-空间曲线的切线与法平面

圆锥曲线的切线问题

圆锥曲线的切线问题 圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路 1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数 y =f (x) ，利用导数法求出函数y =f (x) 在点(x 0 , y ) 处的切线方程，特别是焦点在y 轴 上常用此法求切线；思路 2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式?= 0 ，即可解出切线方程，注意关于x （或y）的一元二次方程的二次项系数不为 0 这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法. 类型一 导数法求抛物线切线 例1 【2017 课表1，文 20】设A，B为曲线C：y= x 4 （1）求直线A B的斜率； 上两点，A与B的横坐标之和为 4． （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线A B平行，且A M⊥B M，求直线A B的方程． 类型二椭圆的切线问题 2

5 + = > > 例 2（2014 广东 20）（14 分）已知椭圆C : x a 2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的一个焦点为( 5, 0) ， b 2 离心率为 . 3 （1） 求椭圆 C 的标准方程； （2） 若动点 P (x 0 , y 0 ) 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨 迹方程. 类型三 直线与椭圆的一个交点 例 3.【2013 年高考安徽卷】已知椭圆 C : x a 2 y 2 b 2 1(a b 0) 的焦距为 4 ， 且过点 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设Q (x 0 , y 0 )(x 0 y 0 ≠ 0) 为椭圆C 上一点，过点Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E .取点 A (0, 2 2) ,连接 AE ，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点G 是点 D 关于 y 轴的对称点， 作直 线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点 P ( 2，3) ∴ 2 + 3 = 1 a 2 b 2 且a 2 = b 2 + c 2 P ( 2，3) . 2 2

椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法

椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法 中学数学研究2009年第6期 的直线方程. 分析:要求A的内外角平分线所在的直 线方程,只要分别求出它们的斜率即可,由角平 分线到两边的角相等,很容易求出斜率. 解:设A的角平分线为AM,由AB到 AM的角等于AM到Ac的角可知: kAc--kAM ,解得k-=711k Ac AM或+.忌 AB+.‰ 忌=一专,所以直线AM的方程为:ll:7x— Y一17=0或Z2:+7y一31=0,它们分别是 A的内外角平分线所在的直线方程.因为内 角平分线内分对边,所以点B,C应在AM的 异侧.经验证,点B,C在直线l1的异侧,而点 B,C在直线z2的同侧.因而z1:7x—y一17=0 为A内角平分线所在直线方程,z2:z+7y一 31=0为A的外角平分线所在的直线方程. 例7已知集合A={(,Y)IY一√3z≤ 0},集合B={(z,Y)I+(Y一口)≤1},若A nB=B,求a的取值范围. 解:Y一√3z≤0表示直线Y一√3z=0右下 方的平面区域,+(Y—a)≤1表示圆+ (Y一口)=1的内部和圆周上的点的集合,要使

AnB=B,只要z+(Y一口)≤1的区域全部 在Y一√3z≤0区域的右下方即可,所以圆心到 直线的距离大于这个圆的半径就可以了. I一一I 即d=L>1,由于a<0,所以口<一2. 总之,线性规划不光能解决目标函数在线 性约束条件下的最值问题,还可以解决与平面 区域有关的问题,而且运算量较小.因此可以促 进思维能力创新,请在复习中认真体会,仔细推 敲. 参考文献 [1]高考复习专题二,2009年高考复习预测.中学数学 教学增刊. [2]陈贵伦.直线与椭圆位置关系问题的换元解法,中 学数学教学(.,).2009,1. 簟■j-}_}业,'}j-}-}-}j-}-}jkr,'簟j.},Ij●}1■}j-}_}■}—j●}-}——j_}j-}1-'}j-}—_}1■}j-}j- 椭圆,双曲线切线方程的一个简便求法 江西省吉安县二中(343100)罗章军 大家都知道,求椭圆,双曲线切线方程通常 用导数法,△法等,但运算量都较大.笔者运用 线性规划知识找到一种求椭圆,双曲线切线方 程新法,较为简便实用.现简述如下. 定理1若直线z:Y=如+m为椭圆 f.znncosa ,. (口>0,b>o,∈[0,27f))的切线, (Yo—Osm0' 设z=k.zo+m—Yo,贝0仃mx=0或tIli=0.其

高考数学讲义微专题14函数的切线问题(含详细解析)

