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马尔可夫链预测方法

一、基于绝对分布的马尔可夫链预测方法

对于一列相依的随机变量，用步长为一的马尔可夫链模型和初始分布推算出未来时段的绝对分布来做预测分析方法，称为“基于绝对分布的马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“ADMCP 法”。其具体方法步骤如下:

1．计算指标值序列均值x ，均方差s ，建立指标值的分级标准，即确定马尔可夫链的状态空间I ，这可根据资料序列的长短及具体间题的要求进行。例如，可用样本均方差为标准，将指标值分级，确定马尔可夫链的状态空间 I =[1, 2，…，m ]；

2．按步骤1所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态；

3．对步骤2所得的结果进行统计计算，可得马尔可夫链的一步转移概率矩阵1P ，它决定了指标值状态转移过程的概率法则；

4．进行“马氏性” 检验；

5．若以第1时段作为基期，该时段的指标值属于状态i ，则可认为初始分布为

(0)(0,,0,1,0,0)P =

这里P (0)是一个单位行向量，它的第i 个分量为1，其余分量全为0。于是第2时段的绝对分布为

1(1)(0)P P P =12((1),(1),,(1))m p p p =

则第2时段的预测状态j 满足：(1)max{(1),}j i p p i I =∈；

同样预测第k ＋1时段的状态，则有

1()(0)k P k P P =12((),(),,())m p k p k p k =

得到所预测的状态j 满足:

()max{(),}j i p k p k i I =∈

6．进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。

二、叠加马尔可夫链预测方法

对于一列相依的随机变量，利用各种步长的马尔可夫链求得的绝对分布叠加来做预测分析，的方法，称为“叠加马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“SPMCP 法’。其具体方法步骤如下:

1) 计算指标值序列均值x ，均方差s ，建立指标值的分级标准(相当于确定马尔可夫链的状态空间)，可根据资料序列的长短及具体问题的要求进行；

2) 按1)所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态；

3) 对2)所得的结果进行统计，可得不同滞时(步长)的马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了指标值状态转移过程的概率法则；

4) 马氏性检验；

5) 分别以前面若干时段的指标值为初始状态，结合其相应的各步转移概率矩阵即可预测出该时段指标值的状态概率

(6)将同一状态的各预测概率求和作为指标值处于该状态的预测概率，即

,所对应的i 即为该时段指标值的预测状态。待该时段的指标值确定之后，将其加

入到原序列之中，再重复步骤"(1)一(6)"，可进行下时段指标值状态的预测。

(7)可进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。

马尔可夫预测

4.6 马尔可夫预测 4.6.1 马尔可夫预测法分析概述马尔可夫是俄国著名的数学家，马尔可夫过程是以马尔可夫名字命名的一种特殊的描述事物发展过程的方法。马尔可夫过程主要用于对企业产品的市场占有率的预测。众所周知，事物的发展状态总是随着时间的推移而不断地变化的。对于有些事物的发展,需要综合考察其过去与现在的状态，才能预测未来。但有些事物的发展，只要知道现在状态,就可以预测将来的状态而不需要知道事物的过去状态。例如，在下中国象棋时，一个棋子下一步应该怎样走，只与它当前的位置有关，而不需要知道它以前处于什么位置，也不需要知道它是怎么走到当前位置的。这种与过去的取值无关，称为无后效性。这种无后效性的事物的发展过程，就称为马尔可夫过程。 1.一步转移概率与转移概率矩阵如果变量的状态是可数的，假设有N个，那么从状态i经一步转移到j,都有发生的可能，我们称Pij为一步转移概率。将这些依序排列起来构成的一个矩阵，叫做转移概率矩阵：转移概率矩阵具有下述性质; (1)矩阵每个元素均非负； (2)矩阵每行元素之各等于1. 2.多步转移概率与转移概率矩阵在一步转移概率概念的基础上，可导出多步转移概率。若系统在时刻T0处于状态i,经过n步转移，在时刻Tn时处于状态j,这种转移的可能性的数量指标称为n步转移概率，记为P（Xn=j|X0=i）=Pij(n)。n步转移概率矩阵记为

经过计算，可以得到一个有用的结论：同时,n步转移概率同一步转移概率一样具有下列性质; 2.4.2市场占有率预测分析 1.市场占有率预测分析概述在市场经济条件下，各企业都十分重视扩大自身产品的市场占有率。因此，预测企业产品市场占有率，也就成为企业十分关心的问题。市场占有率是指在一定地理范围内，某一类商品因为具有相同的用途或性质而相互竞争，那么在这类商品的整个销售市场上，每一种品牌的产品的销售额（销量）点该类商品总销售额（销量）的份额即为该品牌商品的市场占有率。 2.市场占有率预测分析的基本市场占有率预测分析的基本步骤如下:假设该地区市场上有三种同类商品。 (1)调查目前市场占有率情况，得到市场占有率向量A 首先，通过抽样调查，了解目前市场占有率情况。根据调查结果，构建市场占有率向量A。则A=（P1 , P2 ,P3） (2)调查消费者的变动情况，计算转移概率矩阵P 通过合理的消费者抽样调整，汇总消费者消费变动的情况，并计算出转移概率矩阵P。则

