数值分析第三次作业解答

数值分析第三次作业解答

思考题：

1：

（a ）对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange 插值多项式，节点数目越多，得到的插值多项式越接近被逼近的函数。×;

(b) 对给定的连续函数，构造其三次样条函数插值，则节点数目越多，得到的样条函数越接近被逼近的函数。 √

(c) 高次的Lagrange 插值多项式很常用。 ×

(d) 样条函数插值具有比较好的数值稳定性。 √

3． 以0.1,0.15,0.2为插值节点，

计算()f x = Lagrange 插值多项式 2()P x ， 比较2(0)P 和(0)f ，问定理4.1的结果是否适用本问题？ 解： 构造插值多项式：

0122022(0.15)(0.2)

()0.050.1

(0.1)(0.2)()0.050.05

(0.1)(0.15)()0.10.05()()()()

(0)0;(0)0.1403

x x l x x x l x x x l x P x x x x f P --=

?--=?--=?=++==

在（0，2）区间，5''''''23()(0.2)118.585458

f x x f -=≤=

从而，对任意的 '''3()(0,0.2),(0)0.05933!

f ξξω∈≤ 不存在'''32()(0,0.2),(0)(0)(0)0.14033!

f f P ξξω∈=-=。 演示程序：

x=0:0.01:0.2; y=x.^(1/2);

plot(x,y,'r')

pause,hold on

x0=[0.1,0.15 ,0.2]; y0=x0.^(1/2); x=0:0.01:0.2; y1=lagrangen(x0,y0,x); plot(x,y1,'b')

5：（a ）求()f x x =在节点

123452,0.5,0, 1.5,2x x x x x =-=-=== 的三次样条插值（150M M ==）。

解：

23452341.5,0.5, 1.5,0.5,

2/31/12001/122/31/4201/42/30h h h h M M M ====????????????=??????????????????

得到： 2344/9,32/9,4/3M M M =-==-

（b ）

x0=[-2 -0.5 0 1.5 2]; y0=abs(x0); x=-2:0.05:2;

y1=lagrangen(x0,y0,x);

y2=interp1(x0,y0,x,'spline');

x3=-2:0.1:2;y3=abs(x3);

plot(x,y1,'b',x,y2,'r',x0,y0,'o',x3,y3,'r')

北航数值分析大作业一

《数值分析B》大作业一 SY1103120 朱舜杰 一．算法设计方案： 1.矩阵A的存储与检索 将带状线性矩阵A[501][501]转存为一个矩阵MatrixC[5][501] . 由于C语言中数组角标都是从0开始的，所以在数组MatrixC[5][501]中检索A的带内元素a ij的方法是： A的带内元素a ij=C中的元素c i-j+2,j 2.求解λ1，λ501，λs ①首先分别使用幂法和反幂法迭代求出矩阵按摸最大和最小的特征值λmax和λmin。λmin即为λs； 如果λmax>0,则λ501=λmax；如果λmax<0,则λ1=λmax。 ②使用带原点平移的幂法（mifa（）函数），令平移量p=λmax，求 出对应的按摸最大的特征值λ，max， 如果λmax>0,则λ1=λ，max+p；如果λmax<0,则λ501=λ，max+p。 3.求解A的与数μk=λ1+k（λ501-λ1）/40的最接近的特征值λik （k=1,2，…，39）。 使用带原点平移的反幂法，令平移量p=μk，即可求出与μk最接近的特征值λik。 4.求解A的（谱范数）条件数cond（A）2和行列式d etA。 ①cond（A）2=|λ1/λn|，其中λ1和λn分别是矩阵A的模最大和 最小特征值。

②矩阵A的行列式可先对矩阵A进行LU分解后，detA等于U所有对角线上元素的乘积。 二．源程序 #include #include #include #include #include #include #include #define E 1.0e-12 /*定义全局变量相对误差限*/ int max2(int a,int b) /*求两个整型数最大值的子程序*/ { if(a>b) return a; else return b; } int min2(int a,int b) /*求两个整型数最小值的子程序*/ { if(a>b) return b; else return a; } int max3(int a,int b,int c) /*求三整型数最大值的子程序*/ { int t; if(a>b) t=a; else t=b; if(t