微专题14 函数的切线问题 一、基础知识： （一）与切线相关的定义 1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。 （1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上 （2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数3 y x =在 ()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。 （3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线 （4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边） 2、切线与导数：设函数()y f x =上点()() 00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点 ()()00,B x x f x x +?+?，则割线AB 斜率为： ()()()()() 000000 AB f x x f x f x x f x k x x x x +?-+?-= = +?-? 当B 无限接近A 时，即x ?接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为： ()()000 lim x f x x f x k x ?→+?-=?,

课题∶圆锥曲线的切线方程和切点弦方程

课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程 主讲人： 安庆一中 李治国 教学目标： （1）.掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。 （2）.会用切线方程及切点弦方程解决一些问题。 （3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。 (4) 掌握曲线与方程的关系。教学重点： 切线方程及切点弦方程的应用 教学难点： 如何恰当使用切线方程及切点弦方程 教学过程： 1. 引入： 通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。 2. 知识点回顾： 1. 2. 3. 4. 圆锥曲线切线的几个性质： 性质1 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径．同理:双曲线,抛物线也有类似的性质 性质2 过椭圆的焦点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线交 于点P ，则P 点的轨迹是焦点 的对应的准线，并且 同理:双曲线,抛物线也有类似的性质 3. 例题精讲： 练习1： 抛物线 与直线 围成的封闭的图形的面积为 ，若直线l 与抛物线相 切，且平行于直线 ，则直线l 的方程为 例1： 设抛物线 的焦点为F ，动点P 在直线 22200 (,)x y r M x y +=过圆 上一点 的切线方程:200xx yy r +=00221xx yy a b +=22 0022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：22 0022 (,)1x y P x y a b -=设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为：00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 上的点，则过该点的切线方程为：00() yy p x x =+1PF AB ⊥1F :20 l x y --=2:C y x =2(0)y ax a =>1x =43260x y -+=

空间曲线的切线与空间曲面的切平面

§14-6 空间曲线的切线与空间曲面的切平面 一、空间曲线的切线和法平面 概念:曲线在某点切线及法平面. 光滑曲线. 推导:已知:曲线Γ(光滑):?? ???===)()()(t z z t y y t x x βα≤≤t ),,(000z y x P 0t t = 取),,(000z z y y x x Q ?+?+?+ 则割线 z z z y y y x x x ?-=?-=?-000 切线: ) ()()(0'00'00'0t z z z t y y y t x x x -=-=- 曲线Γ在P 处的切线向量:{}ρ)(),(),('''t z t y t x T =→ 法平面: 0))(())(())((00'00'0'=-+-+-z z t z y y t y x x t x 例1:求曲线 t x 2=, 23-=t y , 22t t z -=在点(1)1=t (2))0,6,4(M 处的切 线及法平面方程. (1) )1,1,2(1-?=P t {}{}0,3,222,3,212=-==→ t P t t T 切线: 013122-=+=-z y x 即?????=-+=-0 13122z y x (严格表示) (2) 2)0,6,4(=?t M {}{}{}1,6,122,12,222,3,222-=-=-==→t m t t T 切线: 1 6614-=-=-z y x 法平面:0)6(6)4(=--+-z y x 即0406=--+z y x 例2:求曲线Γ???=++=++0 6222z y x z y x 在点)1,2,1(-M 处切线及法平面方程. 解: Γ的常数方程?????===)()(x z z x y y x x {} ) (),(,1''x z x y T =→

曲线论 曲线的切线和法平面

§2.3 曲线的切线和法面 给出曲线上一点P ，点Q 是P 的临近一点（如图1），把割线PQ 绕 P 点旋转，使Q 点沿曲线趋于P 点，若割线PQ 趋近于一定的位置，则 我们把这个割线PQ 的极限位置称为曲线在P 点的切线. 定点P 称为切点. 直观上看，切线是通过切点的所有直线当中最贴近曲线的直线。 设曲线的参数方程是()r r t = ，切点P 对应参数0t ，Q 点对应参数0t t +?（如图 2），则有00()()PQ r t t r t =+?- 。 在割线PQ 上作向量PR ，使得00()() r t t r t P R t +?-= ? 。 当Q P →（即0t ?→）时，若 ()r t 在0 t 可微，则由向量函数的微 商可得向量PR 的极限 0000()()()lim t r t t r t r t t ?→+?-'=? 。 根据曲线的切线定义，得到 PR 的极限是切线上的一向量 ()r t ' ，它称为曲线上一点的切向 量。 由于我们已经规定只研究曲线的正常点，即()0r t '≠ ，所以曲线上一点的切向量是存在的。而这个切向量就是切线上的一个非零向量。由以上的推导过程可以看出，这个切向量的正向和曲线的参数t 的增 O

