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2014年天津政法干警考试行测备考:数学运算之抽屉原理

2014年天津政法干警考试行测备考:数学运算之抽屉原理

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今年的政法干警考试备考工作已经在紧张的进行中了,接下来中公政法干警考试网就为大家详细叙述抽屉原理。

题干中含有诸如“至少……才能保证……”、“要保证……至少……”这类叙述的题目,一般可以用抽屉原理来解决,称为抽屉问题。对于这类问题,常应用到以下两个抽屉原理,中公教育政法干警考试专家通过以下两个例子为您详细解析。

抽屉原理1

将多于n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于2件。

抽屉原理2

将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于(m+1)件。

除此之外,抽屉问题也可以用最差原则来考虑。所谓最差原则,就是考虑问题发生的最差情况,然后就最差情况进行分析。最差原则是极端法的一种应用,一般情况下,我们优先考虑用最差原则来解决抽屉问题。

【例题1】抽屉里有黑白袜子各10只,如果你在黑暗中伸手到抽屉里,最少要取出几只,才一定会有一双颜色相同?

A.2

B.3

C.4

D.5

解析:此题答案为B。应用最差原则,最差的情况是先取出两只不同的袜子,此时再取一只必然出现一双颜色相同的,故最少取出3只可保证题干条件。

【例题2】把154本书分给某班的同学,如果不管怎样分,都至少有一位同学会分得4本或4本以上的书,那么这个班最多有多少名学生?

A.77

B.54

C.51

D.50

解析:此题答案为C。此题首先考虑使用最差原则,发现不容易得出答案。看到“至少有一位同学会分得4本或4本以上”这种抽屉问题的标准表述,因此可以考虑使用抽屉原理。每位同学看成一个抽屉,每个抽屉内的物品不少于4件,逆用抽屉原理2,则有m+1=4,m=3。154=3×n+1,n=51,所以这个班最多有51名学生。

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行测数学运算16种题型之抽屉原理问题

考试行测数学运算16种题型之抽屉原理问题 行测数学运算—抽屉原理问题 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理(“如果有五个鸽子笼,养鸽人养了6只鸽子,那么当鸽子飞回笼中后,至少有一个笼子中装有2只鸽子”)。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题,因此,也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。 假设有3个苹果放入2个抽屉中,则必然有一个抽屉中有2个苹果,她的一般模型可以表述为: 第一抽屉原理:把(mn+1)个物体放入n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至少有(m+1)个物体。 若把3个苹果放入4个抽屉中,则必然有一个抽屉空着,她的一般模型可以表述为:第二抽屉原理:把(mn-1)个物体放入n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。 制造抽屉是运用原则的一大关键 例1、一副扑克牌有四种花色,每种花色各有13张,现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌,才能保证有4张牌是同一种花色的? A.12 B.13 C.15 D.16 【解析】根据抽屉原理,当每次取出4张牌时,则至少可以保障每种花色一样一张,按此类推,当取出12张牌时,则至少可以保障每种花色一样三张,所以当抽取第13张牌时,无论是什么花色,都可以至少保障有4张牌是同一种花色,选B。 例2、从1、2、3、4……、12这12个自然数中,至少任选几个,就可以保证其中一定包括两个数,他们的差是7? A.7 B.10 C.9 D.8 【解析】在这12个自然数中,差是7的自然树有以下5对:{12,5}{11,4}{10,3}{9,2}{8,1}。另外,还有2个不能配对的数是{6}{7}。可构造抽屉原理,共构造了7个抽屉。只要有两个数是取自同一个抽屉,那么它们的差就等于7。这7个抽屉可以表示为{12,5}{11,4}{10,3}{9,2}{8,1}{6}{7},显然从7个抽屉中取8个数,则一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉,也即作差为7,所以选择D。

天津市高二上学期数学期末考试试卷

天津市高二上学期数学期末考试试卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共8题;共16分) 1. (2分)已知不等式的解集是,则不等式的解集是() A . (2,3) B . C . D . 2. (2分) (2019高一下·包头期中) 等差数列中,若,,则公差的值为() A . 1 B . C . D . 2 3. (2分) (2018高二上·南阳月考) 设分别是椭圆的左,右焦点,是椭圆上一点,且则的面积为() A . 24 B . 25 C . 30 D . 40 4. (2分)设是单位向量,则“”是“”的 A . 充分而不必要条件

B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 5. (2分) (2019高一下·上海月考) 函数在上恒为正数,则实数的取值范围是() A . B . C . D . 6. (2分) (2019高一上·淄博期中) 若不等式的解集为,则的值为() A . B . C . D . 7. (2分) (2017高二下·金华期末) 椭圆M: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2 , P 为椭圆M上任一点,且|PF1|?|PF2|的最大值的取值范围是[2b2 , 3b2],椭圆M的离心率为e,则e﹣的最小值是() A . ﹣ B . ﹣ C . ﹣

D . ﹣ 8. (2分) (2016高一下·大同期末) 等差数列{an}的通项公式an=2n+1,其前n项和为Sn ,则数列前10项的和为() A . 120 B . 70 C . 75 D . 100 二、多选题 (共4题;共12分) 9. (3分)(2020·德州模拟) 若正实数a,b满足则下列说法正确的是() A . ab有最大值 B . 有最大值 C . 有最小值2 D . 有最大值 10. (3分)(2020·泰安模拟) 已知向量,则() A . B . C . D . 11. (3分) (2020高二上·徐州期末) 给出下列四个命题,其中正确的是() A .

