第六节 泰勒公式与泰勒级数
§7.6 泰勒公式与泰勒级数
教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh ，了解函数的Taylor 级数与 Taylor 展式的关系.
重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法. 难点: 理解泰勒公式的推导方法.
教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：
O 、近似表达函数的多项式的特性 无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数 引例：当x 很小时，1x e x ≈+，设()x f x e =，1()1P x x =+，则
11(0)(0)1,(0)(0)1f P f P ''====
若将2
1222()()1,(0)(0)1,()2
x
x
P x P x x f P P x e
''''=+==换成＋
则与在0x =更为接近.猜想将1()()n P x P x 换成则在0x x =处两函数有
直到n 阶相同的导数，其在0x x =处接近的程度更高，即2
12!
n
x
x
x
e x n ≈++
++
.为用多项式表示更复杂的函数：设有函数
)(x f 在0x x =的某一邻域内有直到1n +阶的导数，令
)(x f ≈0100()()()n
n n P x a a x x a x x =+-++- ，再令 )()(1
I D
x f n +∈,),(0b a I x =∈,
若 ()
()
00()()k k n f x P x =,n k ,,1,0 =.
（(0)
(0)
00()()n f
x P x =表示0k =的函数值相等）则
)(!10)
(x f
k a k k = （n k ,,1,0 =），于是
)(x f ≈0100()()()n
n n P x a a x x a x x =+-++- .
证明：因0100()()()n
n n P x a a x x a x x =+-++- ,
10()()(1)n P x a x x O '=+-,20()2!()(1)n P x a x x O ''=+-…… , ()
0()!()(1)k n
k P x k a x x O =+- …… , ()
()!n n
n P x n a =,
那么 ()
()
00()()!k k n
k f
x P x k a ==,所以 )(!
10)
(x f
k a k k =
,
n k ,,1,0 =.
一、泰勒（Taylor ）公式
在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式
000()()()()f x f x f x x x '≈+- （ 当0x x -很小时，）
从几何上看，这是在点0x 附近用切线的一段近似地代替曲线弧.在 函数改变量的表达式0000()()()()()f x f x f x x x o x x '=+-+-中 略去了一个关于（0x x -）的高阶无穷小量（0x x →时）.但公式 000()()()()f x f x f x x x '≈+-在实际计算中的精度不高，
其误差为 000()()()()()R x f x f x f x x x '=---，可以求出 ()2
00()()(),,2!
f R x x x x x ξξ''=
-∈.
如果需要精度更高些，可将（0x x -）的高阶无穷小分离成两部分
()2
2
0200()()()
o x x a x x o x x -=-+-（0x x →
时）.
保留与20()x x -同阶的无穷小量，略去2
0()x x -的高阶无穷小量， 此时有 2
00020()()()()()f x f x f x x x a x x '≈+-+-，
以此类推，为达到一定精确度的要求，可考虑用n 次多项式()P x 近 似表示()f x ，当0x x -很小时，将多项式()P x 写成以（0x x -） 的方幂展开的形式
2
010200()()()()n
n P x a a x x a x x a x x =+-+-++- ，其中
012,,,a a a 是待定系数.我们知道()P x 具有任意阶的连续导数，将
()P x 的多项式两边求一阶到n 阶导数，并令0x x =可得 ()
0001020(),(),()2!,,()!n n P x a P x a P x a P
x n a '''====
于是()P x 可以写成
2
00000()()()()()()2!
P x P x P x P x x x x x '''=+-+
-+
()
00()
()!
n n
P
x x x n +
-
若函数)(x f 在0x x =的某一邻域内一阶到n 阶的导数都存在，可以
做出一个n 次多项式
2
00000()()()()()()2!
n P x P x P x P x x x x x '''=+-+
-+
()
00()
()!
n n
P
x x x n +
-
()n P x 不一定等于()f x ，但它可以近似表示()f x ，它的近似程度
可以由误差()()()n n R x f x P x =-来确定. 设1
0()()
(1)!
n n k R x x x n +=
-+，如果能确定k 的值，则()n R x 就确定
了.
【定理7.14】（泰勒公式）设()f x 在含有0x 的区间(,)I a b =内 有直到1n +阶的连续导数,则),(b a x ∈?，()f x 可以按（0x x -） 的方幂展开为
()()()
n n f x P x R x =+
)())((!1))(()(00)
(000x R x x x f
n x x x f x f n n
n +-++-'+= .