清华大学数值分析A第一次作业

7、设y0=28，按递推公式 y n=y n?1? 1 100 783，n=1,2,… 计算y100，若取≈27.982，试问计算y100将有多大误差？ 答：y100=y99?1 100783=y98?2 100 783=?=y0?100 100 783=28?783 若取783≈27.982，则y100≈28?27.982=0.018，只有2位有效数字，y100的最大误差位0.001 10、设f x=ln?(x? x2?1)，它等价于f x=?ln?(x+ x2?1)。分别计算f30，开方和对数取6位有效数字。试问哪一个公式计算结果可靠？为什么？ 答： x2?1≈29.9833 则对于f x=ln x?2?1，f30≈?4.09235 对于f x=?ln x+2?1，f30≈?4.09407 而f30= ln?(30?2?1) ，约为?4.09407，则f x=?ln?(x+ x2?1)计算结果更可靠。这是因为在公式f x=ln?(x? x2?1)中，存在两相近数相减（x? x2?1）的情况，导致算法数值不稳定。 11、求方程x2+62x+1=0的两个根，使它们具有四位有效数字。 答：x12=?62±622?4 2 =?31±312?1 则 x1=?31?312?1≈?31?30.98=?61.98 x2=?31+312?1= 1 31+312?1 ≈? 1 ≈?0.01613

12.（1）、计算101.1?101，要求具有4位有效数字 答：101.1?101= 101.1+101≈0.1 10.05+10.05 ≈0.004975 14、试导出计算积分I n=x n 4x+1dx 1 的一个递推公式，并讨论所得公式是否计算稳定。 答：I n=x n 4x+1dx 1 0= 1 4 4x+1x n?1?1 4 x n?1 4x+1 dx= 1 1 4 x n?1 1 dx?1 4 x n?1 4x+1 dx 1 = 1 4n ? 1 4 I n?1，n=1，2… I0= 1 dx= ln5 1 记εn为I n的误差，则由递推公式可得 εn=?1 εn?1=?=(? 1 )nε0 当n增大时，εn是减小的，故递推公式是计算稳定的。

数值分析大作业-三、四、五、六、七

大作业 三 1. 给定初值 0x 及容许误差 ，编制牛顿法解方程f (x )=0的通用 程序. 解：Matlab 程序如下： 函数m 文件：fu.m function Fu=fu(x) Fu=x^3/3-x; end 函数m 文件：dfu.m function Fu=dfu(x) Fu=x^2-1; end 用Newton 法求根的通用程序Newton.m clear; x0=input('请输入初值x0:'); ep=input('请输入容许误差:'); flag=1; while flag==1 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0)

while flag1==1 && m<=10^3 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0)=ep flag=0; end end fprintf('最大的sigma 值为：%f\n',sigma); 2．求下列方程的非零根 5130.6651()ln 05130.665114000.0918 x x f x x +??=-= ?-???解：Matlab 程序为： （1）主程序 clear clc format long x0=765; N=100; errorlim=10^(-5); x=x0-f(x0)/subs(df(),x0); n=1; while nerrorlim n=n+1; else break ; end x0=x; end disp(['迭代次数: n=',num2str(n)]) disp(['所求非零根: 正根x1=',num2str(x),' 负根x2=',num2str(-x)]) （2）子函数 非线性函数f function y=f(x) y=log((513+0.6651*x)/(513-0.6651*x))-x/(1400*0.0918); end

数值分析作业答案

数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数

是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。

数值分析第一次作业

数值分析第一次作业 班级 学号 姓名 习题2 4、用Newton法求方程f(x)=x^3-2*x^2-4*x-7=0在[3，4]中的根。 代码： function[x_star,k]=Newton1[fname,dfname,x0,ep,Nmax] if nargin<5 Nmax=500; end if nargin<4 ep=1e-5;end x=x0;x0=x+2*ep;k=0; while abs(x0-x)>ep&kep&k

x0=x1; x1=x2; end x_star=x1; if k==Nmax warning('已迭代上限次数');end fun=inline('x^3-2*x^2-4*x-7'); [x_star,k]=Gline(fun,3,4) x2 = 3.5263 x2 = 3.6168 x2 = 3.6327 x2 = 3.6320 x2 = 3.6320 x_star = 3.6320 k = 5 习题3

