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高考数学一轮复习(热点难点)专题10 无处不考的函数性质问题

专题10 无处不考的函数性质问题

考纲要求:

1.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性．

2.理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的最大(小)值.

3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．

基础知识回顾:

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．

2．奇、偶函数的概念

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

3、奇、偶函数的性质

（1）普通性质

①奇偶函数的定义域关于原点对称；②奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称；

③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性

相反.

④若f(x)是奇函数，且在x ＝0处有定义，则0)0(=f ；⑤若f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．（2）在公共定义域内

①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函

数的积是奇函数．

【注】函数的问题，一定要注意“定义域优先”的原则。考察函数的奇偶性同样要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称。 4．函数的周期性

（1）周期函数的定义：若T 为非零实数，对于定义域内的任意x ，总有)()(x f T x f =+恒成立，则()f x 叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

（2）周期函数的性质：①若T 是函数()f x 的一个周期，则kT (,0)k z k ∈≠也是它的一个周期；②若()f x 的周期中，存在一个最小的正数，则称它为()f x 的最小正周期；③如果对于函数()f x 定义域中的任意x ，满足()()f x a f x b +=+，则得函数()f x 的最小正周期是

||b a -。

【注】如果对于函数()f x 定义域中的任意x ，满足()()f x a f x b +=+，则得函数()f x 的周期是||b a T -=；如果对于函数()f x 定义域中的任意x ，满足()()f x a f x b +=-+，则得函数()f x 的对称轴是2

a x +=。应用举例:

类型一、利用函数性质解决函数零点问题

【例1】【2017广东省惠州市高三调研】已知()f x 是定义在R 上的且以2为周期的偶函数，

当01x ≤≤时，2()f x x =．如果函数()()()g x f x x m =-+有两个零点，则实数m 的值为（）

A ．2()k k Z ∈

B ．1

22()4

k k k Z +

∈或C ．0 D ．1

22()4

k k k Z -

∈或【答案】D

【例2】【2017

新疆兵团农二师华山中学月考】已知函数0()ln(1),0

x f x x x ≥=?--

()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（）

A ．(0,1)

B ．1(0,)2

C ．1(,1)2

D ．(1,)+∞ 【答案】C

【解析】由题意，0,()x f x ≥可化为为双曲线

41y x -=在第一象限的部分，渐近线方程为1;2y x =±当1k =时，由ln(1)y x =-，可得1'1

1y x ==-可得0x =，即ln(1)y x =-在0x =处的切线方程为y x =，此时函数()()F x f x kx =-有且只有个零点，因此若函数

()()F x f x kx

=-有且只有两个零点，则k 的取值范围为1

(,1)2．

类型二、利用函数性质解决三角函数图象问题

【例3】【2017长郡中学高三入学考试】将函数sin()cos()22

y x x ?

=++的图象沿x 轴向右

平移

个单位后，得到一个偶函数的图象，则?的取值不可能是（）

A ．54π-

B ．4π-

C ．4

πD ．34π 【答案】C

【解析】1sin()cos()sin(2)

222y x x x ???=++=+的图象沿x 轴向右平移8π个单位后得到的

函数解析式为

11sin[2()]sin(2)

2824y x x ππ??=-+=+-,因为该函数为偶函数,所以()

k k Z π

?π-

∈即

3()4k k Z π

?π=+

∈,由此可知选项C 不符合题意,故选C.

【例4】将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图像向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π

6 【答案】

类型三、利用函数性质解决参数范围（或值）问题

【例5】【河南省师范大学附属中学2018届高三8月开学考试】

设函数，，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为

（） A.

【答案】B 【解析】数列

是单调递减数列，则f(1)>f(2)>f(3)>…，

所以函数f(x)在x ∈N+上是减函数，

故有,解得.

所以实数a 的取值范围是

本题选择B 选项.

【例6】【2017山东济南市高三摸底考试】设ω＞0，若函数f (x )＝sin

ωx 2cos ωx

在区间]3,3[π

π-

上单调递增，则ω的取值范围是( )

A.)32,0(

B.]23,0(

C.),2

[+∞D ．[1，＋∞)

【答案】B

【解析】f(x)＝sin ωx 2cos ωx 2＝12

sin ωx ，若函数在区间

]3,3[π

π-

上单调递增，则T 2＝πω

≥π3

＋

π3

＝2π3

，即ω∈]23,0(，故选B.