量方向是一致的。 现在我们导出曲线上一点的切线方程。 我们仍设曲线上一个切点P 所对应的参数为0t ，P 点的向径是 0()r t ，{,,}X Y Z ρ= 是切线上任一点的向径 （如图3），因为00()()r t r t ρ'- ，则得P 点的切线方程为00()()r t r t ρλ'-= ，其中λ为切线上的参数。 下面再导出用坐标表示的切线方程。设 0000(){(),(),()}r t x t y t z t = ， 0000(){(),(),()}r t x t y t z t ''''= ， 则由上述切线方程消去λ得到 000000()()()() () () X x t Y y t Z z t x t y t z t ---= = '''， 这是坐标表示的切线方程。 例1 求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt = 在3 t π = 处的切线方程。 解：易得 (){cos ,sin ,}r t a t a t bt = ， (){sin ,cos ,}r t a t a t b '=- ， 3 t π = 时，有 (){,}3223a b r π π= ， (){,,}322 a r b π '=- ， 所以切线的方程为 ( )()33 r r π π ρλ'-= ， 即

两条曲线的公切线问题

两条曲线的公切线问题 ?方法导读 在近几年高考导数大题的命制过程中,求曲线的公切线问题成为高考中的热点题型之一.学生在做题过程中,解决单一曲线的切线问题相对比较熟练,对于单一曲线的切线问题,求解过程中常用的数学思想主要是转化与化归思想,函数与方程思想,数形结合思想,求解方法也较容易理解: (1)判断切点是否可直接找到,若可以直接找到则直接求导即可;若不能直接找到则需设出切点; (2)利用导数的几何意义,即曲线在处的导数为切线的斜率; (3)根据切点既在曲线上又在切线上进行求解. 但是对于两条曲线的公切线问题的求解,显然就比单一曲线的切线问题要复杂得多,灵活得多,难度也大得多.具体的求解方法: 设曲线在点处的切线为,整理得到: . 设曲线在点处的切线为,整理得到:. 由于与是相同直线(即与的公切线), 故有且(即斜率相等,纵截距相等), 从而求解出与公切线有关的一些问题.

?高考真题 【2020·全国II卷理·20】已知函数. (1)讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点; (2)设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线 的切线. ?解题策略 【过程分析】 本题第一问首先函数问题定义域优先原则,故得到的定义域为 ,进而对函数求导得到,因为函数的定义域为,从而判断出,因此函数在和 上是单调增函数(注意函数的单调区间不可用“”符号连接,可用“,”或者“和”连接); 然后利用极限法分析当时,,而(此处利用极限法的分析过程建议在平时的做题中多多训练,在很多题型中都

有所涉及),从而根据零点存在性定理判断当,函数有零点,又根据函数在上单调递增,故当时,函数有唯一的零点; 当时,,,因为 ,所以根据零点存在性定理判断函数在必有零点,根据函数在上也是单调递增,故当时,函数有唯一的零点. 于是得到第一问的全部结论,函数在和上是单调增函数并且函数在定义域内有个零点; 第二问要证明两条曲线的公切线问题,就可以用到我们前面提到的方法,首先因为是的一个零点,所以必然满足函数解析式,即 (注意一定要合理应用题中所给条件),然后我们分别求出两条曲线的切线,在求解切线的过程中要注意切点是否可以直 接找到,对于而言,切点已经给出,所以直接求导,从而得到曲线在处的切线的斜率,进而表示出曲线在处的切线的方程为:,然后应用题中所给条件 ,所以的方程整理后为,它的斜率,在纵轴的截距为. 紧接着我们继续研究曲线,由于曲线的切点不能直接找到,所以我们设曲线的切点为,然后利用导数求出曲线过切点