数值分析大作业三 四 五 六 七

大作业 三 1. 给定初值 0x 及容许误差 ，编制牛顿法解方程f (x )=0的通用程序. 解：Matlab 程序如下： 函数m 文件：fu.m function Fu=fu(x) Fu=x^3/3-x; end 函数m 文件：dfu.m function Fu=dfu(x) Fu=x^2-1; end 用Newton 法求根的通用程序Newton.m clear; x0=input('请输入初值x0:'); ep=input('请输入容许误差:');

flag=1; while flag==1 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0)

while flag==1 sigma=k*eps; x0=sigma; k=k+1; m=0; flag1=1; while flag1==1 && m<=10^3 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0)=ep flag=0;

end end fprintf('最大的sigma 值为：%f\n',sigma); 2．求下列方程的非零根 5130.6651()ln 05130.665114000.0918 x x f x x +?? =-= ?-???解： Matlab 程序为： （1）主程序 clear clc format long x0=765; N=100; errorlim=10^(-5); x=x0-f(x0)/subs(df(),x0); n=1;

北航数值分析大作业第一题幂法与反幂法

《数值分析》计算实习题目 第一题： 1. 算法设计方案 （1）1λ，501λ和s λ的值。 1)首先通过幂法求出按模最大的特征值λt1，然后根据λt1进行原点平移求出另一特征值λt2，比较两值大小，数值小的为所求最小特征值λ1，数值大的为是所求最大特征值λ501。 2)使用反幂法求λs ，其中需要解线性方程组。因为A 为带状线性方程组，此处采用LU 分解法解带状方程组。 （2）与140k λλμλ-5011=+k 最接近的特征值λik 。 通过带有原点平移的反幂法求出与数k μ最接近的特征值 λik 。 （3）2cond(A)和det A 。 1）1=n λλ2cond(A)，其中1λ和n λ分别是按模最大和最小特征值。 2）利用步骤（1）中分解矩阵A 得出的LU 矩阵，L 为单位下三角阵,U 为上三角阵，其中U 矩阵的主对角线元素之积即为det A 。 由于A 的元素零元素较多，为节省储存量，将A 的元素存为6×501的数组中，程序中采用get_an_element()函数来从小数组中取出A 中的元素。 2.全部源程序 #include #include void init_a();//初始化A double get_an_element(int,int);//取A 中的元素函数 double powermethod(double);//原点平移的幂法 double inversepowermethod(double);//原点平移的反幂法 int presolve(double);//三角LU 分解 int solve(double [],double []);//解方程组 int max(int,int); int min(int,int); double (*u)[502]=new double[502][502];//上三角U 数组 double (*l)[502]=new double[502][502];//单位下三角L 数组 double a[6][502];//矩阵A int main() { int i,k; double lambdat1,lambdat2,lambda1,lambda501,lambdas,mu[40],det;

数值分析第一次作业及参考答案

数值计算方法第一次作业及参考答案 1. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1）， （1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton 插值求二次插值多项式。 解：(1)Lagrange 插值基函数为 0(1)(2)1 ()(1)(2)(01)(02)2 x x l x x x +-= =-+-+- 同理 1211 ()(2),()(1)36 l x x x l x x x = -=+ 故 2 20 2151 ()()(1)(2)(2)(1) 23631 i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑ （2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为 011215 5(1) [,]4, [,]20(1) 12 f x x f x x ---= =-= =----- 0124(2) [,,]102 f x x x ---= =- 实际演算中可列一张差商表： （3）用对角线上的数据写出插值多项式 2 2()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+ 2. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使 截断误差不超过6 10-，问使用函数表的步长h 应取多少 解： ()40000(), (),[4,4],,,, 1.x k x f x e f x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及