抽屉原理公式及例题精编版

抽屉原理公式及例题“至少……才能保证(一定)…最不利原则 抽屉原则一:如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。例:把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况:抽屉原则二:如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>m,那么必有一个抽屉至少有: ①k=[n/m ]+1个物体:当n不能被m整除时。 ②k=n/m个物体:当n能被m整除时。 例1.木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个,若蒙眼去摸,为保证取出的球中有两个球的颜色相同,则最少要取出多少个球? 解:把3种颜色看作3个抽屉,若要符合题意,则小球的数目必须大于3,故至少取出4个小球才能符合要求。 例2.一幅扑克牌有54张,最少要抽取几张牌,方能保证其中至少有2张牌有相同的点数?解:点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张,再取大王、小王各1张,一共15张,这15张牌中,没有两张的点数相同。这样,如果任意再取1张的话,它的点数必为1~13中的一个,于是有2张点数相同。15+1=16 例3:从一副完整的扑克牌中,至少抽出()张牌,才能保证至少6张牌的花色相同?A.21 B.22 C.23 D.24 解:完整的扑克牌有54张,看成54个“苹果”,抽屉就是6个(黑桃、红桃、梅花、方块、大王、小王),为保证有6张花色一样,我们假设现在前4个“抽屉”里各放了5张,后两个“抽屉”里各放了1张,这时候再任意抽取1张牌,那么前4个“抽屉”里必然有1 个“抽屉”里有6张花色一样。答案选C. 例4:2013年国考:某单位组织4项培训A、B、C、D,要求每人参加且只参加两项,无论如何安排,都有5人参加培训完全相同,问该单位有多少人? 每人一共有6种参加方法(4个里面选2个)相当于6个抽屉,最差情况6种情况都有4个人选了,所以4*6=1=25 例5:有300名求职者参加高端人才专场招聘会,其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源管理类分别有100、80、70和50人。问至少有多少人找到工作,才能保证一定有70名找到工作的人专业相同? 用最不利原则解题。四个专业相当于4个抽屉,该题要有70名找到工作的人专业相同,那最倒霉的情况是每个专业只有69个人找到工作,值得注意的是人力专业一共才50个人,因此软件、市场、财务各有69个人找到工作,人力50个人找到工作才是本题中最不利的情形,最后再加1,就必定使得某专业有70个人找到工作。即答案为69×3+50+1=258。 例6:调研人员在一次市场调查活动中收回了435份调查问卷,其中80%的调查问卷上填写了被调查者的手机号码。那么调研人员需要从这些调查问卷中随机抽多少份,才能保证一定能找到两个手机号码后两位相同的被调查者? 答:在435份调查问卷中,没有填写手机号码的为435×(1-80%)=87份。要找到两个手机号码后两位相同的被调查者,首先要确定手机号码后两位有几种不同的排列方式。因为每一位

2019-2020学年天津市部分区高二(上)期末数学试卷

2019-2020学年天津市部分区高二(上)期末数学试卷 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(4分)已知空间向量(1,1,0)a =-r ,(,1,1)b m =-r ,若a b ⊥r r ,则实数(m = ) A .2- B .1- C .1 D .2 2.(4分)在复平面内,与复数1 (1i i +是虚数单位)对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.(4分)设x R ∈,则“11 ||22 x -<”是“02x <<”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件 4.(4分)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百一十五里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还其大意为:“有一个人走315里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( ) A .20里 B .10里 C .5 里 D .2.5 里 5.(4分)若抛物线2 2(0)y px p =>的准线经过双曲线22143 x y -=的一个焦点,则(p = ) A .2 B .10 C D .6.(4分)已知函数2 ()lnx f x x =,()f x '为()f x 的导函数,则()(f x '= ) A . 3 lnx x B .3 1x C . 3 1lnx x - D . 3 12lnx x - 7.(4分)正方体1111ABCD A B C D -,点E ,F 分别是1BB ,11D B 的中点,则EF 与1DA 所成角的余弦值为( ) A .0 B .15 C . 14 D .13 8.(4分)曲线1 2 y x =在点(1,1)处的切线方程为( ) A .210x y -+= B .0x y -= C .20x y +-= D .210x y --= 9.(4分)设双曲线2222:1(0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线