此式称为按0x x -的幂展开n 阶泰勒公式.其中
1
0)
1()
()!
1()
()(++-+=
n n n x x n f
x R ξ 称为拉格朗日型余项, ξ介于0
x 与
x 之间.
证明：因为()f x 在含有0x 的区间(,)I a b =内有直到1n +阶的连续导数,所以对于0(,)x a b ∈，可将()f x 写成
2
00000()()()()()()2!
f x f x f x f x x x x x '''=+-+
-+
()
1
0001()()()
!
(1)!
n n
n k f
x x x x x n n ++
-+
-+
为求出k 的值，引进辅助函数 2
()()()()()()()2!
f t t f x f t f t x t x t ?'''=----
--
()
1
1()()()
!
(1)!
n n
n k f
t x t x t n n +-
--
-+
显然 0()()0x x ??==，()t ?在区间0[,]x x 上连续（设0x x >）， 在区间0(,)x x 内可导，由罗尔中值定理可知，至少存在一点 0(,)x x ξ∈，使得()0?ξ'=，因为
()()()()[()()()]t f t f t x t f t x t f t ?''''''=------ 2
()[()()()]2!
f t x t f t x t '''''----
(4)
3
2
()
()[()()]3!
2!f t f t x t x t '''---
-- (1)
()
(1)
()
()[
()()
]()!
(1)!
!
n n n
n n
f
t f
t k x t x t x t n n n +----
-+
--
化简整理得 (1)
()()[()]!
n
n x t t k f t n ?+-'=-
所以
(1)
()[()]0!
n
n x k f n ξξ+--=，而 ()0n
x ξ-≠
由 (1)
(1)
()0()n n k f
k f ξξ++-=?=，于是
1
0)
1()
()!
1()
()(++-+=
n n n x x n f
x R ξ，ξ介于0x 与x 之间.
在公式中当00x =时，公式可化为麦克劳林公式 ()
2
(0)(0)
()(0)(0)()2!
!
n n
n f f
f x f f x x x R x n '''=++
++
+
其中 (1)
1
()
()(1)!
n n n f
R x x
n ξ++=
+
或令,01x ξθθ=<<，则 (1)
1
()
()(1)!
n n n f
x R x x
n θ++=
+
另证：不妨设0x x >.令()()()n n R t f t P t =-,10)()(+-=n n x t t G ,由条件知：(连续1n +次使用柯西中值定理可以证明)
],[)(),(0)()(x x C t G t R k n k n ∈,),()(),(0)()(x x D t G t R k n k n ∈, 显然 0)()(0)(0)(==x G x R k n k n , n k ,,1,0 =.那么
)()()()()()()
()()()()()(010111001
0x G G x R R G R x G x G x R x R x x x R n n
n n
n n n n n n n n '-''-'=
''=
--=
-+ξξξξ
)!
1()
()
()()()()
1(1)
1(1)
1(22+=
=
=''''=
+++++n f
G
R G R n n n n
n n n n
n ξξξξξ ,
其中 x x n <<<<=<+1210ξξξξ ，所以 1
0)
1()
()!
1()
()(++-+=
n n n x x n f
x R ξ, ξ介于0x 与x 之间.
例1 求x e x f =)(的n 阶麦克劳林公式. 解 因x
k e x f
=)()
(,1)0(0
)
(==e f k ,1,,1,0+=n k ，那么
1
)
1()
()!
1()
()0(!
1)0()0()(+++++
+'+==n n n
n x
x
n x f
x f n x f f x f e θ
1
2
)!
1(!
1!
211+++
+
++
+=n x
n
x
n e
x n x x θ ,10<<θ.
例2 求x x f sin )(=的n 阶麦克劳林公式. 解 因)2
sin()()
(πk x x f k +
=, )2
sin(
)0()
(πk f
k =.
有
(0)0,(0)1,(0)0,(0)1,f f f f ''''''====- 0)0()
2(=k f ,
(21)
(0)(1)k k
f
+=- ,0,1,2k = ，那么
sin ()
x f x = (21)
()
21
1
()
(0)(0)(0)!
(21)!
n n n
n f
x f f x f
x x
n n θ++'=++++
+
3
5
21
2()3!
5!
(21)!
n n x
x
x
x R x n -=-
+
-+
+- ,(或21()n R x +都可以)
其中：212sin[(21)
]
2()(21)!
n n x n R x x n π
θ+++=
+,10<<θ.
