(X i , yj, B(X 2,y 2)是椭圆 务% 1(a b 0)上不同两点, a b M(x °,y °)是线段AB 的中点，可运用 点差法可得直线 AB 斜率，且k AB 4、椭圆的离心率 求椭圆离心率时注意运用： e C , a 2 b 2 C 2 a 2 2 若P(x 0, y 0)是离心率为e 的椭圆^2 1(a a b 椭圆 x 2 y2 !(a b a b PF i F 2 中，F 1PF 2 ，则当P 为短轴端点时 最大，且 ②4C 2 2 PF i 2 PF 2 2 PF 1 PF 2 COS ③ S PF 1F 2 1 1|PF i |PF 2 sin 2 =b tan ( b 短轴长) 2 2、直线与椭圆的位置关系： 直线y 2 kx b 与椭圆笃 a 2 b 1(a b 0)交于 b 2X o ； ~2~ ； a y 。 范围：0 e 1, e 越大，椭圆就越扁。 5、椭圆的焦半径 b 0)上任一点，焦点
为 F i （ c,0） , F 2C O ），则焦半径 PF i a ex o , PR a ex o ； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定 a 2, b 2值，结合焦点位置直接写出椭圆方程; ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出 准方程; ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为 Ax 2 By 2 1； 椭圆方程的常见题型 2 x 2、已知x 轴上一定点 A （1,0），Q 为椭圆 y 2 1上的动点，贝U AQ 中点M 的轨迹方程 4 的轨迹方程是（ ） 2 x 2 “ C y 1 4 6、设一动点P 到直线x 3的距离与它到点 A （1,0）的距离之比为-.3，则动点P 的轨迹方 2 2 a ， b ,从而求出标 1、点P 到定点F （4,0）的距离和它到定直线 10的距离之比为 1:2，则点P 的轨迹方程 3、平面内一点 M 到两定点F 2（0, 5）、F 2（0,5）的距离之和为 10,则M 的轨迹为（ A 椭圆 B 圆 4、经过点（2, 3）且与椭圆9x 2 4y 2 2 2 2 2 A 乞匕1 B x L 1 15 10 10 15 C 直线 D 线段 36有共冋焦点的椭圆为 （ ) 2 2 2 2 C0匕1 x D — 工1 5 10 10 5 2 2 5、已知圆x y 1，从这个圆上任意一点 P 向y 轴做垂线段 PR ，则线段PR 的中点M A 4x 2 y 2 1 B x 2 4y 2 1
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
（一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下：
椭圆题型归纳大全
椭圆题型归纳大全
椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆2 2:(4)100 C x y ++=相内切，且 过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 例2. 方程 2 x =++所表示的曲线是 练习： 1.方程 6 =对应的图形是 （ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2. 10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 3.方程 10 =成立的充要条件是 （ ） A. 2 2 12516x y += B.2 2 1 259 x y += C. 22 11625 x y += D. 22 1925 x y +=
4. 1 m =+表示椭圆，则 m 的取值范围是 5.过椭圆2 2941 x y +=的一个焦点1 F 的直线与椭圆相 交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2 F 构成的2 ABF ?的周长等于 ； 6.设圆2 2(1) 25 x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点， Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点 M ，则点M 的轨迹方程 为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例 1.方程 22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例 3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 1 P 、2 (P ，求椭圆的方程；
高中数学椭圆题型完美归纳(经典)
椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形， 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点 椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .
|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2． 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2 OM AB b k k a ?=-，即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点， 在x 轴上是否存在一点E(0 x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0 x ；若不存在，请说明理由。 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2 y x =相交A 、B 两点， 则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 3 倍。运用弦长公式求弦长。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+， k ≠，1 1 (,)A x y ，2 2 (,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =? 消y 整理，得2 2 22(21)0 k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2 242(21)4410 k k k ?=--=-+>即2 104 k << ② 由韦达定理，得： 2122 21 ,k x x k -+=-121 x x =。则线段AB 的中点为
22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得0 211 22x k = -，则2 1 1 (,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形，∴2 1 1(,0)22 E k -到 直线AB 的距离d 为 32 AB 。 2 2 1212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -= +g 212k d k +=222 23141122k k k k k -+∴+=g 解得39 13 k =± 满足②式此时0 53 x = 。 思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 3倍，将k 确定，进而求出0 x 的坐标。 例题2、已知椭圆 12 22 =+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归 纳 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
椭圆常见题型与典型方法归纳 考点一 椭圆的定义 椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两 定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e= a c (0
椭圆经典例题分类汇总
椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为： 116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 已知椭圆 19 82 2=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82 +=k a ，92 =b ，得12 -=k c ．由2 1 =e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92 =a ，82 +=k b ，得k c -=12 ． 由21= e ，得 4191=-k ，即4 5 -=k ． ∴满足条件的4=k 或4 5 -=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ? ??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<
椭圆各类题型分类汇总修订稿
椭圆各类题型分类汇总 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-
椭圆经典例题分类汇总 1. 椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 例2 已知椭圆 19822=++y k x 的离心率2 1 =e ，求k 的值． 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 例4 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 例5 已知动圆P 过定点()03， -A ，且在定圆()64322 =+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13 42 2=+ y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2 已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ，长轴 端点为 1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点， θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）． 3.第二定义应用 例1 椭圆112 162 2=+ y x 的右焦点为F ，过点() 31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．
例2 已知椭圆1422 22=+b y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距 离． 例3 已知椭圆15 92 2=+ y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． (1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求22 3 PF PA + 的最小值及对应的点P 的坐标． 4.参数方程应用 例1 求椭圆13 22 =+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 例2 (1)写出椭圆1492 2=+ y x 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积． 例3 椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使 AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围． 5.相交情况下--弦长公式的应用 例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为 5 10 2，求直线的方程． 例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为 3 π 的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 6.相交情况下—点差法的应用
椭圆高考题目汇总教师版含答案
考点11 椭圆 1.（2010·广东高考文科·Ｔ7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A ． 45 B ．35 C ．25 D ．15 【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，列出a 、b 、c 的关系，再转化为a 、c 间的关系，从而求出e . 【规范解答】选B .Q 椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,∴ 2b a c =+， ∴ 224()b a c =+，即： 22242b a ac c =++，又 222a b c =+， ∴ 224()a c -=222a ac c ++，即 223250a ac c --=，()(35)0a c a c +-=，∴ 0a c +=（舍去）或 350a c -=，∴ 3 5 c e a = =，故选B . 2.（2010·福建高考文科·Ｔ１1）若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ?u u u r u u u r 的最大值为（ ） A.2 B.3 C.6 D.8 【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值. 【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设P 为动点，依题意写出OP FP ?u u u r u u u r 的表达式，进而转化 为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解. 【规范解答】选C ，设()00P x ,y ，则2222 0000x y 3x 1y 3434 +==-即，又因为()F 1,0- ()2000OP FP x x 1y ∴?=?++u u u r u u r 2001x x 34=++()2 01x 224 =++，又[]0x 2,2∈-， () []OP FP 2,6∴?∈u u u r u u r ，所以 ()max 6OP FP ?=u u u r u u u r . 3.（2010·海南高考理科·T20）设12,F F 分别是椭圆E:22 221x y a b +=（a>b>0）的左、右焦 点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列. （Ⅰ)求E 的离心率； （Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程.
高考椭圆题型总结
椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得 2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是( ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ，M 是α内的动点，且a MF MF 221=+,判断动点M 的轨迹. 5. 椭圆19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。 (二) 标准方程求参数范围 1. 若方程13 52 2=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围.（3，4）U （4，5） 2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( )