2015国家公务员考试行测:数学运算-容斥原理和抽屉原理

【导读】国家公务员考试网为您提供:2015国家公务员考试行测:数学运算-容斥原理和抽屉原理,欢迎加入国家公务员考试QQ群:242808680。更多信息请关注安徽人事考试网https://www.sodocs.net/doc/9016065994.html, 【推荐阅读】 2015国家公务员笔试辅导课程【面授+网校】 容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客”,了解此两种原理不仅可以提高做题效率,还可以提高自己的运算能力,扫平所有此类计算题。中公教育专家在此进行详细解读。 一、容斥原理 在计数时,要保证无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,在不考虑重叠 的情况下,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数 目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。 1.容斥原理1——两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类,那么,先把A、B两个集合的元素个数相加,发现既是 A类又是B类的部分重复计算了一次,所以要减去。如图所示: 公式:A∪B=A+B-A∩B 总数=两个圆内的-重合部分的 【例1】一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、 数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人? 数学得满分人数→A,语文得满分人数→B,数学、语文都是满分人数→A∩B,至少有一 门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23,共有23人至少有一门得满分。 2.容斥原理2——三个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现 两两重叠的部分重复计算了1次,三个集合公共部分被重复计算了2次。 如图所示,灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1 次,黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次,因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩ C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到: 公式:A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

高中数学选修2-3两个基本计数原理

两个基本计数原理 教学目标: 1、准确理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理概念和步骤 2、会运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的问题 要点扫描: 1、(1)分类计数原理(加法原理): (2)分步计数原理(乘法原理): 2、分类计数原理和分步计数原理的区别和联系 分类计数原理和分步计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题,其区别在于:分类计数原理针对的是___问题,其中各种方法____,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步计数原理针对的是___问题,各个步骤中的方法____,只有各个步骤都完成之后才算做完这件事。 例题讲解: 例1、(1)一个学生要从5本不同的文史类书,4本不同的理科类书及3本不同的艺术类书中任选一本书阅读,有多少种不同的选法? (2)一个学生要从5本不同的文史类书,4本不同的理科类书及3本不同的艺术类书中各选一本书阅读,有多少种不同的选法? 例2、从1到200的自然数中,各个数位上都不含数字8的有多少个? 例3、3名学生报名参加4个不同学科的比赛,每名学生只能参赛一项,有多少种不同的报名方法?若有4项冠军在3人中产生,每项冠军只能有一人获得,有多少种不同的夺冠方法? 例4、电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果?

例5、在区间[400,800]上,(1)有多少个能被5整除且数字允许重复的整数?(2)有多少 个能被5整除且数字不允许重复的整数? 当堂反馈: 1、某人要将4封信投入3个信箱中,不同的投寄方法有 ( ) A 、12种 B 、7种 C 、43种 D 、34种 2、从0,1,2,3,4,5,7七个数中任取两个数相乘,使所得积为偶数,这样的偶数共有 ( ) A 、18个 B 、9个 C 、12个 D 、10个 3、有三个车队分别有5辆,6辆,7辆车,现欲从其中两个车队各抽调一辆车外出执行任务, 设不同的抽调方案数为n ,则n 的值为 ( ) A 、107 B 、210 C 、36、 D 、77 4、已知集合A={},102,≤≤-∈x z x x A n m ∈,,方程12 2=+n y m x 表示焦点在x 轴上的椭圆,则这样的椭圆共有 ( ) A 、45个 B 、55个 C 、78个 D 、91个 作业:课课练 课时1,2

抽屉原理的经典解题思路

抽屉原理的经典解题思路 抽屉原理在公务员考试中的数字运算部分时有出现。抽屉原理是用最朴素的思想解决组合数学问题的一个范例,我们可以从日常工作中的实例来体会抽屉原理的应用。抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。 先来看抽屉原理的一般叙述: 抽屉原理(1):讲多于n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于2。抽屉原理(1)可以进行推广,把无穷多个元素放入有限个集合里,则一定有一个集合里含有无穷多个元素。 抽屉原理(2):将多于件的物品任意放到抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少m+1。也可以表述成如下语句:把m个物品任意放入n(n≤m)个抽屉中,则一定有一个抽屉中至多要有k件物品。其中k=〔m/n 〕,这里〔m/n 〕表示不大于m/n的最大整数,即m/n的整数部分。 掌握了抽屉原理解题的步骤就能思路清晰的对一些存在性问题、最小数目问题做出快速准确的解答。一般来讲,首先得分析题意,分清什么是“物品”,什么是“抽屉”,也就是什么作“物品”,什么可作“抽屉”。接着制造抽屉。这个是关键的一步,这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论,结合有关的数学知识,抓住最基本的数量关系,设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数,为使用抽屉铺平道路。最后运用抽屉原理。观察题设条件,结合第二步,恰当应用各个原则或综合运用几个原则,以求问题之解决。 下面两个典型例题的解题过程充分展现了抽屉原理的解题过程,希望读者能有所体会。 例1:证明任取6个自然数,必有两个数的差是5的倍数。 证明:考虑每个自然数被5除所得的余数。即自然数可以作为物品,被5除所得余数可以作为抽屉。显然可知,任意一个自然数被5除所得的余数有5种情况:0,1,2,3,4。所以构造5个抽屉,每个抽屉中所装的物品就是被5除所得余数分别为0,1,2,3,4的自然数。运用抽屉原理,考虑“最坏” 的情况,先从每个抽屉中各取一个“物品”,共5个,则再取一个物品总能在先取的5个中找到和它出自于同一抽屉的“物品”,即它们被5除余数相同,所以它们的差能整除5。