特别地：1n =时，x x ≈sin , !
3||||3
2x R ≤； 2n =时，!
3sin 3
x x x -≈, !
5||||5
4x R ≤； 3n =时，!
5!3sin 5
3
x
x
x x +-
≈, !
6||||6
6x R ≤
.
例3 按(4)x -的乘幂展开多项式432()523f x x x x x =-+-.
解 32
4(4)60,(4)(41523)|21,x f f x x x ='=-=-+-= 2
44(4)(12302)|74,(4)(2430)|66,x x f x x f x ==''''=-+==-=
(5)
(4)24,()0,()0n f f
x R x '''===,
所以 432()(4)11(4)37(4)21(4)60f x x x x x =-+-+-+--. 二、泰勒级数
1.通过前面的学习我们知道，级数在其收敛域内一定有和函数. 由泰勒公式的学习知道，我们可以用多项式近似表示函数.现在我们想知道函数是否一定可以展开为幂级数，需不需要附加条件？
2.问题：已知函数有
1,(1)1n
n x
x x
∞
==
<-∑收敛域
)11()
1()1ln(1
1
≤<--=
+∑∞
=-x n
x
x n n
n .
问：(1) 对于一般的函数)(x f 是否也有n
n n
x x a
x f )()(00
-=
∑∞
=？
(2) 如果能展开,项的系数n a 如何确定? (3) 展开式是否唯一?
(4) 在什么条件下函数才能展开成幂级数?
3.【定理】（TaylorTh ）: 设)(x f 在),(0δx U 内具有任意阶导
数, 则在
)
,(0δx U 内n
n n x x n x f
x f )(!
)
()(00
0)
(-=
∑
∞
=
?0)(lim =∞
→x R n n .
其中)(x R n 为)(x f 的拉格朗日型余项 1
0)
1()
()!
1()
()(++-+=
n n n x x n f
x R ξ.
证明 由于 ()
000
()
()()()()()!
n n
n
n n n n f
x f x x x R x P x R x n ==
-+=+∑
.
所以等式两边取极限 ()
000
()
()()lim ()
!
n n
n n n f
x f x x x P x n ∞
→∞
==
-=∑
?lim ()lim[()()]0n n n n R x f x P x →∞
→∞
=-=, ),(0δx U x ∈.
4．函数)(x f 在点0x x =有泰勒展式?)(x f 在),(0δx U 有任意阶导数且0)(lim =∞
→x R n n .
注意：1）函数在一点处可以展开为Taylor 级数时，其展式是唯一
的. 因为泰勒系数
()
0()
!
n f
x n （0,1,2,n = ）是唯一的.
2）n
n n x x n x f
)(!
)
(00
0)
(-∑
∞
=为 )(x f 在0x x =点的Taylor 级
数，等式n
n n
x x a
x f )()(00
-=
∑∞
=在0)(lim =∞
→x R n n 时成立，
称为函数的Taylor 展式.
5．泰勒级数与麦克劳林级数
设)(x f 在0x x =点具有任意阶导数，则称
(1) n
n n x x n x f
)(!
)
(00
0)
(-∑
∞
=为)(x f 在点0x 的泰勒级数,
记作 n
n n x x n x f
x f )(!
)
(~
)(00
0)
(-∑
∞
=.
(2) n
n n x n f
∑
∞
=0
)
(!
)
0(称为)(x f 的麦克劳林级数,
记作 n
n n x n f
x f ∑
∞
=0
)
(!
)
0(~
)(. )0(0=x
注意问题: )(x f 在0x x =点具有任意阶导数，那么
级数n
n n x x n x f
)(!
)
(00
0)
(-∑
∞
=在收敛区间内是否收敛于)(x f ？
例: ?????=≠=-.
0,0,0,
)(21x x e x f x
在0=x 点任意可导,且 ,1,0,0)0()
(==n f
n ,
于是~)(x f =
∑
∞
=n
n n x n f 0)
(!
)0(000
=?∑∞
=n n
x
,+∞<<∞-x
显然≠
)(x f 0!)
0(0
)
(=∑
∞
=n
n n x n f
, 0≠x .
结论：当级数n
n n x x n x f )(!
)
(00
0)
(-∑
∞
=收敛于)(x f 时，即
0)(lim =∞
→x R n n 时有泰勒展式.