圆锥曲线的切线方程总结

运用联想探究圆锥曲线的切线方程 现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆2 22r y x =+上 一点),(00y x M 的切线方程为2 00r y y x x =+；当),(00y x M 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为2 00r y y x x =+。那么，在圆锥曲线中，又 将如何？我们不妨进行几个联想。 联想一：（1）过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点),(00y x M 切线方程为 1202 0=+b y y a x x ；（2）当),(00y x M 在椭圆122 22=+b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=+b y y a x x 证明：（1）2222 1x y a b +=的两边对x 求导，得22220x yy a b ' +=，得020 2 x x b x y a y ='=-，由点斜式得切线方程为20 0020 ()b x y y x x a y -=--，即22000022221x x y y x y a b a b +=+= 。 （2）设过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 外一点),(00y x M 引两条切线，切点分别 为),(11y x A 、),(22y x B 。由（1）可知过A 、B 两点的切线方程分别为：12121=+b y y a x x 、 12222=+b y y a x x 。又因),(0 0y x M 是两条切线的交点，所以有1201201=+b y y a x x 、120 2202=+b y y a x x 。观察以上两个等式，发现),(11y x A 、),(22y x B 满足直线12020=+b y y a x x ，所以过两切点A 、B 两点的直线方程为12020=+b y y a x x 。 评注：因),(00y x M 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的位置（在椭圆上或椭圆 外）的不同，同一方程12020=+b y y a x x 表示直线的几何意义亦不同。 联想二：（1）过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上一点),(00y x M 切线方程为 1202 0=-b y y a x x ；（2）当),(00y x M 在双曲线122 22=-b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=-b y y a x x 。（证明同上） 联想三：（1）过圆锥曲线2 2 0Ax Cy Dx Ey F ++++=（A ，C 不全为零）上的点 ),(00y x M 的切线方程为00 00022 x x y y Ax x Cy y D E F ++++++=；（2）当

函数图像的切线问题

函数图像的切线问题 要点梳理归纳 1.求曲线y ＝f(x)的切线方程的三种类型及其方法 (1)已知切点P(x 0，f(x 0))，求y ＝f(x)在点P 处的切线方程： 切线方程为 y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0). (2)已知切线的斜率为k ，求y ＝f(x)的切线方程： 设切点为P(x 0，y 0)，通过方程k ＝f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求y ＝f(x)的切线方程： 设切点为P(x 0，y 0)，利用导数将切线方程表示为y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再将A(s,t)代入求出x 0. 2．两个函数图像的公切线 函数y=f(x)与函数y=g(x) 存在公切线， 若切点为同一点P(x 0，y 0)，则有 ??? ?? f ′(x 0)＝ g ′(x 0)， f (x 0)＝ g (x 0). 若切点分别为(x 1,f(x 1)),(x 2,g(x 2)),则有2 12121) ()()()(x x x g x f x g x f --= '='. 题型分类解析 题型一 已知切线经过的点求切线方程 例1.求过点(2,2)P 与已知曲线3 :3S y x x =-相切的切线方程. 解：点P 不在曲线S 上. 设切点的坐标()00,x y ，则3 0003y x x =-，函数的导数为2 '33y x =-， 切线的斜率为0 20'33x x k y x ===-，2 000(33)()y y x x x ∴-=--切线方程为， 点(2,2)P 在切线上，20002(33)(2)y x x ∴-=--，又3 0003y x x =-，二者联立

圆锥曲线的切线切点弦总结归纳(转换坐标系法)

圆锥曲线的切线、切点弦推论总结归纳 1、椭圆切线推论：已知椭圆C 方程22 221x y a b +=（a>b>0），C 上一点P （00,y x ），过点P 且与C 相 切的切线L 方程为：12020=+b y y a x x 。 122 22=+b y a x '2'2()()1x y += 推导：如图所示，当切线'L 斜率存在且不为0时（即切线L 斜率存在且不为0），设'OP 、'L 的斜率 分别为1k ，2k ， 0 01000 0y ay b k x bx a -==-，由圆的切线性质易知'OP ⊥'L ，即121k k ?=-，∴0210 1bx k k ay -==-，∴由点斜式易得'L 方程为：''0000()y bx x y x b ay a - =--，又 '',x y x y a b ==，∴ 0000()y bx x y x b b ay a a -=--，即 为椭圆切线L 方程，化简如下：0000y y bx x x b ay a --=-?，000022()()y y y x x x b a --=-，22 00002222x x y y x y a b a b +=+，又 点P(00,y x )是椭圆上一点，∴22 00 221x y a b +=，即切线L 方程化简后为：0022x x y y a b +=1； 易知当切线L 斜率为0时，P （0,b ±），切线L 方程为：y b =±，满足上式；当切线L 斜率不存在时，P （,0a ±）切线L 方程为：x a =±，也满足上式。综上，推导完毕。 L b y y = ' y P （00,y x ） x O 转换坐标系 令b y y a x x = ='', ),( 0'b y a x P O a x x = ' ' L

