《应用数理统计》吴翊李永乐第一章数理统计的基本概念课后习题
第一章 数理统计的基本概念
课后习题参考答案
设对总体X 得到一个容量为10的子样值：，，，，，，，，，，试分别计算子样均值X -
和子样方差
2S 的值。
解：12,n X X X 为总体X 的样本，
根据 121
()n X X X X n
=
+++ 求得X =；
根据2
21
1()n i i S X X n ==-∑ 求得2
S =。
设总体X 的分布函数为()x F ，密度函数为()x f ，n X X X ,,,21 为X 的子样，求最大顺序统计量()n X 与最小顺序统计量()1X 的分布函数与密度函数。 解：
将总体X 中的样本按照从小到大的顺序排列成()()()n X X X ≤≤≤ 21
()()()()()()[]n
n n n x F x x P x x P x x P x x P x F =<<<=<= 21
()()[]()()x f x nF x F x f n n n 1'
-==
()()()()()
()[]()[]()[]()[]
n
n n x F x x P x x P x x P x x P x x P x x P x x P x F --=<-<-<--=≥≥≥-=<=1111111212111
()()[]()[]
()x f x F n x F x f n 1
111'--==
设总体X 服从正态分布N(12,4),今抽取容量为5的子样521,,,X X X ，试问： (1)子样的平均值X 大于13的概率为多少
(2)子样的极小值(最小顺序统计量)小于10的概率为多少 (3) 子样的极大值(最大顺序统计量)大于15的概率为多少 解：
(
)
∑==n
I i X n X N X 1
2
1,,~σμ
()()?
?
? ??=
=??? ??===??? ??=∴∑∑==5412,N ~X 54
11212121n
X D n X D X E n X E n i i n i i σμ，
(1)()()
1314.08686.0112.1n /-X 15/41213n /-X P -113X P -113X P =-=?
??
?
??≤-=?
??
?
??-≤=≤=>σμσμP
(2) ()()()5785
.08412.011-X P -121210-X P -110P -110P 5
5
1
i 5
1
i 5
1min =-=??? ??≤=?
?? ??->=>=<∏∏∏===i i i i X X σμσμ
(3) ()()()2923
.093315.015.1-X P -121215-X P -115P -115P 5
5
1
i 5
1
i 5
1max =-=??? ??≤=?
??
??->=≤=>∏∏∏===i i i i X X σμσμ
试证： （1）
2
2
21
1()()
()n n
i
i
i i x a x x n x a ==-=-+-∑∑ 对任一实数a 成立。并 且此证明当
a x =时，21
()n
i i x a =-∑达到极小。
（2）2
2
2
11
()n n
i i i i x x x nx ==-=-∑∑ 其中 11n
i i x x n ==∑
证明：
（1）
2
2
1
1
()()
n n
i
i
i i x a x x x a ==-=-+-∑∑
2
2
1
1
1
()()
2()()n
n
n
i
i i i i x x x a x x x a ==-=
-+-+--∑∑∑
2
2
1211()()
2()()n n
i
n i i x x x a x x x nx x a ===
-+-++++--∑∑
2
2
11
()()
n
n
i
i i x x x a ===
-+-∑∑
2
21
()
()n
i
i x x n x a ==
-+-∑
2
22
1
11
()2n
n
n
i
i
i i i i x a x
na a x ===-=+-∑∑∑
2
1
(2)n
i
i x n a
ax ==
+-∑
求函数的极值，对变量进行求导，这里对变量a 求导 得 220a x -= 即 a x =
根据数学分析中的结论，当仅有一个极值时，那么同时也 是其相应的最值。 (2)
2
2
1
11
()2n n
n
i
i
i i i i x x x nx
x x ===-=+-∑∑∑
2
1212()n
i n i x nx x x x x ==
+-++
+∑
2
2
12n
i i x nx
nx ==
+-∑
2
1
n
i i x nx ==
-∑
设n X X X ,,,21 为正态总体()2
,σμN 的样本，令∑=-=n
i i X n d 1
1μ
试证：()()n d d E 2
21D 2
σ
πσπ?
?
? ??-==， 证明:
令μ-=i i x y 则()
2
,0~σN y i
()()()σπ
σ
πσ2
21220
2
20
2
?
?
∞
+-∞
+=
===i y i
i i i i dy e
y dy y f y y E d E i
()()()
()[]
{}
n
n x E x E n x D n x n D d n i n
i i i
n
i i i n i 212221
2
2
2
1
212121111D σπσπσμμμμ?
?? ??-=??? ??-=---=-=??? ??-=∑∑∑∑====
设总体X 服从正态(
)2
,σ
μN ，n X X
X ,,,2
1
为其子样，X 与2S 分别为子样均值与方差。
又设1+n X 与n X X X ,,,21 独立同分布，试求统计量1
1
1+--=+n n S X
X Y N 的分布。 解：
()()()01111111=-=???