基于马尔可夫排队模型的行程时间预测方法

第34卷　第4期吉林大学学报(工学版)　Vol.34　No.4 2004年10月Journal of Jilin University(Engineering and Technology Edition)　Oct.2004 文章编号:1671-5497(2004)04-0671-04 基于马尔可夫排队模型的行程时间预测方法杨志宏1,杨兆升2,于德新2,陈　林2 (1.宝路集团,吉林长春　130022;2.吉林大学交通学院,吉林长春　130022) 摘　要:针对城市交通流诱导系统(U TF GS)亟待解决的综合路段行程时间预测这一关键问题,利用马尔可夫排队模型给出了车辆路段(含信号交叉口)实时行程时间预测的基本公式,并结合实际工程项目对公式中的一些参数进行了简化,提高了模型的实用性。人工调查数据验证表明该模型具有较高的精度。同时给出了相对误差图。关键词:交通运输工程;城市交通流诱导系统(U TF GS);马尔可夫排队模型;排队等待时间;实时动态行程时间中图分类号:U491.2 文献标识码:A T ravel time prediction method based on Malcov queuing model YAN G Zhihong1,YAN G Zhaosheng2,YU Dexin2,CHEN Lin2 (1.China B aolu Com pany,Changchun130022,China;2.College of T ransportation,Jilin U niversity,Changchun 130022,China) Abstract:Aiming at the key problem of synthetic Link travel time prediction in Urban Traffic Flow Guidance System(U TF GS).A Vehicle link travel time prediction algorithm based on Malcov Queuing model was presented.With a quantity of traffic measurement data,some model parameters were simplized and confirmed,thus getting a high precision and also making the model more become applicable. K ey w ords:traffic engineering;U TF GS;Malcov queuing model;queuing wait time;real2time dynamic travel time 0　引　言交通流诱导以交通流预测和实时动态交通分配(D TA)为基础,应用现代通信技术、电子技术、计算机技术等为路网上的出行者提供必要的交通信息,为其指出当前的最佳行驶路线,从而避免盲目出行造成的交通阻塞,到达路网畅通、高效运行的目的[1,2]。交通流诱导的方式一般分为路边显示板式和车内显示屏式两种。前者主要适用于高速公路以及城市路网集体车辆诱导,后者主要适用于城市路网中的个体车辆诱导[2]。为了准确、快速地给出路网的最佳行驶路线,需要估计路网中各路段的行程时间。路网中的路段均指含一个相邻的下游交叉口(有信号灯控制)的路段。当车辆进入路段后,其行程时间随交通流量的变收稿日期:2004205219. 基金项目:“十五”国家智能交通重大科技攻关项目(2002BA404A22B). 作者简介:杨志宏(1971-),男,工程师.E2mail:yangzhihong0527@https://www.sodocs.net/doc/9d17179325.html, 通讯联系人:杨兆升(1938-),男,教授,博士生导师.E2mail:yangzs@https://www.sodocs.net/doc/9d17179325.html,