天津高二上数学期末考试真题

天津高二上数学期末考试真题 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.双曲线2 2 x ﹣y 2=1的焦点坐标为( ) A .(﹣3,0),(3,0) B .(0,﹣3),(0,3) C 00) D .(00 2.命题“?x 0∈(0,+∞),使得e <x0”的否定是( ) A .?x 0∈(0,+∞),使得e >x0 B .?x 0∈(0,+∞),使得e ≥x0 C .?x ∈(0,+∞),均有e x >x D .?x ∈(0,+∞),均有e x ≥x 3.若复数1i z i -=(i 为虚数单位),则z 的共轭复数=( ) A .1+i B .﹣1+i C .l ﹣i D .﹣1一i 4.已知x ∈R ,则“x >1”是“x 2>x ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 5.设公比为﹣2的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 5=11 2 ,则a 4等于( ) A .8 B .4 C .﹣4 D .﹣8 6.已知函数f (x )=lnx ﹣2 12x ,则f (x )( ) A .有极小值,无极大值 B .无极小值有极大值 C .既有极小值,又有极大值 D .既无极小值,又无极大值 7.在数列{a n }中,a 1=3,a n+1=2a n ﹣1(n ∈N*),则数列{a n }的通项公式为( ) A .a n =2n +1 B .a n =4n ﹣1 C .a n =2n +1 D .a n =2n ﹣1+2

8.在空间四边形ABCD 中,向量AB =(0,2,﹣1),AC =(﹣1,2,0),AD =(0﹣2,0),则直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为( ) A .13 B . 3 C .-13 D .- 3 9.已知双曲线22 22x y a b =1(a >0,b >0)的两条渐近线与抛物线y 2=8x 的准线分 别交于M ,N 两点,A 为双曲线的右顶点,若双曲线的离心率为2,且△AMN 为正三角形,则双曲线的方程为( ) A . B . C . =1 D . =1 10.已知f (x )是定义在R 上的函数,f ′(x )是f (x )的导函数,且满足f ′(x )+f (x )<0,设g (x )=e x ?f (x ),若不等式g (1+t 2)<g (mt )对于任意的实数t 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .(﹣∞,0)∪(4,+∞) B .(0,1) C .(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) D .(﹣2,2) 二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分. 11.曲线f (x )=2x +在点(1,3)处的切线方程为 . 12.已知向量=(2,﹣1,3)与=(3,λ,)平行,则实数λ的值为 . 13.已知a ,b 均为正数,4是2a 和b 的等比中项,则a +b 的最小值为 . 14.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=2,S 9=6a 8,则数列{}的 前10项的和为 . 15.已知离心率为 的椭圆 =1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1,F 2,点 P 在椭圆上,若=0,且△PF 1F 2的面积为4,则椭圆的方程为 .

行测抽屉原理

抽屉原理 在历年国家公务员考试以及地方公务员考试中,抽屉问题都是重要考点。 当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有,至少有几个”这样的问题时,想到它——抽屉原理,这是你的一条“决胜”之路。 传统的解抽屉原理的方法是找两个关键词,“保证”和“最少”。 抽屉原理(1):讲多于n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于2。抽屉原理(1)可以进行推广,把无穷多个元素放入有限个集合里,则一定有一个集合里含有无穷多个元素。 抽屉原理(2):将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少m+1。也可以表述成如下语句:把m个物品任意放入n(n≤m)个抽屉中,则一定有一个抽屉中至多要有k件物品。其中 k=〔m/n 〕,这里〔m/n 〕表示不大于m/n 的最大整数,即m/n的整数部分。 例1:从1、2、3、…、12中,至少要选( )个数,才可以保证其中一定包括两个数的差是7? A. 7 B. 10 C. 9 D. 8 解析:在这12个数中,差是7的数有以下5对:(12,5)、(11,4)、(10,3)、(9,2)、(8,1)。另有两个数6、7肯定不能与其他数形成差为7的情况。由此构造7个抽屉,只要有2个数取自一个抽屉,那么他们的差就等于7。从这7个抽屉中能够取8个数,则必然有2个数取自同一个抽屉。所以选择D选项。 例2:某班有37名同学,至少有几个同学在同一月过生日? 解析:根据抽屉原理,可以设3×12+1个物品,一共是12个抽屉,则至少有4个同学在同一个月过生日。 例3:一个小组共有13名同学,其中至少有2名同学同一个月过生日。为什么? 解析:每年里共有12个月,任何一个人的生日,一定在其中的某一个月。如果把这12个月看成12个“抽屉”,把13名同学的生日看成13只“苹果”,把13只苹果放进12个抽屉里,一定有一个抽屉里至少放2个苹果,也就是说,至少有2名同学在同一个月过生日。

