|{<>∈x a x x x 或 当a>2时，}12
|{><∈x a
x x x 或
4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (
21
)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xy
y x ++1) ⑴证明：f (x )在(－1，1)上为奇函数； ⑵对数列x 1＝
21
，x n ＋1＝212n
n x x +，求f (x n ); ⑶求证
25
2)(1)(1)(121++-
>+++n n x f x f x f n
Λ (Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0
令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x )
∴f (x )为奇函数 (Ⅱ)解：f (x 1)＝f (
21
)＝－1，f (x n ＋1)＝f (212n n x x +)＝f (n
n n n x x x x ?++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n ) ∴
)
()
(1n n x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列
∴f (x n )＝－2n －
1 (Ⅲ)解：
)21
21211()(1)(1)(11
221-++++=+++n n
x f x f x f ΛΛ 221
2)212(2112111
1->+-=--=---=--n n n
而2
2
12)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴25
2)(1)(1)(121++-
>+++n n x f x f x f n
Λ
5.已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有
)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；
（1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数； （2）n N ?∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；
（3）若(0)1f =，对任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ，证明：
∑
=<-n
i i
f 1
41
)13(12
. 证明：（1）由①知，对任意*
,,a b a b ∈--b f a f b a ，
由于0<-b a ，从而)()(b f a f <，所以函数)(x f 为*N 上的单调增函数. （2）由（1）可知n N ?∈都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)≥f(n)+1 ∴f(n+1)-f(n)1≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥ ??? ∴ f(2)-f(1)1≥
∴f(1)-f(0)1≥由此可得f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证
（3）（3）由任意
,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f 得()1f m = 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+1
21
)311(21311)
311(313
13131)13(121
<-=--=+???++=-∑
=n n n n
i i
f
6.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：
(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =
(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值； (II)求()f x 的最大值；
(III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*
12(3),n n S a n N =--∈.
求证：1231123
32()()()()2n n f a f a f a f a n -?++++≤+-L . 解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤
由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥
22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥
max ()(1)3f x f ∴==
(III)*12(3)()n n S a n N =--∈Q 1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥
1
11
1133(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴=Q 1
1
1112113333333()(
)()()()23()4n n n n n n n
n f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 1
111
43
333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n n f a f a +≤+。
2211221
14144144441
12133333333333()()()()2n n n n n n n f a f a f a f a ------∴≤+≤++≤≤+++++=+L L 故1
13
()2n n f a -≤+ 1213
13
1()1()()()2n n
f a f a f a n --∴+++
≤+L 即原式成立。
7. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有
()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成
立，则称函数()f x 为理想函数．
(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；
(2)判断函数()21x
g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明；
(3) 若函数()f x 为理想函数，
假定?[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且
00(())f f x x =，求证00()f x x =．
解：（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤?+≥f f f f ．
又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ．
（2）显然12)(-=x
x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ；-
也满足条件②1)1(=g ． 若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则
)]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g 0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③，
故)(x g 理想函数．
（3）由条件③知，任给m 、∈n [0，1]，当n m <时，由n m <知∈-m n [0，1]，
)()()()()(m f m f m n f m m n f n f ≥+-≥+-=∴
若)(00x f x <，则000)]([)(x x f f x f =≤，前后矛盾； 若)(00x f x >，则000)]([)(x x f f x f =≥，前后矛盾． 故)(00x f x =
8.已知定义在R 上的单调函数()f x ,存在实数0x ,使得对于任意实数12,x x ,总有
0102012()()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立。
(Ⅰ)求0x 的值；
(Ⅱ)若0()1f x =,且对任意正整数n ,有1
(
)12
n n a f =+, ,求数列{a n }的通项公式； (Ⅲ)若数列{b n }满足12
21n n b og a =+l ，将数列{b n }的项重新组合成新数列{}n c ，具体法则
如下：112233456,,,c b c b b c b b b ==+=++478910,c b b b b =+++……，求证：
12311112924
n c c c c ++++解：(Ⅰ)令120x x ==，得0()(0)f x f =-，①
令121,0x x ==，得00()()(1)(0)f x f x f f =++，(1)(0)f f ∴=-，② 由①、②得0()(1)f x f =，又因为()f x 为单调函数，01x ∴= (Ⅱ)由（1）得121212()()()(1)()()1f x x f x f x f f x f x +=++=++，
1111
(1)()()()(1),2222f f f f f =+=++
111
()0,()1122f a f ==+= 11111111111
()()()()(1)2()1222222n n n n n n f f f f f f +++++=+=++=+， 1111
()1[()1],222
n n f f ++=+ 112n n a a +=，1
12n n a -??= ?
??
，
1
112212121212n n n b og a og n -??=+=+=+ ?
??
l l
(Ⅲ)由{C n }的构成法则可知，C n 应等于{b n }中的n 项之和，其第一项的项数为
[1+2+…+(n －1)]+1=
2)1(n n -+1，即这一项为2×[2
)1(n
n -+1]－1=n(n －1)+1 C n =n(n －1)+1+n(n －1)+3+…+n(n －1)+2n －1=n 2(n －1)+2
)121(-+n n =n 3
3192912824
+=<
当3n ≥时，322
111111
[](1)2(1)(1)
n n n n n n n n n =<=---+g 3333111111111111[]234822334(1)(1)
n n n n n ∴+
++++<++-++-??-??+L L 111111291[]18223(1)81224
n n <++-<++=??+
解法2：3
2
3
4(1)(2)0,4(1)n n n n n n n n --=-≥∴≥-Q
3333311111()4(1)41111111111111()234842311111119291181648161624
n n n n n
n n n n <=---∴+++++<++-++--<++-<++=<
L L
9.设函数()f x 是定义域在(0,)+∞上的单调函数，且对于任意正数,x y 有
()()()f xy f x f y =+，已知(2)1f =.