曲线的切线(详解)

曲线的切线 一、 基础知识： 1、 切线的定义：设P 是曲线上的一点，Q 是曲线上与P 邻近的一点。当点Q 沿着曲 线无限接近点P 时，如果割线PQ 有一个极限位置PT ，那么直线PT 就叫做曲线在点P 处的切线。 2、 函数y=f(x)在x=x 0处可导，则曲线y=f(x)在点P 处的切线方程是： ))(()(000x x x f x f y -'=- 3、 关于切线的几个问题： （1）曲线的切线和曲线可以有几个交点？（答：可以有无数个交点） （2）直线y=kx+b 在其上一点P 处有切线吗？（答：有，切线与直线重合） 二、 例题选讲： 例1 下列曲线在点x=0处没有切线的是 （ ） （A ）y=x 3+sinx （B ）x x y cos += （C ）13+=x x y （D ）y=|x| 答：选D ，因为它在x=0处没有导数且不符合切线定义。 问1：（B ）中函数在x=0处也没有导数，它有切线吗？ 答：有，切线为直线x=0。 小结：f(x)在x 0处可导?f(x)在x 0处有切线，反之不成立 f(x)在x 0处不可导≠>f(x)在x 0处没有切线。 问2：既然不能从可导不可导来判定是否存在切线，那么怎么来判定呢？ 答：围绕定义。 小结：要深入体会运动变化思想：两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合（切点），从而割线→切线。 例2 已知曲线3 4331+=x y 。 （1）求曲线在点P （2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P （2，4）的切线方程。 解：（1）所求切线斜率k=4，故所求切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0 （2）设曲线与过点P 的切线相切于点A （x 0,343031+x ），则切线的斜率k=0|x x y ='=2 0x ， ∴切线方程为) ()(02 0343 031x x x x y -=+-， ∵点P(2,4)在切线上， ∴) 2()(402 0343 031x x x -=+- 解得x 0=2或-1， 故所求的切线方程为：4x-y-4=0或x-y+2=0。 变式：从点（-1，1）向曲线13 +=x y 引切线，试求切线的方程。

关于圆锥曲线的切线作法的几种初等思考7页word

从高中数学角度出发的圆锥曲线确 切线作法的几种思考 江苏省淮北中学 连少雷 许多资料文献，都介召了圆锥曲线的切线的尺规作法。那么，作圆锥曲线的切线是否存在规律，有没有统一的初等方法或是尺规作法呢？ 先看比较特殊的情况说起，过圆锥曲线上一点的切线方程的一种初等求法： 先看一个具体问题： 求过椭圆13422=+ y x 上一点)2 3 ,1(P 的切线方程． 在中学阶段解决此类问题，一般采用?方法，即设切线方程为 )1(2 3 -=-x k y ，代入13422=+y x ，整理得关于x 的一元二次方程：子选手 03124)128()43(2222=--++-++k k x k k x k ， 通过判别式?＝0)3124)(43(4)128(2222=--+-+-k k k k k ，解得 2 1 - =k ，故所求切线方程为042=-+y x ． 这种方法思路直，用到知识少，学生容易掌握，不足之处是运算量偏大，出错率高．那么能否给出一种求解思路简单，而运算量又较小的方法呢？ 命题：),(00y x P 为圆锥曲线0),(:=y x f C 上一点，则曲线C 上过P 点的切线方程为0)2,2(),(00=---y y x x f y x f （＊） 证明：因0),(=y x f 为二次曲线方程，知方程（＊）代表的是一条直线，记为l ．假设直线l 与曲线C 除了点),(00y x P 外还有一个公共点),(111y x P ，则有0),(11=y x f 和0)2,2(),(101011=---y y x x f y x f 同时成立，从而 0)2,2(1010=--y y x x f ，这表明),(111y x P 关于点),(00y x P 的对称点)2,2(10102y y x x P --也在曲线C 上，因1,P P 点在直线l 上，故2P 点也在直 线l 上，可见直线l 与曲线C 有三个公共点，这与直线与二次曲线最多只有两个公共点矛盾，从而证明了直线l 与曲线C 有且只有一个公共点． （１）当0),(=y x f 表示椭圆时，由于椭圆是封闭曲线，直线l 就是切线，方程（＊）即为切线方程． （２）当0),(=y x f 表示双曲线时，只要断定直线l 与双曲线的渐近线不平行，就能证明直线l 就是切线，方程（＊）为其切线方程．