高中数学选修2-3基础知识归纳(排列组合、概率问题)

高中数学选修2-3基础知识归纳(排列组合、概率问题) 一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,所有排列的个数记为。

四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题)②有序还是无序③分步还是分类。 2.解排列、组合题的基本策略 (1)两种思路: ①直接法: ②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原

理得出结论。 注意:分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。 (3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。其原则是先分类,后分步。 (4)两种途径:①元素分析法;②位置分析法。 3.排列应用题: (1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑; 例1. 电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公 益广告,则共有种不同的播放方式(结果用数值表示). 解:分二步:首尾必须播放公益广告的有种;中间4个为不同的商业广告有种,从而应当填=48. 从而应填48. 例2. 6人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少

抽屉原理及其简单应用

抽屉原理及其简单应用 一、知识要点 抽屉原理又称鸽巢原理,它是组合数学的一个基本原理,最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的,因此,也称为狄利克雷原理。 把3个苹果放进2个抽屉里,一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。 原理1:把n+1个元素分成n类,不管怎么分,则一定有一类中有2个或2个以上的元素。原理2:把m个元素任意放入n(n≤m)个集合,则一定有一个集合至少要有k个元素。其中k=m/n(当n能整除m时)或k=〔m/n〕+1(当n不能整除m时),这里〔m/n〕表示不大于m/n的最大整数,即m/n的整数部分。 原理3:把无穷多个元素放入有限个集合里,则一定有一个集合里含有无穷多个元素。二、应用抽屉原理解题的步骤 第一步:分析题意。分清什么是“东西”,什么是“抽屉”,也就是什么作“东西”,什么可作“抽屉”。 第二步:制造抽屉。这个是关键的一步,这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论,结合有关的数学知识,抓住最基本的数量关系,设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数,为使用抽屉铺平道路。 第三步:运用抽屉原理。观察题设条件,结合第二步,恰当应用各个原则或综合运用几个原则,以求问题之解决。 三、应用抽屉原理解题例举: 1.张叔叔参加飞镖比赛,投了5镖,成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么?(教科书P73 T2) 解答:这道题物体个数和抽屉都比较明显。成绩41环看作个数,5镖看作抽屉,列式为:41÷5=8……1 8+1=9 2.有9支球队进行比赛,已经赛了10场,那么总有一支球队至少赛了几场? 解答:有些题目物体的个数没有直接告诉我们。根据问题至少赛了几场,那我们要知道已经赛过的总的场次。根据已经赛了10场,每场2支球队,总场次应该是20次。这就是物体的个数。9支球队可以看作抽屉。根据今天所教的知识(原理2)我们知道20÷9=2……2,2+1=3 3.有红、黄两种颜色在下面的长方形格子中随意涂色,每个格子涂一种颜色。青青发现无论怎样涂,至少有两列涂法完全相同。请你先试一试,再说明理由。(作业本P29 T4) 解答:根据至少有两列涂法完全相同。我们要知道总的列数。这道题已经知道物体的个数是5列。但抽屉的个数却掩藏起来,我们需要根据排列知识找出抽屉的个数。已知颜色有2种,在一列的排列组合中有这么4种情况。(红红、红黄、黄黄、黄红)所以可以做成4个抽屉。用算式5÷4=1……1,1+1=2就说明问题。 4.任意写出5个非零的自然数,我能找到两个数,让这两个数的差是4的倍数。(作业本P29 T5) 解答:这题已经告诉我们物体的个数是5。但什么做为抽屉?要做几个抽屉却需要我们去构建。根据条件4的倍数,我们知道一个数除以4没有余数那就是4的倍数,在这些数中除以4的过程中会出现这四种情况(整除、余数是1、2、3)那就可以根据这四种情况做成四个

天津市部分区2019-2020学年度第一学期期末考试高二数学(PDF版)