(3) 2000 4 43 4 3 () ()[(()]()[()] 3! (1)(1) (1)(1) 3!3! .(4,4). 6 f R x x x h x x x x h t t t e t h th t h e h e ξ ξ =----+ -+ ≤+??-= ≤∈- 则 4 36 ((1)(1) 100.006. t t t h - -+± << Q在点 得 3.求2 () f x x =在［a,b］上的分段线性插值函数() h I x，并估计误差。 解： 22 22 11 1 111 22 11 11 1 () () k k k k h k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++ + +++ ++ ++ + --- =+= --- ?-? -=+- - [] 2 11 22 11 ()()()[()] 11 ()() 44 h h k k k k k k k k R x f x I x x x x x x x x x x x x x h ++ ++ =-=-+- =--≤-= 4.已知单调连续函数() y f x =的如下数据 用插值法计算x约为多少时() 1. f x=（小数点后至少保留4位） 解：作辅助函数()()1, g x f x =-则问题转化为x为多少时，()0. g x=此时可作新 的关于() i g x的函数表。由() f x单调连续知() g x也单调连续，因此可对() g x的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为 1()0.110.097345( 2.23)0.451565( 2.23)( 1.10) 0.255894( 2.23)( 1.10)(0.17) x g y y y y y y y - ==-+++++ -++-

数值计算方法大作业

目录 第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20)

4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28)

数值计算方法 第一章非线性方程求根 1.1迭代法 程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10）

1.2牛顿法 程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10）

北航数值分析报告第三次大作业

数值分析第三次大作业 一、算法的设计方案： （一）、总体方案设计： x y当作已知量代入题目给定的非线性方程组，求（1）解非线性方程组。将给定的(,) i i

得与(,)i i x y 相对应的数组t[i][j],u[i][j]。 （2）分片二次代数插值。通过分片二次代数插值运算，得到与数组t[11][21],u[11][21]]对应的数组z[11][21]，得到二元函数z=(,)i i f x y 。 （3）曲面拟合。利用x[i],y[j],z[11][21]建立二维函数表，再根据精度的要求选择适当k 值，并得到曲面拟合的系数矩阵C[r][s]。 （4）观察和(,)i i p x y 的逼近效果。观察逼近效果只需要重复上面（1）和（2）的过程，得到与新的插值节点(,)i i x y 对应的(,)i i f x y ，再与对应的(,)i i p x y 比较即可，这里求解 (,)i i p x y 可以直接使用（3）中的C[r][s]和k 。 （二）具体算法设计： （1）解非线性方程组 牛顿法解方程组()0F x =的解* x ，可采用如下算法： 1）在* x 附近选取(0) x D ∈，给定精度水平0ε>和最大迭代次数M 。 2）对于0,1, k M =执行 ① 计算() ()k F x 和()()k F x '。 ② 求解关于() k x ?的线性方程组 () ()()()()k k k F x x F x '?=- ③ 若() () k k x x ε∞∞ ?≤，则取*()k x x ≈，并停止计算；否则转④。 ④ 计算(1) ()()k k k x x x +=+?。 ⑤ 若k M <，则继续，否则，输出M 次迭代不成功的信息，并停止计算。 （2）分片双二次插值 给定已知数表以及需要插值的节点，进行分片二次插值的算法： 设已知数表中的点为： 00(0,1,,) (0,1,,)i j x x ih i n y y j j m τ=+=???=+=?? ，需要插值的节点为(,)x y 。 1) 根据(,)x y 选择插值节点(,)i j x y ： 若12h x x ≤+ 或12 n h x x ->-，插值节点对应取1i =或1i n =-，

数值分析作业答案part

6.4.设??? ? ? ??=5010010a b b a A ，0det ≠A ，用a ，b 表示解线性方程组f Ax =的雅可比迭代与 高斯—塞德尔迭代收敛的充分必要条件。 解 雅可比迭代法的迭代矩阵 ? ??? ??? ? ??----=???? ? ??----????? ??=-050100100100000001010101 a b b a a b b a B J ， ?? ? ?? -=-1003||2ab B I J λλλ，10||3)(ab B J = ρ。 雅可比迭代法收敛的充分必要条件是3 100 ||

