搜档网
当前位置:搜档网 › 随机过程习题和答案.doc

随机过程习题和答案.doc

随机过程习题和答案.doc
随机过程习题和答案.doc

一、设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为:

试求:在时,求。

解:

当时,=

设离散型随机变量X服从几何分布:

试求的特征函数,并以此求其期望与方差。

解:

所以:

袋中有一个白球,两个红球,每隔单位时间从袋中任取一球后放回,对每

一个确定的t

对应随机变量

X(t)

t

3

t

e

如果对

如果对

t时取得红球

t时取得白球

试求这个随机过程的一维分布函数族

.

设随机过程,其中是常数,与是相互独立的随机变量,服从区间上的均匀分布,服从瑞利分布,其概率密度为

试证明为宽平稳过程。

解:(1)

与无关

(2)

所以

(3)

只与时间间隔有关,所以为宽平稳过程。

设随机过程X(t)U cos2t U E(U)5,D(U)5.求:

,其中是随机变量,且

1)均值函数;(2)协方差函数;(3)方差函数.

设有两个随机过程X(t)Ut2Y(t)Ut3,U随机变量,且D(U)5.

,其中是

试求它们的互协方差函数。

设A,B,X(t)At3B t T(,)的均值

是两个随机变量试求随机过程,

函数和自相关函数.A,B,~(1,4),~(0,2),()(,)

若相互独立且A N B U则m X t及R X t1t

2为多少?

一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均有多少学生接受过体检在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲)

解:令N(t)表示(0,t)时间内的体检人数,则N(t)为参数为30的

poisson过程。以小时为单位。则E(N(1))30。

40k

(30) P(N(1)40)e

k!

k030

在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强

度分别为1,2,当1路公共汽车有N人乘坐后出发;2路公共汽车

1

在有N2人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客

到来,求(1)1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式;(2)当N1=N,1=

2

2时,计算上述概率。

解:

法一:(1)乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为

1、2的

poisson过程,令它们为T表示N1(t)=

N1(t)、N2(t)。

N

1N的发生时1

刻,T表示N2(t)=

N

2N的发生时刻。

2

N

1

1N1

f t t t

()1exp() T1111

N N

(1)! 1

1

N

2

N1 2

f t t t

()2exp() T2222

N

2

(N1)!

2

N N

12

N1N1

12

f(t,t)f(t|t)f(t)t exp(t)t exp(t)

12 T,T12T|T12T2111222

N N N N N(N1)!(N1)!

12122

12

N N

t

12 2

1N12N1 P(T T)dt t exp(t)t exp(t)dt

12 N N21112221

12(N1)!(N1)!

00

12

(2)当N=

1N、1=

2

2时,

P(T T)P(T T)

N N N N

1212

1

2

法二:(1)乘车到来的人数可以看作参数为1+

2的泊松过程。令Z1、Z2分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时

间间隔。则Z1、Z2分别服从参数为1、2的指数分布,现在来求

当一个乘客乘坐1路汽车后,下一位乘客还是乘坐1路汽车的概率。

z

2

p P(Z Z)dz exp(z)exp(z)dz

1221112221

00

1。

12

故当一个乘客乘坐1路汽车后,下一位乘客乘坐2路汽车的概

率为1-p

2

12

上面的概率可以理解为:在乘客到来的人数为强度1+

2的泊松过程时,乘客分别以1的概

概率乘坐公共汽车1,以

2

1212

率乘坐公共汽车2。

将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功,那么有:

N N1

12

N11N2k N

(1=1()1()1

k1

k N

1

1212

(2)当N=

1N、1=

2

2时

2N12N1

1111 N1k N1k1

P路汽车比2路汽车先出发)C C

(1=()()

k1k1

2222 k N k N

设{N(t),t0},(i1,2,L,n)是n个相互独立的Poisson过程,参数分别为i

i(i1,2,L,n)。记T为全部n个过程中,第一个事件发生的时刻。

(1)求T的分布;

