七年级下册第六章《实数》

第六章“实数”章节分析

一、本章主要内容

本章主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算。

①通过本章的学习，学生对数的认识就由有理数范围扩大到实数范围，本章之前的数学内容都是在有理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题。虽然本章的内容不多，篇幅不大，但在中学数学中占有重要的地位。

②本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。

二、本章学习目标。

1、知识与能力：

①了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根。

②了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。

③了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一致性及其发展变化。

④能用有理数估计一个无理数的大致范围。

2、过程各方法：

本章内容与实际紧密联系起来，可以使学生在解决实际问题的过程中，认识实数的有关概念和运算。

3、情感、态度与价值观：

让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般的认识过程，在探究活动的过程中发展思维能力，有效改变学生的学习方式。

三、本章节学习重点：

实数的运算法则和运算性质，平方与开平方、立方与开立方的互为逆运算关系等

四、突破学习重点策略：

加强本章内容与实际的联系，可以使学生在解决实际问题的过程中，认识实数的有关概念和运算。

五、学习难点：

算术平方根，平方根，立方根概念和理解与运算

六、突破学习难点策略：

加强理论联系实际，尽可能运用学生已有的经验引导学生对知识的掌握。

七、教学课时安排：

本章课时安排。本章教学时间约需8课时，具体分配如下（仅供参考）：

平方根…………………………………………………………3课时。

立方根………………………………………………………. ..2课时。

实数……………………………………………………………2课时。

小结……………………………………………………………1课时。

测试……………………………………………………………2课时

第一课时（总第 课时）

主备人： 拟授课时间： 备课组长（签名）： 学习内容：平方根1 学习目标： 一、知识与技能

会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律； 二、过程与方法

能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值； 三、情感态度与价值观

体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数。 学习重点：夹值法及估计一个（无理）数的大小的思想。

学习难点：理解算术平方根的两个非负性(被开方数非负、算术平方根非负)。 学习方法：合作、交流、探究 教学手段：常规 教学步骤：

一、 情境导入 请同学们思考问题:

学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴。他想裁出一块面积为252dm 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛。这块正方形画布的边长应取多少？ 二、 感知新知 学生一同完成填表活动:

添上表格中最后一列：

设边长为)0(≥x

x ，学生得出等式：)

0(2

≥=x a x

以上问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数。 如果求x ？由此引入新课。 三、 归纳新知

教师板书算术平方根概念：

一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a

x =2

，那么这个正数x 叫做a 的

算术平方根。

规定：0的算术平方根是0.

试一试：学生根据概念写出一些数的算术平方根。 四、 探究新知

小鸥作画的时候又遇到了新的问题：当他用面积为1的正方形作画的时候觉得有点小，于是他想：能不能用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形呢？

学生分组活动，合作探究，增强动手能力。教师请小组成员展示成果，并用多媒体演示两种常见拼法。

提出问题：你知道大正方形的边长是多少吗？

设边长为x ，学生可得出2

2

=x ，即边长是2的算术平方根。

思考：2的算术平方存在吗？应该如何表示？ 教师板书算术平方根的表示法：

a

的算术平方根记为

a

，读作“根号a ”，a 叫做被开方数。

请同学通过图形说出

2

的几何意义，通过概念说出其“数”的意义。

至此，得出算术平方的完整概念。 将概念用数学语言表述，即： 在等式

)

0(2

≥=x a x

中，规定a

x

=

五、 应用新知

例1．求下列各数的算术平方根：

（1）100； (2)

64

49；(3)0.0001

教师出示题目，引导学生思考并板书（1）问规范解答。（2）（3）问由两名学生板演，其余学生独立完成。

学生完成练习，教师巡视学生完成情况，适时指导点拨，点评演板学生情况。课件出示规范解题过程，进行矫正。 练习：回答下列各式的值。 （1）

；（2）

169

；（3）

0049

.0（4）

4

12+

七、拓展延伸 写一写：若9

2

-=x ，求x .

学生得出：这样的x 不存在。由算术平方根的概念，即：9-没有算术平方根。

进一步得出：负数没有算术平方根。

思考什么样的数才有算术平方根？得出：非负数有算术平方根。 想一想：a

x =2

中，若x 存在，那么a 的取值范围＿＿＿

学生得出：0≥a

那么a 有算术平方根吗？如何表示？ 学生表示为

a

后，请学生从概念中找出

a

的范围，即

≥a

得出算术平方根a

的双重非负性： ??