点评：已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．

类型四、利用函数性质解不等式

【例7】【山西省孝义市2018届高三上学期入学摸底考试】

成立的x 的取值范围是__________．【答案】

[)1,+∞

点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式.

【例8】已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (a 2

1log )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )

A ．[1,2]B.]21,0(C ]2,2

D ．(0,2]

【答案】C

【解析】由已知条件得f(－x)＝f(x)，则f(log2a)＋f(

1log )≤2f(1)?f(log2a)＋f(－

log2a)≤2f(1)?f(log2a)≤f(1)，又f(log2a)＝f(|log2a|)且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，

所以|log2a|≤1?－1≤log2a≤1，解得2

≤≤a .

点评：在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．类型五、利用函数性质解决函数解析式问题

【例9】f(x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3

＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．－x 3

－ln(1－x )B ．x 3

＋ln(1－x )C ．x 3

－ln(1－x )D ．－x 3

＋ln(1－x ) 【答案】C

点评：已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．【例10】设()f x 是定义在(－∞,＋∞)上的奇函数,且0x >时,()2

1f x x =+,则0x <时

()f x =______________.

【答案】2

1x --

【解析】0x <时,

()f x =()()

1f x x --=-+

点评：已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．类型六、利用函数性质解决函数值问题

【例11】【2017新疆兵团农二师华山中学高三月考】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)f x +是偶函数，当x ∈(2，4)时，()|3|f x x =-，则(1)(2)(3)(4)f f f f +++=（） A ．1B ． 0C ．2D ．-2 【答案】B

【解析】由()f x 是定义在R 上的奇函数?()()f x f x -=,由(1)f x +是偶函数?()f x 关于1x =对称()(2)(2)()(4)()()f x f x f x f x f x f x f x ?-=+?+=-?+=?的周

期为4

(1)(3)(3)0,(2)(2)(2)(2)0f f f f f f f ?=-=-==-=-?=，(3)0f =，(4)(0)0f f ==（奇函数）?(1)(2)(3)(4)f f f f +++=0,故选B.

【例12】【江西省赣州厚德外国语学校2018届高三上学期第一次阶段测试】

设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(]

2,1-上的图像，则

()2013f ＋()2014f ＝（）

A.3

B.2

C.1

D.0 【答案】C

点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.

(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.

类型七、利用函数性质解决比较大小问题

【例11】【2017江西吉安一中高三月考】已知函数f (x )的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0恒成立，设)2

(-=f a ，b ＝f (2)，c ＝

f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A ．c ＞a ＞b

B ．c ＞b ＞a

C ．a ＞c ＞b

D ．b ＞a ＞c 【答案】D

【解析】根据已知可得函数f(x)的图像关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函

数．

)

()21(f f a =-=，所以b ＞a ＞c. 【例12】定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝－f (x )，且在[0,1]上是增函数，则有( )

A ．f ? ????14

B ．f ? ????－14

C ．f ? ????14

D ．f ? ????－14

??14 【答案】

点评：比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

类型八、函数单调性、奇偶性的判断

【例13】【2017四川省成都市高三摸底】若定义在R 上的奇函数()f x 满足：12,x x R ?∈，且

12x x ≠，都有

1212

()()

0f x f x x x ->-，则称该函数为满足约束条件K 的一个“K 函数”，有下

列函数：①()1f x x =+；②3

()f x x =-；③1

()f x x

；④()f x x x =，其中为“K 函数”的是（）

A ．①

B ．②

C ．③

D ．④ 【答案】D

【解析】因为①()1f x x =+不是奇函数，③

()f x x =

定义域不是R ，所以①③不合题意，

又 12,x x R ?∈，且12x x ≠，都有1212

()()

f x f x x x ->-等价于()f x 在(),-∞+∞上递增，而

③()2

'30f x x =-<在(),-∞+∞减，所以③错，而

()2

,0,0x x f x x x ?≥?=?-

且为奇函数.