(2)证明

n

{()(),0}

N t N t t是Poisson过程,参数为

i

i1

n

i1i

(3)求当n个过程中,只有一个事件发生时,它是属于{N(t),t0}的概率。

1

解:(1)记第i个过程中第一次事件发生的时刻为t,i1,2,...,n。

i1

则T min{t

i1,i1,2,...,n}

。由t i1服从指数分布,有

P{T t}1P{T t}1P{min{t,i1,2,...,n}t}

i1

n

1P{t t,i1,2,...,n}1P{t t}

i1i1

i1

n n

t

1{1(1)}1exp{}

e i t

i

i1i1

(2)方法一:由{N(t),i1,2,...,n}为相互独立的poisson过程,对

i

于s,t0。

n

P{N(t s)N(t)n}P{[N(t s)N(t)]n}

i i i1

P{N(t s)N(t)n,n n,i1,2...,n}

i i i i ni n

ni n

n

n n

i n i

(s exp(()s))

i

n!

i1i1i

n

n

(s)

i n i1

exp(()s)

i n!

i1

这里利用了公式

n n

i

n i (...)n!

1n

n!

ni n

i1i

所以

n

{()(),0}

N t N t t是参数为

i

n

i

的poisson过程。i1i1

方法二:

○1当h0时,

n

P{N(t h)N(t)1}P{[N(t s)N(t)]1}

i i i1

n n

{(h o(h))(1h o(h))}

i j

i1j1

j i

n n

[h o(h)]h o(h)

i i

i1i1

○2当h0时,

n

P{N(t h)N(t)2}P{[N(t s)N(t)]2}

i i

i1

n

1P{[N(t s)N(t)]2}

i i i1

n n

1(1h o(h))h o(h)

j i

j1i1

n n

1(1h o(h))h o(h)

i i

i1i1

o(h)

得证。

(3)P{N(t)1|N(t)1}P{N(t)1,N i(t)0,i2,...,n}/P{N(t)1}

11

n

n t n

i

1t1

t

te e i e i t

/1

1i

...

i2i11n

证明poisson过程分解定理:对于参数为的poisson过程

r

{N(t),t0},0p1,

i i1

p

i

1

,i1,2,L,r,可分解为r个相

互独立的poisson过程,参数分别为p,

i i

1,2,L,r

解:对过程{N(t),t0},设每次事件发生时,有r个人对此以概率

r

p1,p2,...,p r进行记录,且p,同时事件的发生与被记录之

1

i

i1

间相互独立,r个人的行为也相互独立,以N

i

(t)表示为到t 时刻第i个人所记录的数目。现在来证明{(),0}

N t t是参数为

i

p的poisson过程。

i

P{N(t)m}P{N(t)m|N(t)m n}P{N(t)m n}

i i

n0

n0

m n

(t) m m n t

C p(1p)e

m n i i

(m n)!

e

m (p t)

p t i

i

m!

独立性证明:考虑两种情况的情形,即只存在两个人记录,

一个以概率p,一个以概率1p记录,则{N(t),t0}是参数为

1

p的poisson过程,{N(t),t0}是参数为(1p)的poisson

2

过程。

P{N(t)k,N(t)k}P{N(t)k,N(t)k k}

11221112

P{N(t)k k}P{N(t)k|N(t)k k}

121112

k k

(t)

12 (k k)!

12

t k k k

e C1p1p2

(1)

k k

12

k k

()12

t(k k)!

t k k

12

e p1p2

(1) (k k)! k!k!

1212

(t) k!k!

12k k

12t k k

e p(1p)

12

(k k

pt t p t p t

)1((1))2

(1)

e e

k!k!

12

P{N(t)k}P{N(t)k}

1122

得证。

设{N(t),t

0}是参数为3的poisson过程,试求

(1)P{N(1)3}

(2)P{N(1)1,N(3)2};(3)P{N(1)2|N(1)1}

解:(1)

3k

33

3 P{N(1)3}e13e

k0

k!