小结：1.函数()f x 在点0x x =的泰勒公式为
()
000
()
()()()
!
k n
k
n k f
x f x x x R x k ==
-+∑
(1)
1
0()
()()
(1)!
n n n f
R x x x n ξ++=
-+其中余项为
, ξ介于0x 与x 之间
公式成立的条件是:()f x 在点0x x =的邻域内有直到1n +阶的导数.
2. 函数()f x 在点0x x =的泰勒展式为n
n n x x n x f
x f )(!
)
()(00
0)
(-=∑
∞
= ，
其系数()
0()
!
n n f
x a n =
为泰勒系数.当00x =时，()f x 的上述展式为麦
克劳林展式.注意：函数在一点的泰勒展式唯一.
泰勒定理成立的条件是:()f x 在点0x x =邻域内的各阶导数存在且
lim ()0n n R x →∞
=.
3．在近似计算中先要写出函数的级数表示式，再取n 的特殊值即可得 到所要近似值.
课后记：存在问题：不能区分泰勒公式与泰勒级数.
常用泰勒公式
简介 在数学上, 一个定义在开区间(a-r, a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数 这里，n!表示n的阶乘而f(n)(a) 表示函数f在点a处的n阶导数。如果泰勒级数对于区间(a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。 如果a = 0, 那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。 泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。 对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数f(x) = exp(?1/x2) 当x≠ 0 且f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x = 0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时 exp(?1/z2) 并不趋于零。 一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，f(x) = exp(?1/x2) 就可以被展开为一个洛朗级数。 Parker-Sockacki theorem是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。这个定理是对Picard iterati on一个推广。 [编辑]
些常用函数及其泰勒展开式的图像
图 1 )exp(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y
图 2 )sin(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y
图 3 )cos(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y
一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像
其中， 。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y
其中， 。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y
其中， 。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y
其中， 。 4 32)(; 3 2)(; 2 )(; )();1ln(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-====+= -1 -0.50 0.51 1.52 -3-2 -1 1 2 3 Figure 4 y=ln(x) and its Taylor expansion equation X Y
常见泰勒公式展开式
泰勒公式 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。 泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容历史发展 泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。 18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook T aylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。1772年，拉格朗日强调了泰勒公式的重要性，称其为微分学基本定理，但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性，这个工作直到19世纪20年代，才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都
可以展开成幂级数，因此，人们称泰勒为有限差分理论的奠基者。 泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。
常用的泰勒公式
常用的泰勒公式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞ 泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n) (x.)/n!?(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以 A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n) (x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得： P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n. 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有 Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n) (x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n- 0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但 Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项 Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。 麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),这里0<θ<1。 证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1) 麦克劳林公式: 麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。 