天津市部分区2019-2020学年度第一学期期末考试 高二数学 一.选择题(共10小题) 1.已知空间向量)0,1,1(-=a ,)1,1,(-=m b ,若b a ⊥,则实数= m (A)-2 (B)-1(C)1(D)22.在复平面内,复数 i i (11+是虚数单位)对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限 3.设R x ∈,则“2 1|<21|-x ”是“2<<0x ”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百一十五里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还其大意为:“有一个人走315里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为 (A)20里(B)10里 (C)5里(D)2.5里5.若抛物线0)>2px(p 2=y 的准线经过双曲线13 42 2=-y x 的一个焦点,则=p (A)2(B)10(C)7(D)7 26.已知函数2ln )(x x x f = ,)('x f 为)(x f 的导函数,则=)('x f (A)3ln x x (B)31x (C)3ln 1x x -(D)3 ln 21x x -7.正方体1111D C B A ABCD -,点E,F 分别是的中点,则EF 与1DA 所成角的余弦值为(A)0(B)51(C)41(D)318.曲线21 x y =在点(1,1)处的切线方程为 (A)012=+-y x (B)0=-y x (C)02=-+y x (D)0 12=--y x 9.设双曲线)0>>(1:2222b a b y a x C =-的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线02=+y x 上,O 为坐标原

高二数学分类计数原理与分步计数原理教案

高二数学分类计数原理与分步计数原理教案 教学目标: 掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用这两个原理分析和解决一些简单问题. 教具准备:投影胶片(两个原理). 教学过程: [设置情境] 先看下面的问题: 2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32个队参赛.它们先分成8个小组进行循环赛,决出16强,这16个队按确定的程序进行淘汰赛后,最后决出冠亚军,此外还决出了第三、第四名.问一共安排了多少场比赛? 要回答上述问题,就要用到排列、组合的知识.排列、组合是一个重要的数学方法,粗略地说,排列、组合方法就是研究按某一规则做某事时,一共有多少种不同的做法. 在运用排列、组合方法时,经常要用到分类计数原理与分步计数原理,下面我们举一些例子来说明这两个原理. [探索研究] 引导学生看下面的问题.(出示投影) 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,一天中,火车有3班,汽车有2班.那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 因为一天中乘火车有3种走法,乘汽车有2种走法,每一种走法都可以从甲地到乙地,所以共有 3+2=5 种不同的走法,如图所示. 一般地,有如下原理:(出示投影) 分类计数原理完成一件事,有类办法,在第1 类办法中有种不同的方法,在第2类办法中有 种不同的方法,…,在第类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有: 种不同的方法.

再看下面的问题.(出示投影) 从甲地到乙地,要从甲地选乘火车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中,火车有3班,汽车有2班.那么两天中,从甲地到乙地共有多少种不同的走法(如图)? 这个问题与前一个问题不同.在前一个问题中,采用乘火车或汽车中的任何一种方式,都可以从甲地到乙地;而在这个问题中,必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤,才能从甲地到乙地. 这里,因为乘火车有3种走法,乘汽车有2种走法,所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地,共有3×2=6 种不同的走法.(让学生具体列出6种不同的走法) 于是得到如下原理:(出示投影) 分步计数原理完成一件事,需要分成个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,…,做第 种不同的方法. 教师提出问题:分类计数原理与分步计数原理有什么不同? 学生回答后,教师出示投影:分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题,它们的区别在于:分类计数原理与“分类”有关,各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事;分步计数原理与“分步”有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成. (出示投影) 例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法? (解答略) 教师点评:注意区别“分类”与“分步”. 例2 一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码?

天津市耀华中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题

天津市耀华中学2017-2018学年高二上学期期中考 试数学(理)试题 学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 一、单选题 1. 空间两条直线、与直线都成异面直线,则、的位置关系是 (). A.平行或相交B.异面或平行 C.异面或相交D.平行或异面或相交 2. 如右图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形,则其体积是 A.B.C.D. 3. 一个球受热膨胀,表面积增加,那么球的半径增加了().A.B.C.D. 4. 若方程表示与两条坐标轴都相交的直线,则(). B.C.D. A. 5. 在的二面角的一个面内有一点,它到棱的距离是,那么它到另一个面的距离是(). A.B.C.D.

6. 若两条直线与互相垂直,则的值等于(). A.B.或C.或或D. 7. 如果是等边所在平面外一点,且,边长为,那么与底面所成的角是(). A.B.C.D. 8. 给出以下四个命题: ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行, ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面, ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行, ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是(). A.B.C.D. 二、填空题 9. 已知点,直线与线段相交,则实数的取值范围是____; 10. 过点作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点,则使 的值最小时直线的方程为__________. 11. 已知中,,,,平面,平面 与所成角为,则到平面的距离为__________. 12. 已知圆锥侧面展开图为中心角为的扇形,其面积为,圆锥的全面积为,则为__________.