马尔科夫链在传染病预测中的应用

马尔科夫链在传染病预测中的应用作者：付长贺，邓甦， FU Chang-he， DENG Su 作者单位：沈阳师范大学数学与系统科学学院,辽宁,沈阳,110034 刊名：沈阳师范大学学报(自然科学版) 英文刊名：JOURNAL OF SHENYANG NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)：2009，27(1) 被引用次数：2次参考文献(8条) 1.施海龙.曲波.郭海强干旱地区呼吸道传染病气象因素及发病预测[期刊论文]-中国公共卫生 2006(04) 2.巴剑波.方旭东.徐雄利马尔科夫链在海军疟疾疫情预测中的应用[期刊论文]-解放军预防医学杂志 2001(02) 3.何江宏.陈启明基于Markov链的最优化预测模型及其应用研究[期刊论文]-合肥学院学报(自然科学版) 2006(01) 4.杨玉华传染病模型的研究及应用[期刊论文]-数学的实践与认识 2007(14) 5.邓甦.付长贺四种贝叶斯分类器及其比较[期刊论文]-沈阳师范大学学报(自然科学版) 2008(01) 6.余雷.薛惠锋.李刚传染病传播模型研究[期刊论文]-计算机仿真 2007(04) 7.王春平.王志锋.单杰随机时间序列分析法在传染病预测中的应用[期刊论文]-中国医院统计 2006(03) 8.吴家兵.叶临湘.尤尔科时间序列模型在传染病发病率预测中的应用[期刊论文]-中国卫生统计 2006(03) 相似文献(3条) 1.期刊论文孟胜利.徐葛林.程满荣.舒祥.雷勇良.朱风才.周敦金.王定明.明贺田.吴杰.严家新.杨晓明中国狂犬病病毒遗传多样性分析-中国生物制品学杂志2010,23(5) 目的分析中国狂犬病病毒(RV)的遗传多样性,为我国狂犬病的预防提供理论依据.方法采用RT-PCR技术扩增26株RV N基因,并进行测序,与GenBank登录的序列进行比对,构建进化树,分析RV的基因分型和分组情况以及时间和空间的动态进化.结果中国RV分为2个大的进化分支(8组),分支Ⅰ包括1～4组,分支Ⅱ包括5～8组,组内核苷酸同源性≥93.2%,氨基酸同源性≥94.3%;组间核苷酸差异性≥8.0%,氨基酸差异性≥1.7%;运用贝叶斯中的马尔科夫链的蒙特卡洛方法,估计中国RV N基因核苷酸的平均碱基替代率为1.408 9×10-4取代/位点·年,共同祖先出现在公元968年.结论中国狂犬病病毒株均属于基因1型狂犬病病毒,存在跨地域、跨宿主传播;我国分支Ⅰ狂犬病病毒株与泰国、越南、菲律宾、印度尼西亚、马来西亚等东南亚国家分离的狂犬病病毒株起源相同;分支Ⅱ的毒株在全球分布. 2.会议论文孟胜利.严家新.徐葛林.程满荣.吴杰.雷勇良.朱风才.周敦金.王定明.杨晓明中国狂犬病毒遗传多样性研究2009 在1969-2008年间，我们从全国各地共分离到60株街毒株，其中从犬脑中分离到41株，鼬獾中分离5株，人脑中分离到4株，鹿脑中1株，我们对这61株狂犬病毒株的N基因的进行了序列测定，初步分析后选取26株代表株与GenBank得到42株中国毒株N基因序列共计68株序列进行全面的进化分析。以探讨中国狂犬病毒株的基因分型和分组情况、时间和空间的动态进化。结果表明：我们发现目前分离的中国毒株都属于基因1型狂犬病毒，可以分为2个大的进化分支共计8个组，分支I包括1-4组，分支Ⅱ包括5-8组，组内核苷酸同源性≥93．2%，氨基酸同源性94．3%;组间核苷酸差异性至少是8．0%，氨基酸差异至少是1．7%;选择压力分析表明中国狂犬病毒处于较强的净化选择约束下，狂犬病毒N蛋白中的核苷酸突变主要是同义突变;运用贝叶斯中的马尔科夫链的蒙特卡洛方法估计中国狂犬病毒N基因核苷酸的平均喊基替代率为1．4089×10-4取代/位点/年，共同祖先出现在公元 1040年前;同一毒株或者核苷酸同源性很高的毒株在不同地点、不同宿主中出现表明中国狂犬病毒株存在跨地域、跨宿主传播;我国狂犬病高发区流行的毒株(分 3.学位论文王家赠接触振子系统与接触粒子系统中的几类合作行为2008 本文主要研究非线性系统中的一些时空动力学与合作行为，分为连续系统和离散系统两个部分. 在第一部分中，我们研究时间连续、空间分立的接触振子系统的一些动力学行为.以 Josephson节方程作为基本振子，也就是经典力学中的单摆方程.依照循序渐进的原则，分别研究了：周期驱动下的振子、两个耦合振子、一维耦合多振子链.揭示了新的非线性动力学和合作行为. 在直流驱动的Josephson振子上加入周期驱动，形成两个相互竞争的频率.频率的竞争导致各种同步解.分别大阻尼和小阻尼两种情况，我们介绍了Poincaré映射在相平面上的不变曲线以及它的性质；利用Arnold舌头显示了参数空间上的分支特征.在小阻尼情况下，研究了混沌产生的特点. 对于两个具有不同自然频率的Josephson振子，在线性扩散耦合和正弦耦合两种情况下，研究了这些系统的不同状态之间的相变特征.同时在正弦耦合的系统中发现了混沌解的存在. 在一维耦合多振子链模型，取周期边界条件.在一定条件下，系统中会产生一类特殊的解.只要一点非常小的驱动力，整条链中的粒子就会同步地转动.这种解被命名为“超-旋转”态.我们揭示了这种解产生的机制. 在第二部分中，我们研究了复杂网络上的传染病动力学.主要使用了易感者一感染者一移除者(Susceptible-infected-removed；记为SIR，下同)模型.对于这种类型的传染病在任意网络上的传播，首先在亚宏观水平建立了一个马尔科夫链模型，得到了一些性质.到目前为止，我们对几类特殊结构的网络进行了解析处理.对于大量与实际更加接近的网络，我们还是用宏观的方法，建立了不同的平均场率方程模型，并分析传播的阈值条件. 对于任意网络上的SIR型传播，我们首先建立了一个时间齐次的马氏链模型，利用转移概率矩阵证明了马氏链的收敛性.利用这个模型，可以对几种特殊的网络结构进行解析求解. 实际问题中，各个节点传播疾病的能力往往是不一致的，所以不同的接触过程，它们传播疾病的概率是不一样的.体现在网络上，就是通过连线的传播率不是定常系数，而是有一个分布.在第六章中，我们研究了这个因素对于传播带来的影响. 节点和节点之间的连接并不总是完全随机的，有的带有一定的选择性。形成了相关性网络。关于相关性网络上的传播问题，已经有了一些理论结果.但是我们觉得有些地方值得进一步的商榷与提高.在第七章中，我们给出了求解SIR模型的新方法.基于连接矩阵，我们定义了计算相关性的方法. 在第八章中建立了有向网络上的传播模型，并进行了求解.得到了有向网络上传播阈值的约束条件.最后讨论了在有向网络上如何进行连接相关性度量的问题. 第九章是对本文中所做研究的总结与展望.

案例九-马尔科夫预测

案例九马尔科夫预测一、市场占有率的预测重点例1：在北京地区销售鲜牛奶主要由三个厂家提供。分别用1，2，3表示。去年12月份对2000名消费者进行调查。购买厂家1，2和3产品的消费者分别为800，600和600。同时得到转移频率矩阵为： 3202402403601806036060180N ?? ?= ? ??? 其中第一行表示，在12月份购买厂家1产品的800个消费者中，有320名消费者继续购买厂家1的产品。转向购买厂家2和3产品的消费者都是240人。N 的第二行与第三行的含义同第一行。（1）试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测。（2）试求均衡状态时，各厂家的市场占有率。解：（1）用800，600和600分别除以2000，得到去年12月份各厂家的市场占有率，即初始分布0(0.4,0.3,0.3)p =。用800，600和600分别去除矩阵N 的第一行、第二行和第三行的各元素，得状态转移矩阵： 0.40.30.30.60.30.10.60.10.3P ?? ?= ? ???

