复利现值终值年金现值终值公式实例

某投资项目预测的净现金流量见下表（万元） ，设资金基本贴现率为 10%，则该项目的净现金值为（）万元

解：

本例因为涉及到年金当中的递延年金， 所以将年金系列一起先介 绍，然后解题

年金 ，是指一定时期内每次等额收付款的系列款项， 通常记作 A 如保险费、养老金、折旧、租金、等额分期收款、等额分期付款以及 零存整取或整存零取储蓄等等。 年金按每次收付发生的时点不同， 可

分为普通年金、即付年金、递延年金、永续年金等。结合本例，先介 绍普通年金与递延年金，其他的在后面介绍。

一、普通年金 ，是指从第一期起，在一定时期内 每期期末 等额发生的 系列收付款项，又称后付年金。

1. 普通年金现值公式为 ：

式中的分式 1 （1 i ） 称作“年金现值系数”，记为（P/A ，i ，n ）， i

可通过直接查阅 “1 元年金现值表” 求得有关的数值， 上式也可写作：

P=A （P/A ，i ，n ）

. 2.例子： 租入某设备，每年年末需要支付租金 120 元，年复利利

P A (1 i) A (1 i) 2 A (1 i) (n 1) A (1 i) n 1 (1 i)

率为 10%，则 5 年内应支付的租金总额的现值为：

P A 1 (1 i) 120 1 (1 10%) 120 3.7908 455

(元)

i 10% 二、递延年金 ，是指第一次收付款发生时间 与第一期无关 ，而隔若干 期(假设为 s 期， s ≥1)，后才开始发生的系列等额收付款项。它是 普通年金的特殊形式，凡不是从第一期开始的年金都是递延年金。

1.递延年金现值公式为 ：

P A 1 (1 i) n 1 (1 i) s

ii 或

P A 1 (1 i) (n s) (1 i) i 期的普通年金现值 ，即得递延年金的现值，

公式( 2)是先将些递延年金视为 (n-s)期普通年金，求出在第 s 期的现值，然后再折算为第零期的现值。

2. 例子：某人在年初存入一笔资金， 存满 5年后每年年末取出 1000 元，至第 10 年末取完，银行存款利率为 10%。则此人应在最初一次

存入银行的钱数为：

方法

=1000× (6.1446-3.7908≈) 2354(元)

A (P/A,i,n) (P/ A,i,s) 1) A (P/ A,i,n s) (P/F,i,s) 2) 上述( 1)公式是先 计算出 期的普通年金现值，然后减去前 s PA

1 (1 i) n 1 (1 i ) s A (P/A,i,n) (P/ A,i,s)

1000 1 (1 10%) 10 1 (1 10%) 5

10% 10%

1000 (P/ A,10%,10) (P/ A,10%,5)

方法二： 是先将些递延年金视为 (n-s)期普通年金，求出在第 s 期

的现值，然后再折算为第零期的现值。

=1000×3.7908×0.6209≈2354(元)

三、本例的分析及解答：

从表中可以看出，现金流量是每年年末的净现金流量，从第 2 年 开始到第 10 年，每年年末的净现金流量相等，这符合递延年金的定 义，那么从第 2 年到第 10 年的每年年末的净现金流量的现值要按递 延年金来计算。第 0年的年末净现金流量为－ 500，说明是第 1 年年 初一次性投入 500万元，第 1 年年末的净现金流量为 60万元，按复 利现值的公式来计算。从本例中，建设期为 0 年，经营期为 10 年，

年利率为 10%，那么本例的投资的净现值计算为：

100 1 (1 10%) (1 10%) 1

500 i 60 ( P / F ,10 %,1) 100 (P/

A,10%,10 1) (P / F ,10%,1) 500

=60 × 0.9091+100× 5.7590× 0.9091-500= 578.09669-500≈ 78.09669(万元) A 1 (1 i) (ns)

(1 i) s A (P/ A,i,n s) (P/F,i,s)

1000 1 (1 10%)

(10 5)

i (1 10%) 10 (P/ A,10%,10 5) (P/ F,10%,5)

NPV N t t 1 (1 R)t n

t 1 (1 P

t

R)t1

60 (1 10%)

四、其他年金

㈠普通年金

1.终值公式为：

(1 i) n 1

i

式中的分式（1 i） 1称作“年金终值系数”，记作为（F/A ，i，n），

i

可通过直接查阅“1 元年金终值表” 求得有关的数值，上式也可写作：

F=A （F/A ，i，n）

例：假设某项目在5 年建设期内每年年末从银行垡100 万元，借款年利率为10%，则该项目竣工时就付本息的总额为：

5

F 100 （1 10%） 1＝100×（F/A ，10%，5）=100× 6.1051=610.51

10%

（万元）

2.年偿债基金的计算（已知年金终值，求年金A ）

偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或者积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。它的计算实际上是年金终值的逆运算。

i

(1 i) n 1

式中的分式i n 称作“偿债基金系数” ，记为（A/F ，i，n），（1 i）n 1

可通过直接查阅“偿债基金系统表” 或通过年金终值系数的倒数推算出来，上式也可写作：A=F（A/F ，i，n）或者A=F[1/ （F/A ，i，n）] 例：假设某企业有一笔4 年后到期的借款，到期值为1000万元。