高中数学函数的切线问题

函数的切线问题 一、基础知识： （一）与切线相关的定义 1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。 （1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上 （2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数3 y x =在 ()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。 （3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线 （4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边） 2、切线与导数：设函数()y f x =上点()() 00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点 ()()00,B x x f x x +?+?，则割线AB 斜率为： ()()()()() 000000 AB f x x f x f x x f x k x x x x +?-+?-= = +?-? 当B 无限接近A 时，即x ?接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为： ()()000 lim x f x x f x k x ?→+?-=?,

专题02 曲线的切线问题探究

第一章 函数与导数 专题02 曲线的切线问题探究 【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有： 1.已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点()() 11,x f x ，即解方程()f x k '=. 2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点． （1）已知切点求切线方程：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点()() 00,x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为()()000y y f x x x '-=-． （2）求过点P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f(x 1))； 第二步，写出过P ′(x 1，f(x 1))的切线方程为y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)； 第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1； 第四步，将x 1的值代入方程y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)可得过点P(x 0，y 0)的切线方程． 3.求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决． 4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解． 5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）. 6.导数几何意义相关的综合问题． 【压轴典例】 例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 例2.（2019·全国高考真题（理）） 已知函数()1 1 ln x f x x x -=- +. （1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；

高考之【圆锥曲线篇】-秒杀技巧切线方程

大招九圆锥曲线的切线方程及其应用 现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆上一点的切线方程为；当在圆外时，过点引切 线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为。那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。 联想一：（1）过椭圆上一点切线方程为；（2）当在椭圆的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为： 证明：（1）的两边对求导，得，得，由点斜式得切线方程为，即。 （2）设过椭圆外一点引两条切线，切点分别为、。由（1）可知过、两点的切线方程分别为：、。又因是两条切线的交点，所以有、 。观察以上两个等式，发现、满足直线，所以过两切点、两点的直线方程为。 评注：因在椭圆上的位置（在椭圆上或椭圆外）的不同，同一方程表示直线的几何意义亦不同。 联想二：（1）过双曲线上一点切线方程为；（2）当在双曲线的外部时，过引切线有两条，

过两切点的弦所在直线方程为：。（证明同上） 联想三：（1）过圆锥曲线（A，C不全为零）上的点的切线方程为k；（2）当 在圆锥曲线（A，C不全为零）的外部时，过 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为： 证明：（1）两边对求导，得 得，由点斜式得切线方程为 化简得………………….① 因为…………………………………………………② 由①－②×2可求得切线方程为： （2）同联想一（2）可证。结论亦成立。 根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点的切线方程为：把原方程中的用代换，用代换。若原方程中含有或的一次项，把用代换，用代换，得到的方程即为过该点的切线方程。当点在曲线外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为： 通过以上联想可得出以下几个推论： 推论1：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： 推论2：（1）过抛物线上一点切线方程为

空间曲线的切线与法平面

第六节偏导数的几何应用 二、曲面的切平面与法线 一、空间曲线的切线与法平面

设空间曲线的方程) 1()() ()( t z t y t x o z y x (1)式中的三个函数均可导. 一、空间曲线的切线与法平面 M . ),,(0000t t t z z y y x x M 对应于; ),,,(0000t t z y x M 对应于设 M 第六节偏导数的几何应用

考察割线趋近于极限位置——切线的过程z z z y y y x x x 0 00t t t 上式分母同除以, t o z y x M M 割线的方程为 M M ,0 00z z z y y y x x x