(2)P{N(1)1,N(3)2}P{N(1)1,N(3)N(1)1}

369

P{N(1)1}P{N(3)N(1)1}3e6e18e

3

P{N(1)2}14e

(3)

P{N(1)2|N(1)1}

3

P{N(1)1}1e

对于poisson过程{N(t),t0},证明s t时,

n s s

n k k

P{N(s)k|N(t)n}(1)()

k t t

解:

P{N(s)k|N(t)n}P{N(s)k,N(t)n}

P{N(t)n}

P{N(s)k,N(t)N(s)n k}

P{N(t)n} P{N(t)N(s)n k}P{N(s)k}

P{N(t)n}

n k k

((t s))(s) (t s)s

e e

(n k)!k!

e t

n (t)

n!

n k k

(t s)s n!

n (n k)!k!t

n t s s

n k k

()

k n k k

t t

n s s

n k k

(1)() k t t

设{N(t),t0}和{N

2

(t),t0}分别是参数为11

2

的Poisson过程,另

X(t)N(t)N(t),问{X(t)}是否为Poisson过程,为什么12

解:不是

X t N t N t,X(t)的一维特征函数为:

()()()

12

iuX(t)iu(N(t)N(t))iuN(t)iuN(t)

f(u)E(e)E(e)E(e e)

1212

X(t)

k k

(t)(t)

iuk1t iuk2t

e e e e

12

k!k! k0k0

iu k iu k

(e t)(e t) t t

e e

12

12

k!k! k0k0

iu iu

t e t t e t

e e e e

1122

iu iu

exp{e t e t()t}

1212

参数为的Poisson过程的特征函数的形式为exp{1}

e t,所以

iu

X t不是poisson过程。

()

计算T,T

2,T

3

的联合分布

1解:

3 f , , ( x1 ,x2,x3) f (x1) f (x2 ) f (x3 ) e

X X X X X X

1 2 3 1 2 3 ( x x x )

1 2 3

1 1 0

J(t ,t ,t ) 0 1 1 1

1 2 3

0 0 1

f (t ,t ,t ) f (t ,t t ,t t ) J(t ,t ,t )

T ,T ,T 1 2 3 X ,X ,X 1 2 1 3 2 1 2 3

1 2 3 1 2 3

3 t

e 0 t t t

3

1 2 3

其他

对s 0 ,计算E[ N (t)gN (t s)] 。

解:

2

E[ N(t)N (t s)] E[N (t)(N(t s) N (t))] E[N (t )]

2

E[ N(t)]E[( N (t s) N(t ))] E[N (t )]

2 2 2 2

t s t ( t) t st t

设某医院专家门诊,从早上8:00 开始就已经有无数患者等候,而每个专家只能为一名患者服务,服务的平均时间为20 分钟,且每名患者的服务时间是相互独立的指数分布。则8:00 到12:00 门

诊结束时接受过治疗的患者平均在医院停留了多长时间。

解:从门诊部出来的患者可以看作服从参数为 3 的泊松过程(以小时为单位)。

则在[0, t] 小时内接受治疗的患者平均停留时间为:

N ( t) N (t )

T T

i i

i 1 i 1

E[ ] E[ E[ ] | N (t) n]

N(t) N (t)

nt

t t

2

E[ ] E[ ]

n 2 2

当t=4时,平均等待停留时间为2h。

3.11 { N (t ),t 0}是强度函数为(t) 的非齐次Poisson 过程,

X1, X2 ,L 是事件发生之间的间隔时间,问:

(1)诸X是否独立

i

(2)诸X i 是否同分布解:

(1)

t

( s)ds

m(t)

P{ X t} P{ N(t) 0} e e 。

1

P{ X t | X s} P{ N(t s) N ( s) 0| X s}

2 1 1

t s

[m(t s) m( s)]

P{ N(t s) N (s) 0} e e s

( )d

从上面看出X

1 、X

2 不独立。

以此类推,X

i 不独立。

(2)

t

( s)ds

F (t ) 1 e ;

X

1

F (t ) 1 P( X t) 1 P{ X t | X s} dF (s)

X X

2 2 0 2 1 1

[ m(t s) m( s)] m( s) m( t s)