于是，第k 月的绝对分布，或第月的市场占有率为： 00()(1,2,3,,7)k k P p P k p P =?=L 1k =时，()()10.40.30.30.40.30.30.60.30.10.520.240.240.60.10.3p ?? ? == ? ??? 2k =时，()()()220.40.30.30.520.240.240.4960.2520.252p P P === 3 k =时 , ()()()330.40.30.30.4960.2520.2520.50080.24960.2496p P P === 类似的可以计算出4p ，5p ，6p 和7p 。现将计算结果绘制成市场占有率变动表，如表所示：

数学建模之马尔可夫预测

马尔可夫预测马尔可夫过程是一种常见的比较简单的随机过程。该过程是研究一个系统的状况及其转移的理论。它通过对不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率的研究,来确定状态的变化趋势,从而达到对未来进行预测的目的。三大特点：（1）无后效性一事物的将来是什么状态，其概率有多大，只取决于该事物现在所处的状态如何，而与以前的状态无关。也就是说，事物第n 期的状态，只与第n 期内的变化和第n-1期状态有关,而与第n-1期以前的状态无关。（2）遍历性不管事物现在所处的状态如何，在较长的时间内马尔可夫过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。（3）过程的随机性。该系统内部从一个状态转移到另一个状态是，转变的可能性由系统内部的原先历史情况的概率值表示。 1.模型的应用， ①水文预测， ②气象预测， ③地震预测， ④基金投资绩效评估的实证分析， ⑤混合动力车工作情况预测， ⑥产品的市场占有情况预测。 2.步骤 ①确定系统状态有的系统状态很确定。如：机床工作的状态可划分为正常和故障，动物繁殖后代可以划分为雄性和雌性两种状态等。但很多预测中，状态需要人为确定。如：根据某种产品的市场销售量划分成滞销、正常、畅销等状态。这些状态的划分是依据不同产品、生产能力的大小以及企业的经营策略来确定的，一般没有什么统一的标准。在天气预报中，可以把降水量划分为旱、正常和涝等状态。 ②计算初始概率()0i S 用i M 表示实验中状态i E 出现的总次数，则初始概率为 ()()0 1 1,2,i i i n i i M S F i n M =≈= =∑L ③计算一步转移概率矩阵

令由状态i E 转移到状态j E 的概率为()|ij j i P P E E =，则得到一步转移概率矩阵为： 1112121 2221 2n n n n nn p p p p p p P p p p ??????=??????L L M M M M L ④计算K 步转移概率矩阵若系统的状态经过了多次转移，则就要计算K 步转移概率与K 步转移概率矩阵。 K 步转移概率矩阵为： 11121212221 2()k n n k n n nn p p p p p p P k p p p p ??????==??????L L M M M M L ⑤预测及分析根据转移概率矩阵对系统未来所处状态进行预测，即： () ()111210212221 2K n K n n n nn p p p p p p S S p p p ??????=??????L L M M M M L 例题：设某企业生产洗涤剂为A 型,市场除A 型外,还有B 型、C 型两种。为了生产经营管理上的需要,某企业要了解本厂生产的A 型洗涤剂在未来三年的市场占有倩况。为此,进行了两项工作,一是进行市场调查,二是利用模型进行预测。市场调查首先全面了解各型洗涤剂在市场占有情况。年终调查结果:市场洗涤剂目前总容量为100万件,其中A 型占40万,B 型和C 型各占30万。再者,要调杏顾客购买各型洗涤剂的变动情况。调查发现去年购买A 型产品的顾客,今年仍购A 型产品24万件,转购B 型和C 型产品备占8万件,去年购买B 型产品顾客,今年仍购B 型产品9万件,转购A 型15万件,转购C 型6万件,去年购买C 型产品的顾客,今年仍购C 型产品9万件,转购A 型15万件,转购B 型6万件。计算各型产品保留和转购变动率。模型的建立： ①计算初始概率用i M 表示i E 型产品出现的总次数，则初始概率为 ()()0 1 1,2,i i i n i i M S F i n M =≈= =∑L （1） ②计算各类产品保留和转购变动率

基于马尔可夫链的市场占有率的预测

市场占有率问题摘要本文通过对马尔可夫过程理论中用于分析随机过程方法的研究,提出了将转移概率矩阵法应用于企业产品的市场占有率分析当中,认为该理论的无后效性和稳定性特点能够帮助企业在纵向和横向资讯不够充分的情况下克服预测的误差和决策的盲目性,并给出了均衡状态下的市场占有率模型,以期通过不同方案的模拟分析,帮助企业优化决策. 关键词马尔科夫链转移概率矩阵一、问题重述 1.1背景分析现代市场信息复杂多变，一个企业在激烈的市场竞争环境下要生存和发展就必须对其产品进行市场预测，从而减少企业参与市场竞争的盲目性，提高科学性。然而，市场对某产品的需求受多种因素的影响，其特性是它在市场流通领域中所处的状态。这些状态的出现是一个随机现象，具有随机性。为此，利用随机过程理论的马尔可夫（Markov）模型来分析产品在市场上的状态分布，进行市场预测，从而科学地组织生产，减少盲目性，以提高企业的市场竞争力和其产品的市场占有率。 1.2问题重述预测A、B、C三个厂家生产的某种抗病毒药在未来的市场占有情况二、问题分析第一步进行市场调查．主要调查以下两件事：（1）目前的市场占有情况．若购买该药的总共1000家对象（购买力相当的医院、药店等）中，买A、B、C三药厂的各有400家、300家、300家，那么A、B、C 三药厂目前的市场占有份额分别为：40%、30%、30%．称（0.4，0.3，0.3）为目前市场的占有分布或称初始分布．（2）查清使用对象的流动情况．流动情况的调查可通过发放信息调查表来了解顾客以往的资料或将来的购买意向，也可从下一时期的订货单得出．若从定货单得表1-0．