, 0,时即当 t M M 曲线在M 处的切线方程 000 000()()() x -x y -y z -z ==.φt ψt ωt 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 000()()() T =φt ,ψt ,ωt 法平面：过M 点且与切线垂直的平面. ()()()()()() 0000000 φt x -x ψt y -y ωt z -z

例1 求曲线: t u udu e x 0cos ，t y sin 2 t cos ,t e z 31 在0 t 处的切线和法平面方程. 解当0 t 时，, 2,1,0 z y x ,cos t e x t ,sin cos 2t t y , 33t e z , 1)0( x ,2)0( y , 3)0( z 切线方程, 3 2 2110 z y x 法平面方程, 0)2(3)1(2 z y x . 0832 z y x 即

过一点作曲线的切线问题

过一点作曲线的切线问题 吉林磐石 周喜瑞 （2007全国2第22题）已知函数x x x f -=3)(. （1）求曲线)(x f y =在点M （)(,t f t ）处的切线方程； （2）设a >0. 如果过点（a , b ）时作曲线y =f （x ）的三条切线，证明： ).(a f b a <<- （22）解： （Ⅰ）求函数)(x f 的导数：13)(2-='x x f 曲线))(,()(t f t M x f y 在点=处的切线方程为： ))(()(t x t f t f y -'==即 .2)13(32t x t y --= （Ⅱ）如果有一条切线过点（a ，b ），则存在t ，使322)13(t a t b --= 于是，若过点（a ，b ）可作曲线)(x f y =的三条切线，则方程 03223=++-b a at t 有三个相异的实数根，记 ,32)(23b a at t t g ++-= 则 at t t g 66)(2-=')(6a t t -= 当t 变化时，)()(t g t g '，变化情况如下表： 由)(t g 的单调性，当极大值0<+b a 或极小值0)(>-a f b 时，方程0)(=t g 最多有一个实数根； 当0=+b a 时，解方程2 300)(a t t t g ===，得，即方程0)(=t g 只有两个相异的实数根； 当0)(=-a f b 时，解方程a t a t t g =-==，得2 0)(，即方程0)(=t g 只有两个相异的实数根 综上，如果过),(b a 可作曲线)(x f y =三条曲线，即0)(=t g 有三个相异的实数根，则

曲线的切线与导数关系问题之一招毙命

曲线的切线与导数关系问题之一招毙命 学习目标：掌握函数在某一点处导数的几何意义——图象在该点处的切线的斜率，以及由此延伸的切线问题。 高考地位：常以选择题填空题的形式出现，或者出现在解答题的第一问，难度不大，但有时比较绕，属于必 会题。(个别题目要学会向切线方面考虑） 知识准备： 1、求导公式和导数的运算法则： 2、点斜式直线方程： 3、直线位置关系的判定 平行： 垂直： 4、导数的几何意义：函数在某一点处导数就是图象在该点处的切线的斜率即 解题绝招： 一点三等式 一点：切点 有则直接用，无则假设有 三等式：切点即满足切线方程也满足曲线方程 切点处的导数就是切线方程的斜率 典型例题： 例1.函数)(x f y =的图像在点M ))1(,1(f 处的切线方程是221+= x y ,)1()1(/f f += . 3 例2.过P(-1,2)且与曲线2432+-=x x y 在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是 y=2x+4 曲线过点(0,0)的切线方程 x y 3 6±= 例3、已知直线1+=x y 与曲线)ln(a x y +=相切，求a 的的值(a=2) 例4、已知函数)(ln )(,)(R a x a x g x x f ∈==，它们有交点且交点处有相同的切线，求a 的值及交点处的切线方程 (02,2 2=+-= e ey x e a ) 例5、点P 是曲线x x y ln 2 -=上任一点，则点P 到直线2-=x y 的距离的最小值是 。2 总结：