【例14】【河南省南阳市第一中学2018届高三实验班第一次考试】下列函数中，在[

)1,+∞上为增函数的是() A.()2

2y x =- B. D.()2

1y x =-+ 【答案】B

方法、规律归纳:

1、判断证明函数单调性的一般方法：导数、定义、复合、图像。

（1）定义法：用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差

)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的

正负符号；⑤根据定义下结论。

（2）复合函数分析法：设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则

[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增

减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：

()u g x =

()y f u =

[()]y f g x =

增增增增减减减

增

减

减增

（3）导数证明法

设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数1()f x ，若()f x 在区间(,

)a b 内，总有11()0(()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）

；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数），则11()0(()0)f x f x ≥≤。

（4）图像法：一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。

2、求函数的单调区间：函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等．

【注】1）函数的单调性是局部性质：函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2）单调区间的表示：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．实战演练:

1．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()20f =，当0x >时，()()0xf x f x ->'，则不等式()0xf x >的解集是(

)

A.()(),22,-∞-?+∞

B.()2,2-

C.()()2,02,-?+∞

D.以上都不正确【答案】C

，则当0x >时：

即函数()

g x 在

()0,+∞上单调递增，由()20g =可得：

当()

0,2x ∈时，

()0

g x <；当

()

2,x ∈+∞时，

()0

g x >；

不等式

()0

xf x >在

()0,+∞上的解集为()2,+∞，

同理，不等式

()0

xf x >在

(),0-∞上的解集为()2,0-，

综上可得：不等式

()0

xf x >的解集是

()()2,02,-?+∞.

2．【江西省六校2018届高三上学期第五次联考】定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（）

A. B.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

C.（﹣1，1）

D.（﹣1，0）∪（0，1）

【答案】B

3．【江西省六校2018届高三上学期第五次联考】已知函数是上的奇函数，当时为减函数，且，则=（）

A. B.

C. D.

【答案】A

4．已知，那么( ) A.在区间上单调递增B.在上单调递增

C.在上单调递增

D.在上单调递增

【答案】D

5．定义在R 上的函数()f x x 都有且()11f -=，()02f =-，则()()()122014f f f ++?+=(

)

A.1

B.0

C.1-

D.2

【答案】A

∴

()()

3f x f x =+

所以,f(x)是周期为3的周期函数。

则f(2)=f(?1+3)=f(?1)=1,f(12)=?f(?1)=?1

∵函数f(x)

∴f(1)=1 ∵f(0)=?2

∴f(1)+f(2)+f(3)=1+1?2=0 ∴f (1)+f(2)+…+f(2014)=f(1)=1 故选：A.

6．【山西省孝义市2018届高三上学期入学摸底考试】下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是( )

A.3y x =

B.2x y = D.sin2y x = 【答案】

7．【河南省郑州市第一中学2018届高三上学期入学考试】设函数

，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ，且

1234x x x x <<<，则

A.()3,-+∞

B.(),3-∞

C.[)3,3-

D.(]

3,3- 【答案】D 【解析】作出函数()

f x 和

()t x a

=的图象（如图所示），若关于x 的方程

()f x a

=有四个

不同的解

1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则1223244,log log x x x x a +=--==且

02a <≤，

且414x <≤，在区间(]

1,4

的取值范围为(]3,3-；故选

点睛：在处理函数的零点个数问题时，往往转化为判定两个函数的图象交点个数问题，一般利用数形结合思想进行处理；本题的难点在于判定四个解的关系及

4x 的取值范围.

8．已知()f x 是定义R 在上的偶函数，且()()1f x f x +=-，若()f x 在[]

1,0-上单调递减，则()f x 在[]

1,3上是(

)

A.增函数

B.减函数

C.先增后减的函数

D.先减后增的函数【答案】D

点睛：抽象函数的周期性质：（1）若()()

f x T f x +=，则函数()

f x 周期为T ；

（2）若()()f x a f x b +=+，函数

()

f x 周期为

（3）若

()()f x a f x +=-，函数

()

f x 周期为2a

（3，函数

()

f x 周期为2a .