1 e e (s)ds 1 e (s)ds

0 0

分布不同。

设每天过某路口的车辆数为:早上7:00 : 8:00,11:00 : 12:00 为平

均每分钟 2 辆,其他时间平均每分钟 1 辆。则早上7:30 : 11:20 平均

有多少辆车经过此路口,这段时间经过路口的车辆数超过500 辆的概率是多少

解:(1)记时刻7:00 为时刻0,以小时为单位。经过路口的车辆数为一个非齐次poisson 过程,其强度函数如下:

( s) 120 0 s 1,4 s 5 60 1 s 4

则在7:30~11:20 时间内,即

13

t [0.5, ]时,

3

13

N( ) N (0.5)

3

代表这段时间内通过的车辆数,它服从均值为如下的

poisson 分布。

13 13

1 4

m(t) (s)ds 120ds 60ds 120ds 60 180 40 280

3 3

0.5 0.5 1 4

即:

13

E[N ( ) N (0.5)] 280,在给定的时间内平均通过的车3

辆数为280。

(2)

n

13 (280)

P[N( ) N (0.5) 500] e

3 n!

n 501

280 。

[0,t] 时间内某系统受到冲击的次数N (t) ,形成参数为的poisson 过程。每次冲击造成的损害Y,i 1,2, L ,n独立同指数分布,均值为。

i

设损害会积累,当损害超过一定极限 A 时,系统将终止运行。以T 记系统运行的时

间(寿命),试求系统的平均寿命ET 。

解:在[0,t ] 内某系统受到的总损害

N ( t)

X t Y 为一个复合poisson 过( )

i

i 1

程,其中

1 Y e 。

~ ( )

i

t

ET tdF (t ) dxdF (t) dF (t )dx (1 F ( x))dx P(T x)dx

T T T T

0 0 0 0 x 0 0

N (t)

P(T t) P{ Y A}

i

i 0

N (t)

P{ Y A| N(t) n}P{ N (t) n}

i

n 0 i 0

n

t

e P{ Y A} P{ N(t) n}

i

n 1 i 1

1

n x n

( ) ( )

t

A

t n 1 t

e { x e dx} e

0 (n 1)! n! n 1

最新随机过程考试试题及答案详解1

随机过程考试试题及答案详解 1、(15分)设随机过程C t R t X +?=)(,),0(∞∈t ,C 为常数,R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 (1)求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数; (2)求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 (1)? ∞ -= x dt t f x F )()(,则)(t f 为密度函数; (2))(t X 为),(b a 上的均匀分布,概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ,分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(,2)(b a x E += ,12)()(2a b x D -=; (3)参数为λ的指数分布,概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ,分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ,λ1)(=x E ,21 )(λ=x D ; (4)2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布,概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ, 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ,若1,0==σμ时,其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 (1)因R 为]1,0[上的均匀分布,C 为常数,故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知, )(t X 为],[t C C +上的均匀分布,因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ,一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(;

中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案

(1) 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程,其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({,且是一个周期为T 的函数,即0),()(≥=+τττB T B ,求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解:由定义,有: )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D (2) 试证明:如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程,且0)0(=X ,那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明:我们要证明: n t t t <<<≤? 210,有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有: } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此,我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知,当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时,增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立,由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下,即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知,在11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立,结果成立。 (3) 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值(00=W )的、有平稳增量和独立增量的过程, 且对每个0>t ,),(~2t N W t σμ,问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程,为什么? 解:任取n t t t <<<≤? 210,则有: n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-

(完整版)答案应用随机过程a

山东财政学院 2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A ) (考试时间为120分钟) 参考答案及评分标准 考试方式: 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉 一. 判断题(每小题2分,共10分,正确划√,错误划ⅹ) 1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。(ⅹ ) 2. 非周期的正常返态是遍历态。(√ ) 3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元,则可断定该马氏链不是遍历的。(ⅹ ) 4. 有限马尔科夫链没有零常返态。(√ ) 5.若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有:0)(?nd ii p 。(ⅹ ) 二. 填空题(每小题5分,共10分) 1. 在保险公司的索赔模型中,设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司,若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布,一年中保险公司的平均赔付金额是__240000元___。 2.若一个矩阵是随机阵,则其元素满足的条件是:(1)任意元素非负(2)每行元素之和为1。 三. 简答题(每小题5分,共10分) 1. 简述马氏链的遍历性。 答:设) (n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率,,如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(?=j n ij p p ,则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。 2. 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同?