麦克劳林简介： 麦克劳林,Maclaurin(1698-1746), 是18世纪英国最具有影响的数学家之一。 1719年Maclaurin在访问伦敦时见到了Newton，从此便成为了Newton的门生。 1742年撰写名著《流数论》,是最早为Newton流数方法做出了系统逻辑阐述的著作。他以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数学说，还把级数作为求积分的方法，并独立于Cauchy以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法。他得到数学分析中著名的Maclaurin 级数展开式，并用待定系数法给予证明。 他在代数学中的主要贡献是在《代数论》（1748，遗著）中，创立了用行列式的方法求解多个未知数联立线性方程组。但书中记叙法不太好，后来由另一位数学家Cramer又重新发现了这个法则，所以被称为Cramer法则。 Maclaurin的其他论述涉及到天文学，地图测绘学以及保险统计等学科，都取得了很多创造性的成果。 Maclaurin终生不忘牛顿Newton对他的栽培，死后在他的墓碑上刻有“曾蒙Newton的推荐”以表达他对Newton的感激之情。 麦克劳林公式展开式： 泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。 若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式： 其中，表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。 常用bai泰勒展开公式如下： 1、due^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……zhi+x^n/n!+…… 2、daoln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) 3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞ 9、cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞ 常用的泰勒公式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 常用的泰勒公式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k- 1)!+……。(-∞ 函数的幂级数展开式 通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题： 问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数 ； 问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数c n(n=0,1,2,3,…)怎样确定？ 下面我们就来学习这两个问题。 泰勒级数我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成 这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数c n与f(x)应有怎样的关系。 由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。得： ， ， ……………………………………………… ， ……………………………………………… 在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得： 把这些所求的系数代入得： 该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数. 关于泰勒级数的问题 上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f(x)在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。 问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于f(x)？ 函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差 是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f(x)在x=a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式. 泰勒定理 设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c 在a与x之间，使得： 此公式也被称为泰勒公式。(在此不加以证明） 在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成： 其中c在0与x之间, 此式子被称为麦克劳林公式。 函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式. 即： 几种初等函数的麦克劳林的展开式 1.指数函数e x 2.正弦函数的展开式 泰勒公式及其应用 摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用 一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1() (++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数， 该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''= n n a n x p !)(0) (=，所以有! )(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000-++-''+ -'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0) (000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得： h i n g s i n t h r b e i a r g o 常用的泰勒公式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞ 麦克劳林公式展开式 麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。 麦克劳林简介 麦克劳林,Maclaurin(1698-1746), 是18世纪英国最具有影响的数学家之一。 1719年Maclaurin在访问伦敦时见到了Newton，从此便成为了Newton的门生。 1742年撰写名著《流数论》,是最早为Newton流数方法做出了系统逻辑阐述的著作。他以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数学说，还把级数作为求积分的方法，并独立于Cauchy以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法。