高中排列组合与二项式定理练习题
高中排列组合与二项式定理
1．若从集合P 到集合Q={a,b,c}所有不同的映射共有81个，则从集合Q 到集合P 可作的不同的映射共有（ ） A ．32个
B ．27个
C ．81个
D ．64个
2．某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两 个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为（ ） A ．42
B ．36
C ．30
D ．12
3．全班48名学生坐成6排，每排8人，排法总数为P ，排成前后两排，每排24人，排法 总数为Q,则有（ ） A ．P>Q
B ．P=Q
C ．P D ．不能确定 4．从正方体的六个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）种 A ．8 B ．12 C ．16 D ．20 5．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配 方案共有（ ） A ．44 48 412 C C C B ．44484123C C C C ．334448412A C C C D ．3 3 4448412A C C C 6．某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼 的外墙，现有编号为1~6的六种不同花色的装饰石材可选择，其中1号石材有微量的放射性， 不可用于办公室内，则不同的装饰效果有（ ）种 A ．350 B ．300 C ．65 D ．50 7．有8人已站成一排，现在要求其中4人不动，其余4人重新站位，则有（ ）种 重新站位的方法 A ．1680 B ．256 C ．360 D ．280 8．一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（ ）种不同的坐法 A ．7200 B ．3600 C ．2400 D ．1200 9．在( 311 x x )n 的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项 的二项式系数是 （ ） A. 462 B. 330 C.682 D.792 10.在(1+a x )7 的展开式中,x 3 项的系数是x 2 项系数与x 5 项系数的等比中项,则a 的值为( ) A.510 B.35 C.925 D.3 25 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．某公园现有A 、B 、C 三只小船，A 船可乘3人，B 船可乘2人，C 船可乘1人，今有 三个成人和2个儿童分乘这些船只（每船必须坐人），为安全起见，儿童必须由大人陪同方 可乘船，他们分乘这些船只的方法有_____________种。 12．“渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数(如98765)，若把所有的五位渐减数 按从小到大的顺序排列，则第20个数为____________。 13．（理）某民航站共有1到4四个入口，每个入口处只能进1人，一个小组4个人进站的方 案数为____________。 （文）体育老师把9个相同的足球放入编号为1、2、3的三个箱子里，要求每个箱子放球 的个数不少于其编号，则不同的放法有_____________种。 14．(文)若2005200522102005 ) 21(x a x a x a a x ++++=- （R x ∈）， 则)()()()(20050302010a a a a a a a a ++++++++ ＝ （用数字作答）。 （理）甲、乙、丙三人传球，第一次球从甲手中传出，到第六次球又回到甲手中的传递 方式有_________种 15．在2005 4 3 ) 1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中，3 x 的系数为______________。 三．解答题（本大题共6题，共80分） 16．（本题满分12分）用0，1，2，3，4，5这六个数字 （1） 可组成多少个不同的自然数？ （2）可组成多少个无重复数字的五位数？ （3） 组成多少个无重复数字的五位奇数？ （4） 可组成多少个无重复数字的能被5整除的五位数？ （5） 可组成多少个无重复数字的且大于31250的五位数？ （6） 可组成多少个无重复数字的能被3整除的五位数？ 17（本题满分12分）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种？（要求写出必要的解答过程） 18．（本题满分12分）已知7 722107)21(x a x a x a a x ++++=- ， 求（1）710a a a +++ 的值（2）6420a a a a +++及7531a a a a +++的值； （3）各项二项式系数和。 19.（本题满分14分）证明：（1）3)11(2<+≤n n ，其中*N n ∈； （2）证明：对任意非负整数n ，12633--n n 可被676整除。 20．（本题满分14分）已知n m ,是正整数，n m x x x f )1()1()(+++=的展开式 中x 的系数为7， （1） 试求)(x f 中的2 x 的系数的最小值 （2） 对于使)(x f 的2 x 的系数为最小的n m ,，求出此时3 x 的系数 参考答案 一：选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） (1). D (2). A (3). B (4). B (5). A (6). B (7). D (8). A (9). A (10). C 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） (11). 18 (12). 76542 (13). (理)840（文）10 (14). （文）2003 （理）22 (15). 4 2006C 三．解答题（本大题共6题，共80分） 16．（1）解：可组成6+55 432656565656?+?+?+?+?=46656个不同的自然数 （2）可组成6003 4565515=-?A A A A 或个无重复数字的五位数 （3）可组成2883 41413=??A A A 个无重复数字的五位奇数 （4）可组成216)(3 44545=-+A A A 个无重复数字的能被5整除的五位数 （5）可组成32512322 33445=+++A A A 个无重复数字的且大于31250的五位数？ （6）可组成216)(4 44555=-+A A A 个无重复数字的能被3整除的五位数？ 17．解：在5种不同的荤菜中取出2种的选择方式应有102 5=C 种，设素菜为x 种，则 200252≥?C C x 解得7≥x ， ∴至少应有7种素菜 18．令1=x ，则1710-=++a a a 令1-=x ，则2187763210=-++-+-a a a a a a 令0=x ，则10=a 于是27321-=+++a a a a 10947531-=+++a a a a ；10936420=+++a a a a 各项二项式系数和12827 771707==+++C C C 19．（1）证明： ++?+=+2 21)1(11)11(n C n C n n n n 2≥（当且仅当1=n 时取等号） 当1=n 时，32)11(<=+n n 显然成立 当2≥n 时； =?++?+?+=+n n n n n n n n C n C n C C n 111)11(2210 n n n n n n n n n n n n 1 !12)1(1!3)2)(1(1!2)1(232?-++--+-+ ! 1!31!212121!121!311!212n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++<-++--+-+= ) 1(1 3212112-++?+?+ n n 综上所述：3)11(2<+≤n n ，其中* N n ∈ （2）证明：当1,0==n n 时12633--n n =0，显然676|)1263(3--n n 当2≥n 时，1263 3--n n = 1262626261126)261(1262722--?++?++=--+=--n C C n n n n n n n n n n n n n n C C C 2626263322 +?+?==)2626(676232n n n n n C C C -+++ )676(mod 0≡ 综上所述：676|)1263 (3--n n )(N n ∈ 20．解：根据题意得：71 1=+n m C C ，即7=+n m （1） 2 x 的系数为2 2)1(2)1(2222 n m n m n n m m C C n m --+=-+-=+ 将(1)变形为m n -=7代入上式得：2x 的系数为4 35)2 7(2172 2 + -=+-m m m 故当时， 或43=m 2 x 的系数的最小值为9