?
?-=-∑∑=+=++n i i n n i i n n X E n X E X n X E X X E
()()()2212
111111111
σn n X D n n X D n n X n X n n D X X D i n n i i n n +=
+-??? ??+=??? ??-+=-++=++∑ ()???
?
??+-+1,0~21n n N X X n σ
又()1~22
2
-n nS χσ
()1~1
1
111
1-+--==-+-++n t n n S X X Y n S n n
n X
X N n σ
σ
设(),T
t n 求证 2
(1,)T F n
证明： 设2(0,1),(),X
N Y
n X χ与Y 独立，则称随机变量
()T t n =
那么2
2
1X T Y n
=
其中22(1)X χ
根据F 分布的定义得出：2
(1,)T F n
设n X X X ,,,21 独立，同服从指数分布，即密度函数为
()00
,00,>???<≥=-λλλx x e x f x
求证()n X n 2~22
χλ，其中∑==n
i i X n X 1
1
证明：
总体X 的概率密度函数为：()00
,00
,>???<≥=-λλλx x e x f x
令X X i =λ2，则λ
2X
X i =
()2221212x
x i e e X f --==∴λλλλλ 即()2~22
χλi X
由可加性定理知()n X X n n X n n
i i n i i 2~21222
1
1χλλλ∑∑====
设1,,,21n X X X 与2,,,21n Y Y Y 分别来自总体(
)2
1,σ
μN 和()
2
2
,σμ
N 且相互独立，α和β是两个已知常数，试求
()()
???? ??+-++-+-22
1
2
212
2
22
112
12
n n n n S n S n Y X βαμβμα
的分布，其中()
()
2
1
2
2
2
2
1121
2
11,1∑∑==-=-=n i i
n i i Y Y
n S X X n S
证明：
????
?
????? ??222121n ,~Y ,,~σμσμN n N X
又因为X 与Y 相互独立，
故()()
????
?
????? ??+--+-σβαμμμβμα22122121,~n n N Y X 又有
()()1~,
1~222
2
2
2122
2
1
1--n S n n S n χσχσ
所以21S 与22S 相互独立，由2
χ的可加性知
()2~2122
2
2
22
2
1
1-++
n n S n S n χσ
σ
由定理及两总体样本的独立性知
()()
21μβμα-+-Y X 与222211S n S n +相互独立，
因而
()()
()()
()
()2~22
212122
2
22
1122122
122
12
212
222
1121-+-++?
??? ??+-+-=
???
? ??+-++-+-n n t n n S n S n n n Y X n n n n S n S n Y X σβασμβμαβαμβμα
设总体()()
()()()n n Y X Y X Y X N Y X ,,,,,,,,,,,~,22112
22121 ρσσμμ为子样，令
()()
()()
21121121
22
2122
1
,1,
1,1S S S R Y Y X X n S Y Y n S X X n S n
i i i n i i n i i =
--=-=-=∑∑∑===
求证()()
()1~212
122
21
21
--+----n t S RS S S Y X n μμ
证明：
二维正态分布的数学期望是()()()()21,,μμ=Y E X E
协方差矩阵是??
?
?
??2
22
1212
1σσρσσρσσ 令Y X Z -=，则()
∑=++=-=n
i i S RS S S Z
Z 1
212
2212
2
2n 1S ()221,~σμμ--N Y X
()()()
()1,0~,
1~21
22
2
N n
Y X n nS σ
μμ
χσ----
()()
()()
()1~21
1
2
122
21
21
21
--+----=----n t S RS S S Y X n n S
n n
Y X μμ
σσ
μμ
设()F x 为总体X 的分布函数，()n F x 为由其样本1,2,,n X X X 确定的经验分布函数，求
证
{}
lim ()()1n n P F x F x →∞
== 对一切实数x 成立。
证明：经验分布函数()n F x 得构造方法为，设1,2,,n X X X 诸观察值按从小到大可排成
(1)(2)()n X X X ≤≤
≤
定义
(1)()(1)()
0,(),,1,2,
,11,n k k n x X k
F x X x X k n n x X +≤???=≤=-????
所以 (,]1
1()()n
n x i i F x I x n -∞==∑
这里A I 表示A 的示性函数， (,]1,(,]
0,(,]
x x x I x x -∞∈-∞?=?
?-∞?
对于给定的x ，记(,]()(1,,)i x Y I x i n -∞==
则 1,
,n Y Y 独立同分布
(1,())i
Y B F x
而1
()/n
n i i F x Y n ==
∑
由强大数定律得
{}
lim ()()1n n P F x F x →∞
== 对一切实数x 成立