答:非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于:强度λ不再是常数,而是与t 有关,也就是说,不再具有平稳增量性。它反映了其变化与时间相关的过程。如设备的故障率与使用年限有关,放射物质的衰变速度与衰败时间有关,等等。 四. 计算、证明题(共70分) 1. 请写出C —K 方程,并证明之. (10分) 解: 2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. (15分) 解:若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程,是Λ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量,并且与{}0),(≥t t X 也是独立的, )(t X =∑=t N i i Y 1,那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程

期末随机过程试题及标准答案

《随机过程期末考试卷》 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9.更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为 。 10.记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切,当时,t +a 。 二、证明题(本大题共4道小题,每题8分,共32分) 1.设A,B,C 为三个随机事件,证明条件概率的乘法公式: P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1

随机过程试题带答案

1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9.更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为 。 10.记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切,当时,t +a 。 二、证明题(本大题共4道小题,每题8分,共32分) P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 1.为it (e -1) e λ。2. 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。3. 1 λ 4. Γ 5. 212t,t,;e,e 33?????? 。 6.(n)n P P =。 7.(n) j i ij i I p (n)p p ∈=?∑。 8.6 18e - 9。()()()()0 t K t H t K t s dM s =+-? 10. a μ 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1

随机过程习题答案

1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程,且它们的均值分别为mx 和my ,它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。(1)求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数;(2)求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案: (1)[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== :独立的性质和利用 (2)[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质:)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数;(2)求输出信号的一维概率密度函数。 答案: (1) 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统,所以输出y(t)的功率谱密度函数为: ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换,就得到输出的自相关函数: ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压:y(t) 电压:x(t) 电流:i(t)

随机过程试题及答案

一.填空题(每空2分,共20分) 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),-

最新随机过程习题及答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为: 试求:在时,求。 解: 当时,= = 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布: 试求的特征函数,并以此求其期望与方差。解:

所以: 2.1 袋中红球,每隔单位时间从袋中有一个白球,两个任取一球后放回,对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ,其中 是常数,与是 相互独立的随机变量,服从区间上的均匀分布,服从瑞利分布,其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解:(1) 与无关

(2) , 所以 (3) 只与时间间隔有关,所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量,且,其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求:,.5)(5)(==U D U E .321)方差函数)协方差函数;()均值函数;(( 2.4是其中,设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量,且 数。试求它们的互协方差函 2.5, 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少?

3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均有多少学生接受过体检?在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲) 解:令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数,则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ,2λ,当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发;2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来,求(1)1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式;(2)当1N =2N ,1λ=2λ时,计算上述概率。 解: 法一:(1)乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程,令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻,2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ----

(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案

北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项:学生必须将答题内容(包括填空题)做在试题答题纸上,做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号,班内序号! 一. 单项选择题和填空题:(每空3分,共30分) 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A (A )若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; (B )若A A B ∈?A,,则B ∈A ; (C )若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; (D )若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间,P 为定义在其上的有限可加测度,则下面正确的是 .c (A )若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-; (B )若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ,则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==; (C )若A B C ∈∈∈F,F,F,,则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++; (D )若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/,1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数,表达式为100 0()k A k f kI ω==∑,其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=,则fdP Ω=? ;

应用随机过程试题及答案

应用随机过程试题及答案 一.概念简答题(每题5 分,共40 分) 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA(p,q)模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6.简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷(共9 页)第2 页7. 什么是随机过程,随机序列?8.什么是时齐的独立增量过程?二.综合题(每题10 分,共60 分) 1 .一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且,在给定Y=y 条件下,随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷(共9 页)第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4.设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ,方差( ) t D X ,相关函数1 2 ( , ) X R t t ,协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷(共9 页)第4 页5 .设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为