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-3导学案 1.1 两个基本计数原理

1.1 两个基本计数原理 1.分类计数原理 完成一件事,有n 类方式,在第1类方式中有m 1种不同的方法,在第2类方式中有m 2种不同的方法,……,在第n 类方式中有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N =m 1+m 2+…+m n 种不同的方法.分类计数原理又称为加法原理. 预习交流1 应用分类计数原理的原则是什么? 提示:做一件事有n 类方式,每一类方式中的每一种方法均完成了这件事. 2.分步计数原理 完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有m 1种不同的方法,做第2步有m 2种不同的方法,……,做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N =m 1×m 2×…×m n 种不同的方法.分步计数原理又称为乘法原理. 预习交流2 应用分步计数原理的原则是什么? 提示: 做一件事要分n 个步骤完成,只有所有步骤完成时,才完成这件事,也就是说,每一步骤中每种方法均不能完成这件事. 一、分类计数原理问题 从甲地到乙地每天有火车3班,汽车8班,飞机2班,轮船2班,问一天内乘坐班次不同的运输工具由甲地到乙地,有多少种不同的走法? 思路分析:由于每班火车、汽车、飞机、轮船均能实现从甲地到乙地,因此利用分类计数原理.

解:根据运输工具可分四类: 第1类是乘坐火车,有3种不同的走法; 第2类是乘坐汽车,有8种不同的走法; 第3类是乘坐飞机,有2种不同的走法; 第4类是乘坐轮船,有2种不同的走法; 根据分类计数原理,共有不同的走法的种数是N=3+8+2+2=15. 设有5幅不同的油画,2幅不同的国画,7幅不同的水彩画.从这些画中只选一幅布置房间,有__________种不同的选法. 答案:14 解析:根据分类计数原理,不同的选法有N=5+2+7=14种. 如果完成一件事有n类方式,每类方式彼此之间是相互独立的,无论哪一种方式的每种方法都能单独完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类计数原理(加法原理). 二、分步计数原理问题 有三个盒子,分别装有不同编号的红色小球6个,白色小球5个,黄色小球4个,现从盒子里任取红、白、黄小球各1个,有多少种不同的取法? 思路分析:要从盒子里取到红、白、黄小球各1个,应分三个步骤,并且这三个步骤均完成时,才完成这件事,故应用分步计数原理. 解:分三步完成: 第1步是取红球,有6种不同的取法; 第2步是取白球,有5种不同的取法; 第3步是取黄球,有4种不同的取法; 根据分步计数原理,不同取法的种数为N=6×5×4=120. 现有高一学生9人,高二学生12人,高三学生7人自发组织参加数学课外活动小组,为便于管理,每年级各选一名组长,有__________种不同的选法. 答案:756 解析:根据分步计数原理有N=9×12×7=756种不同的选法. 如果完成一件事需要分成n个步骤,缺一不可,即需要依次完成所有步骤才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种数就用分步计数原理(乘法原理). 1.两个书橱,一个书橱内有7本不同的小说,另一个书橱内有5本不同的教科书.现从两个书橱任取一本书的取法有__________种. 答案:12 解析:根据分类计数原理,不同的取法有N=7+5=12种. 2.教学大楼有5层,每层均有2个楼梯,由1楼到5楼的走法有__________种. 答案:16 解析:根据分步计数原理,不同的走法有N=2×2×2×2=16种. 3.现有高一学生9人,高二学生12人,高三学生7人,从中推选两名来自不同年级的

浅谈抽屉原理问题解题技巧

浅谈抽屉原理问题解题技巧 令狐采学 桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面放两个苹果[是“至少两个苹果”吧?]。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。抽屉原理的一般含义为:如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去,其中必定至少有一个集合里有两个元素[这个定义是有问题的。苹果的问题还可以认为抽屉不能空,“多于N+1个元素在n个集合中必定有两个元素的集合”无论集合空不空肯定是不对的。应该也是“至少两个元素”]。它是组合数学中一个重要的原理[这一段应该是百度百科里的内容。但是注意百科左边的图片里也是“至少有2个苹果”,下面的解析里的狄利克雷原则也是正确定义的。希望老师在引用的时候仔细分辨。]。抽屉原理看似简单,但它是近年来公考行测广大考生很容易丢分的部分。考生不能有效得分的主要原因:一是考生只是去背诵抽屉原理相关定理与公式;二是考生不能透彻理解应用“最不利原则”的思维角度。 目前,处理抽屉原理问题最基本和常用的方法是运用“最不利原则”,构造“最不利”“点最背”的情形。下面利用几道例题对抽屉原理问题的解法进行一下探讨。