基础训练： 1、曲线b x y x x y +==2ln 与相切与点p ，则p 点坐标为 .(e,e) 2、若曲线),0(2b b ax x y 在++=处的切线是x-y+1=0,则a= b= (1、1） 3、若曲线4x y =的一条切线l 与084=-+y x 垂直,则l 的方程为 4.曲线x e y 21=在),4(2e 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 . 5、已知直线y=kx 与y=lnx 有公共点,则k 的最大值为 . e 1 6、曲线x x x y +-=232在21p p 处的切线斜率都为1，则21p p 在x 轴上得摄影长为 7、在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）的任意21122121)()(),(,x x x f x f x x x x -<-≠恒成立的是（ ）. A x x f 1)(= B x x f =)( C x x f 2)(= D 2)(x x f = 8．设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________. 9.设函数()142cos 3sin 323-+θ+θ=x x x x f ，其中?? ????π∈θ650，， 则导数()1-'f 的取值范围是 （ ） A ． []63， B ．[]343+， C ．[]634，- D ． []3434+-， 10、若存在过点（1,0）的直线与曲线9415,23-+ ==x ax y x y 都相切，求a 值(1,23.6425,000-=-=- ==a x a x ) 11、设,),()(,)()(),()(,sin )(/1/12/010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+ 则=)(2009x f ( )c A sinx B –sinx C cosx D -cosx

圆锥曲线的切线方程和切点弦方程

课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程 教学目标： （1）.掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。 （2）.会用切线方程及切点弦方程解决一些问题。 （3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。 (4) 掌握曲线与方程的关系。 教学重点： 切线方程及切点弦方程的应用 教学难点： 如何恰当使用切线方程及切点弦方程 教学过程： 1. 引入： 通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。 2. 知识点回顾： 1. 2. 3. 4. 圆锥曲线切线的几个性质： 性质1 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于 该椭圆的通径．同理:双曲线,抛物线也有类似的性质 性质2 过椭圆的焦点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线交 于点P ，则P 点的轨迹是焦点 的对应的准线，并且 同理:双曲线,抛物线也有类似的性质 3. 例题精讲： 练习1： 抛物线 与直线 围成的封闭的图形的面积为 ，若直线l 与抛物线相切，且平行于直线 ，则直线l 的方程为 例1： 设抛物线 的焦点为F ，动点P 在直线 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求△APB 22200 (,)x y r M x y +=过圆 上一点 的切线方程:200xx yy r +=00221xx yy a b +=220022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：22 0022(,)1x y P x y a b -=设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为： 00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 上的点，则过该点的切线方程为： 00() yy p x x =+1PF AB ⊥1F :20 l x y --=2:C y x =2(0)y ax a =>1x =43 260x y -+=

关于曲线上存在两条互相垂直的切线问题模型探究

曲线上存在两条互相垂直的切线问题模型探究 例题1（2013天津预赛5）如果曲线2sin 2 x y = 的两条互相垂直的切线交于点P ，则P 点的坐标不可能是（ ） (A) ()ππ， (B)()3,ππ- (C)()5,ππ- (D)()7,ππ- 解析 设曲线2sin 2x y =在点1212(,2sin ),(,2sin )22 x x A x B x 的切线交于点P ，那么由题意可知：121k k =-，其中1212cos ,cos 22x x k k ==；即有12cos cos 122 x x =-. 又121cos 1,1cos 122x x -≤≤-≤≤，则有121cos cos 122x x -≤≤，当且仅当12cos cos 122x x =时，等号成立. 因此，当12cos cos 122x x =-=±时，12 cos cos 122x x =-，即可知12 22(1)x k x k ππ=?? =+?. 那么12(21)2P x x x k π+= =+，(21)sin (1)2k P k y πππ+??=?=-???? . 故可知(C)错. 评注 此题或先求出()ππ，和()ππ-，-两个交点，再利用周期为4π，同样得解. 例题2（2013山东预赛10）假设实数b ，c 满足221b c +=，且()sin cos f x ax b x c x =++的图象上存在两条切线互相垂直，则a 的取值范围是 ． 解析 22()sin cos )sin()f x ax b x c x ax b c x ax x ??=++=+++=++；设图象上两条切线在曲线上的切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则有()()1212''1k k f x f x ==-. 即： [][]12cos()cos()1a x a x ??++++=- ① 在①中，令cos(),(1,2)i i t x i ?=+=，展开后有21212()10a a t t t t ++++=，由a R ∈可知0?≥，又 22121212()4(1)()4t t t t t t ?=+-+=-- ② 在②中，由于[1,1]i t ∈-，那么122t t -≤，即212()40t t ?=--≤ ③，因此由②③可知0?=， 121t t =-=±，代入到①中解得0a =. 综上可知：a 的取值范围是0a =. 评注 此题可溯源到如下例题：