数值分析第一次作业

问题1：20.给定数据如下表： 试求三次样条插值S(x)，并满足条件 (1)S`(0.25)=1.0000，S`(0.53)=0.6868； （2）S ’’(0.25)=S ’’(0.53)=0。 分析：本问题是已知五个点，由这五个点求一三次样条插值函数。边界条件有两种，（1）是 已知一阶倒数，（2）是已知自然边界条件。 对于第一种边界(已知边界的一阶倒数值)，可写出下面的矩阵方程。 ????????????????=???????? ?? ??? ???????????????????4321043210343 22 110d M M M M M 2000200 00 02 002 2d d d d λμμλμλμλ 其中μj = j 1-j 1-j h h h +，λi= j 1-j j h h h +，dj=6f[x j-1,x j ,x j+1]， μn =1，λ0=1 对于第一种边界条件d 0= 0h 6（f[x 0,x 1]-f 0`），d n =1 -n h 6 （f`n-f `[x n-1,x n ]） 解：由matlab 计算得： 由此得矩阵形式的线性方程组为： ? ?????????????=???????????????????????? ?????? 2.1150-2.4286-3.2667-4.3143-5.5200-M M M M M 25714.0000 120 4286.0000 04000.02 6000.0006429.023571.00 012 432 10 解得 M 0=-2.0286;M 1=-1.4627;M 2= -1.0333; M 3= -0.8058; M 4=-0.6546 S(x)= ??? ????∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-]53.0,45.0[x 5.40x 9.1087x 35.03956.8.450-x 1.3637-x .5301.67881- ]45.0,39.0[x 9.30x 11.188x 54.010.418793.0-x 2.2384 -x .450(2.87040-]39.0,30.0[x 03.0x 6.9544x 9.30 6.107503.0-x 1.9136-x .3902.708779 -]30.0,25.0[x 5.20x 10.9662x 0.3010.01695.20-x 4.8758-x .3006.76209-333 33 33 3），（）（）（）（），（）（）（）），（）（）（）（），（）（）（）（ Matlab 程序代码如下：

数值分析大作业

数值分析报大作业 班级：铁道2班 专业：道路与铁道工程 姓名：蔡敦锦 学号：13011260

一、序言 该数值分析大作业是通过C语言程序编程在Microsoft Visual C++ 6.0编程软件上运行实现的。本来是打算用Matlab软间来计算非线性方程的根的。学习Matlab也差不多有一个多月了，感觉自己编程做题应该没什么问题了；但是当自己真心的去编程、运行时才发现有很多错误，花了一天时间修改、调试程序都没能得到自己满意的结果。所以，我选择了自己比较熟悉的C程序语言来编程解决非线性的求值问题，由于本作业是为了比较几种方法求值问题的收敛速度和精度的差异，选择了一个相对常见的非线性函数来反映其差异，程序运行所得结果我个人比较满意。编写C语言，感觉比较上手，程序出现问题也能比较熟练的解决。最终就决定上交一份C程序语言编程的求值程序了！

二、选题 本作业的目的是为了加深对非线性方程求根方法的二分法、简单迭代法、、牛顿迭代法弦截法等的构造过程的理解；能将各种方法的算法描述正确并且能够改编为程序并在计算机上实现程序的正确合理的运行，能得到自己满意的结果，并且能调试修改程序中可能出现的问题和程序功能的增减修改。本次程序是为了比较各种方法在求解同一非线性方程根时，在收敛情况上的差异。 为了达到上面的条件我选择自己比较熟悉的语言—C语言来编程，所选题目为计算方程f(x)=x3-2x-5=0在区间[2,3]内其最后两近似值的差的绝对值小于等于5 ?的根的几种方法的比较。 110- 本文将二分法、牛顿法、简单迭代法、弦截法及加速收敛法这五种方法在同一个程序中以函数调用的方式来实现，比较简洁明了，所得结果能很好的比较，便于分析；发现问题和得出结论。

北航数值分析大作业第二题精解

目标：使用带双步位移的QR 分解法求矩阵10*10[]ij A a =的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。已知：sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)(){i j i j ij i j i j a +≠+== (i,j=1,2, (10) 算法： 以上是程序运作的逻辑，其中具体的函数的算法，大部分都是数值分析课本上的逻辑，在这里特别写出矩阵A 的实特征值对应的一个特征向量的求法： ()[]()() []()[]()111111I 00000 i n n n B A I gause i n Q A I u Bu u λλ-?-?-=-?-?? ?-=????→=??????→= ?? ? 选主元的消元 检查知无重特征值 由于=0i A I λ- ，因此在经过选主元的高斯消元以后，i A I λ- 即B 的最后一行必然为零，左上方变 为n-1阶单位矩阵[]()()11I n n -?-，右上方变为n-1阶向量[]()11n Q ?-，然后令n u 1=-，则 ()1,2,,1j j u Q j n ==???-。