一.基础题型 【例1】从一副完整的扑克牌中至少抽出()张牌才能保证至少6张牌的花色相同? A.21 B.22 C.23 D.24 解析:题目要求保证:6张牌的花色相同.考虑最不利情形:每种花色取5张,一共20张,然后抽出大小王共2张,总共22张,再抽取任意一张都能保证6张花色相同,共23张.因此,答案选C. 【例2】一副无“王”的扑克牌,至少抽取几张,方能使其中至少有两张牌具有相同的点数?() A.10 B.11 C.13 D.14 解析:题目要求:两张牌具有相同的点数.考虑最不利情形:从中任取一种花色的牌13张,每张牌点数都不同,再抽取任何一张点数都会重复,总共抽取14张。因此,答案选D. 【例3】调研人员在一次市场调查活动中收回了435份调查试卷,其中80%的调查问卷上填写了被调查者的手机号码.那么调研人员至少需要从这些调查表中随机抽出多少份,才能保证一定能找到两个手机号码后两位相同的被调查者?() A.101 B.175 C.188 D.200

抽屉原理及其应用

抽屉原理及其应用 许莉娟 (数学科学学院,2003 ( 4)班,03213123号) [摘要]抽屉原理是数学中的重要原理,在解决数学问题时有非常重要的作用.各种形式的抽屉原理在高等数学和初等数学中经常被采用.本文着重从抽屉的构造方法阐述抽屉原理在高等数学和初等数学(竞赛题)中的应用,同时指岀了它在 应用领域中的不足之处. [关键词]抽屉原理高等数学初等数学 抽屉原理也称为鸽笼原理或鞋箱原理,它是组合数学中的一个最基本的原理.抽屉原 理主要用于证明某些存在性问题及必然性题目,如几何问题、涂色问题等?抽屉原理的简 单形式可以描述为:“如果把n ? 1个球或者更多的球放进n个抽屉,必有一个抽屉至少有两个球.”它的正确性十分明显,很容易被并不具备多少数学知识的人所接受,如果将其灵活地运用,则可得到一些意想不到的效果. 各种形式的抽屉原理在高等数学和初等数学中经常被采用,使用该原理的关键在于如何巧妙地构造抽屉,即如何找出合乎问题条件的分类原则,抽屉构造得好,可得出非常巧妙的结论,下面我们着重从抽屉的构造途径去介绍抽屉原理在高等数学和初等数学(竞赛题)中的应用,同时指出它在应用领域中的不足之处? 一、抽屉原理 陈景林、阎满富编著的中国铁道出版社出版的《组合数学与图论》一书中对抽屉原理给出了比较具体的定义,概括起来主要有下面几种形式: 原理I把多于n个的元素按任一确定的方式分成n个集合,则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素? 原理U把m个元素任意放到n(m ? n)个集合里,则至少有一个集合里至少有 k个元素,其中 当n能整除m时, 当n不能整除m时. 原理川把无穷个元素按任一确定的方式分成有穷个集合,则至少有一个集合中仍含无穷个

天津市和平区2019-2020学年高二下学期期中数学试题

天津市和平区2019-2020学年高二下学期期中数学 试题 学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 一、单选题 1. 已知空间向量,1,,,,,且,则实数 () A.B. C. D.6 2. 如图,在平行六面体中,为与的交点.若 ,,,则下列向量中与相等的向量是() A.B.C.D. 3. 在下列条件中,使与,,一定共面的是() A. B. C.D. 4. 函数的最大值是( ) A.1 B. C.0 D.

5. 下列函数求导数,正确的个数是() ①; ② ③; ④. A.0 B.1 C.2 D.3 6. 在“志愿和平”活动中,某校高二年级3名男教师和4名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务.根据岗位需求应派3人巡视商户,且至少有1名男教师;另外4人测量出入人员体温.则这7名教师不同的安排方法有()A.15种B.18种C.31种D.45种 7. 某学校周一安排有语文、数学、英语、物理、化学、生物六节课,要求生物课不排在第一节课,物理不排在第四节课,则这天课表的不同排法种数为 () A.240 B.384 C.480 D.504 8. 已知定义在上的函数的图象(如图所示)与轴分别交于原 点、点和点,若和3是函数的两个零点,则不等式 的解集() A.,,B.,, C.,,D.,, 二、填空题 9. 已知曲线在点,处的切线为,则__. 10. 的二项展开式中,的系数是________________(用数字作答).

11. 已知函数,为的导函数,则__. 12. 若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是__. 三、解答题 13. 已知,的展开式的各二项式系数的和等于128, (1)求的值; (2)求的展开式中的有理项; (3)求的展开式中系数最大的项和系数最小的项. 14. 如图,在长方体中,,,点,, 分别是线段,,的中点. (1)求证:平面; (2)在线段上有一点,若二面角的余弦值为,求点 到平面的距离. 15. 如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,侧面底面 .已知,,,. (1)求直线与平面所成角的正弦值;

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