他得到数学分析中著名的Maclaurin级数展开式，并用待定系数法给予证明。 他在代数学中的主要贡献是在《代数论》（1748，遗著）中，创立了用行列式的方法求解多个未知数联立线性方程组。但书中记叙法不太好，后来由另一位数学家Cramer又重新发现了这个法则，所以被称为Cramer法则。 Maclaurin的其他论述涉及到天文学，地图测绘学以及保险统计等学科，都取得了很多创造性的成果。 Maclaurin终生不忘牛顿Newton对他的栽培，死后在他的墓碑上刻有“曾蒙Newton的推荐”以表达他对Newton的感激之情。 麦克劳林bai级数”是“泰勒级数”的du特殊形式，是展开zhi 位置为0的泰勒dao级数）。 一阶导数，系数=1/(x+1)=1/(1+x0)。二阶导数，系数=-1/(1+x)^2=-1/(1+x0)^2 数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。 一些常用的泰勒公式 作者：余世明 单位：星茂装饰有限公司 摘要：一些常用的泰勒公式 关键字：泰勒公式 前切点泰勒公式 后切点泰勒公式 中间切点泰勒公式 城市：上海 邮政编码：200011 中图分类号:O17 title: Some common Taylor formulas author: Yu Shiming company: Xinmao Decoration company city: Shanghai postcode: 200011 digest: Some common Taylor formulas 正文： 很容易推导下面的公式： K --+---=?3)2(2)1()(!3)()(!2)())(()(c x x f c x x f c x x f dx x f 1 由此可以通过牛顿莱布尼兹公式得到一下公式： Λ----+ -------=?])(!3)()(!3)([])(!2)()(!2)([)])(())(([)(3)2(3)2(2)1(2)1(c a a f c b b f c a a f c b b f c a a f c b b f dx x f b a 2 当 c=a 公式 2 为： Λ--+---=? 3)2(2)1()(!3)()(!2)())(()(a b b f a b b f a b b f dx x f b a 3 当 c=b 公式 2 为： Λ+-+-+-=?3)2(2)1()(! 3)()(!2)())(()(a b a f a b a f a b a f dx x f b a 4 当 c=0 公式 2 为： Λ--+---=?]!3)(!3)([]!2)(!2)([])()([)(3)2(3)2(2)1(2)1(a a f b b f a a f b b f a a f b b f dx x f b a 5 还可以利用以下公式，前半部分用公式4，后半部分用公式3： ???+=c a b c b a dx x f dx x f dx x f )()()( 6 或者可以利用以下公式进行积分： Λ+-+-+-+=3!3)(2!2)()1()()())(()()()3()2(c x c x c x c f c f x f c f c f 积分得到公式如下： Λ+-+-+-+=?????dx c x dx c x dx c x c f dx c f dx x f b a c f b a c f b a b a b a 3!3) (2!2)()1()()()()()()()3()2( 泰勒级数展开若干方法 何琼（绍兴文理学院 数学系，浙江 绍兴 312000） 摘要： 泰勒级数的各项是由结构简单、性质明了的幂函数组成．把一个函数展开成泰勒级数或幂级数， 有着广泛的应用．本文对泰勒级数的若干展开方法进行探究、综述，有助于我们对这部分知识的深入理解． 关键词： 泰勒级数；幂级数；余项 §１ 引言 泰勒级数是数学分析中级数部分的重要内容，其主要内容包括两个方面：（１）幂 级数的收敛理论；（２）如何把一个函数展开成泰勒级数．本文是对后者进行较全面的归纳和总结．我们知道把一个函数展开成泰勒级数的方法大致上可分为两类，即直接展开法和间接展开法．直接展开法可按下列步骤进行： 第一步：求出函数的各阶导数;),(),("),(') (L L x f x f x f n 第二步：求函数?(χ)及其各阶导数在),(0x f ;),(),("),('0) (00L L x f x f x f n 第三步：写出泰勒级数 L L +?++?+ ?+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(! )()(!2)("))((')(00)(2 00000 第四步：考察余项)(x R n 在0x 的某一领域)(0x U 内极限是否为零. 按照Taylor 定理，直接展开法是一种基本的方法，但有时是比较繁杂的方法，实际应用 中通常利用间接展开法. 1 代换法 这种方法的特点是：进行适当变量替换使得被展函数符合某个已知泰勒展开式．这是一种在实际应用中被广泛使用的间接展开法． 例1 求x e 处1=x 的泰勒级数 解 已知t e 在0=t 处的泰勒级数为 L L +++++=! !212n t t t e n t ， ),(+∞?∞∈x 而 11 1?+??==x x x e e e e 设1?=x t 代入（1）得 ∑∞ =?=0 !)1(n n x n x e e ， ),(+∞?∞∈x 2 等比级数求和法 利用公式 L L +++++=?n x x x x 2111 由于本公式应用广泛，所以专列一条. 常用十个泰勒展开公式 常用泰勒展开公式如下:1、e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+…….(- ∞ 阶导数)泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数。 在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。 泰勒公式还对于此处，这里o(x^5)和o(x^6)都是可以的∵sinx继续往后展开的次数为x^7∴可以写o(x^5)，也可以写o(x^6)但是写o(x^6)对这个无穷小的阶更准确通常的展开是分别按x，x，x，..展开的∴如果展开到x^n，那么后面一般就写o(x^n)就可以了 §7.6 泰勒公式与泰勒级数 教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh ，了解函数的Taylor 级数与 Taylor 展式的关系. 重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法. 难点: 理解泰勒公式的推导方法. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： O 、近似表达函数的多项式的特性 无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数 引例：当x 很小时，1x e x ≈+，设()x f x e =，1()1P x x =+，则 11(0)(0)1,(0)(0)1f P f P ''==== 若将2 1222()()1,(0)(0)1,()2 x x P x P x x f P P x e ''''=+==换成＋ 则与在0x =更为接近.