随机过程补充例题

随机过程补充例题 例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元,他们不知道那一种球多。他们约定:每一次从袋中摸1个球,如果摸到白球甲给乙1元,如果摸到黑球乙给甲1元,直到两个人有一人输光为止。求甲输光的概率。 解 此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题,也叫赌徒输光问题。 由题知,甲赢1元的概率为b p a b =+,输1元的概率为 a q a b =+,设n f 为甲输光的概率,t X 表示赌t 次后甲的赌金, inf{:0 }t t t X or X m n τ===+,即τ 表示最终摸球次数。如果 inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ(Φ为空集),则令τ=∞。 设A =“第一局甲赢”,则()b p A a b = +,()a p A a b = +,且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元),甲最终输光的概率为1n f +,第一局甲输的条件下(因甲有1n -元),甲最终输光的概率为1n f -,由全概率公式,得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+ 01f =,0m n f += 解具有边界条件的差分方程 由特征方程 2()p q p q λλ+=+

(1)当q p ≠时,上述方程有解121,q p λλ==,所以差分方程的 通解为 212()n q f c c p =+ 代入边界条件得 1()11()n n n m q p f q p +-=- - (2)当q p =时,上述方程有解121λλ==,所以差分方程的通解为 12n f c c n =+ 代入边界条件得 1n n f n m =- + 综合(1)(2)可得 1()11() 1n n m n q p p q q f p n p q n m +? -?- ≠?? -=?? ?-=? +? 若乙有无穷多的赌金,则甲最终输光概率为 () lim 1n jia n m q p q p p f p q →∞ ?>?==??≤? 由上式可知,如果赌徒只有有限的赌金,而其对手有无限的赌金,当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ,即p q ≤时,

学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)

北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意:试卷共七道大题,请写明详细解题过程。 考试方式:半开卷,考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版(或第二版)高等教育出版社。可以看笔记、作业,但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期:2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩,算得平均分数为80=x 分,样本标准差8=s 分,若全年级的英语成绩服从正态分布,且平均成绩为85分,问:能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异(取显著性水平050.=α)? 解:这是单个正态总体 ),(~2σμN X ,方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题,用T 检验法. 解 85:0=μH ,85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ,8=s ,n =28,850=μ, 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表,05.0=α,自由度27,临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>,故拒绝 0H ,即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分.

050.= 解:由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下,X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p

随机过程复习试题及答案

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明:当12n 0t t t t <<< <<时, 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1

2017 2018期末随机过程试题及答案

《随机过程期末考试卷》 1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布,则X的特征函数为 ___________ 。 2?设随机过程X(t)二Acos(「t+「),-::vt<::其中「为正常数,A和门是相互独立的随机变量,且A和“服从在区间10,1 1上的均匀分布,则X(t)的数学期望为。 3?强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量,且服从均值为_ 的同一指数分布。 4?设「W n ,n 一1是与泊松过程:X(t),t - 0?对应的一个等待时间序列,则W n服从分布。5?袋中放有一个白球,两个红球,每隔单位时间从袋中任取一球,取后放回, r 对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3’如果t时取得红球,则这个随机过 e t, 如果t时取得白球 程的状态空间__________ 。 6 ?设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p j),n步转移矩阵P(n)=8(;)),二者之间的关系为。 7?设汉.,n -0?为马氏链,状态空间I,初始概率P i二P(X。二i),绝对概率 P j(n)二P^X n二j?,n步转移概率p j n),三者之间的关系为_____________ 。 8 .设{X(t),t 一0}是泊松过程,且对于任意t2t^ 0则 P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______ t 9?更新方程K t二H t ? .°K t-s dF s解的一般形式为__________________ 。10?记二-EX n,对一切a 一0,当t—一:时,M t+a -M t > ____________ 3.设]X n,n — 0?为马尔科夫链,状态空间为I,则对任意整数n—0,仁I