表（1-5）顾客订货情况表下季度订货情况合计来自 A B C A 160 120 120 400 B 180 90 30 300 C 180 30 90 300 合计 520 240 240 1000 第二步建立数学模型．假定在未来的时期内，顾客相同间隔时间的流动情况不因时期的不同而发生变化，以1、2、3分别表示顾客买A 、B 、C 三厂家的药这三个状态，以季度为模型的步长（即转移一步所需的时间），那么根据表（1-5），我们可以得模型的转移概率矩阵： ? ???? ??=?????? ? ? ??=????? ??=3.01.06.01.03.06.03.03.04.03009030030 3001803003030090300180400120400120400160333231232221131211p p p p p p p p p P 矩阵中的第一行（0.4，0.3，0.3）表示目前是A 厂的顾客下季度有40%仍买A 厂的药，转为买B 厂和C 厂的各有30%．同样，第二行、第三行分别表示目前是B 厂和C 厂的顾客下季度的流向．由P 我们可以计算任意的k 步转移矩阵，如三步转移矩阵： ???? ? ? ?=????? ? ?==252.0244 .0504.0244.0252.0504 .0252.0252.0496.03.01 .06.01.03.06 .03.03.04.03 3 ) 3(P P 从这个矩阵的各行可知三个季度以后各厂家顾客的流动情况．如从第二行（0.504， 0.252，0.244）知，B 厂的顾客三个季度后有50.4%转向买A 厂的药，25.2%仍买B 厂的，24.4%转向买C 厂的药．三、模型假设 1、购买3种类型产品的顾客总人数基本不变； 2、市场情况相对正常稳定，没有出现新的市场竞争； 3、没有其他促销活动吸引顾客。四、模型的建立与求解 4.1模型背景在考虑市场占有率过程中影响占有率的大量随机性因素后，可以认为这一过程充

Matlab学习系列34. 马尔可夫预测

33. 马尔可夫预测马尔可夫预测，是一种预测事件发生的概率的方法。它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。马尔可夫预测法的基本要求是状态转移概率矩阵必须具有一定的稳定性。因此，必须具有足够的统计数据，才能保证预测的精度与准确性。换句话说，马尔可夫预测模型必须建立在大量的统计数据的基础之上。（一）经典马尔可夫模型一、几个概念状态：指某一事件在某个时刻（或时期）出现的某种结果；状态转移：事件的发展，从一种状态转变为另一种状态；马尔可夫过程：在事件的发展过程中，若每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。状态转移概率：在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。由状态i E 转为状态j E 的状态转移概率 ()(|)i j j i ij P E E P E E p →== 状态转移概率矩阵：假定某一个事件的发展过程有n 个可能的状

态，即1,,n E E ，则矩阵 1111n n nn p p P p p ????=?????? 其中，ij p 为从状态i E 转为状态j E 的状态转移概率，称为状态转移概率矩阵。状态转移矩阵满足： (i) 01, ,1,,ij p i j n ≤≤= (ii) 1 1n ij j p ==∑ 二、状态转移矩阵的计算即求出从每个状态转移到其它任何一个状态的状态转移概率ij p ，一般采用频率近似概率的思想进行计算。例1某地区农业收成变化的三个状态，即E1“丰收”、E2“平收”和E3“欠收”。下表给出了该地区1960~1999年期间农业收成的状态变化情况（部分）。计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵。 datas=xlsread('Agriculture.xlsx');

中天会计事务所马尔可夫模型例题(最完整的例题分析)

中天会计事务所马尔可夫模型例题一、问题分析中天会计事务所由于公司业务日益繁忙，常造成公司事务工作应接不暇，解决该公司出现的这种问题的有效办法是要实施人力资源的供给预测技术。根据对该公司材料的深入分析，可采用马尔可夫模型这一供给预测方法对该事务所的人力资源状况进行预测。马尔可夫分析法是一种统计方法，其方法的基本思想是：找出过去人力资源变动的规律，用以来推测未来人力变动的趋势。马尔可夫分析法适用于外在环境变化不大的情况下，如果外在环境变化较大的时候这种方法则难以用过去的经验情况预测未来。马尔可夫分析法的分析过程通常是分几个时期来收集数据，然后在得出平均值，利用这些数据代表每一种职位的人员变动频率，就可以推测出人员的变动情况。二、项目策划（一）第一步是编制人员变动概率矩阵表。根据公司提供的内部资料：公司的各职位人员如下表1所示。表1：各职位人员表职位代号人数合伙人P 40 经理M 80 高级会计师S 120 会计员 A 160 制作一个人员变动概率矩阵表，表中的每一个元素表示从一个时期到另一个时期（如从某一年到下一年）在两个工作之间调动的雇员数量的历年平均百分比（以小数表示）。（注：一般以3—5年为周期来估计年平均百分比。周期越长，根据过去人员变动所推测的未来人员变动就越准确。）表2：历年平均百分比人员变动概率矩阵表职位合伙人 P 经理M 高级会计师S 会计员A 职位年度离职升为合伙人离职升为经理降为会计员离职升为高级会计师离职 2005 0.20 0.08 0.13 0.07 0.05 0.11 0.12 0.11 2006 0.23 0.07 0.27 0.05 0.08 0.12 0.15 0.29 2007 0.17 0.13 0.20 0.08 0.03 0.10 0.17 0.20 2008 0.21 0.12 0.21 0.03 0.07 0.09 0.13 0.19 2009 0.19 0.10 0.19 0.02 0.02 0.08 0.18 0.21 平均0.20 0.10 0.20 0.05 0.05 0.10 0.15 0.20