?≥≥0

a a 例2.若

0212=++-y x ，则___

=x

，

___

=y

学生思考后交流结果，请学生解答，利用课件展示解题过程。 八、课堂小结

请学生谈谈本节课你学会了什么？

学生按要求进行自主小结，注意倾听同伴意见，反思存在的问题。教师在学生自主小结的基础上，进行概括总结。

1. 算术平方根的概念

2. 算术平方根的求法及其表示

3. 算术平方根的双重非负性 课后作业

1.求下列各数的算术平方根。 121，

256

1，2)5(-，

81

2.求下列各式的值。

16

.0，

2

)

3

1(-

，

2

2

8

6

+，25

-

，4

1±

3.已知9的算术平方根为a ，b 的绝对值为4，求b

a -的值。

4.求下列各式有意义的条件

3

+x

x

-2

（选做） 5.已知12-a 的算术平方根是

3，13-+b a 的算术平方根是4，求a ，b 的值。

6.若

4

-x 与

y

-9互为相反数，求xy 的算术平方根。

板书设计

6.1 算术平方根

一.概念： 例1（1）（教师板书） 二、算术平方根的双重非 负性

（2）（学生演板） （3）（学生演板）

课后反思：

第二课时（总第 课时）

主备人： 拟授课时间： 备课组长（签名）： 学习内容：平方根2 学习目标： 一、知识与技能

理解算术平方根的概念，会求正数的算术平方根并会用根号表示 二、过程与方法

通过学习算术平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维 三、情感态度与价值观

通过学习算术平方根解决实际问题，认识数学与生活的密切联系。培养学生把已有知识建立联系的思维习惯，并鼓励学生积极参与数学活动，在活动中学会交流与合作。

学习重点：算术平方根的概念、表示方法及其求法。 学习难点：夹值法及估计一个（无理）数的大小。。 学习方法：合作、交流、探究 教学手段：常规 教学步骤： 一、情境导入

我们已经知道：正数x 满足2

x =a,则称x 是a 的算术平方根．当a 恰是一个数的平方数时，我们已经能求出它的算术平方根了，例如，

16

=4；但当a 不是一个

数的平方数时，它的算术平方根又该怎祥求呢？例如课本的大正方形的边长2

等于多少呢？ 问题：

2

究竟有多大？

建议：1、先让学生思考讨论并估计大概有多大，在此基础上按书本讲解并板书．可以这样提出问题并讲解：由直观可知招大于1而小于2，那么了

2

是1点几呢？

（接下来由试验可得到平方数最接近2的1位小数是1.4，而平方数大于2且最接近的1位小数是1.5，

2

大于1.4而小于1.5......

这里默认了非负数a 和b 当a ＜b 时，b

a <

这里可以从

9

4<得到。

2、用夹值法去逼近一个（无理）数，是一个重要的求近似数的方法，也是一种无限逼近的数学思想，教师应加以重视，让学生体验它的妙处．

3、关于

2

是一个“无限不循环小数”要向学生详细说明．为无理数的概念的提

出打下基础．

归纳（提出问题）：你对正数a的算术平方根a的结果有怎样的认识呢？

a的结果有两种情：当a是完全平方数时，a是一个有限数；当a不是一个

完全平方数时，a是一个无限不循环小数。

二、用计算器求一个正有理数的算术平方根

例1（课本的例2)用计算器求下列各式的值：

（1）3136（2）2（精确到0.001）

可按照书本讲．注意计算器的用法，指出计算器上显示的也只是近似值，但我们可以利用计算器方便地求出一个正数的算术平方根的近似值．

安排学生独立解决引言中的问题，利用计算器求出1v和2v的值．

三、综合应用

例2（用多媒体显示课本的例3）题略．

建议：1、首先要注意学生是否弄清了题意；然后分析解题思路：能否裁出符合要求的纸片，就是要比较两个图形的边长，而由题意，易知正方形的边长是20 cm，所以只需求出长方形的边长，设长方形的长和宽分别是3xcm和2xcm,

求得长方形的长为350cm后，接下来的问题是比较350和20的大小，这是个难点，要让学生思考，充分发表自己的意见，然后再比较．

2、视学生掌握知识的情况在例3前可先解决下面的问题：比较4和15，27和

27大小．

四练习

课本的练习（其中第2题要求不用计算器）

五、探究规律

课本中的用计算器探究被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律．

对于（1）应有如下的规律：当被开方数扩大（或缩小）100倍，10000倍…时，其算术平方根相应地扩大（或缩小）10倍，100倍…

六、课堂小结

1、被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值；

2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值

3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？

4、怎样的数是无限不循环小数

七、布置作业

1、被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值；

2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值

3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？

4、怎样的数是无限不循环小数？

课后反思：

第三课时（总第 课时）

主备人： 拟授课时间： 备课组长（签名）： 学习内容：平方根3 学习目标： 一、知识与技能

掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别； 二、过程与方法

能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系；

三、情感态度与价值观

培养学生的探究能力和归纳问题的能力。 学习重点：平方根的概念和求数的平方根。 学习难点：平方根和算术平方根的联系与区别。。 学习方法：合作、交流、探究 教学手段：常规 教学步骤：