这样即求出所有A所有实特征值对应的一个特征向量。 #include #include #include #define N 10 #define E 1.0e-12 #define MAX 10000 //以下是符号函数 double sgn(double a) { double z; if(a>E) z=1; else z=-1; return z; } //以下是矩阵的拟三角分解 void nishangsanjiaodiv(double A[N][N]) { int i,j,k; int m=0; double d,c,h,t; double u[N],p[N],q[N],w[N]; for(i=0;i

北航数值分析大作业第二题

数值分析第二次大作业 史立峰 SY1505327

一、 方案 （1）利用循环结构将sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)() {i j i j ij i j i j a +≠+==(i,j=1,2,……,10)进行赋值，得到需要变换的 矩阵A ； （2）然后，对矩阵A 利用Householder 矩阵进行相似变换，把A 化为上三角矩阵A (n-1)。 对A 拟上三角化，得到拟上三角矩阵A (n-1)，具体算法如下： 记A(1)=A ，并记A(r)的第r 列至第n 列的元素为()n r r j n i a r ij ,,1,;,,2,1) ( +==。 对于2,,2,1-=n r 执行 1. 若 ()n r r i a r ir ,,3,2) ( ++=全为零，则令A(r+1) =A(r),转5；否则转2。 2. 计算 () ∑+== n r i r ir r a d 1 2 )( ()( )r r r r r r r r r r d c a d a c ==-=++则取,0sgn ) (,1)(,1若 )(,12r r r r r r a c c h +-= 3. 令 () n T r nr r r r r r r r r R a a c a u ∈-=++) ()(,2)(,1,,,,0,,0 。 4. 计算 r r T r r h u A p /)(= r r r r h u A q /)(= r r T r r h u p t /= r r r r u t q -=ω T r r T r r r r p u u A A --=+ω)()1( 5. 继续。 （3）使用带双步位移的QR 方法计算矩阵A (n-1)的全部特征值，也是A 的全部特征值，具体算法如下： 1. 给定精度水平0>ε和迭代最大次数L 。 2. 记n n ij n a A A ?-==][) 1()1()1(，令n m k ==,1。

北航数值分析报告大作业第八题

北京航空航天大学 数值分析大作业八 学院名称自动化 专业方向控制工程 学号 学生姓名许阳 教师孙玉泉 日期2014 年11月26 日

一．题目 关于x , y , t , u , v , w 的方程组(A.3) ???? ?? ?=-+++=-+++=-+++=-+++79 .0sin 5.074.3cos 5.007.1cos sin 5.067.2cos 5.0y w v u t x w v u t y w v u t x w v u t (A.3) 以及关于z , t , u 的二维数表（见表A-1）确定了一个二元函数z =f (x , y )。 表A-1 二维数表 t z u 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 0 -0.5 -0.34 0.14 0.94 2.06 3.5 0.2 -0.42 -0.5 -0.26 0.3 1.18 2.38 0.4 -0.18 -0.5 -0.5 -0.18 0.46 1.42 0.6 0.22 -0.34 -0.58 -0.5 -0.1 0.62 0.8 0.78 -0.02 -0.5 -0.66 -0.5 -0.02 1.0 1.5 0.46 -0.26 -0.66 -0.74 -0.5 1. 试用数值方法求出f (x , y ) 在区域}5.15.0,8.00|), {≤≤≤≤=y x y x D （上的近似表达式 ∑∑===k i k j s r rs y x c y x p 00 ),( 要求p (x , y )以最小的k 值达到以下的精度 ∑∑==-≤-=10020 7210)],(),([i j i i i i y x p y x f σ 其中j y i x i i 05.05.0,08.0+==。 2. 计算),(),,(* ***j i j i y x p y x f (i =1,2,…,8 ; j =1,2,…,5) 的值，以观察p (x , y ) 逼 近f (x , y )的效果，其中j y i x j i 2.05.0,1.0**+==。

数值分析作业答案(第5章)