马尔可夫链在天气预测中的应用

马尔可夫链在天气预测中的应用龚海涛（数学系，093班25号）摘要：马尔可夫链是一种预测方法，模式先假设某一时间各种状态之间的转移概率是基于当前状态的而与其他因素无关，然后利用这一转移概率来推测未来状态的分布情况。本文将利用马尔可夫链对鞍山市区天气状态进行探究，通过对鞍山市区从2010年2月7号到2012年2月6号共730天的天气历史经验数据进行马尔可夫链分析，得到鞍山市天气状况的稳定分布。关键字：马尔可夫链；转移概率矩阵一、引言马尔可夫链模型（Markov Chain Model ）是一种常用的概率模型也叫马尔可夫分析(Markov Chain Analysis),其原理为利用概率转移矩阵所进行的模拟分析。此模型为一动态模型，参数可随时间而变，故可以用来预测未来事物变化状态的趋势。马尔可夫链的基本概念是在1907年由俄国数学家马尔可夫（Markov ）从布朗运动（Brown motion ）的研究中提出的，后经由Wiener 、Kolmogorve 、Feller 、Doeblin 及Lery 等人的研究整理而于1930到1940年代建立此模型（杨超然，1977）。二、马尔可夫链的基本介绍定义2.1（Markov 过程）随机过程｛X n ,n=0,1,2,3,…｝若它只取有限或可列个值E 0,E 1,E 2,…(我们用｛0，1，2，…｝来标记E 0,E 1,E 2,…，并称它们是过程的状态。｛0，1，2，…｝或其子集记为S ，称为过程的状态空间)对任意的n ≥0及状态i, j, i 0, i 1, … i n-1有 P{X n+1=j|X 0=i 0,X 1=i 1, …X n-1=i n-1,X n =i}=P{ X n+1=j|X n =i} （2.1）式(2.1)刻画的Markov 链的特性称为Markov 性[1]。 Markov 链表示一个随机序列的条件概率只与最近的系统状态有关，而与先前系统状态无关，所以Markov 性也被称为无后效性[2] 。Markov 性也可以用一句通俗的话来概括——已知现在，将来与过去无关。定义2.2（转移概率）称式（2.1）中的条件概率P{ X n+1=j|X n =i}为Markov 链｛X n ,n=0,1,2,3,…｝的一步转移概率，简称转移概率[1]。定义2.3（时齐马尔可夫链）当Markov 链的转移概率P{ X n+1=j|X n =i}只与状态i,j 有关，而与n 无关时，称Markov 链为时齐的，并记P ij = P{ X n+1=j|X n =i}(n ≥0)。不管Markov 链的状态是否有限，我们都可以将P ij （i,j ∈S ）排成一个矩阵的形式，令 ()?????? ??? ? ? ?== 434241403332313023222120 1312111003020100ij P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P (2.2)

人力供给预测之马尔科夫模型

人力供给预测之马尔科夫模型马尔科夫模型是根据历史数据，预测等时间间隔点上的各类人员分布状况。此方法的基本思想是根据过去人员变动的规律，推测未来人员变动的趋势。因此，运用马尔科夫模型时假设——未来的人员变动规律是过去变动规律的延续。既是说，转移率要么是一个固定比率，要么可以通过历史数据以某种方式推算出。步骤：（1）根据历史数据推算各类人员的转移率，得出转移率的转移矩阵；（2）统计作为初始时刻点的各类人员分布状况；（3）建立马尔科夫模型，预测未来各类人员供给状况。运用马尔科夫模型可以预测一个时间段后的人员分布，虽然这个时间段可以自由定义，但较为普遍的是以一年为一个时间段，因为这样最为实用。在确定转移率时，最粗略的方法就是以今年的转移率作为明年的转移率，这种方法认为最近时间段的变化规律将继续保持到下一时间段。虽然这样很简便，但实际上一年的数据过于单薄，很多因素没有考虑到，一个数据的误差可能非常大。因为以一年的数据得出的概率很难保证稳定，最好运用近几年的数据推算。在推算时，可以采用简单移动平均法、加权移动平均法、指数平滑法、趋势线外推法等，可以在试误的过程中发现哪种方法推算的转移率最准确。尝试用不同的方法计算转移率，然后用这个转移率和去年的数据来推算今年的实际情况，最后选择与实际情况最相符的计算方法。转移率是一类人员转移到另一类人员的比率，计算出所有的转移率后，可以得到人员转移率的转移矩阵。转移出i类人员的数量 i类人员的转移率 = （3-1） i类人员原有总量人员转移率的转移矩阵： P11 P12 (1) P21 P22 (2) P = P31 P32 (3) （3-2） ┇┇┇ P K1 P K2 ……P KK 一般是以现在的人员分布状况作为初始状况，所以只需统计当前的人员分布情况即可。这是企业的基本信息，人力资源部门可以很容易地找到这些数据。建立模型前，要对员工的流动进行说明。流动包括外部到内部、内部之间、内部到外部的流动，内部之间的流动可以是提升、降职、平级调动等。由于推测的是整体情况，个别特殊调动不在考虑之内。马尔科夫模型的基本表达式为：

