中考数学冲刺复习专题训练3一元二次方程的解法(三)公式法和因式分解法
2019-2020年中考数学冲刺复习专题训练3一元二次方程的解法（三）
公式法和因式分解法
复习：
1．直接开平方法：
2．配方法：
为少犯配方时计算错误，一般这样配方，
例如：用配方法解方程：
把二次项系数化为1，得：
把常数项移到等号的右边：
方程两边同时加上一次项系数一半的平方：
配方，计算要准确：
两边开平方：
移项：
正确写出原方程的解：
一、求根公式法
探索：我们来解一般形式的一元二次方程
ax 2+bx+c=0（a ≠0）
解：因为a ≠0，方程两边都除以a ，得
．
移项，得． 配方，得2222()()222b b b c x x a a a a
+??+=-， 即．
因为a ≠0，所以4＞0，
当＜0时，方程无实数根；
当≥0时，直接开平方，得
．
所以，
即12x x == 一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a ≠0）
法2：4 a 2x 2＋4abx ＋4ac ＝0
＋2·2ax ·b ＋b 2＝b 2-4ac
(2ax+b)2= b 2-4ac
由以上研究的结果，得到了一元二次方程a ＋bx ＋c ＝0的求根公式：
240)x b ac =-≥． 利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得 方程的根．这种解方程的方法叫做公式法．
例1：用公式法解方程
练习：用公式法解方程：（1）；
（2）；
（3）．
例2：解关于的方程；
练习：解关于的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；
小结：
公式法——适用于 的方程．反映了一元二次方程的根与 系数的关系，
（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数 a 、b 、c ；
（2）先求出的值，若，则代入公式 ．
若，则 ；
例3：解方程：
二、因式分解法
依据：（A 、B 至少一个为0）
先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一 次式分别等于0，从而实现降次；这种解法叫做因式分解法．所有学 过的因式分解方法：提公因式法、公式法、十字相乘法．注意：
（不确定A 、B 的值）．
例4：用因式分解法求解下列方程：
（1） (2) ．
（3）； （4）；
()()()24 85860x x +-++=
练习：
（1）22135-2-
-244x x x x =+； （2）；
例5：2(1)24)0x x +-= 2(2)0x +
=
()()224210x a x a a -+++=
总结：
1． 一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不
为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）
2．一元二次方程的解法：
（1） 直接开平方法：是以平方根为基础的一种解一元二次方程的方法
（2） 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一
元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）的一
般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项， 即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边
都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m ）2=n 的形式；
⑤如果n ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程 无解．
（3） 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是 通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是
(b2－4ac≥0)，步骤是：（1）将方程化为一般形式ax2＋bx+c=0；
（2）计算代数式b2－4ac的值；（3）当b2－4ac≥0由求根公式写出方程的
解，当b2－4ac<0时方程无实根。
（4）因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因
式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法
的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘
积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方
程，它们的解就是原一元二次方程的解．
3．一元二次方程的注意事项：
⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含
有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，
当k=±1时就是一元一次方程了．
⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的
一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，
则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．
⑶方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）
中，不能随便约去（x＋4）
⑷注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须
熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式
法．
一元二次方程有多种解法，要根据形式择优选择解法．但所有解法都是通
过“降次”实现求根的：开方降次和分解降次．
（5）解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证
解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，
以保证结论的准确性．521459 53D3 叓22799 590F 夏34854 8826 蠦29050 717A 煺nd39681 9B01 鬁\31113 7989 禉40128 9CC0 鳀6y 38342 95C6 闆