猜想将1()()n P x P x 换成则在0x x =处两函数有 直到n 阶相同的导数，其在0x x =处接近的程度更高，即2 12! n x x x e x n ≈++ ++ .为用多项式表示更复杂的函数：设有函数 )(x f 在0x x =的某一邻域内有直到1n +阶的导数，令 )(x f ≈0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++- ，再令 )()(1 I D x f n +∈,),(0b a I x =∈, 若 () () 00()()k k n f x P x =,n k ,,1,0 =. （(0) (0) 00()()n f x P x =表示0k =的函数值相等）则 )(!10) (x f k a k k = （n k ,,1,0 =），于是 )(x f ≈0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++- . 证明：因0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++- , 10()()(1)n P x a x x O '=+-,20()2!()(1)n P x a x x O ''=+-…… , () 0()!()(1)k n k P x k a x x O =+- …… , () ()!n n n P x n a =, 泰勒公式及其应用 常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还 较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。 上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。 将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态——如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。 【问题一】 设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的次多项式 近似 【二】 若一的解存在，其差的表达式是什么一、【求解问题一】 一的求解就是确定多式的系数。 ????? 上述工整且有律的求系数程，不出： 于是，所求的多项式为： (2) 二、【解决问题二】 泰勒 (Tayler)中值定理 若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成 这里是与之间的某个值。 先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路： 这表明： 只要对函数之间反复使用 及在与次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。 【证明】 以与为端点的区间函数 或记为在上 具有直至 ，。 阶的导数， 且 函数在上有直至阶的非零导数， 且 于是，对函数及在上反复使用次柯西中值定理，有 三、几个概念 1、 此式称为函数按的幂次展开到阶的泰勒公式； 或者称之为函数在点处的阶泰勒展开式。 当时，泰勒公式变为 这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。 为拉格朗日余项。 2、对固定的，若 有 常用十个泰勒展开公式 泰勒公式，泰勒公式[1]真的非常有名，我相信上过高数课的一定都记得它的大名。即使你翘掉了所有的课，也一定会在考前重点里见过。 我对它的第一映像就是比较难，而且感觉没有太多意思，就是一个近似的函数而已。最近重温了一下有了一些新的心得，希望尽我所能讲解清楚。 泰勒公式的用途 在看具体的公式和证明之前，我们先来了解一下它的用途，然后带着对用途的理解再去思考它出现的背景以及原理会容易许多。这也是我自学这么久总结出来的规律。 泰勒公式本质解决的是近似的问题，比如说我们有一个看起来很复杂的方程，我们直接计算方程本身的值可能非常麻烦。所以我们希望能够找到一个近似的方法来获得一个足够近似的值。 从这里，我们得到了两个重点，一个是近似的方法，另一个是近似的精度。我们既需要找到合适的方法来近似，同时也需要保证近似的精度是可控的。否则一切都没有意义，结合实际其实很好理解，比如我们用机床造一个零件。我们都知道世界上不存在完美的圆，实际上我们也并不需要完美，但是我们需要保证偏差是可控的，并且在一定的范围内。泰勒公式也是一样，它既可以帮助我们完成近似，也可以保证得到的结果是足够精确的。 泰勒公式的定义 我们下面来看看泰勒公式的定义，我们已经知道了它的用途是求一个函数的近似值。但是我们怎么来求呢，其实一个比较朴素的思路是通过斜率逼近。 举个例子： 这是一张经典的导数图，从上图我们可以看到，随着Δx的减小，点P0 和P 也会越来越接近，这就带来了Δy 越来越接近Δx f'(x0)。 当然，当Δx 比较大的时候显然误差就会比较大，为了缩小误差，我们可以引入二阶导数、三阶导数以及高阶导数。由于我们并不知道函数究竟可以有多少阶导数，我们不妨假设f(x)在区间内一直有(n+1)阶导数，我们试着写出一个多项式来逼近原函数： 我们希望这个式子与原值的误差越小越好，究竟要多小才算足够好呢？数学家们给出了定义，希望它是 实验六：泰勒展开式的计算 1、实验目的: 介绍使用Mathmatica 进行泰勒展开的方法，从不同角度对泰勒展式进行观察和讨论，着重对泰勒余项的误差分析，使学生理解展开位置0x 和展开阶数n 对计算误差的影响，研究泰勒展式的应用 2、实验指导: 一、 级数 1． 求和与求积 求有限或无穷和、积的函数是： Sum[f ，{i ，imin ，imax}] 求 ∑ =max min )(i i i i f ，其中imin 可以是-∞，imax 可以是∞（即+∞），但是必须满足imin ≤imax 。基本输入模板中也有求和专用的符号，使用模板输入更方便。 Sum[f ，{i ，imin ，imax}，{j ，jmin ，jmax}，…] 求多重和，也可以使用基本输入模板连续多次输入求和符号得到。 Product[f ，{i ，imin ，imax}] 求 ∏ =max min )(i i i i f ，基本输入 模板中也有求积符号。 Product[f ，{i ，imin ，imax}，{j ，jmin ，jmax}，…] 求多重积 ，也可以使用基本输入模板连续多次输入求积符号得到。 例1 求下列级数的和与积： （1）∑=n k k 1 2 ，（2） ∑ ∞ =1 2 1k k ，（3） ∑ ∞ =1 1k k ，（4） ∏ ∞ =1 1 2 k k e 。 解：In[1]：=Sum[k^2，{k ，1，n}] Out[1]= )21)(1(6 1n n n ++ In[2]：=∑∞ =1 2^/1k k Out[2]= 6 2 π In[3]：=∑∞ =1 /1k k Sum ：：div ：Sum does not converge. Out[3]=∑ ∞ =1 1k k证明泰勒公式
麦克劳林公式展开式
常用十个泰勒展开公式
常用的泰勒公式
泰勒展开式
泰勒公式的应用
常用的泰勒公式
麦克劳林公式展开式
一些常用的泰勒公式
泰勒级数展开
常用十个泰勒展开公式
第六节 泰勒公式与泰勒级数
泰勒公式及其应用典型例题.docx
常用十个泰勒展开公式
泰勒展开式的计算