马尔可夫链模型

马尔可夫链模型马尔可夫链模型（Markov Chain Model）目录 [隐藏] ? 1 马尔可夫链模型概述 ? 2 马尔可夫链模型的性质 ? 3 离散状态空间中的马尔可夫链模型 ? 4 马尔可夫链模型的应用 o 4.1 科学中的应用 o 4.2 人力资源中的应用 ? 5 马尔可夫模型案例分析[1] o 5.1 马尔可夫模型的建立 o 5.2 马尔可夫模型的应用 ? 6 参考文献 [编辑] 马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。马尔可夫链是随机变量的一个数列。这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。

马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程： 1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关； 2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下： 1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。本文中假定S是可数集(即有限或可列)。用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。 2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。对于任意i∈s，有。 3）是系统的初始概率分布，q i是系统在初始时刻处于状态i的概率，满足。 [编辑] 马尔可夫链模型的性质马尔可夫链是由一个条件分布来表示的 P(X n + 1 | X n) 这被称为是随机过程中的“转移概率”。这有时也被称作是“一步转移概率”。二、三，以及更多步的转移概率可以导自一步转移概率和马尔可夫性质：

马尔科夫预测

第6章马尔可夫预测马尔可夫预测方法不需要大量历史资料，而只需对近期状况作详细分析。它可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测等等，还可用来分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考。 6.1 马尔可夫预测的基本原理马尔可夫（A.A.Markov ）是俄国数学家。二十世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状态有关，而与事物的过去状态无关。具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程。设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济和社会行为都可用这一类过程来描述或近似，故其应用范围非常广泛。 6.1.1 马尔可夫链为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态），可以用一组随时间进程而变化的变量来描述。如果系统在任何时刻上的状态是随机的，则变化过程就是一个随机过程。设有参数集(,)T ?-∞+∞，如果对任意的t T ∈，总有一随机变量t X 与之对应，则称 {,}t X t T ∈为一随机过程。如若T 为离散集（不妨设012{,,,...,,...}n T t t t t =），同时t X 的取值也是离散的，则称 {,}t X t T ∈为离散型随机过程。设有一离散型随机过程，它所有可能处于的状态的集合为{1,2,,}S N =L ，称其为状态空间。系统只能在时刻012,,,...t t t 改变它的状态。为简便计，以下将n t X 等简记为n X 。一般地说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。在实际情况中，也有具有这样性质的随机系统：系统在每一时刻（或每一步）上的状态，仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。这个性质称为无后效性，即所谓马尔可夫假设。具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。用数学语言来描述就是：马尔可夫链如果对任一1n >，任意的S j i i i n ∈-,,,,121Λ恒有 {}{}11221111,,,n n n n n n P X j X i X i X i P X j X i ----=======L (6.1.1) 则称离散型随机过程{,}t X t T ∈为马尔可夫链。例如，在荷花池中有N 张荷叶，编号为1,2,...,N 。假设有一只青蛙随机地从这张荷叶上跳到另一张荷叶上。青蛙的运动可看作一随机过程。在时刻n t ，青蛙所在的那张荷叶，称为青蛙所处的状态。那么，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态()N i i ,,2,1Λ=有关，与它以前在哪张荷叶上无关。此过程就是一个马尔可夫链。由于系统状态的变化是随机的，因此，必须用概率描述状态转移的各种可能性的大小。 6.1.2 状态转移矩阵马尔可夫链是一种描述动态随机现象的数学模型，它建立在系统“状态”和“状态转移”的概念之上。所谓系统，就是我们所研究的事物对象；所谓状态，是表示系统的一组记号。当确定了这组记号的值时，也就确定了系统的行为，并说系统处于某一状态。系统状态常表示为向量，故称之为状态向量。例如，已知某月A 、B 、C 三种牌号洗衣粉的市场占有率分别是0.3、0.4、0.3，则可用向量()0.3,0.4,0.3P =来描述该月市场洗衣粉销售的状况。

马尔可夫链预测股票例1

1、对单支股票走势、收益的预侧现以上海A股精伦电子的股价时间序列为例(原始资料如表1)，应用马尔可夫链对股价分别进行中短期和长期预测分析，这里不妨将时间序列的单位以天记。表1:上海A股精伦电子2002年6月13日一7月17日23个交易日的收盘价格资料将表1中这23个收盘价格划分成4个价格区间(由低到高每区间1.5个价格单位)，得到区间状态为: S1：(26.00以下)、S2：(26.00--27.50)、S3：(27.50--28.00)、S4：(28.00及以上)。则到达个区间的频数分别为5, 3, 9, 6。综合这些资料于是得到这23个交易日的收盘价格状态转移情况如表2，由此得到各状态之间的转移概率和转移概率矩阵: 表1知，第23个交易日的收盘价格是27.53(即为k状态区间)，所以用马尔可夫链进行预测时初始状态向量，P(0) =( 0,0,1,0)，第24, 25日的收盘价格状态向量分别为即