应用随机过程习题课二

习题 1. 设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数 12(,)2cos ,(,)2cos ,X t t X t t x ωω==--∞<<+∞ 且1221 (),()33P P ωω==,分别求: (1)一维分布函数(0,)F x 和(,)4F x π ; (2)二维分布函数(0,;,)4F x y π ; (3)均值函数()X m t ; (4)协方差函数(,)X C s t . 2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验,定义随机过程 1 2 cos ()2t X t πωω?=??出现正面出现反面 且“出现正面”与“出现反面”的概率相等,各为1 2 ,求 1)画出{()}X t 的样本函数 2){()}X t 的一维概率分布,1 (;)2F x 和(1;)F x 3){()}X t 的二维概率分布121 (,1;,)2 F x x 3. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{()}X t cos ()2 t t X t t π?=? ?在时刻抛掷硬币出现正面 在时刻抛掷硬币出现反面 求:(1)1(,),(1,)2F x F x ; (2)121 (,1;,)2 F x x 4. 考虑正弦波过程{(),0}X t t ≥,()cos X t t ξω=,其中ω为正常数,~(0,1)U ξ. (1)分别求3,,,424t ππππωωωω = 时()X t 的概率密度(,)f t x . (2)求均值函数()m t ,方差函数()D t ,相关函数(,)R s t ,协方差函数(,)C s t . 5. 给定随机过程: ()X t t ξη=+ ()t -∞<<+∞ 其中r. v. (,)ξη的协方差矩阵为1334C ?? = ??? , 求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的协方差函数. 6. 考虑随机游动{(),0,1,2,}Y n n =

随机过程复习题(含答案)

随机过程复习题 一、填空题: 1.对于随机变量序列}{n X 和常数a ,若对于任意0>ε,有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ,则称}{n X 依概率收敛于a 。 2.设}),({0≥t t X 是泊松过程,且对于任意0 12 ≥>t t , ,则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3.已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ,初始分布为),,(4 1 2141, ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ,则167)2(12 =P ,16 1}2,2,1{210= ===X X X P

???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4.强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5.已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R , )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ,若)()()(ττX R t X t X >=+<,以概率1成立,则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ,则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2

通信原理期末考试试题及答案-(1).doc

通信原理期末考试试题及答案 一、填空题(总分24 ,共 12 小题,每空 1 分) 1、数字通信系统的有效性用传输频带利用率衡量,可靠性用差错率衡量。 2、模拟信号是指信号的参量可连续取值的信号,数字信号是指信号的参量可离 散取值的信号。 3、广义平均随机过程的数学期望、方差与时间无关,自相关函数只与时间间隔有 关。 4、一个均值为零方差为n2的窄带平稳高斯过程,其包络的一维分布服从瑞利分布, 相位的一维分布服从均匀分布。 5 、当无信号时,加性噪声是否存在?是乘性噪声是否存在?否。 6 、信道容量是指:信道传输信息的速率的最大值,香农公式可表示为: C B log 2 (1S ) 。 N 7、设调制信号为 f(t)载波为cos c t,则抑制载波双边带调幅信号的时域表达式为 f (t) cos c t,频域表达式为1 [ F ( c ) F ( c )]。2 8、对最高频率为 f H的调制信号 m (t )分别进行 AM 、DSB 、SSB 调制,相应已调 信号的带宽分别为2f H、2f H、 f H。 9、设系统带宽为W ,则该系统无码间干扰时最高传码率为2W波特。 10 、PSK 是用码元载波的相位来传输信息, DSP 是用前后码元载波的相位差来传 输信息,它可克服PSK 的相位模糊缺点。 11 、在数字通信中,产生误码的因素有两个:一是由传输特性不良引起的码间串 扰,二是传输中叠加的加性噪声。 12 、非均匀量化的对数压缩特性采用折线近似时, A 律对数压缩特性采用13折线 近似,律对数压缩特性采用15折线近似。