5.1.设A 是对称矩阵且011≠a ，经过一步高斯消去法后，A 约化为 ?? ????21 110 A a a T 证明2A 是对称矩阵。 证明 由消元公式及A 的对称性，有 ,,,3,2,,)2(111 11111 )2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=- = 故2A 对称。 5.2.设n ij a A )(=是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为 ?? ????21 110 A a a T 其中1)2(2)(-=n ij a A 。证明： (1).A 的对角元素;,,2,1,0n i a ii => (2).2A 是对称正定矩阵。 证明 (1).因为A 对称正定，所以 n i e Ae a i i ii ,,2,1,0),( =>=， 其中T i e )0,,0,1,0,,0( =为第i 个单位向量。 (2).由A 的对称性及消元公式，有 ,,,3,2,,)2(111 11111 )2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=- = 故2A 也对称。 又由A L A a a T 121110=????? ?，其中

??? ?????- =? ????? ? ?????????--=-111 1 11111 21101 1011n n I a a a a a a L ， 可见1L 非奇异，因而对任意0≠x ，由A 的正定性，有 ,0),(),(,011111>=≠x AL x L x AL L x x L T T T T 故T AL L 11正定。 由,000110211 111121111 1?? ? ?? ?=????????-??????=-A a I a a A a a AL L n T T T 而011>a ，故知2A 正定

数值分析作业答案.doc

第2章 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange 插值基底。 （3）用Newton 基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为:2 210)(x a x a a x P ++=， 所以：64 211111 1111122 2 211 200 -=-==x x x x x x A 3 76144 211111114241 13110111)() ()(22 221120 022 2 22 11 120 00-=-= ---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2 3694211111114411 31101111)(1)(1 )(122 221120 02 2 22112 001=--= --==x x x x x x x x f x x f x x f a 6 5654 2 1 1111114 2 1 3 11011111) (1)(1)(122 2 21120 022 11 00 2=--= ---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：26 52337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底 )21)(11() 2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l )21)(11() 2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l ) 12)(12() 1)(1())(())(()(1202102+-+-=----= x x x x x x x x x x x l

第一次作业及答案

第一次作业 一、单项选择题 1．需求规律说明（B ）。 A．药品的价格上涨会使药品质量提高B．计算机价格下降导致销售量增加 C．丝绸价格提高，游览公园的人数增加D．汽车的价格提高，小汽车的销售量减少 E．羽毛球的价格下降，球拍的销售量增加 2．当羽毛球拍的价格下降时，对羽毛球的需求量将（C ）。A．减少B．不变 C. 增加D．视具体情况而定E．以上都有可能 3．其他条件不变，牛奶价格下降将导致牛奶的（D ）。 A．需求下降B．需求增加C．需求量下降D．需求量增加E．无法确定 4．当出租车租金上涨后，对公共汽车服务的（A ）。 A．需求增加B．需求量增加C．需求减少D．需求量减少E．无法确定 5．以下几种情况中，（B ）项是需求规律的例外。 A．某商品价格上升，另一商品需求量也上升B．某商品价格上升，需求量也上升 C．消费者收入增加，对某商品的需求增加

6．消费者偏好改变，对某商品的消费量随着消费者收入的增加而减少，则该商品是（ D ）。 A．替代品B．互补品C．正常品D．低档品E．无法确定 7．供求规律说明（D ）。 A．生产技术提高会使商品的供给量增加 B．政策鼓励某商品的生产，因而该商品的供给量增加 C．消费者更喜欢某商品，使该商品的价格上升 D．某商品价格上升将导致对该商品的供给量增加 E．以上都对 8. 假如生产某种商品所需原料的价格上升了，这种商品的( B )。A．需求曲线将向左移动B．供给曲线向左移动C．供给曲线将向右移动 9. 政府为了扶持农业，对农产品规定高于均衡价格的支持价格。政府要维持支持价格，应 该采取下面的相应措施（ C ）。 A．增加对农产品的税收B．实行农产品配给制C．收购过剩的农产品 10. 政府把价格限制在均衡价格以下可能导致( A )。 A．黑市交易B．大量积压C．买者买到了希望购买的商品 11. 当需求的增加幅度远大于供给增加幅度的时候，( B )。