若存款年复利率为10%，则为偿还该借款应建立的偿债基金应为：

10%

或 A=1000× [1/（F/A ，10%，4）]=1000×（1/4.6410）

=215.4（万元）

3. 年资本回收额的计算（已知年金现值 P ，求年金 A ）

式中的分式 i

n 称作“资本回收系数” 记为记为（A/P ，i ，n ）， 1 （1 i ）

可通过直接查阅 “资本回收系统表” 或通过年金现值系数的倒数推算 出来，上式也可写作： A=P （A/P ，i ，n ）或者 A=P[1/ （P/A ，i ，n ）] 例：某企业现在借得 1000万元的贷款，在 10 年内以年利率 12% 等额偿还，则每年应付的金额为：

12%

A 1000 12% 10 =1000×0.1770=177（万元）

1 （1 12%） 10

或 A=1000×[1/ （ P/A ，12%，10）]=1000×（1/5.6502）=177（万 元）

㈡即付年金 即付年金，是指从第一期起，在一定时期内每期期初等额收付的 系列款项，又称先付年金， 它与普通年金的区别仅在于付款时间的不 同。

1.由于付款时间的不同， n 期即付年金终值比 n 期普通年金的终值 多计算一期利息。 因此，在 n 期普通年金终值的基础上乘上 （1+i ）就是 n 期即付年金的终值。

（1 i ）n 1 （1 i ） n 1

1

F A （1 i ） A 1

ii 1000

(1 10%) 4 =1000× 0.2154＝ 215.4(万元)

1 (1 i)

式中 （1 i ） 1 1 称作“即付年金终值系数” ，它是在普通年金终

i

值系数的基础上，期数加 1，系数值减 1所得的结果。通常记为

（［ F/A ， i ，n+1 ）-1］，这样，通过查阅“一元年金终值表”得到 n+1 期的值， 然后减去 1 便可得对应的即付年金终值系数的值。上式也可写作： F=A ［ （F/A ，i ，n+1）-1］

例：某公司决定连续 5 年于每年年初存入 100万元作为住房基

金， 银行存款利率为 10%。则该公司在第 5 年末能一次取出本利和为：

F= A[ (F/A ，i ，n+1)-1]

=100×［（F/A ，10%，5+1）-1］

=100×（7.7156-1）=672（万元）

2.由于付款时间的不同， n 期即付年金现值比 n 期普通年金的现值 少折现一期。因此，在 n 期普通年金现值的基础上乘上 （1+i ）就是 n 期

即付年金的现值

式中 1 （1 i ） 1 称作“即付年金现值系数” ，它是在普通年金 i 现值系数的基础上，期数减 1，系数值加 1 所得的结果。通常记为 ［（P/A ，i ，n-1） +1］，这样，通过查阅“一元年金现值表”得到 n-1 期的值，然后加上 1 便可得对应的即付年金现值系数的值。 上式也可 写作：P=A ［（P/A ，i ，n-1）+1］

㈢永续年金

P A 1 (1 i) (1 i) A

i 1 (1 i) ( n 1)

永续年金，是指无限期等额收付的特种年金，可视为普通年金的

特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。存本取息可视为永续年金的例子。也可将利率较高、持续期限较长的年金视同永续年金。

由于永续年金持续期无限，没有终止时间，因此没有终值，只有现值。公式为：

1 t 1 (1 i)t

例：某人持有的某公司优先股，每年每股股利为2 元，若此人想

长期持有，在利率为10%的情况下，请对该股票投资进行估价。

这是一个求永续年金现值的问题，即假设该优先股每年股利固定

且持续较长时期，计算出这些股利的现值之和，即为该股票的估价。

P=A/i=2/10%=20 (元) 五、名义利率与实际利率的换算

当每年复利次数超过一次时，这样的年利率叫做名义利率，而每

年只复利一次的利率才是实际利率。

公式：i=(1+r/m) m-1

式中：i 为实际利率，r 为名义利率，m 为每年复利次数。

例：某企业于年初存入10 万元，在年利率为10%，半年复利一次的情况下，到第10 年末，该企业能得到多少本利和？

依题意，P=10，r=10%，m=2，n=10

则：i=(1+r/m) m-1= i=(1+10%/2) 2-1=10.25%

F=P(1+i)n=10×(1+10.25%)10=26.53(万元)

这种方法的缺点是调整后的实际利率往往带有小数点，不便于查表。可以把利率变为r/m ，期数相应变为m× n，则有：

F=P(1+r/m) m ×n =10×(1+10%/2)20=10×(F/P,5%,20)=26.53(万元)

n 期普通年金的终值为：

复利终值公式； F=P(1+i) n

现值公式： P=F/(1+i) n = p=s/(1+i)^n=s*(1+i)^- n 普通年金终值公式 ：

F A (1 i)n

1 i

现值公式 ：

即付年金 的终值。

现值。

递延年金现值公式为 ：

终值计算方法 与普通年金终值计算方法相同。即递延 m 期之后的

1

P A (1 i) 1 A (1 i) 2 A (1 i) (n 1) A (1 i)

A 1 (1 i)

n i F A (1 i)n 1(1 i) i (1 i)n 1 1

i

P A 1 (1 i) n (1 i i) 1 (1 i)

i

(n 1)

PA 1

(1 i i) 1 (1 i) s

i

A (P/ A,i,n) (P/A,i,s)

P A 1 (1 i) (n s) (1 i) s

i A (P/ A,i,n s) (P/F,i,s)

永续年金持续期无限，没有终止时间，因此没有终值，只有现值现值公式

为：P A 1t A t 1 (1 i) t i