（1）求1
()
2f 的值；
（2）一个各项均为正数的数列
{}n a 满足：()()(1)1(*)n n n f S f a f a n N =++-∈，其中n
S 是数列
{}n a 的前n 项的和，求数列{}n a 的通项公式；
（3）在（2）的条件下，是否存在正数M ，使
122n n a a a ????
L 11)a ≥- 2(21)a ?-L (21)n a ?-
对一切*n N ∈成立？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，说明理由.
解：（1）∵()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，有(1)(1)(1)2(1)f f f f =+=，∴(1)0f =.
再令12,2x y ==，有1(1)(2)()2f f f =+，∴1()(1)(2)011
2f f f =-=-=-，∴1()12f =-
（2）∵()()(1)1n n n f S f a f a =++-11
[(1)]()[(1)]22n n n n f a a f f a a =++=+,
又∵()f x 是定义域(0,)+∞上单调函数，∵0n S >，1
(1)0
2n n a a +>，∴
1
(1)
2n n n S a a =+ ……①
当
1n =时，由
1111
(1)
2
S a a =+，得
11a =，当
2
n ≥时，
1111
(1)2n n n S a a ---=
+ ……②
由①－②，得11111
(1)(1)22n n n n n n n
S S a a a a a ----=+-+=，
化简，得
22
11()0
n n n n a a a a ----+=，∴
11()(1)0
n n n n a a a a --+--=，
∵0n a >，∴110
n n a a ---=，即11n n a a --=，∴数列{}n a 为等差数列. 11a =，公差1d =. ∴
1(1)1(1)1n a a n d n n
=+-=+-?=，故n a n =.
（3）∵
1222122!n n n n a a a n n ???=???=?L L ，
12(21)(21)(21)13(21)
n a a a n ---=??-L L
令
n n b =
n
而
11n n b ++.
∴1n n b b +=
=
1，
∴
1n n
b b +>，数列
{}n b 为单调递增函数，由题意n M b ≤恒成立，则只需
min
()n M b ≤
=
1b =
∴
M ∈，存在正数M ，使所给定的不等式恒成立，
M
的取值范围为.
10.定义在R 上的函数f （x ）满足fxy fx fy f ()()()()++=+=11
20，，且x >
1
2
时，f （x ）<0。
（1）设a fnn N n =∈()()*
，求数列的前n 项和S n ； （2）判断f （x ）的单调性，并证明。
解：（1）f f f ()11212
11
=?? ?
??+?? ?
??-=- 令x =n ，y =1，则f n f n f f n ()()()()+=+-=-1112
所以，a a a n n 1112=--=-+，
故数列{}a n 是首项为－1，公差为－2的等差数列。
因此，()()
S n n n n n
=-+-?-=-·()112
22
（2）设x x R 12、∈，且x x 12<，则x x 210-> 所以 x x 21121
2-+> 于是f x x ()2112
0-+<
又f x f x f x x ()()()2121
1-=-- =-+-=-+21211211
2
0 所以f x f x ()()21
<，而函数f （x ）在R 上是减函数。 11. 设函数f （x ）定义在R 上，对于任意实数m 、n ，恒有fm n fm fn ()()()+=·，且当x >0时，0（1）求证：f （0）=1，且当x <0时，f （x ）>1； （2）求证：f （x ）在R 上单调递减；
（3）设集合{
}
A x y f xf y f =>(,)|()()()
22
1·， {}
B x y f a x y a R =-+=∈(,)|()21，，若A B ∩=?，求a 的取值范围。 解：（1）令m=1，n=0，得f （1）= f （1）·f （0） 又当x >0时，0< f （x ）<1，所以f （0）=1 设x <0，则－x >0
令m=x ，n=－x ，则f （0）= f （x ）·f （－x ） 所以f （x ）·f （－x ）=1
又0< f （－x ）<1，所以f x
f x ()()
=->1
1
（2）设x x R 12、∈，且x x 12<，则x
x 210->
所以0121
<-0恒成立
所以
f x f x f x x ()()()21
21
=- 所以0121<
()
所以f （x 2）< f （x 1），故f （x ）在R 上是单调递减的。
（3）由
得：f x y f ()()22
1
+> 因为f （x ）在R 上单调递减
所以x y 2
2
1+<，即A 表示圆x y 2
2
1+=的内部 由f （ax －y +2）=1= f （0）得：ax －y +2=0 所以B 表示直线ax －y +2=0
所以A B ∩=?
，所以直线与圆相切或相离，即2112
+≥a
解得：-≤≤33a
12.定义在R 上的函数f （x ）对任意实数a 、b 都有f （a +b ）+ f （a －b ）=2 f （a ）·f （b ）成立，且f ()00≠。
（1）求f （0）的值； （2）试判断f （x ）的奇偶性；
（3）若存在常数c >0使f c
()2
0=，试问f （x ）是否为周期函数？若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由。
解：（1）令a =b =0