A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 已知方程11 252 2=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是 . 4. 已知方程222=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 5. 方程2 31y x -=所表示的曲线是 . 6. 如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围。 7. 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。 8. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为 26； （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）； （3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求 椭圆方程. 2. 以)0,2(1-F 和)0,2(2F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点，则该椭圆的方程 为 。 3. 如果椭圆：k y x =+224上两点间的最大距离为8，则k 的值为 。 4. 已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆3694:222=+y x C 的两个焦点一个正方 形的四个顶点，且椭圆C 过点A （2，－3），求椭圆C 的方程。 5. 已知P 点在坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离为 354和3 52，过点P 作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。 6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程
2014--2015学年 高三复习专题 椭圆题型归纳(学生版)
知识点回顾： 题型一、定义及其应用： 知识点： 例1、已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 例2、方程2x =++所表示的曲线是 练习： 16=对应的图形是（ ） A 、直线 B 、线段 C 、椭圆 D 、圆 210=对应的图形是（ ） A 、直线 B 、线段 C 、椭圆 D 、圆 310=成立的充要条件是（ ） A 、 2212516x y += B 、221259x y += C 、2211625x y += D 、22 1925 x y += 41m =+表示椭圆，则m 的取值范围是
5、过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6、设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二、椭圆的方程。 知识点： （一）由方程研究曲线 例1、方程 22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2、已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4、求经过点(2,3)-且与椭圆2 2 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 22x y 22 x y
椭圆经典例题分类汇总
1. 椭圆第一定义的应用 例1椭圆的一个顶点为 A 2,0，其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程. 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置. 解：（1 ）当A 2,0为长轴端点时，a 2 , b 1 , 椭圆的标准方程为: （2）当A 2,0为短轴端点时, 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖 的，因而要考虑两种情况. 2 2 例2已知椭圆— 匚 1的离心率e k 8 9 分析：分两种情况进行讨论. 由e 1，得」1，即 2 9 4 k 5 0, 得3 k 5，故k 的取值范围是3 k 5. 3 k 0, 椭圆经典例题分类汇总 2 2 例3 已知方程 x y 1表示椭圆，求k 的取值范围 k 5 3 k k 5 0, 解: 由3 k 0, 得3 k 5，且 k 4. k 5 3 k, ?满足条件的k 的取值范围是3 椭圆的标准方程为: 2 2 x y 4 16 ，求k 的值. 解：当椭圆的焦点在x 轴上时, a 2 b 2 9，得 c 2 k 1 .由 e 当椭圆的焦点在y 轴上时, b 2 得c 2 ???满足条件的k 4或k 4 说明：本题易出现漏解?排除错误的办法是： 可能在x 轴上，也可能在 y 轴上.故必须进行讨论. 因为 k 8与9的大小关系不定, 所以椭圆的焦点 k 5,且 k 4. 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 a b 0这个条件，当a b 时，并不表示椭圆. 2 2 例4 已知 x sin y cos 1 (0 ）表示焦点在y 轴上的椭圆，求 的取值范围. 说明：本题易出现如下错解：由
椭圆常见题型与典型方法归纳.
椭圆常见题型与典型方法归纳 考点一 椭圆的定义 椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两 定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e= a c (0
椭圆高考典型题型整理
椭圆高考典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 例2. 方程2x =++所表示的曲线是 练习： 1.6=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 3.10成立的充要条件是（ ） A. 2212516x y += B.221259x y += C. 2211625x y += D. 22 1925 x y += 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6.设圆2 2 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例1.方程 22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆2 2 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程；
注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 22 21()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程； 例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹； （五）相关点法求轨迹方程； 例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2 214 x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程； （六）直接法求轨迹方程； 例7.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB = 的点，求点P 的轨迹方程； （七）列方程组求方程 例8.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为1 2 ，求此椭圆的方程； 题型三.焦点三角形问题 例1. 已知椭圆 22 11625 x y +=上一点P 的纵坐标为53，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，求1PF 、2PF 及12cos F PF ∠； 例2. 题型四.椭圆的几何性质 例 1.已知P 是椭圆22 221x y a b +=上的点，的纵坐标为53，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ， 则12PF PF 的最大值与最小值之差为 例 2.椭圆22 221x y a b +=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的 离心率为 ；
椭圆题型总结(较难)
椭圆题型总结 一、焦点三角形 1. 设F 1、F 2是椭圆12 322 =+y x 的左、右焦点，弦AB 过F 2，求1ABF △的面积的最大值。 （法一）解：如图，设2(0)xF B ααπ∠=<<，22||||AF m BF n ==，， 根据椭圆的定义，1||AF m = ，1||BF n =，又12||2F F =，在ΔAF 2F 1和ΔBF 2F 1中应用余弦定理，得 22 22)44cos )44cos m m m n n n αα ?=+-??=++??， ∴m = ，n = ∴1 1211 ||||2()sin 22 F AB B A S F F y y m n α?=?-=??+ α= =令sin t α=，所以01t <≤，∴2 1()22t g t t t t = =++在(01]，上是增函数 ∴当1t =，即2 πα= 时，max 1()3 g t =，故1ABF △ （法二）解：设AB ：x=my+1，与椭圆2x 2+3y 2=6联立，消x 得 (2m 2+3)y 2+4my-4=0 ∵ AB 过椭圆内定点F 2，∴ Δ恒大于0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则 Δ=48(m 2+1) 1ABF S ?=|y 1-y 2 |= 令 t=m 2+1≥1，m 2=t-1， 则 1ABF S ? = t ∈[1,+∞) f(t)=144t t ++在t ∈[1,+∞)上单调递增，且f(t)∈[9,+∞) ∴ t=1即m=0时，ΔABF 1 注意：上述AB 的设法：x=my+1，方程中的m 相当于直线AB 的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况，即m=0的时候。在直线斜率不等于零时都可以这样设，往往可使消元过程简单化，而且避免了讨论。
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