9．【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟考试二】已知()f x 是定义在区间

[]

1,1-上的奇函数，当0x <时，()()1f

x x x

=-．则关于

m 的不等式

()()

2110f m f m -+-<的解集为__________．

【答案】

[)0,1

点睛：解答本题的关键是求出函数()

f x 的解析式，在0x <时，

()(1

f x x x =-；关键求0x >时，

()()

1f x x x =-+的过程值得注意，这里充分运用0x <时，

()(1

f x x x =-)及奇函数

的定义，运用转化的数学思想求出当0x >，则()()()0,11x f x x x x x -<-=---=+，进

而借助奇函数得到

()()

1f x x x -=+，从而求出

()()

1f x x x =-+。

10．【湖北省荆州中学2018届高三第二次月考】已知函数()*

,,y f x x N y N =∈∈满足：①对任意的*,,m n N m n ∈≠，都有()()()()mf m nf n mf n nf m +>+；②对任意的*a N ∈都有()3f f a a ??=??.则()()()1628f f f ++=______________．【答案】66 【解析】令m=n+1,

()()()()()()1111n f n nf n n f n nf n +++>+++,得()()1f n f n +>，

说明f(x)为单调递增函数，设()1f a

=，则1a ≥，显然1a ≠，否则f(f(1))=f(1)=1，与

f(f(1))=3矛盾。

从而1a >,而由f(f(1))=3,即f(a)=3,又()()1,f a f a >=，即13a <<，所以2a =，同时()23

f =，

高考复习专题：函数的基本性质专题复习

高考复习专题：函数的基本性质专题复习求函数定义域的常用方法：无论什么函数，优先考虑定义域 1偶次根式的被开方式非负；分母不为0；零指数幂底数不为零；对数真数大于0且底数大于0不等于1；tanx 定义域? ?? ? ??∈+≠ Z k k x x ,2ππ 2复合函数的定义域：定义域是x 的范围，f 的作用范围不变 1.y=x x x -+||)1(0 2.y= 2 3 2 53 1 x x -+- 3.y= x x x x -+-||2 32 4.y x x = --1 5 1 1 5.(21) log x y -= 6.)3lg(-=x y 7.x x y 2 = 8.2lg 2 1x y = 9. 02 )45() 34lg()(-++=x x x x f 训练： 1、函数y=)34(log 25.0x x -的定义域为__________. 2、f(x)的定义域是[-1，1]，则f(x+1)的定义域是 3、若函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数) (log 2 1 x f 的定义域是（） A ．]2,21[ B ．]2,0( C ．),2[+∞ D ．]2 1 ,0( 4、已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则)(x f 的定义域为，(2)x f 的定义域为 5、已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（）

A.[]052 ， B.[]-14， C.[]-55， D.[]-37， 6、函数1 2 1)(-+ += x x x f 的定义域是 .（用区间表示）． 7、已知函数 1 )(2+=x x f 的定义域是} 2,1,0,1{-，则值域为． 8、函数 ) (x f y =的定义域是[1，2]，则 ) 1(+=x f y 的定义域是． 9、下列函数定义域和值域不同的是（）（A ）15)(+=x x f （B ）1)(2+=x x f （C ）x x f 1)(= （D ）x x f = )( 10、已知函数) (x f y = 的图象如图1所示，则函数的定义域是（） (A) [－2,0] (B) ]5,1[]0,2[ - (C) [1,5] (D) ] 5,1[]0,2[ - 11、若函数y=lg(4－a ·2x)的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(0，+∞) B ．(0，2) C ．(-∞，2) D ．(-∞，0) 12、为何值时，函数 347 2+++= kx kx kx y 的定义域为 R ．一次函数法 1. 已知函数()23{|15}f x x x x N x =-∈∈≤≤，则函数的值域为二次函数法（配方法） 2. 求下列函数值域： ]5,1[,42∈+-=x x x y y =

高中数学函数常用函数图形及其基本性质

高中数学函数常用函数图形及其基本性质 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见函数性质汇总常数函数f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线一次函数f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓；图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0 定义域：R 值域：R 单调性：当k>0时，当k<0时奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性；反函数：有反函数。K=±1、b=0的时候周期性：无补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系 2、与曲线函数的联合运用反比例函数f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞ 单调性：当k>0时；当k<0时奇偶性：奇函数反函数：原函数本身周期性：无 x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )=x k

补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个— —⑴直接带入，李永二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图）f (x )= d cx b ax ++(c ≠0且d ≠0) （对比标准反比例函数，总结各项内容）二次函数一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点当00时，函数图象与x 轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2≠++=a c bx ax x f 关系)0()(2≠=a ax x f 定义域：R 值域：当0>a 时，值域为（）；当0 a 时；当0