二、简答题(总分18 ,共 4 小题) 1 、随参信道传输媒质的特点?( 3 分) 答:对信号的衰耗随时间变化、传输的时延随时间变化、多径传播 2、简述脉冲编码调制的主要过程。(6 分) 抽样是把时间连续、幅值连续的信号变换为时间离散,幅值连续的脉冲信号;量化是 把时间离散、幅值连续的脉冲信号变换为幅值离散、时间离散的多电平脉冲信号;编 码是把幅值、时间均离散的多电平脉冲信号用一组数字序列表示。 3 、简单叙述眼图和系统性能之间的关系?( 6 分) 最佳抽样时刻对应眼睛张开最大时刻;对定时误差的灵敏度有眼图斜边的斜率决定;图的阴影区的垂直高度,表示信号幅度畸变范围;图中央横轴位置对应判决门 限电平;抽样时刻上,上下阴影区的间隔距离之半为噪声容限。 4、简述低通抽样定理。( 3 分) 一个频带限制在( 0,f H)内的时间连续信号m(t) ,如果以T 1 2 f H的时间 间隔对它进行等间隔抽样,则m(t) 将被所得到的抽样值完全确定 2 、设信息序列为 100000000001100001 ,试编为 AMI 码和 HDB 3 码(第一个非零码编 为 +1 ),并画出相应波形。(6 分) 100000000001100001 AMI+10000000000-1+10000-1 HDB3 +1 0 0 0+V-B 0 0-V 0 0+1-1+B 0 0+V-1 +1 0 0 0+1-1 0 0-1 0 0+1-1+1 0 0+1-1 AMI HDB3

随机过程习题答案

随机过程习题解答(一) 第一讲作业: 1、设随机向量的两个分量相互独立,且均服从标准正态分布。 (a)分别写出随机变量和的分布密度 (b)试问:与是否独立?说明理由。 解:(a) (b)由于: 因此是服从正态分布的二维随机向量,其协方差矩阵为: 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量,期望和方差分别为和。 (a)试求和的相关系数; (b)与能否不相关?能否有严格线性函数关系?若能,试分别写出条件。 解:(a)利用的独立性,由计算有: (b)当的时候,和线性相关,即 3、设是一个实的均值为零,二阶矩存在的随机过程,其相关函数为 ,且是一个周期为T的函数,即,试求方差 函数。 解:由定义,有: 4、考察两个谐波随机信号和,其中:

式中和为正的常数;是内均匀分布的随机变量,是标准正态分布的随机变量。 (a)求的均值、方差和相关函数; (b)若与独立,求与Y的互相关函数。 解:(a) (b) 第二讲作业: P33/2.解: 其中为整数,为脉宽 从而有一维分布密度: P33/3.解:由周期性及三角关系,有: 反函数,因此有一维分布: P35/4. 解:(1) 其中 由题意可知,的联合概率密度为:

利用变换:,及雅克比行列式: 我们有的联合分布密度为: 因此有: 且V和相互独立独立。 (2)典型样本函数是一条正弦曲线。 (3)给定一时刻,由于独立、服从正态分布,因此也服从正态分布,且 所以。 (4)由于: 所以因此 当时, 当时, 由(1)中的结论,有: P36/7.证明: (1) (2) 由协方差函数的定义,有:

P37/10. 解:(1) 当i =j 时;否则 令 ,则有 第三讲作业: P111/7.解: (1 )是齐次马氏链。经过 次交换后,甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关,和之前的状态和交换次数无关。 (2)由题意,我们有一步转移矩阵: P111/8.解:(1)由马氏链的马氏性,我们有: (2)由齐次马氏链的性质,有: (2)

随机过程复习题(含答案)演示教学

随机过程复习题(含答 案)

随机过程复习题 一、填空题: 1.对于随机变量序列}{n X 和常数a ,若对于任意0>ε,有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ,则称}{n X 依概率收敛于a 。 2.设}),({0≥t t X 是泊松过程,且对于任意012≥>t t , ,则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3.已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ,初始分布为 ),,(4 12141, ???? ?? ?? ?????? ??? ?=434 10313131 043 411)(P ,则167)2(12=P ,16 1 }2,2,1{210= ===X X X P

???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4.强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5.已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R , )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ,若)()()(ττX R t X t X >=+<,以概率1成立,则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ,则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2

相关主题