一、思考归纳 导入概念

如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它们是3和－3.受前面知识的影响学生可能不易想到－3这个数，这时可提醒学生，这里的这个数可以是负数．注意()

9

32

=-中括号的作用．

又如：

25

42

=

x

，则x 等于多少呢？

使学生完成课本的填表练习． 给出平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：如果2

x =a ，那么x 叫做a 的平方根．

求一个数的平方根的运算，叫做开平方．

例如：±3的平方等于9，9的平方根是±3，所以平方与开平方互为逆运算． 观察：课本中的图中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质．

让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关系说出1, 4,9的平方根． 注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先不引入平方根的符号，给出的数是完全平方数．

例1：（课本的例4）。求下列各数的平方根。

（1） 100 （2） 169

（3） 0.25

建议教师要规范书写格式。 二、讨论归纳 深化概念

按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：

正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？ 建议：可引导学生通过观察 =a 中的a 和x 的取值范围和取值个数得出． 根据上面讨论得出的结果填课本166页的表． 注：学生刚开始接触平方根时，有两点可能不太习惯，一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这与学生过去遇到的运算结果惟一的情况有所不同，另一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中一般不会遇到(0作除数的情况除外）．教学时，可以通过较多实例说明这两点，并在本节以后的教学中继续强化这两点．

引入符号：正数a 的算术平方根可用 表示；正数a 的负的平方根可用- 表

示．例如……

思考： 表示什么意思，这里的x 可取什么样的数呢？

而对于 又该怎样理解呢？这里的x 又可取什么样的数呢？ 三、应用

例2 下列各数有平方根？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由。 －64、0， ，

如果有要用平方根的符号来表示。 例3：课本的例5，求下列各式的值。 （1） ，（2）－ ，（3） （4） ， 建议：要让学生明白各式所表示的意义；根据平方关系和平方根概念的格式书写解题格式。平方根和算术平方根的概念是本章重点内容，两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根，因此我们可以利用算术平方根来研究平方根． 思考：－ 的值是多少？ 四、练习巩固 课本的练习 五、小结：

什么叫做一个数的平方根？

正数、0、负数的平方根有什么规律？

怎样求出一个数的平方根？数a 的平方怎样表示 六、布置作业

课后反思：

第四课时（总第课时）

主备人：拟授课时间：

备课组长（签名）：

学习内容：立方根

学习目标：

一、知识与技能

了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根，让学生体会一个数的立方根的惟一性，分清一个数的立方根与平方根的区别。

二、过程与方法

了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根.

三、情感态度与价值观

培养学生的探究能力和归纳问题的能力。

学习重点：立方根的概念和求法。

学习难点：立方根与平方根的区别。

学习方法：合作、交流、探究

教学手段：常规

教学步骤：

一、情境导入：

问题：要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？

设这种包装箱的边长为x m,则3x=27这就是求一个数，使它的立方等于27.

因为33=27，所以x=3. 即这种包装箱的边长应为3 m

二、新课：

1、归纳：如果一个数的立方等于a，这个数叫做a的立方根（也叫做三次方根），即如果3x a

=，那么x叫做a的立方根

2、探究：根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？

因为328

=，所以8的立方根是（ 2 ）

因为()3

=，所以0.125的立方根是（0.5）

0.50.125

因为()

3

00

=，所以8的立方根是（ 0 ） 因为()

3

28

-=-，所以8的立方根是（ 2- ） 因为3

28327??

-=-

???

，所以8的立方根是（ 23

-

）

【总结归纳】

一个数a “三次根号a ”，其中a

叫被开方数，3

叫根指数，不能省略，若省略表示平方。

27

3

=；

表示27-3

=-

.