P(1)=P(0)P=(0,0.125,0.625,0.25); P(2)=P(1)P=(0.042,0.078,0.451,0.323) 预测这两日的收盘价格处于k状态区间的概率最大，与实际情况27.21和27.39一致. 随着交易日的增加，即n足够大时，只要状态转移概率不变(即稳定条件)，则状态向量趋向于一个和初始状态无关的值，并稳定下来.按马尔可夫系统平稳定条件，可得一个线性方程组: 解得的数值即为较长时间后股价处于各区间的平稳分布。对照资料可以看出，由上述公式计算出的各收盘价格状态区间基本上是准确的。 2、用马氏链对沪市的走势进行预铡及相应分析我们利用沪市1998年1月5日至2001年11月2日的上证综合指数每周收盘资料，将上证指数划分为六个区间，即六种状态:区间1(1000点一1300点);区间2 (1300点一1600点);区间3 (1600点一1800点):区间4 (1800点~2000点);区间 5 (2000点~2200点);区间6 (2200点以上)。即可得到上证综合指数以周为单位的转移概率矩阵因为11月2日上证综合指数周收盘为1691点，处于状态3，所以在对沪市进行预测时，初始状态向量P(0)=(0,0,1,0,0,0)，然后按上例中的马尔可夫方法进行中短期和长期预测分析。通过对比可以发现，马尔可夫链对整个证券市场的预测结果是比较准确的，而且长期预测所得的结论与股票价格根本上是由股票内在投资价值决定的这一基本原理也是惊人的一致。

马尔科夫预测法

马尔科夫预测案例一、市场占有率的预测例1：在北京地区销售鲜牛奶主要由三个厂家提供。分别用1，2，3表示。去年12月份对2000名消费者进行调查。购买厂家1，2和3产品的消费者分别为800，600和600。同时得到转移频率矩阵为： 3202402403601806036060180N ?? ?= ? ??? 其中第一行表示，在12月份购买厂家1产品的800个消费者中，有320名消费者继续购买厂家1的产品。转向购买厂家2和3产品的消费者都是240人。N 的第二行与第三行的含义同第一行。（1）试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测。（2）试求均衡状态时，各厂家的市场占有率。解：（1）用800，600和600分别除以2000，得到去年12月份各厂家的市场占有率，即初始分布0(0.4,0.3,0.3)p =。用800，600和600分别去除矩阵N 的第一行、第二行和第三行的各元素，得状态转移矩阵： 0.40.30.30.60.30.10.60.10.3P ?? ?= ? ??? 于是，第k 月的绝对分布，或第月的市场占有率为： 00()(1,2,3,,7)k k P p P k p P =?= 1k =时，()()10.40.30.30.40.30.30.60.30.10.520.240.240.60.10.3p ?? ? == ? ??? 2k =时，()()()220.40.30.30.520.240.240.4960.2520.252p P P === 3 k =时, ()()()330.40.30.30.4960.2520.2520.50080.24960.2496p P P === 类似的可以计算出4p ，5p ，6p 和7p 。

基于绝对分布的马尔可夫链预测方法

基于绝对分布的马尔可夫链预测方法对于一列相依的随机变量，用步长为一的马尔可夫链模型和初始分布推算出未来时段的绝对分布来做预测分析，即为传统的马尔可夫链预测方法之一，可称之为“基于绝对分布的马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“ADMCP法”。其具体方法步骤如下: (1)计算指标值序列均值x，均方差s，建立指标值的分级标准(相当于确定马尔可夫链的状态空间)，可根据资料序列的长短及具体间题的要求进行。例如，可以样本均方差为标准(也可以用有序聚类的方法建立分级标准等)将指标值分级，即按4.2.1中指出的方法确定马尔可夫链的状态空间E=[1, 2，一，m]; (2)按(1)所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态; (3)对(2)所得的结果进行统计计算，可得步长为一的马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了指标值状态转移过程的概率法则; (4)“马氏性”检验(应用工作者使用该方法时，一般都不做这一步，本文加上这一步意在完善"ADMCP法，’); (5)若以第1时段作为基期，该时段的指标值属于状态i，则可认为初始分布为这里P(0)是一个单位行向量，它的第i个分量为1，其余分量全为0。于是第l+1时段的绝对分布为第l+1时段的预测状态j满足: ;为预测第l+k时段的状态，则可得到所预测的状态j满足: (6)可进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。 4.3.2叠加马尔可夫链预测方法对于一列相依的随机变量，利用各阶(各种步长)马尔可夫链求得的绝对分布叠加来做预测分析，也是传统的马尔可夫链预测方法之一，可称之为“叠加马尔可夫链预测方法”不妨记其为“SPMCP 法’，。其具体方法步骤如下: (1)计算指标值序列均值x，均方差s，建立指标值的分级标准(相当于确定马尔可夫链的状态空间)，可根据资料序列的长短及具体问题的要求进行; (2)按“(1)"所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态: (3)对“(2)”所得的结果进行统计，可得不同滞时(步长)的马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了指标值状态转移过程的概率法则; (4)“马氏性”检验(应用工作者使用该方法时，一般也不做这一步，本文加上这一步同样意在完善，"SPMCP法”): (5)分别以前面若干时段的指标值为初始状态，结合其相应的各阶转移概率矩阵即可预测出该时段指标值的状态概率 (6)将同一状态的各预测概率求和作为指标值处于该状态的预测概率，即 ,所对应的i即为该时段指标值的预测状态。待该时段的指标值确定之后，将其加入到原序列之中，再重复步骤"(1)一(6)"，可进行下时段指标值状态的预测。