3、探究：

____,____,

==

= -

____,____

=-=

利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，

就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方

)0a =>。

4、 例 求下列各式的值： （1）3

64

； （2）

27

-； （3）

3

27

102

（4）3

1000

1-

； （5）64

±

； （6）

64

三、练习：

课本P51练习1、2、3 四、小结：

1.立方根和开立方的定义．

2.正数、0、负数的立方根的特征．

3.立方根与平方根的异同．

五、作业：

P51习题第1、3、5、6题

课后反思：

第五课时（总第 课时）

主备人： 拟授课时间： 备课组长（签名）： 学习内容：实数(1) 学习目标： 一、知识与技能

了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根，让学生体会一个数的立方根的惟一性，分清一个数的立方根与平方根的区别。 二、过程与方法

了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根. 三、情感态度与价值观

培养学生的探究能力和归纳问题的能力。 学习重点：立方根的概念和求法。 学习难点：立方根与平方根的区别。 学习方法：合作、交流、探究 教学手段：常规 教学步骤： 一、导入新课：

使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， 35

-

，

478

，

911

，

119

，5

9

我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 3 3.0

=

，30.6

5

-

=- ，

47 5.875

8

= ，

9

0.8

111= ，11 1.29= ，

50.59

=

二、新课：

1、 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。无限不循环小数又叫无理数，

3.14159265π=

也是无理数；有理数和无理数统称为实数

?

??

???

????

→?整数有理数

有限小数或无限循环小数实数分数无理数

无限不循环小数

像有理数一样，无理数也有正负之分。

π

是正无理数，

，

-π

-是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类：

?

??

??????

???

???

正有理数正实数正无理数

实数

负有理数负实数负无理数

2、探究 如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′的坐标是多少？

每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数.与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大

数a 的相反数是a -，这里a 表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 3、例1 （1）求下列各数的相反数和绝对值： 2.5，－

7

，5

π

-

，0，3

2

，π－3 （2） 一个数的绝对值是

3

，求这个数。

三、练习：

P56练习1、2 四、小结

1、什么叫做无理数？

2、什么叫做有理数？

3、有理数和数轴上的点一一对应吗？

4、无理数和数轴上的点一一对应吗？

5、实数和数轴上的点一一对应吗？

五、作业：

P57习题第1、2、3题；

课后反思：

第六课时（总第 课时）

主备人： 拟授课时间： 备课组长（签名）： 学习内容：实数(2) 学习目标： 一、知识与技能

知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应。学会比较两个实数的大小；能熟练地进行实数运算 二、过程与方法

在了解实数与数轴的一一对应关系中培养学生的数形结合思想. 三、情感态度与价值观

培养学生的探究能力和归纳问题的能力。 学习重点：实数与数轴上的点一一对应关系。

学习难点：对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解。 学习方法：合作、交流、探究 教学手段：常规 教学步骤：

一、创设情景，导入新课

复习导入：1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律 2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律 3、平方差公式、完全平方公式 4、有理数的混合运算顺序 二、合作交流，解读探究

当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。 1、讨论 下列各式错在哪里？

（1）、2

1

3399339

3

-?÷?

=?÷= （2）2

-

（3）

（4）

、当x

=时，

2

2

2

x

x -=-

2、例2计算下列各式的值：

(

--

例3 计算：（结果精确到0.01）

(

)

1π

+

（） ()

2（在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似的有限小数去代替无理数，再进行计算．） 三、练习：

1、课本P56练习第3题

2、计算2

2

2223-?????

-+-- ? ? ? ???????

四、小结：

1、实数的运算法则及运算律。

2、实数的相反数和绝对值的意义 五、作业：

课本P57习题 第4、5、6、7题；

课后反思：

解：

--

0==

=

加法结合律）

2+

()32=+=分配律）

实 数 复 习

一、知识结构

乘方??

??→←互为逆运算

开方???????→???→?立方根

平方根

开立方开平方

实数

无理数有理数→?

??

二、知识回顾

算术平方根的定义： 平方根的定义： 平方根的性质： 立方根的定义： :Z#xx#https://www.sodocs.net/doc/9f13766116.html,]

练习：1、—8—64 2

a 2)(a = ； 2

a = [

来33

)(a

；

无理数的定义： 实数的定义： 实数与 上的点是一一对应的 练习：1、判断下列说法是否正确： 1.实数不是有理数就是无理数。 （ ） 2.无限小数都是无理数。 （ ） 3.无理数都是无限小数。 （ ）

4.带根号的数都是无理数。 （ ）

5.两个无理数之和一定是无理数。 （ ）

6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来， 数轴上所有的点都表示有理数。 （ ）

7.平面直角坐标系中的点与有序实数对之间是一一对应的。（ ）

2、把下列各数中，有理数为 ；无理数为

3737737773.08509

43

2022

523

3

、、、、、

、

、、、-

--

π(相邻两个3之间的7逐渐

加1个)

三、知识巩固1、x 取何值时，下列各式有意义 （1）

x

-4 ： ；（2）3

4x

+： ；（3）

2

12-+x x ：

2、（1）

4

)

3(92

=-y （2）()01253273

=++x （3）

????

????

???????

????

??

?????????

???_________________________________________________________________________________实数